Trapezul: clasificare și proprietăți

Privește o masă de lucru cu picioarele ușor depărtate în jos, un acoperiș în formă de mansardă, un baraj hidroenergetic văzut din lateral sau o găleată văzută din față. Toate acestea au aceeași formă geometrică ascunsă: trapezul. După ce ai studiat paralelogramul și paralelogramele particulare — dreptunghiul, rombul și pătratul — este momentul să cunoști un patrulater care are doar o pereche de laturi paralele. În această lecție despre trapezul de clasa 7 vei învăța definiția lui, îi vei numi corect elementele, îl vei clasifica în trei tipuri și vei descoperi o proprietate elegantă a unghiurilor lui, pe care o vei folosi în probleme.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici un trapez și să deosebești un trapez de un paralelogram.
• Vei ști să numești corect bazele, laturile neparalele și înălțimea unui trapez.
• Vei ști să clasifici trapezele în oarecare, dreptunghic și isoscel, după proprietățile lor.
• Vei ști să folosești proprietatea că unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare.
• Vei ști să recunoști și să descrii trapeze în configurații geometrice date, argumentând cu definiții și proprietăți.

Hai să descoperim împreună

De la paralelogram la trapez: ce se schimbă?

Îți amintești din lecția despre paralelogram că un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două. Deci un paralelogram are două perechi de laturi paralele.

Ce se întâmplă dacă păstrăm paralelismul doar pentru o singură pereche de laturi, iar cealaltă pereche o lăsăm neparalelă? Obținem o figură nouă, numită trapez.

Definiția trapezului

Iată definiția pe care trebuie să o știi cu precizie.

Definiție. Un trapez este un patrulater convex care are două laturi paralele (numite baze) și două laturi neparalele.

Observă cele două condiții, ambele obligatorii:

1. două laturi sunt paralele — acestea sunt bazele;
2. celelalte două laturi NU sunt paralele — acestea sunt laturile neparalele (sau laturile laterale).

A doua condiție este esențială și îi surprinde pe mulți elevi. Dacă ambele perechi de laturi ar fi paralele, figura ar fi un paralelogram, nu un trapez. Prin urmare, în definiția pe care o folosim la gimnaziu, un paralelogram nu este considerat trapez: la trapez se cere ca laturile neparalele chiar să fie neparalele.

Notăm de obicei trapezul cu literele vârfurilor în ordine, de exemplu $ABCD$, și scriem paralelismul bazelor astfel:

$$ABCD\text{ trapez},AB\parallel CD.$$

Când scriem un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, se subînțelege că $AB$ și $CD$ sunt bazele, iar $AD$ și $BC$ sunt laturile neparalele.

Elementele trapezului

Să dăm nume fiecărei părți a trapezului $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Aceste denumiri le vei folosi în absolut toate problemele.

1. Bazele. Cele două laturi paralele se numesc bazele trapezului. De regulă ele au lungimi diferite:

• latura paralelă mai lungă se numește baza mare;
• latura paralelă mai scurtă se numește baza mică.

În desenul nostru, $AB$ este baza mare, iar $CD$ este baza mică.

2. Laturile neparalele (laterale). Laturile $AD$ și $BC$, care nu sunt paralele între ele, se numesc laturile neparalele sau laturile laterale ale trapezului.

3. Înălțimea. Înălțimea trapezului este distanța dintre cele două baze, adică lungimea unui segment perpendicular pe ambele baze, care le unește. O notăm de obicei cu $h$.

Cum construim înălțimea? Alegem un punct pe o bază (de exemplu vârful $D$) și coborâm din el o perpendiculară pe cealaltă bază. Piciorul perpendicularei îl notăm, să zicem, $E$. Atunci segmentul $DE\perp AB$ este o înălțime, iar $h=DE$.

Fiindcă bazele sunt paralele, distanța dintre ele este aceeași peste tot: orice două perpendiculare duse între baze au aceeași lungime. De aceea vorbim despre „înălțimea" trapezului ca despre un număr bine determinat.

4. Diagonalele. Ca la orice patrulater, segmentele care unesc vârfuri nealăturate, adică $AC$ și $BD$, se numesc diagonalele trapezului. Le vom folosi mai mult în lecțiile următoare.

