Trapezul isoscel și proprietățile lui

Ai văzut sigur, chiar dacă nu i-ai spus pe nume, forma unui trapez isoscel: contururile unei bărci văzute din față, un abajur de lampă, marginea unui pahar de bere văzut lateral, secțiunea unui baraj sau chiar felul în care sunt tăiate unele geamuri decorative. Toate au ceva special: sunt „simetrice", parcă oglindite pe verticală. Exact această simetrie ascunde niște proprietăți geometrice foarte utile. În această lecție despre trapezul isoscel la clasa a 7-a vei înțelege de ce unghiurile de la baze sunt egale, de ce diagonalele au aceeași lungime și cum recunoști axa de simetrie a figurii. Sunt idei simple, dar puternice, care te vor ajuta la multe probleme de geometrie.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești trapezul isoscel ca trapez cu laturile neparalele congruente și să îl recunoști într-o figură.
• Vei ști să enunți și să folosești proprietatea unghiurilor (unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente).
• Vei ști să folosești congruența diagonalelor trapezului isoscel în demonstrații și calcule.
• Vei ști să identifici axa de simetrie a trapezului isoscel (mediatoarea comună a bazelor).
• Vei ști să aplici condițiile suficiente ca un trapez oarecare să fie isoscel în rezolvarea problemelor.

Hai să descoperim împreună

Reamintim ce este un trapez

În lecția anterioară, Trapezul: clasificare și proprietăți, ai învățat că un trapez este un patrulater convex care are exact o pereche de laturi paralele. Aceste două laturi paralele se numesc baze (baza mare și baza mică), iar celelalte două laturi, care nu sunt paralele, se numesc laturi neparalele sau, mai scurt, laturile trapezului (în unele manuale, „picioarele" trapezului).

Notăm de obicei trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Atunci $AB$ și $CD$ sunt bazele, iar $AD$ și $BC$ sunt laturile neparalele. Reține ordinea literelor: mergând $A\to B\to C\to D$ parcurgi conturul figurii, deci $AD$ și $BC$ sunt chiar laturile care „urcă" de la o bază la cealaltă.

Definiția trapezului isoscel

Printre toate trapezele, unul este mai special: cel la care cele două laturi neparalele au aceeași lungime.

Definiție. Un trapez isoscel este un trapez care are laturile neparalele congruente.

Adică, în trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, condiția de a fi isoscel se scrie: $$AD\equiv BC(\text{adica˘ }AD=BC).$$

Cuvântul „isoscel" îți sună cunoscut: la fel spuneam și despre triunghiul cu două laturi egale. Ideea este aceeași — figura are două laturi „la fel", ceea ce o face simetrică.

Atenție la o capcană importantă: definiția cere ca laturile neparalele să fie congruente. Dacă am avea un trapez la care laturile paralele (bazele) ar fi egale, atunci acela nu ar mai fi trapez, ci paralelogram — pentru că ar avea două perechi de laturi paralele. De aceea insistăm: la trapezul isoscel se compară cele două laturi care nu sunt paralele.

De asemenea, un dreptunghi are laturile neparalele... stai, dreptunghiul are toate perechile de laturi opuse paralele, deci este paralelogram, nu trapez. Reține regula pe care ai fixat-o și în lecțiile Dreptunghiul și proprietățile lui și Condiții ca un patrulater să fie paralelogram: un trapez are exact o pereche de laturi paralele. Trapezul isoscel nu este niciodată paralelogram.

Un al doilea fel de trapez special: trapezul dreptunghic

Ca să nu le confunzi, să le punem alături. Există și trapezul dreptunghic, care are o latură neparalelă perpendiculară pe baze (deci are două unghiuri drepte). Acela nu este isoscel (în general laturile lui neparalele au lungimi diferite). În lecția de față ne ocupăm exclusiv de trapezul isoscel, cel cu laturi neparalele egale și fără unghiuri drepte obligatorii.

Proprietatea 1: unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente

Aceasta este prima proprietate „vedetă" a trapezului isoscel.

Proprietate. Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate fiecăreia dintre baze sunt congruente.

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AD\equiv BC$, avem: $$\hat{A}\equiv \hat{B}(\text{unghiurile de la baza }AB)$$ $$\hat{D}\equiv \hat{C}(\text{unghiurile de la baza }CD)$$

De ce este adevărat? O justificare pas cu pas.

