Dreptunghiul și proprietățile lui

Uită-te un moment în jurul tău: ecranul telefonului, ușa camerei, o foaie de caiet, terenul de baschet, o cărămidă privită din față, un card bancar. Toate au aceeași formă — dreptunghiul. Este, probabil, cel mai des întâlnit patrulater din viața de zi cu zi, tocmai pentru că unghiurile lui drepte fac lucrurile stabile, ușor de măsurat și de îmbinat. În această lecție vei descoperi că dreptunghiul nu este o figură nouă, ci un paralelogram particular: un paralelogram care are, în plus, un unghi drept. Vom porni de la ce știi deja despre paralelogram și vom construi, pas cu pas, toate proprietățile dreptunghiului, cu accent pe steaua acestei lecții — diagonalele congruente care se înjumătățesc.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția dreptunghiului pornind de la paralelogram și să deduci că toate cele patru unghiuri sunt drepte.
• Vei ști să recunoști un dreptunghi într-o figură geometrică și să enumeri proprietățile dreptunghiului (laturi, unghiuri, diagonale).
• Vei ști să folosești proprietatea că diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc pentru a calcula lungimi și unghiuri.
• Vei ști să demonstrezi că un paralelogram dat este dreptunghi folosind o condiție suficientă (un unghi drept sau diagonale congruente).
• Vei ști să rezolvi probleme simple cu unghiuri și diagonale în dreptunghi, redactând corect raționamentul.

Hai să descoperim împreună

Punctul de plecare: ce știm despre paralelogram

Înainte de a defini dreptunghiul, hai să ne reamintim pe scurt ce este un paralelogram, pentru că totul se sprijină pe asta. Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele. Din lecțiile Paralelogramul: definiție și proprietăți și Paralelogramul: proprietatea diagonalelor știi că orice paralelogram are aceste proprietăți:

• laturile opuse sunt paralele și congruente (egale ca lungime);
• unghiurile opuse sunt congruente;
• unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare (suma lor este $180°$);
• diagonalele se înjumătățesc reciproc (punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia).

Ține minte bine ultima proprietate, pentru că o vom folosi des. Într-un paralelogram, diagonalele se taie exact la mijloc — dar, atenție, nu sunt neapărat egale între ele.

Ce se întâmplă dacă „îndreptăm" un colț?

Imaginează-ți un paralelogram desenat pe o folie care se poate deforma, ca o ramă de tablou fără șuruburi în colțuri. Dacă îl apeși ușor, se „culcă" într-o parte — colțurile devin mai ascuțite pe două părți și mai obtuze pe celelalte. Acum imaginează-ți că iei un colț și îl aduci exact la $90°$, adică îl faci unghi drept. Ce se întâmplă cu întreaga figură? Se „îndreaptă" complet și devine... un dreptunghi.

Aceasta este chiar ideea din definiție.

Definiție. Se numește dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept.

Observă cât de economică este definiția: cerem un singur unghi drept, nu toate patru. Motivul e că, într-un paralelogram, dacă un unghi este de $90°$, atunci automat și celelalte trei sunt de $90°$. Hai să vedem de ce.

Consecința: toate cele patru unghiuri sunt drepte

Fie paralelogramul $ABCD$ în care unghiul $A$ este drept, adică $m(\angle A)=90°$. Vrem să arătăm că toate unghiurile sunt de $90°$.

Pasul 1. Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare. Unghiurile $A$ și $B$ sunt alăturate, deci: $$m(\angle A)+m(\angle B)=180°.$$ Cum $m(\angle A)=90°$, rezultă $m(\angle B)=180°-90°=90°$.

Pasul 2. În paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Unghiul $C$ este opus lui $A$, deci $m(\angle C)=m(\angle A)=90°$. La fel, unghiul $D$ este opus lui $B$, deci $m(\angle D)=m(\angle B)=90°$.

Concluzie. $m(\angle A)=m(\angle B)=m(\angle C)=m(\angle D)=90°$. Toate cele patru unghiuri ale dreptunghiului sunt drepte.