Clasificarea trapezelor

Nu toate trapezele arată la fel. În funcție de laturile neparalele, distingem trei tipuri de trapeze.

Trapezul oarecare

Un trapez oarecare (sau trapez general) este un trapez la care laturile neparalele au lungimi diferite și niciuna nu este perpendiculară pe baze. Este cazul „obișnuit", fără nicio proprietate specială în plus. Cele două laturi laterale sunt pur și simplu diferite, iar figura nu are nicio simetrie.

Trapezul dreptunghic

Un trapez dreptunghic este un trapez care are o latură neparalelă perpendiculară pe baze.

Dacă latura $AD$ este perpendiculară pe baza $AB$, atunci — fiindcă $AB\parallel CD$ — latura $AD$ este perpendiculară și pe $CD$. Așadar $AD$ este perpendiculară pe ambele baze. În acest caz, trapezul are două unghiuri drepte: unghiurile $A$ și $D$, ambele de $90°$.

Latura perpendiculară pe baze este ea însăși o înălțime a trapezului. Este singurul tip de trapez la care una dintre laturile neparalele coincide cu înălțimea.

De ce se numește „dreptunghic"? Pentru că are unghiuri drepte, la fel cum dreptunghiul are unghiuri drepte. Un mod ușor de a-ți imagina un trapez dreptunghic: iei un dreptunghi și tai un colț printr-o linie oblică — partea care rămâne este un trapez dreptunghic.

Trapezul isoscel

Un trapez isoscel este un trapez care are laturile neparalele congruente (de lungimi egale).

Dacă $AD=BC$ (și $AD$ nu e perpendiculară pe baze), atunci $ABCD$ este trapez isoscel. Cuvântul „isoscel" înseamnă „cu laturi egale" — la fel ca la triunghiul isoscel, unde două laturi sunt egale.

Trapezul isoscel este foarte „frumos": are o axă de simetrie, o dreaptă verticală care trece prin mijloacele celor două baze și împarte figura în două jumătăți oglindă. Din acest motiv, trapezul isoscel are proprietăți suplimentare speciale (de exemplu, unghiurile de la aceeași bază sunt egale, iar diagonalele sunt congruente). Vom studia toate aceste proprietăți amănunțit în lecția următoare, dedicată trapezului isoscel.

Atenție: un trapez nu poate fi în același timp dreptunghic și isoscel „adevărat". Dacă un trapez ar avea laturile neparalele congruente și un unghi drept, atunci s-ar transforma într-un dreptunghi, ceea ce nu mai este trapez (bazele nu ar mai fi singura pereche de laturi paralele). Deci cele trei tipuri — oarecare, dreptunghic, isoscel — acoperă cazuri distincte.

Rezumăm clasificarea într-un tabel:

Proprietatea unghiurilor: unghiuri alăturate suplementare

Acum ajungem la cea mai importantă proprietate a trapezului, valabilă la orice trapez, indiferent de tip.

Proprietate. Într-un trapez, unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare (suma lor este $180°$).

Ce înseamnă „unghiuri alăturate unei laturi neparalele"? Sunt cele două unghiuri ale trapezului situate la cele două capete ale aceleiași laturi laterale. La trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$:

• latura neparalelă $AD$ are la capete unghiurile $A$ și $D$, deci $\hat{A}+\hat{D}=180°$;
• latura neparalelă $BC$ are la capete unghiurile $B$ și $C$, deci $\hat{B}+\hat{C}=180°$.

De ce este adevărat? Justificarea este simplă și se bazează pe ceva ce știi din clasa a VI-a, despre drepte paralele tăiate de o secantă.

Privește latura neparalelă $AD$. Ea este o secantă care taie cele două drepte paralele $AB$ și $CD$. Unghiurile $\hat{A}$ (cu vârful în $A$, între $AD$ și $AB$) și $\hat{D}$ (cu vârful în $D$, între $DA$ și $DC$) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei. Iar din geometria dreptelor paralele știm că unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare. Deci:

$$\hat{A}+\hat{D}=180°.$$

Exact același raționament, aplicat laturii $BC$ ca secantă a paralelor $AB$ și $CD$, ne dă:

$$\hat{B}+\hat{C}=180°.$$

O consecință utilă: suma tuturor celor patru unghiuri ale trapezului este, ca la orice patrulater convex, $360°$. Verificăm: $(\hat{A}+\hat{D})+(\hat{B}+\hat{C})=180°+180°=360°$. Totul se potrivește cu ceea ce știi din lecția despre suma unghiurilor unui patrulater convex.