Hai să arătăm că $\hat{A}\equiv \hat{B}$. Ideea este să „coborâm" din vârfurile de sus, $D$ și $C$, câte o perpendiculară pe baza mare $AB$.

1. Ducem $DP\perp AB$, cu $P\in AB$, și $CQ\perp AB$, cu $Q\in AB$.
2. Segmentele $DP$ și $CQ$ reprezintă amândouă distanța dintre dreptele paralele $AB$ și $CD$, deci $DP=CQ$. (Distanța dintre două drepte paralele este constantă.)
3. Comparăm triunghiurile dreptunghice $APD$ și $BQC$:
   • $\widehat{APD}=\widehat{BQC}=90^{\circ }$ (am construit perpendicularele);
   • $DP=CQ$ (o catetă, din pasul 2);
   • $AD=BC$ (ipoteza: trapezul este isoscel — chiar ipotenuzele triunghiurilor).
4. Din cazul de congruență catetă–ipotenuză, obținem $△APD\equiv △BQC$.
5. Din congruența triunghiurilor rezultă că unghiurile corespunzătoare sunt egale: $\widehat{DAP}=\widehat{CBQ}$, adică exact $\hat{A}=\hat{B}$.

Pentru cealaltă bază, folosim faptul că $AB\parallel CD$: unghiurile $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt interne de aceeași parte a secantei $AD$, deci sunt suplementare: $$\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }.$$ La fel, $\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$. Cum $\hat{A}=\hat{B}$, scăzând din $180^{\circ }$ obținem și $\hat{D}=\hat{C}$. Gata: unghiurile de la fiecare bază sunt egale.

Reține și consecința foarte practică: în orice trapez (deci și în cel isoscel), un unghi de la baza mare și unghiul alăturat de la baza mică (de pe aceeași latură) sunt suplementare. La trapezul isoscel apar așadar doar două valori de unghiuri: una la baza mare (să zicem $\alpha$) și una la baza mică ($180^{\circ }-\alpha$).

Proprietatea 2: diagonalele sunt congruente

A doua proprietate importantă privește diagonalele.

Proprietate. Diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente.

În $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AD\equiv BC$: $$AC\equiv BD(\text{adica˘ }AC=BD).$$

Justificare pas cu pas. Folosim proprietatea unghiurilor pe care tocmai am demonstrat-o.

Comparăm triunghiurile $DAB$ și $CBA$ (adică cele două triunghiuri care „stau" pe baza mare $AB$, fiecare având ca al treilea vârf câte un capăt al bazei mici):

1. $DA=CB$ — ipoteza (laturile neparalele congruente);
2. $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ — unghiurile de la baza $AB$, egale din Proprietatea 1;
3. $AB=BA$ — latură comună.

Avem deci latură–unghi–latură (LUL), deci $△DAB\equiv △CBA$. Din congruență, laturile corespunzătoare sunt egale, în particular $DB=CA$. Adică diagonalele $AC$ și $BD$ sunt congruente.

Această proprietate este foarte des folosită în probleme: dacă știi că un trapez este isoscel, poți scrie imediat $AC=BD$ și poți lega între ele lungimile diagonalelor.

Proprietatea 3: axa de simetrie

Cea mai „vizuală" proprietate a trapezului isoscel este simetria lui.

Proprietate. Trapezul isoscel are o axă de simetrie: mediatoarea comună a celor două baze.

Ce înseamnă asta? Dacă notăm cu $M$ mijlocul bazei $AB$ și cu $N$ mijlocul bazei $CD$, atunci dreapta $MN$ este perpendiculară pe ambele baze (fiindcă bazele sunt paralele) și este mediatoare pentru fiecare dintre ele. Această dreaptă $MN$ este axa de simetrie a figurii: dacă „îndoi" trapezul de-a lungul dreptei $MN$, jumătatea stângă se suprapune perfect peste jumătatea dreaptă.

Prin această simetrie:

• vârful $A$ se corespunde cu $B$, iar $D$ cu $C$;
• latura $AD$ se corespunde cu latura $BC$ (de aceea sunt egale!);
• diagonala $AC$ se corespunde cu diagonala $BD$ (de aceea și ele sunt egale!).