De aceea, în practică, spunem simplu: dreptunghiul este un patrulater cu toate unghiurile drepte. Cele două formulări — „paralelogram cu un unghi drept" și „patrulater cu patru unghiuri drepte" — descriu exact aceeași figură.

Proprietățile moștenite de la paralelogram

Fiindcă dreptunghiul este un paralelogram (unul special), el păstrează absolut toate proprietățile paralelogramului. Nu trebuie să le demonstrăm din nou — le moștenește „prin naștere". Iată-le adunate:

1. Laturile opuse sunt paralele. În $ABCD$: $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$.
2. Laturile opuse sunt congruente. $AB=CD$ și $BC=AD$. De aceea un dreptunghi este descris de doar două dimensiuni: lungimea și lățimea. Dacă notăm $AB=L$ (lungimea) și $BC=\ell$ (lățimea), atunci și $CD=L$, $AD=\ell$.
3. Diagonalele se înjumătățesc reciproc. Notăm cu $O$ intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$. Atunci $O$ este mijlocul fiecărei diagonale: $AO=OC$ și $BO=OD$.

Până aici, dreptunghiul se comportă exact ca orice paralelogram. Diferența specială apare la unghiuri (toate drepte) și, mai ales, la lungimea diagonalelor.

Proprietatea-vedetă: diagonalele dreptunghiului sunt congruente

Aceasta este proprietatea care deosebește dreptunghiul de un paralelogram oarecare. Într-un paralelogram obișnuit diagonalele au, de regulă, lungimi diferite. Într-un dreptunghi, ele sunt egale.

Proprietate. Într-un dreptunghi, diagonalele sunt congruente: $AC=BD$.

Hai să demonstrăm această afirmație, pentru că e important să înțelegi de ce e adevărată, nu doar să o memorezi.

Ipoteză: $ABCD$ este dreptunghi (deci paralelogram cu toate unghiurile de $90°$). Concluzie: $AC=BD$.

Demonstrație. Comparăm triunghiurile $ABC$ și $BAD$ (sau, mai simplu, $ABD$ și $BAC$). Alegem triunghiurile dreptunghice $ABD$ și $BAC$:

• latura $AB$ este comună celor două triunghiuri;
• $\angle DAB=\angle CBA=90°$ (sunt unghiuri ale dreptunghiului, deci drepte);
• $AD=BC$ (laturi opuse ale paralelogramului, deci congruente).

Am obținut două triunghiuri dreptunghice care au câte două catete respectiv congruente ($AD=BC$ și $AB$ comună), cu unghiul drept între ele. Conform cazului de congruență C.C. (catetă-catetă) — echivalent aici cu cazul L.U.L. cu unghiul drept — rezultă: $$△ABD\equiv △BAC.$$ Din congruența triunghiurilor, laturile care se corespund sunt egale, deci ipotenuzele lor: $BD=AC$.

Prin urmare $AC=BD$. Diagonalele dreptunghiului sunt congruente. ∎

Punem cele două proprietăți împreună: patru raze egale

Acum vine partea cea mai frumoasă și cea mai utilă în probleme. Combinăm cele două fapte:

• diagonalele se înjumătățesc (de la paralelogram): $O$ este mijlocul fiecărei diagonale;
• diagonalele sunt congruente (proprietatea dreptunghiului): $AC=BD$.

Fie $O$ intersecția diagonalelor. Din înjumătățire: $$AO=OC=\frac{AC}{2},BO=OD=\frac{BD}{2}.$$ Dar $AC=BD$, deci și jumătățile lor sunt egale între ele: $$AO=OC=BO=OD=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}.$$

Cu alte cuvinte, cele patru segmente de la centru la vârfuri sunt toate egale. Punctul $O$ (centrul dreptunghiului) se află la aceeași distanță de toate cele patru vârfuri. Poți vedea aici un rezultat foarte important: într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept spre ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză. De ce? Pentru că, dacă „completezi" un triunghi dreptunghic până la un dreptunghi, ipotenuza devine o diagonală, iar mediana din unghiul drept devine jumătate de diagonală — adică una dintre cele patru raze egale.