Această proprietate este un instrument foarte puternic: dacă știi un unghi al trapezului, poți afla imediat unghiul alăturat lui pe aceeași latură neparalelă, scăzând din $180°$.

Cum recunoști un trapez într-o figură

În multe probleme trebuie să argumentezi de ce un patrulater este trapez sau de ce nu este. Ține minte pașii:

1. Verifică dacă patrulaterul este convex (toate unghiurile mai mici de $180°$, diagonalele în interior).
2. Verifică dacă are exact o pereche de laturi paralele. Dacă are o pereche paralelă, e candidat de trapez.
3. Verifică dacă cealaltă pereche de laturi nu este paralelă. Dacă și a doua pereche ar fi paralelă, ar fi paralelogram, nu trapez.

Cum demonstrezi paralelismul a două laturi? Cel mai des, folosind ceea ce ai învățat despre drepte paralele: dacă două unghiuri interne de aceeași parte a unei secante sunt suplementare, sau dacă două unghiuri alterne interne sunt egale, atunci dreptele sunt paralele. Deci proprietatea unghiurilor funcționează „în ambele sensuri": ne ajută atât să găsim unghiuri, cât și să dovedim că o pereche de laturi este paralelă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numim elementele trapezului

Fie trapezul $MNPQ$ cu $MN\parallel PQ$, unde $MN=12\text{ cm}$ și $PQ=7\text{ cm}$. Identifică bazele, baza mare, baza mică și laturile neparalele.

Rezolvare.

• Bazele sunt laturile paralele: $MN$ și $PQ$.
• Baza mare este cea mai lungă: $MN=12\text{ cm}$.
• Baza mică este cea mai scurtă: $PQ=7\text{ cm}$.
• Laturile neparalele (laterale) sunt $NP$ și $MQ$.

Observă că numele vârfurilor se citesc „în ordine, în jurul figurii": $M\to N\to P\to Q$. Latura care unește $M$ cu $N$ este o bază, latura care unește $P$ cu $Q$ este cealaltă bază, iar laturile care „fac legătura" între baze ($NP$ și $QM$) sunt cele neparalele.

Exemplul 2 — Aflarea unui unghi cu suplementaritatea

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ se știe că $\hat{A}=70°$. Cât măsoară unghiul $\hat{D}$?

Rezolvare. Unghiurile $A$ și $D$ sunt alăturate laturii neparalele $AD$, deci sunt suplementare: $$\hat{A}+\hat{D}=180°.$$ Înlocuim: $$70°+\hat{D}=180°⟹\hat{D}=180°-70°=110°.$$

Așadar $\hat{D}=110°$.

Exemplul 3 — Toate cele patru unghiuri

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ se cunosc $\hat{A}=65°$ și $\hat{C}=120°$. Află măsurile unghiurilor $\hat{B}$ și $\hat{D}$.

Rezolvare. Aplicăm suplementaritatea pe fiecare latură neparalelă.

Pe latura $AD$: $\hat{A}+\hat{D}=180°$, deci $$\hat{D}=180°-65°=115°.$$

Pe latura $BC$: $\hat{B}+\hat{C}=180°$, deci $$\hat{B}=180°-120°=60°.$$

Verificare. Suma tuturor unghiurilor trebuie să fie $360°$: $$65°+60°+120°+115°=360°.✓$$ Rezultatul este corect.

Exemplul 4 — Recunoașterea tipului de trapez după unghiuri

Un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ are $\hat{A}=90°$. Ce fel de trapez este și cât măsoară $\hat{D}$? Ce poți spune despre latura $AD$?

Rezolvare. Din $\hat{A}+\hat{D}=180°$ obținem $\hat{D}=180°-90°=90°$. Deci și unghiul $D$ este drept.