Vezi cum axa de simetrie „explică dintr-o privire" toate celelalte proprietăți? Egalitatea laturilor, a unghiurilor de la baze și a diagonalelor sunt toate consecințe ale faptului că figura este oglindită față de dreapta $MN$. Simetria este, dacă vrei, „secretul" din spatele trapezului isoscel.

Compară cu ce știi deja: dreptunghiul are două axe de simetrie, rombul are două (diagonalele), iar pătratul are patru. Trapezul isoscel are o singură axă de simetrie — verticala care unește mijloacele bazelor. Un trapez oarecare (neisoscel) nu are nicio axă de simetrie.

O consecință utilă: triunghiurile formate de diagonale

Fie $O$ punctul în care se intersectează diagonalele trapezului isoscel $ABCD$. Din simetrie, punctul $O$ se află chiar pe axa $MN$. Atunci:

• triunghiul $AOB$ (cel „așezat" pe baza mare) este isoscel, cu $OA=OB$;
• triunghiul $DOC$ (cel „așezat" pe baza mică) este isoscel, cu $OD=OC$.

De ce? Pentru că diagonalele întregi sunt egale, $AC=BD$, iar din simetrie ele se împart în bucăți corespunzătoare egale: $OA=OB$ și $OC=OD$. Este un rezultat pe care îl vei folosi des în probleme mai grele.

Condiții suficiente ca un trapez să fie isoscel

Până acum am mers într-un singur sens: „dacă trapezul este isoscel, atunci... (unghiuri egale, diagonale egale)". Foarte util este și sensul invers: cum recunoști că un trapez oarecare este isoscel? Iată două criterii (condiții suficiente):

Condiția 1 (unghiuri). Dacă un trapez are unghiurile alăturate uneia dintre baze congruente, atunci trapezul este isoscel.

Condiția 2 (diagonale). Dacă un trapez are diagonalele congruente, atunci trapezul este isoscel.

Cu alte cuvinte, la trapez, „unghiuri egale la o bază", „diagonale egale" și „laturi neparalele egale" merg mână în mână: dacă ai una dintre ele, le ai pe toate. Aceste condiții sunt aur curat în probleme: dacă reușești să arăți, de exemplu, că diagonalele unui trapez sunt egale, ai dreptul să tragi imediat concluzia că trapezul este isoscel și să folosești toate celelalte proprietăți.

Ai acum tot „setul de unelte". Să le punem la treabă pe exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul tuturor unghiurilor

Enunț. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (baza mare $AB$), se știe că $\hat{A}=72^{\circ }$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

Rezolvare.

• $A$ și $B$ sunt unghiurile de la baza mare, deci sunt egale: $\hat{B}=\hat{A}=72^{\circ }$.
• $A$ și $D$ sunt suplementare (interne de aceeași parte, $AB\parallel CD$): $$\hat{D}=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }.$$
• $C$ și $D$ sunt unghiurile de la baza mică, deci $\hat{C}=\hat{D}=108^{\circ }$.

Verificare. Suma unghiurilor unui patrulater trebuie să fie $360^{\circ }$: $$72^{\circ }+72^{\circ }+108^{\circ }+108^{\circ }=360^{\circ }.✓$$

Răspuns: $\hat{B}=72^{\circ }$, $\hat{C}=108^{\circ }$, $\hat{D}=108^{\circ }$.

Exemplul 2 — Unghiuri cu necunoscută

Enunț. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiul de la baza mare este $\hat{A}=(2x+15{)}^{\circ }$, iar unghiul de la baza mică alăturat lui, $\hat{D}=(4x-15{)}^{\circ }$. Află $x$ și apoi toate unghiurile trapezului.

Rezolvare. Unghiurile $A$ și $D$ sunt suplementare (sunt pe aceeași latură $AD$, între paralele): $$(2x+15)+(4x-15)=180.$$ $$6x=180\Rightarrow x=30.$$ Atunci: $$\hat{A}=2\cdot 30+15=75^{\circ },\hat{D}=4\cdot 30-15=105^{\circ }.$$ Din proprietatea trapezului isoscel: $\hat{B}=\hat{A}=75^{\circ }$ și $\hat{C}=\hat{D}=105^{\circ }$.

Verificare. $75+75+105+105=360^{\circ }$. $✓$

Răspuns: $x=30$; unghiurile sunt $75^{\circ },75^{\circ },105^{\circ },105^{\circ }$.