De reținut ca formulă de lucru: $$OA=OB=OC=OD=\frac{d}{2},$$ unde $d$ este lungimea comună a diagonalelor. Toate cele patru vârfuri sunt egal depărtate de centrul $O$.

Această egalitate a celor patru raze creează, în interiorul dreptunghiului, patru triunghiuri isoscele: $△AOB$, $△BOC$, $△COD$, $△DOA$. Iar dintre acestea, cele „opuse la vârf" sunt și congruente între ele. Această observație e cheia multor probleme cu unghiuri, cum vei vedea în exemplele rezolvate.

Condiții suficiente: cum recunoști sau demonstrezi că ai un dreptunghi

Până acum am pornit de la „am un dreptunghi" și am dedus proprietăți. Deseori în probleme situația e inversă: ai un paralelogram și vrei să demonstrezi că este dreptunghi. Pentru asta ai nevoie de condiții suficiente. Iată cele două cele mai folosite la clasa a VII-a.

Condiția 1 (un unghi drept). Dacă un paralelogram are un unghi drept, atunci este dreptunghi.

Aceasta este chiar definiția — nu trebuie demonstrată. E cea mai directă cale: arăți că figura ta e paralelogram și că are măcar un colț de $90°$; gata, e dreptunghi.

Condiția 2 (diagonale congruente). Dacă un paralelogram are diagonalele congruente, atunci este dreptunghi.

Aceasta este reciproca proprietății-vedetă și e foarte utilă. Hai să înțelegem de ce funcționează, printr-o justificare la nivel de clasa a VII-a.

Ipoteză: $ABCD$ paralelogram cu $AC=BD$. Concluzie: $ABCD$ este dreptunghi (are un unghi drept).

Justificare. Fie $O$ intersecția diagonalelor. Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc, deci $AO=OC=\frac{AC}{2}$ și $BO=OD=\frac{BD}{2}$. Cum $AC=BD$, obținem $AO=OB=OC=OD$. Privește triunghiul $AOB$: are $OA=OB$, deci este isoscel, iar unghiurile de la bază sunt egale: $\angle OAB=\angle OBA$. La fel, triunghiul $BOC$ este isoscel ($OB=OC$), deci $\angle OBC=\angle OCB$. Dacă notezi cu $x=\angle OAB=\angle OBA$ și cu $y=\angle OBC=\angle OCB$, atunci unghiul $B$ al patrulaterului este $\angle ABC=x+y$. Scriind suma unghiurilor în triunghiul $ABC$: $\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180°$, adică $x+(x+y)+y=180°$, de unde $2(x+y)=180°$ și $x+y=90°$. Deci $\angle ABC=90°$: paralelogramul are un unghi drept, prin urmare este dreptunghi. ∎

Reține contrastul important: înjumătățirea diagonalelor caracterizează orice paralelogram; egalitatea (congruența) diagonalelor este ceea ce ridică paralelogramul la rangul de dreptunghi.

⚠️ Atenție la un lucru: pentru condiția 2 trebuie să știi deja că figura este paralelogram. Doar faptul că un patrulater are diagonale egale nu îl face dreptunghi (de exemplu, un trapez isoscel are și el diagonale egale, dar nu e paralelogram). Diagonale egale plus paralelogram $\Rightarrow$ dreptunghi.

O privire de ansamblu asupra dreptunghiului

Să strângem totul într-o imagine mentală clară. Dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=CD=L$, $BC=AD=\ell$ și diagonale $AC=BD=d$ are:

• toate unghiurile de $90°$;
• laturi opuse paralele și egale;
• diagonale egale care se taie la mijloc în centrul $O$;
• patru raze egale $OA=OB=OC=OD=\frac{d}{2}$;
• două axe de simetrie (dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse) — dar diagonalele nu sunt axe de simetrie ale dreptunghiului (spre deosebire de romb sau pătrat).