Cum $\hat{A}=\hat{D}=90°$, latura $AD$ este perpendiculară pe baza $AB$ (pentru că $\hat{A}=90°$) și pe baza $CD$ (pentru că $\hat{D}=90°$). Prin urmare, $AD$ este perpendiculară pe ambele baze, iar trapezul este dreptunghic. Latura $AD$ este chiar o înălțime a trapezului.

Observă lecția generală: la un trapez dreptunghic, cele două unghiuri drepte sunt neapărat pe aceeași latură neparalelă (aici $AD$), fiindcă sunt unghiuri alăturate acelei laturi.

Exemplul 5 — Trapez isoscel cu unghiuri exprimate algebric

În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (baza mare $AB$), unghiul de la baza mare este $\hat{A}=75°$. Se știe, ca proprietate a trapezului isoscel, că unghiurile alăturate aceleiași baze sunt egale, deci $\hat{A}=\hat{B}$. Află toate cele patru unghiuri.

Rezolvare. Din simetria trapezului isoscel, unghiurile de la baza mare sunt egale: $$\hat{A}=\hat{B}=75°.$$

Folosim suplementaritatea pe latura neparalelă $AD$: $$\hat{D}=180°-\hat{A}=180°-75°=105°.$$ La fel, pe latura $BC$: $$\hat{C}=180°-\hat{B}=180°-75°=105°.$$

Deci unghiurile de la baza mică sunt $\hat{C}=\hat{D}=105°$.

Verificare. $75°+75°+105°+105°=360°.$ ✓

Reține tiparul: la un trapez isoscel, unghiurile de la aceeași bază sunt egale, iar unghiurile de la baze diferite sunt suplementare. Vei studia riguros aceste proprietăți în lecția despre trapezul isoscel.

Exemplul 6 — Ecuație cu unghiurile unui trapez

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiul $\hat{A}$ este cu $40°$ mai mare decât unghiul $\hat{D}$. Află cele două unghiuri.

Rezolvare. Notăm $\hat{D}=x$. Atunci $\hat{A}=x+40°$. Fiindcă $A$ și $D$ sunt alăturate laturii neparalele $AD$, ele sunt suplementare: $$\hat{A}+\hat{D}=180°.$$ Înlocuim: $$(x+40°)+x=180°.$$ Reducem termenii asemenea: $$2x+40°=180°.$$ Scădem $40°$ din ambii membri: $$2x=140°.$$ Împărțim la $2$: $$x=70°.$$

Deci $\hat{D}=70°$ și $\hat{A}=70°+40°=110°$.

Verificare. $110°+70°=180°$ ✓ și diferența $110°-70°=40°$ ✓. (Am folosit aici o ecuație liniară, exact ca în lecția despre ecuația $ax+b=0$.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde ți se cere, fă un desen îngrijit cu rigla.

1. Completează: un trapez este un patrulater convex care are ______ laturi paralele, numite ______, și ______ laturi ______.

2. Fie trapezul $EFGH$ cu $EF\parallel GH$, $EF=15\text{ cm}$, $GH=9\text{ cm}$. Care este baza mare? Care este baza mică? Care sunt laturile neparalele?

3. Adevărat sau fals? Motivează pe scurt fiecare răspuns. a) Orice paralelogram este trapez. b) Un trapez are exact o pereche de laturi paralele. c) Înălțimea unui trapez este distanța dintre cele două baze. d) Un trapez dreptunghic are exact un unghi drept.

4. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ se dă $\hat{A}=55°$. Află $\hat{D}$.

5. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ se dau $\hat{B}=82°$ și $\hat{A}=47°$. Află $\hat{C}$ și $\hat{D}$, apoi verifică prin suma $360°$.

6. Un trapez $MNPQ$ cu $MN\parallel PQ$ are $\hat{M}=90°$. Ce fel de trapez este? Cât măsoară $\hat{Q}$?

7. Desenează un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB$ baza mare, la care latura $AD$ să fie perpendiculară pe baze. Marchează cele două unghiuri drepte și indică înălțimea.

8. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiul $\hat{C}$ este de trei ori mai mare decât unghiul $\hat{B}$. Află $\hat{B}$ și $\hat{C}$.

9. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (baza mare $AB$), unghiul de la baza mare are $68°$. Folosind că unghiurile de la aceeași bază sunt egale, află toate cele patru unghiuri.

10. Un trapez are unghiurile, în ordine, de $x$, $x$, $2x$ și $2x$ grade. Știind că are $AB\parallel CD$ cu unghiurile $x$ la baza $AB$, verifică dacă poate fi trapez și află $x$.

11. Justifică: dacă într-un patrulater convex $ABCD$ avem $\hat{A}+\hat{D}=180°$, ce poți spune despre laturile $AB$ și $CD$? (Indicație: gândește-te la $AD$ ca secantă.)

12. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, se știe că $\hat{A}-\hat{D}=30°$. Află cele două unghiuri.

13. Poate un trapez să aibă trei unghiuri drepte? Argumentează folosind proprietatea unghiurilor alăturate.

14. Un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ are unghiul ascuțit de la baza mare de $58°$. Află toate cele patru unghiuri ale trapezului.

15. Adevărat sau fals, cu motivare: „Într-un trapez, toate unghiurile pot fi diferite între ele."

16. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, măsurile unghiurilor $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt exprimate prin $\hat{A}=3k$ și $\hat{B}=2k$. Se mai știe că $\hat{D}=108°$. Află $k$ și apoi $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$.

17. Un acoperiș în formă de trapez isoscel are cele două pante egale înclinate câte $110°$ față de tavanul orizontal (baza mare). Cât măsoară unghiurile de la vârful acoperișului (baza mică)?

18. Desenează câte un exemplu clar pentru fiecare tip de trapez: oarecare, dreptunghic, isoscel. Sub fiecare desen scrie ce condiție îl face să fie de acel tip.

Răspunsuri și explicații

1. ...două laturi paralele, numite baze, și două laturi neparalele.

2. Baza mare: $EF=15\text{ cm}$ (cea mai lungă). Baza mică: $GH=9\text{ cm}$. Laturile neparalele: $FG$ și $EH$.

3. a) Fals. În definiția de la gimnaziu, trapezul cere ca laturile neparalele să fie chiar neparalele; paralelogramul are ambele perechi paralele, deci nu este trapez. b) Adevărat. O pereche de laturi paralele (bazele), iar cealaltă pereche neparalelă — exact definiția trapezului. c) Adevărat. Înălțimea este lungimea perpendicularei dintre baze, adică distanța dintre baze. d) Fals. Un trapez dreptunghic are exact două unghiuri drepte (cele alăturate laturii perpendiculare pe baze).

4. $\hat{A}+\hat{D}=180°\Rightarrow \hat{D}=180°-55°=125°.$

5. $\hat{C}=180°-\hat{B}=180°-82°=98°$; $\hat{D}=180°-\hat{A}=180°-47°=133°$. Verificare: $47°+82°+98°+133°=360°$. ✓

6. Din $\hat{M}=90°$ rezultă $\hat{Q}=180°-90°=90°$ (unghiuri alăturate laturii $MQ$). Cu două unghiuri drepte, este trapez dreptunghic; $\hat{Q}=90°$.

7. Desen: dreptunghi „tăiat oblic". $AD$ vertical, perpendicular pe $AB$ și $CD$; unghiuri drepte la $A$ și $D$; $AD$ este înălțimea. (Verifică vizual: doar latura $BC$ este oblică.)

8. $B$ și $C$ sunt alăturate laturii $BC$, deci $\hat{B}+\hat{C}=180°$. Cu $\hat{C}=3\hat{B}$: $\hat{B}+3\hat{B}=180°\Rightarrow 4\hat{B}=180°\Rightarrow \hat{B}=45°$, $\hat{C}=135°$.

9. Unghiurile de la baza mare: $\hat{A}=\hat{B}=68°$. Unghiurile de la baza mică: $\hat{C}=\hat{D}=180°-68°=112°$. Verificare: $68°+68°+112°+112°=360°$. ✓

10. Unghiurile la baza $AB$ sunt câte $x$ (adică $\hat{A}=\hat{B}=x$), iar la baza $CD$ sunt câte $2x$ ($\hat{C}=\hat{D}=2x$). Suplementaritatea pe o latură neparalelă: $x+2x=180°\Rightarrow 3x=180°\Rightarrow x=60°$. Unghiurile sunt $60°,60°,120°,120°$. Suma: $360°$ ✓, deci poate fi trapez (chiar isoscel).