Exemplul 3 — Folosirea congruenței diagonalelor

Enunț. În trapezul isoscel $MNPQ$ cu $MN\parallel PQ$, diagonalele au lungimile $MP=(3x-4)\text{ cm}$ și $NQ=(x+8)\text{ cm}$. Află $x$ și lungimea fiecărei diagonale.

Rezolvare. Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente, deci $MP=NQ$: $$3x-4=x+8.$$ $$3x-x=8+4\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6.$$ Înlocuim: $$MP=3\cdot 6-4=14\text{ cm},NQ=6+8=14\text{ cm}.$$

Verificare. Cele două rezultate coincid, $14=14$. $✓$

Răspuns: $x=6$, iar fiecare diagonală măsoară $14$ cm.

Exemplul 4 — Perimetru

Enunț. Un trapez isoscel are baza mare de $17$ cm, baza mică de $9$ cm, iar o latură neparalelă de $5$ cm. Calculează perimetrul trapezului.

Rezolvare. Perimetrul este suma tuturor laturilor. Bazele sunt $17$ cm și $9$ cm. Laturile neparalele sunt egale (trapez isoscel), deci amândouă au $5$ cm: $$P=17+9+5+5=36\text{ cm}.$$

Răspuns: $P=36$ cm.

Exemplul 5 — Aflarea laturii din perimetru

Enunț. Perimetrul unui trapez isoscel este $48$ cm. Bazele au $11$ cm și $19$ cm. Cât măsoară fiecare latură neparalelă?

Rezolvare. Notăm cu $\ell$ lungimea unei laturi neparalele. Cele două laturi neparalele sunt egale, deci contribuie împreună cu $2\ell$ la perimetru: $$P=11+19+2\ell .$$ $$48=30+2\ell \Rightarrow 2\ell =18\Rightarrow \ell =9\text{ cm}.$$

Verificare. $11+19+9+9=48$ cm. $✓$

Răspuns: Fiecare latură neparalelă măsoară $9$ cm.

Exemplul 6 — Recunoașterea unui trapez isoscel (condiție suficientă)

Enunț. Se dă trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Se măsoară unghiurile de la baza mare și se găsește $\hat{A}=68^{\circ }$ și $\hat{B}=68^{\circ }$. Ce fel de trapez este și cât măsoară diagonalele una față de alta?

Rezolvare. Unghiurile alăturate bazei mari sunt congruente ($\hat{A}=\hat{B}$). Conform Condiției 1 (condiție suficientă), trapezul este isoscel. Prin urmare, laturile neparalele sunt egale ($AD=BC$) și, în plus, diagonalele sunt congruente: $AC=BD$.

Răspuns: Trapezul este isoscel; diagonalele sale sunt egale, $AC=BD$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde apare o figură, fă un desen îngrijit înainte de calcul. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Completează definiția: „Un trapez isoscel este un trapez care are laturile ________ congruente."

2. Adevărat sau fals (cu motivare): Diagonalele oricărui trapez isoscel sunt congruente.

3. Adevărat sau fals (cu motivare): Orice trapez isoscel este și paralelogram.

4. Adevărat sau fals (cu motivare): Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate uneia dintre baze sunt congruente.

5. Adevărat sau fals (cu motivare): Trapezul isoscel are exact două axe de simetrie.

6. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (baza mare $AB$) se știe că $\hat{A}=63^{\circ }$. Află măsurile unghiurilor $B$, $C$ și $D$.

7. Într-un trapez isoscel, un unghi de la baza mică măsoară $118^{\circ }$. Cât măsoară fiecare dintre celelalte trei unghiuri?

8. Un trapez isoscel are bazele de $8$ cm și $14$ cm, iar o latură neparalelă de $6$ cm. Calculează perimetrul.

9. Perimetrul unui trapez isoscel este $52$ cm, iar bazele au $10$ cm și $16$ cm. Cât măsoară fiecare latură neparalelă?

10. În trapezul isoscel $ABCD$, diagonalele au lungimile $AC=(4x-3)$ cm și $BD=(2x+9)$ cm. Află $x$ și lungimea unei diagonale.

11. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiul de la baza mare este $\hat{A}=(3x+10{)}^{\circ }$, iar unghiul alăturat de la baza mică este $\hat{D}=(5x+10{)}^{\circ }$. Află $x$ și toate unghiurile.

12. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, se știe că $\hat{B}=3\cdot \hat{C}$. Află toate unghiurile trapezului. (Indicație: $B$ și $C$ sunt pe aceeași latură, $BC$.)

13. Justifică. Se dă un trapez la care diagonalele sunt congruente. Ce poți afirma despre acest trapez și de ce?

14. Desenează. Construiește, folosind rigla și compasul (sau echerul), un trapez isoscel cu baza mare de $6$ cm, baza mică de $3$ cm și laturile neparalele de $4$ cm. Marchează axa de simetrie.

15. În trapezul isoscel $ABCD$ ($AB\parallel CD$), diagonalele se intersectează în $O$. Justifică de ce triunghiul $AOB$ este isoscel.

16. Un unghi de la baza mică a unui trapez isoscel este cu $40^{\circ }$ mai mare decât unghiul alăturat de la baza mare. Află măsurile celor două unghiuri.

17. Problemă aplicată. Un panou decorativ are forma unui trapez isoscel. Baza de jos are $120$ cm, baza de sus $80$ cm, iar cele două laturi înclinate câte $45$ cm fiecare. De câți centimetri de bandă ornamentală este nevoie pentru a înconjura complet marginea panoului?

18. În trapezul isoscel $ABCD$ ($AB\parallel CD$), $M$ este mijlocul bazei $AB$ și $N$ mijlocul bazei $CD$. Ce reprezintă dreapta $MN$ pentru figură? Ce unghi face ea cu bazele?

Răspunsuri și explicații

1. neparalele. Se compară cele două laturi care nu sunt paralele; dacă ele sunt egale, trapezul este isoscel.

2. Adevărat. Este chiar Proprietatea 2: într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente ($AC=BD$).

3. Fals. Un trapez are exact o pereche de laturi paralele, deci nu poate fi paralelogram (care are două perechi paralele). Trapezul isoscel nu face excepție.

4. Adevărat. Este Proprietatea 1: unghiurile de la fiecare bază sunt egale ($\hat{A}=\hat{B}$ și $\hat{C}=\hat{D}$).

5. Fals. Are exact o axă de simetrie: mediatoarea comună a bazelor. (Două axe are dreptunghiul; patru are pătratul.)

6. $\hat{B}=63^{\circ }$ (egal cu $A$); $\hat{D}=180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$; $\hat{C}=117^{\circ }$. Verificare: $63+63+117+117=360^{\circ }$. $✓$

7. Unghiul de $118^{\circ }$ este la baza mică, deci celălalt unghi de la baza mică este tot $118^{\circ }$. Unghiurile de la baza mare sunt suplementare cu ele: $180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$ fiecare. Deci: $62^{\circ },62^{\circ },118^{\circ },118^{\circ }$. Verificare: suma $=360^{\circ }$. $✓$

8. $P=8+14+6+6=34$ cm.

9. $2\ell =52-(10+16)=52-26=26$, deci $\ell =13$ cm. Verificare: $10+16+13+13=52$. $✓$

10. Diagonalele sunt egale: $4x-3=2x+9\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Atunci $AC=4\cdot 6-3=21$ cm (și $BD=2\cdot 6+9=21$ cm). $✓$

11. $A$ și $D$ sunt suplementare: $(3x+10)+(5x+10)=180\Rightarrow 8x+20=180\Rightarrow 8x=160\Rightarrow x=20$. Deci $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{D}=110^{\circ }$; iar $\hat{B}=70^{\circ }$, $\hat{C}=110^{\circ }$. Verificare: $70+70+110+110=360^{\circ }$. $✓$

12. $B$ și $C$ sunt pe aceeași latură $BC$, deci suplementare: $\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$. Cu $\hat{B}=3\hat{C}$: $3\hat{C}+\hat{C}=180^{\circ }\Rightarrow 4\hat{C}=180^{\circ }\Rightarrow \hat{C}=45^{\circ }$ și $\hat{B}=135^{\circ }$. Din trapez isoscel: $\hat{A}=\hat{B}=135^{\circ }$ și $\hat{D}=\hat{C}=45^{\circ }$. Verificare: $135+135+45+45=360^{\circ }$. $✓$

13. Trapezul este isoscel. Conform Condiției suficiente 2, dacă diagonalele unui trapez sunt congruente, atunci trapezul este isoscel (laturile neparalele sunt egale, iar unghiurile de la fiecare bază sunt congruente).