Cu aceste unelte poți ataca aproape orice problemă simplă cu dreptunghiuri. Trecem la exemple lucrate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la un unghi la toate unghiurile

Enunț. În paralelogramul $MNPQ$ se știe că $m(\angle M)=90°$. Ce fel de patrulater este $MNPQ$ și cât măsoară fiecare dintre unghiurile lui?

Rezolvare. Prin ipoteză, $MNPQ$ este paralelogram și are un unghi drept ($\angle M$). Conform definiției, un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi. Cum am demonstrat în lecție, într-un dreptunghi toate unghiurile sunt drepte. Deci: $$m(\angle M)=m(\angle N)=m(\angle P)=m(\angle Q)=90°.$$ Răspuns: $MNPQ$ este dreptunghi, cu toate unghiurile de $90°$.

Exemplul 2 — Calculul unei diagonale întregi din jumătatea ei

Enunț. Dreptunghiul $ABCD$ are diagonalele care se intersectează în $O$. Se știe că $OA=6,5$ cm. Cât măsoară fiecare diagonală și cât măsoară segmentul $OC$, $OB$, $OD$?

Rezolvare. Într-un dreptunghi, cele patru segmente de la centru la vârfuri sunt egale: $$OA=OB=OC=OD.$$ Deci $OB=OC=OD=6,5$ cm. Diagonala $AC$ este formată din $OA+OC$: $$AC=OA+OC=6,5+6,5=13\text{ cm}.$$ Diagonalele fiind congruente, $BD=AC=13$ cm. Răspuns: $AC=BD=13$ cm; $OB=OC=OD=6,5$ cm.

Exemplul 3 — Un unghi dintre diagonală și latură

Enunț. În dreptunghiul $ABCD$, diagonalele se taie în $O$. Se știe că $m(\angle OAB)=35°$. Calculează $m(\angle OBA)$ și $m(\angle AOB)$.

Rezolvare. Știm că $OA=OB$ (două dintre cele patru raze egale), deci triunghiul $AOB$ este isoscel cu $OA=OB$. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la baza $AB$ sunt egale: $$m(\angle OBA)=m(\angle OAB)=35°.$$ Suma unghiurilor triunghiului $AOB$ este $180°$: $$m(\angle AOB)=180°-35°-35°=180°-70°=110°.$$ Răspuns: $m(\angle OBA)=35°$ și $m(\angle AOB)=110°$.

Exemplul 4 — Demonstrăm că un paralelogram este dreptunghi

Enunț. Fie paralelogramul $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$. Se știe că $AC=BD=10$ cm. Demonstrează că $ABCD$ este dreptunghi și află distanța de la centrul $O$ la fiecare vârf.

Rezolvare. Prin ipoteză, $ABCD$ este paralelogram și are diagonalele congruente ($AC=BD$). Conform condiției suficiente (condiția 2), un paralelogram cu diagonale congruente este dreptunghi. Deci $ABCD$ este dreptunghi.

Distanța de la centru la fiecare vârf este jumătate de diagonală: $$OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$$ Răspuns: $ABCD$ este dreptunghi; centrul $O$ este la $5$ cm de fiecare vârf.

Exemplul 5 — Unghiul dintre cele două diagonale

Enunț. În dreptunghiul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că $m(\angle AOB)=120°$. Calculează $m(\angle OAB)$, $m(\angle BOC)$ și $m(\angle OBC)$.

Rezolvare. Triunghiul $AOB$ este isoscel cu $OA=OB$, deci unghiurile de la bază sunt egale. Notându-le cu $x$: $$x+x+120°=180°\Rightarrow 2x=60°\Rightarrow x=30°.$$ Deci $m(\angle OAB)=30°$.

Unghiurile $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt suplementare (sunt unghiuri alăturate pe dreapta $AC$, deoarece $A$, $O$, $C$ sunt coliniare): $$m(\angle BOC)=180°-120°=60°.$$ Triunghiul $BOC$ este isoscel cu $OB=OC$, deci unghiurile de la bază sunt egale; notându-le cu $y$: $$y+y+60°=180°\Rightarrow 2y=120°\Rightarrow y=60°.$$ Deci $m(\angle OBC)=60°$ (triunghiul $BOC$ este de fapt echilateral). Răspuns: $m(\angle OAB)=30°$, $m(\angle BOC)=60°$, $m(\angle OBC)=60°$.