14. Construcție (schiță de verificare): trasezi baza mare $AB=6$ cm; afli mijlocul $M$; ridici axa de simetrie perpendiculară pe $AB$ în $M$; baza mică $CD=3$ cm se așază simetric față de axă (câte $1,5$ cm de fiecare parte a lui $M$, la înălțimea potrivită); vârfurile $C$ și $D$ se obțin ducând din $A$ și $B$ arce de $4$ cm până întâlnesc paralela la $AB$. Rezultă $AD=BC=4$ cm. Axa de simetrie este dreapta care trece prin mijloacele bazelor. (Există figură validă; verifică vizual simetria.)

15. Diagonalele trapezului isoscel sunt egale ($AC=BD$), iar din simetria figurii față de axa $MN$ ele se împart în segmente corespunzătoare egale, deci $OA=OB$. Triunghiul $AOB$ are două laturi egale ($OA=OB$), prin urmare este isoscel.

16. Fie $\alpha$ unghiul de la baza mare și $\beta$ cel alăturat de la baza mică. Ele sunt suplementare: $\alpha +\beta =180^{\circ }$, iar $\beta =\alpha +40^{\circ }$. Înlocuind: $\alpha +(\alpha +40)=180\Rightarrow 2\alpha =140\Rightarrow \alpha =70^{\circ }$, $\beta =110^{\circ }$. Deci unghiurile sunt $70^{\circ }$ (baza mare) și $110^{\circ }$ (baza mică).

17. Perimetrul: $P=120+80+45+45=290$ cm. Este nevoie de $290$ cm de bandă.

18. Dreapta $MN$ este axa de simetrie a trapezului isoscel (mediatoarea comună a bazelor). Ea este perpendiculară pe baze, deci face cu fiecare bază un unghi de $90^{\circ }$.

De reținut

• Definiție: trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele congruente ($AD\equiv BC$). Nu este niciodată paralelogram.
• Unghiuri: unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente ($\hat{A}=\hat{B}$, $\hat{C}=\hat{D}$); un unghi de la baza mare și cel alăturat de la baza mică sunt suplementare (sumă $180^{\circ }$).
• Diagonale: diagonalele trapezului isoscel sunt congruente ($AC=BD$).
• Simetrie: trapezul isoscel are o singură axă de simetrie — mediatoarea comună a bazelor, perpendiculară pe ele.
• Condiții suficiente: dacă un trapez are unghiurile egale la o bază sau diagonalele egale, atunci este isoscel.

Greșeli frecvente

• Confuzia laturi paralele / neparalele. Unii elevi cred că „isoscel" înseamnă baze egale. Greșit — se compară laturile neparalele. Baze egale ar transforma figura în paralelogram.
• „Diagonalele se înjumătățesc." La paralelogram diagonalele se taie în părți egale, dar la trapezul isoscel NU. Aici proprietatea este că diagonalele sunt egale între ele ($AC=BD$), nu că fiecare este împărțită în două părți egale de punctul de intersecție.
• Unghiuri egale greșit asociate. Nu confunda „unghiuri egale la o bază" cu „unghiuri opuse egale". La trapez, egale sunt unghiurile de pe aceeași bază; unghiurile de pe aceeași latură (unul jos, unul sus) sunt suplementare, nu egale.
• Numărul axelor de simetrie. Trapezul isoscel are o axă, nu două. Verifică mereu: doar verticala care unește mijloacele bazelor lasă figura pe loc la oglindire.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de trapeze isoscele. Caută prin casă și prin cartier cel puțin trei obiecte care au forma unui trapez isoscel (de exemplu: un abajur de lampă, un buzunar de la spatele blugilor, secțiunea unui ghiveci, un semn rutier). Fotografiază-le sau desenează-le, marchează bazele și laturile neparalele și verifică „din ochi" simetria (îndoire imaginară pe verticală).

2. Constructorul. Decupează din carton un trapez isoscel cu baza mare $10$ cm, baza mică $6$ cm și laturile neparalele $5$ cm. Îndoaie-l exact pe la mijloc (unind mijloacele bazelor) și verifică practic că cele două jumătăți se suprapun — ai găsit axa de simetrie. Apoi măsoară cu rigla cele două diagonale și confirmă că au aceeași lungime.