Exemplul 6 — Perimetru din lungime și lățime

Enunț. Un dreptunghi are lungimea de $9$ cm și lățimea de $4$ cm. Află perimetrul lui și verifică dacă diagonala poate fi mai scurtă decât lungimea.

Rezolvare. Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea $L$ și lățimea $\ell$ este: $$P=2(L+\ell )=2(9+4)=2\cdot 13=26\text{ cm}.$$ Cât despre diagonală: într-un dreptunghi, diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $L$ și $\ell$, deci este mai lungă decât fiecare latură. Prin urmare diagonala nu poate fi mai scurtă decât lungimea — este întotdeauna mai mare decât cea mai mare latură. Răspuns: $P=26$ cm; diagonala este mai lungă decât lungimea (afirmația din enunț e imposibilă).

Notă: calculul exact al lungimii diagonalei cu teorema lui Pitagora îl vei face detaliat în lecția Teorema lui Pitagora. Aici ne bazăm doar pe faptul intuitiv că ipotenuza e mai lungă decât fiecare catetă.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, cu figură acolo unde e cazul, și verifică-te apoi la secțiunea de răspunsuri. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Completează: „Dreptunghiul este un ________ care are un unghi ________."

2. Adevărat sau fals (motivează): „Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt congruente."

3. Câte unghiuri drepte are un dreptunghi? Justifică pe scurt de ce, dacă un paralelogram are un singur unghi drept, le are pe toate patru.

4. Într-un dreptunghi $ABCD$, latura $AB=12$ cm și $BC=5$ cm. Cât măsoară laturile $CD$ și $AD$? Care este perimetrul?

5. Diagonalele dreptunghiului $ABCD$ se intersectează în $O$. Se dă $OB=7$ cm. Află $OA$, $OC$, $OD$, precum și diagonalele $AC$ și $BD$.

6. Diagonala unui dreptunghi are $18$ cm. La ce distanță de centrul dreptunghiului se află fiecare vârf?

7. Adevărat sau fals (motivează): „Diagonalele oricărui paralelogram sunt congruente."

8. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă un paralelogram are diagonalele egale, atunci este dreptunghi."

9. În dreptunghiul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că $m(\angle OAB)=28°$. Calculează $m(\angle OBA)$ și $m(\angle AOB)$.

10. În dreptunghiul $MNPQ$ cu centrul $O$, se dă $m(\angle MON)=140°$. Află $m(\angle OMN)$ și $m(\angle NOP)$.

11. Un paralelogram $ABCD$ are $m(\angle A)=90°$. Arată, în doi pași, că $ABCD$ este dreptunghi și scrie măsurile tuturor unghiurilor.

12. Într-un dreptunghi $ABCD$, triunghiul $AOB$ (cu $O$ centrul) este echilateral. Cât măsoară unghiul format de diagonale, $m(\angle AOB)$? Cât măsoară $m(\angle OAB)$?

13. Diagonalele dreptunghiului $ABCD$ se taie în $O$. Se știe că $AO=3x-1$ și $OB=x+5$ (în cm). Află $x$ și lungimea unei diagonale.

14. Perimetrul unui dreptunghi este $34$ cm, iar lungimea este cu $3$ cm mai mare decât lățimea. Află lungimea și lățimea. (Folosește o ecuație — vezi Ecuația de forma ax + b = 0.)

15. În dreptunghiul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că perimetrul triunghiului $AOB$ este $20$ cm și că $OA=OB=6$ cm. Află lungimea laturii $AB$.

16. Un patrulater $ABCD$ are diagonalele congruente, $AC=BD$, dar nu este paralelogram. Poate fi el dreptunghi? Dă un exemplu de astfel de patrulater cu diagonale egale care nu e dreptunghi.