3. Micul proiectant. Un părinte vrea să monteze o bordură de mozaic în jurul unei mese cu blat în formă de trapez isoscel: baza mare $90$ cm, baza mică $60$ cm, laturile înclinate câte $40$ cm. Calculează câți centimetri de bordură sunt necesari (perimetrul) și, dacă bordura se vinde la metru, câți metri trebuie cumpărați (rotunjind în sus).

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul trebuie să treacă de la „recunosc forma" la „justific proprietățile". Sprijiniți-l punând accent pe de ce funcționează fiecare proprietate, nu doar pe memorarea lor.

Întrebări bune de verificare:

• „Ce compari ca să spui că un trapez este isoscel — bazele sau laturile neparalele?" (Răspuns corect: laturile neparalele.)
• „Ce se întâmplă cu diagonalele într-un trapez isoscel?" (Sunt egale între ele — nu se înjumătățesc.)
• „Câte axe de simetrie are și unde se află?" (Una singură, verticala prin mijloacele bazelor.)
• „Dacă un unghi de la baza mare are $80^{\circ }$, cât are unghiul alăturat de la baza mică?" (Suplementar: $100^{\circ }$.)

Un semn clar că a înțeles: poate rezolva un exercițiu cu necunoscută (tip Exemplul 2 sau 3) explicând în cuvinte de ce a scris egalitatea folosită („diagonalele sunt egale, deci...", „unghiurile de pe aceeași latură sunt suplementare, deci..."). Materialul concret (un trapez din carton îndoit pe axa de simetrie) ajută enorm la fixarea ideii de simetrie. Pentru continuare, lecția următoare, Linia mijlocie în trapez, construiește exact pe aceste noțiuni.

Întrebări frecvente

Ce este un trapez isoscel la clasa a 7-a? Este un trapez (patrulater cu exact o pereche de laturi paralele) la care cele două laturi neparalele au aceeași lungime. Datorită acestei egalități, figura este simetrică față de o axă verticală.

Care sunt proprietățile trapezului isoscel? Trei principale: unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente; diagonalele sunt congruente ($AC=BD$); figura are o axă de simetrie — mediatoarea comună a bazelor. În plus, un unghi de la baza mare și cel alăturat de la baza mică sunt suplementare.

De ce sunt diagonalele trapezului isoscel egale? Pentru că, din egalitatea laturilor neparalele și a unghiurilor de la baze, triunghiurile formate pe baza mare (de exemplu $△DAB$ și $△CBA$) sunt congruente (LUL). De aici rezultă că diagonalele, ca laturi corespunzătoare, sunt egale. Intuitiv, ele sunt egale pentru că se „oglindesc" una în cealaltă față de axa de simetrie.

Câte axe de simetrie are trapezul isoscel? Una singură: dreapta care unește mijloacele celor două baze, perpendiculară pe ele. Un trapez neisoscel nu are nicio axă de simetrie.

Cum știu dacă un trapez este isoscel? Ai la dispoziție condiții suficiente: dacă unghiurile alăturate uneia dintre baze sunt egale, sau dacă diagonalele sunt egale, atunci trapezul este isoscel. Oricare dintre aceste indicii îți garantează și celelalte proprietăți.

Trapezul isoscel este paralelogram? Nu. Un trapez are exact o pereche de laturi paralele, pe când paralelogramul are două. Trapezul isoscel are laturile neparalele egale, dar tot neparalele, deci nu poate fi paralelogram.

Unghiurile trapezului isoscel — cum le calculez? Reține două reguli: unghiurile de pe aceeași bază sunt egale, iar un unghi de jos plus unghiul alăturat de sus (pe aceeași latură) dau $180^{\circ }$. Astfel, dintr-un singur unghi le poți afla pe toate, iar suma tuturor patru trebuie mereu să fie $360^{\circ }$.

Se înjumătățesc diagonalele într-un trapez isoscel? Nu. Această proprietate aparține paralelogramului. La trapezul isoscel diagonalele sunt doar egale ca lungime ($AC=BD$); punctul lor de intersecție nu le taie în părți egale (împarte fiecare diagonală în două bucăți diferite, dar corespunzătoare între cele două diagonale).