17. În dreptunghiul $ABCD$ cu centrul $O$, unghiul dintre o diagonală și o latură este $m(\angle CAB)=40°$. Calculează $m(\angle ACB)$, $m(\angle DBC)$ și $m(\angle AOB)$. (Indicație: folosește și paralelismul $AB\parallel CD$ sau triunghiul dreptunghic $ABC$.)

18. Provocare. În dreptunghiul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că triunghiul $BOC$ este echilateral și că latura $BC=8$ cm. Află lungimea diagonalei $BD$ și distanța $OA$.

Răspunsuri și explicații

1. „Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept." (Definiția.)

2. Adevărat. Dreptunghiul este un paralelogram, iar la orice paralelogram laturile opuse sunt congruente. Deci $AB=CD$ și $BC=AD$.

3. Are 4 unghiuri drepte. Justificare: dacă $\angle A=90°$, atunci $\angle B=180°-90°=90°$ (unghiuri alăturate suplementare), iar $\angle C=\angle A=90°$ și $\angle D=\angle B=90°$ (unghiuri opuse congruente).

4. $CD=AB=12$ cm și $AD=BC=5$ cm (laturi opuse congruente). Perimetrul: $P=2(12+5)=2\cdot 17=34$ cm.

5. Cele patru raze sunt egale: $OA=OC=OD=OB=7$ cm. Diagonalele: $AC=BD=2\cdot 7=14$ cm.

6. Fiecare vârf este la $\frac{18}{2}=9$ cm de centru (jumătate de diagonală).

7. Fals. Diagonalele oricărui paralelogram se înjumătățesc, dar nu sunt neapărat egale. Sunt egale doar la dreptunghi (și pătrat). Într-un paralelogram oblic obișnuit, diagonalele au lungimi diferite.

8. Adevărat. Este condiția suficientă 2: un paralelogram cu diagonale congruente este dreptunghi. (Demonstrația: cele patru raze devin egale, triunghiurile de la centru sunt isoscele, iar suma unghiurilor dă un unghi de $90°$.)

9. Triunghiul $AOB$ este isoscel cu $OA=OB$, deci $m(\angle OBA)=m(\angle OAB)=28°$. Atunci $m(\angle AOB)=180°-28°-28°=124°$.

10. Triunghiul $MON$ isoscel cu $OM=ON$: $m(\angle OMN)=\frac{180°-140°}{2}=\frac{40°}{2}=20°$. Unghiul $\angle NOP$ este suplementar cu $\angle MON$ (pe diagonala $MP$): $m(\angle NOP)=180°-140°=40°$.

11. Pasul 1: $\angle B=180°-\angle A=180°-90°=90°$ (alăturate suplementare). Pasul 2: $\angle C=\angle A=90°$ și $\angle D=\angle B=90°$ (opuse congruente). Paralelogramul are un unghi drept $\Rightarrow$ este dreptunghi. Toate unghiurile: $90°$.

12. Dacă $△AOB$ este echilateral, toate unghiurile lui au $60°$, deci $m(\angle AOB)=60°$ și $m(\angle OAB)=60°$.

13. $AO=OB$ (raze egale în dreptunghi), deci $3x-1=x+5\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$. Atunci $AO=3\cdot 3-1=8$ cm, iar diagonala $AC=2\cdot AO=16$ cm.

14. Fie lățimea $\ell$; lungimea este $\ell +3$. Perimetrul: $2(\ell +\ell +3)=34\Rightarrow 2(2\ell +3)=34\Rightarrow 2\ell +3=17\Rightarrow 2\ell =14\Rightarrow \ell =7$ cm. Lungimea: $7+3=10$ cm. Verificare: $2(10+7)=34$ ✓.

15. Perimetrul triunghiului $AOB$: $OA+OB+AB=20$. Cum $OA=OB=6$, avem $6+6+AB=20\Rightarrow AB=20-12=8$ cm.

16. Nu poate fi dreptunghi, pentru că dreptunghiul este prin definiție paralelogram, iar acest patrulater nu e paralelogram. Exemplu de patrulater cu diagonale egale care nu e dreptunghi: trapezul isoscel (are diagonalele congruente, dar laturile neparalele nu sunt paralele, deci nu e paralelogram). Vei studia trapezul isoscel în lecția Trapezul isoscel și proprietățile lui.

17. În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle ABC=90°$): $m(\angle ACB)=90°-40°=50°$. Apoi, $\angle DBC$ e unghiul dintre diagonala $BD$ și latura $BC$. Triunghiul $OBC$ este isoscel ($OB=OC$), deci $m(\angle OBC)=m(\angle OCB)$. Dar $m(\angle OCB)=m(\angle ACB)=50°$, deci $m(\angle DBC)=m(\angle OBC)=50°$. Pentru unghiul dintre diagonale: în triunghiul isoscel $AOB$, unghiurile de la bază sunt $m(\angle OAB)=m(\angle CAB)=40°$ și $m(\angle OBA)=40°$, deci $m(\angle AOB)=180°-40°-40°=100°$.

18. Dacă $△BOC$ este echilateral, atunci $OB=OC=BC=8$ cm. Dar $OB=\frac{BD}{2}$, deci $BD=2\cdot OB=16$ cm. Iar $OA$ este tot o rază, egală cu celelalte: $OA=8$ cm.

De reținut

• Definiția: dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept; în consecință, are toate cele patru unghiuri de $90°$.
• Laturi: ca la orice paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente; dreptunghiul e descris de lungime $L$ și lățime $\ell$, iar perimetrul este $P=2(L+\ell )$.
• Diagonale (proprietatea caracteristică): diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc reciproc. Deci cele patru raze sunt egale: $OA=OB=OC=OD=\frac{d}{2}$.
• Condiții suficiente: un paralelogram este dreptunghi dacă are un unghi drept SAU dacă are diagonalele congruente.
• Cele patru triunghiuri formate de diagonale sunt isoscele; folosește asta pentru a calcula unghiuri.

Greșeli frecvente

• Confuzia „diagonale egale = orice paralelogram". Diagonalele se înjumătățesc la orice paralelogram, dar sunt egale doar la dreptunghi (și pătrat). Nu spune niciodată că diagonalele unui paralelogram oarecare sunt congruente.
• Uitarea că trebuie paralelogram pentru condiția cu diagonale. „Diagonale egale" singur NU garantează dreptunghi (vezi trapezul isoscel). Ai nevoie de paralelogram + diagonale egale.
• Confundarea diagonalei cu raza (jumătatea ei). Dacă $OA=5$, diagonala întreagă este $10$, nu $5$. Verifică mereu dacă datul se referă la $\frac{d}{2}$ sau la $d$.
• A crede că diagonalele sunt și axe de simetrie sau că sunt perpendiculare. La dreptunghi, diagonalele nu sunt perpendiculare și nu sunt axe de simetrie (asta e la romb/pătrat). Ele doar sunt egale și se taie la mijloc.

Aplică acasă

1. Verifică o ușă sau o masă. Ia o riglă/metru și măsoară cele două diagonale ale unei uși dreptunghiulare (colț opus la colț opus) sau ale mesei. Dacă obiectul e un dreptunghi bun, cele două diagonale trebuie să fie egale. Meșterii folosesc exact acest truc — „egalizarea diagonalelor" — ca să verifice că un cadru este perfect dreptunghiular și nu s-a deformat.

2. Găsește centrul unui carton dreptunghiular. Decupează un dreptunghi din carton, trasează cele două diagonale cu creionul și marchează punctul $O$ unde se taie. Sprijină cartonul pe vârful unui creion exact în $O$: ar trebui să stea aproape în echilibru, pentru că $O$ este centrul figurii, egal depărtat de toate colțurile.

3. Măsoară unghiul diagonalelor. Pe același carton, folosește un raportor pentru a măsura unghiul $\angle AOB$ dintre diagonale. Apoi măsoară un unghi de la bază, $\angle OAB$, și verifică dacă $2\cdot m(\angle OAB)+m(\angle AOB)=180°$ (relația din triunghiul isoscel $AOB$). Compară cu calculul teoretic.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează ideea de ierarhie a patrulaterelor: dreptunghiul „moștenește" tot de la paralelogram și adaugă o singură noutate esențială — diagonale congruente. Ajutați copilul să nu memoreze proprietăți pe de rost, ci să le deducă: „De ce sunt toate unghiurile drepte dacă am cerut doar unul?", „De ce sunt cele patru raze egale?".

Întrebări bune de verificare:

• „Enunță definiția dreptunghiului fără să folosești cuvântul «dreptunghi»." (Răspuns așteptat: paralelogram cu un unghi drept.)
• „Prin ce se deosebește un dreptunghi de un paralelogram oarecare?" (Răspuns: unghiuri drepte și diagonale egale.)
• „Dacă $OA=4$ cm, cât e diagonala?" (Verifică dacă nu confundă jumătatea cu întregul: răspuns $8$ cm.)
• „Am un paralelogram cu diagonalele de $6$ cm fiecare. Ce fel de figură e?" (Răspuns: dreptunghi.)

Semne că a înțeles: desenează corect figura cu unghiurile drepte marcate, folosește egalitatea celor patru raze în probleme cu unghiuri, și justifică (nu doar afirmă) că o figură este dreptunghi folosind o condiție suficientă. Dacă greșește confundând diagonalele egale cu proprietatea oricărui paralelogram, reveniți la desen: un paralelogram „culcat" arată clar diagonale de lungimi diferite.

Întrebări frecvente

Ce este dreptunghiul în geometrie, la clasa a 7-a? Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept. Ca urmare, are toate cele patru unghiuri de $90°$, laturile opuse paralele și congruente, iar diagonalele congruente care se înjumătățesc reciproc.

Care sunt proprietățile dreptunghiului la clasa 7? Laturile opuse sunt paralele și egale; toate unghiurile sunt drepte; diagonalele sunt congruente și se taie la mijloc; centrul dreptunghiului este egal depărtat de toate cele patru vârfuri (cele patru „raze" sunt egale, fiecare cât jumătate de diagonală).

De ce sunt diagonalele dreptunghiului congruente? Pentru că triunghiurile dreptunghice formate de o latură și cele două diagonale sunt congruente (au o catetă comună, câte o catetă egală și unghiul drept între ele). Din congruența triunghiurilor, ipotenuzele lor — adică diagonalele — sunt egale.

Cum recunoști un dreptunghi la clasa a 7-a? Verifici două lucruri: că figura este paralelogram (laturi opuse paralele) și că are un unghi drept SAU că diagonalele sunt egale. Oricare dintre aceste condiții suficiente, împreună cu faptul că e paralelogram, garantează că ai un dreptunghi.

Care e diferența dintre dreptunghi și paralelogram? Orice dreptunghi este paralelogram, dar nu invers. Dreptunghiul are, în plus, toate unghiurile de $90°$ și diagonalele egale. Un paralelogram oarecare are unghiuri oblice și diagonale de lungimi diferite.

Diagonalele dreptunghiului sunt perpendiculare? Nu, în general nu. Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc, dar nu sunt perpendiculare. Perpendicularitatea diagonalelor apare la romb și la pătrat, nu la dreptunghiul obișnuit.

Un paralelogram cu diagonale egale este întotdeauna dreptunghi? Da. Aceasta este o condiție suficientă: dacă un patrulater este paralelogram și are diagonalele congruente, atunci este obligatoriu dreptunghi. Atenție însă — condiția „diagonale egale" fără „paralelogram" nu e de ajuns (de exemplu, trapezul isoscel are diagonale egale, dar nu e dreptunghi).

Cât măsoară segmentul de la centrul dreptunghiului la un vârf? Exact jumătate din diagonală. Cum diagonalele sunt egale și se înjumătățesc, toate cele patru segmente de la centrul $O$ la vârfuri sunt egale între ele, fiecare fiind $\frac{d}{2}$, unde $d$ este lungimea unei diagonale.