11. Latura $AD$ este secantă pentru dreptele $AB$ și $CD$, iar $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei. Fiind suplementare ($=180°$), rezultă că $AB\parallel CD$ (reciproca criteriului de paralelism). Deci laturile $AB$ și $CD$ sunt paralele.

12. Fie $\hat{D}=x$; atunci $\hat{A}=x+30°$. Din $\hat{A}+\hat{D}=180°$: $(x+30°)+x=180°\Rightarrow 2x=150°\Rightarrow x=75°$. Deci $\hat{D}=75°$, $\hat{A}=105°$. (Verificare: $105°-75°=30°$ ✓.)

13. Nu. Dacă ar avea trei unghiuri drepte, atunci și al patrulea ar fi $360°-3\cdot 90°=90°$, deci toate patru ar fi drepte — figura ar fi dreptunghi, la care ambele perechi de laturi sunt paralele, deci nu este trapez. Așadar un trapez nu poate avea trei unghiuri drepte (are cel mult două).

14. Unghiul ascuțit de la baza mare este $58°$. Trapez dreptunghic $\Rightarrow$ celelalte două unghiuri (pe latura perpendiculară) sunt de $90°$. Al patrulea: $180°-58°=122°$ (suplementar cu $58°$ pe latura oblică). Unghiurile: $58°,90°,90°,122°$. Verificare: $58°+90°+90°+122°=360°$. ✓

15. Adevărat. La un trapez oarecare toate cele patru unghiuri pot fi diferite. Exemplu: $\hat{A}=70°,\hat{D}=110°$ (suplementare pe $AD$) și $\hat{B}=80°,\hat{C}=100°$ (suplementare pe $BC$) — toate patru sunt distincte, iar suma este $360°$.

16. $A$ și $D$ sunt suplementare: $\hat{A}+\hat{D}=180°\Rightarrow 3k+108°=180°\Rightarrow 3k=72°\Rightarrow k=24°$. Atunci $\hat{A}=3\cdot 24°=72°$, $\hat{B}=2\cdot 24°=48°$, iar $\hat{C}=180°-\hat{B}=180°-48°=132°$. Verificare: $72°+48°+132°+108°=360°$. ✓

17. Panta face $110°$ cu baza mare, deci unghiurile de la baza mare (tavan) sunt $110°$. Unghiurile de la baza mică (vârful acoperișului) sunt suplementare: $180°-110°=70°$. Deci unghiurile de la vârful acoperișului măsoară câte $70°$.

18. Desene: oarecare — laturi laterale diferite, niciuna verticală (condiție: nicio proprietate specială); dreptunghic — o latură laterală verticală, două unghiuri drepte (condiție: o latură $\perp$ pe baze); isoscel — laturi laterale egale, figură simetrică (condiție: $AD=BC$). Verifică-ți desenele comparându-le cu imaginile din lecție.

De reținut

• Trapezul este un patrulater convex cu o singură pereche de laturi paralele (bazele) și cealaltă pereche neparalelă (laturile laterale). Un paralelogram nu este trapez.
• Elementele: baza mare, baza mică, laturile neparalele și înălțimea $h$ (distanța dintre baze, măsurată perpendicular).
• Clasificare: trapez oarecare (nimic special), trapez dreptunghic (o latură neparalelă $\perp$ pe baze $\Rightarrow$ două unghiuri de $90°$), trapez isoscel (laturi neparalele congruente $\Rightarrow$ axă de simetrie).
• Proprietatea unghiurilor: unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare: $\hat{A}+\hat{D}=180°$ și $\hat{B}+\hat{C}=180°$ (pentru $ABCD$ cu $AB\parallel CD$).
• Suma tuturor unghiurilor unui trapez este mereu $360°$, ca la orice patrulater convex.

Greșeli frecvente

• „Paralelogramul este și trapez." La gimnaziu, în programa clasei a VII-a, definiția trapezului cere ca laturile neparalele să fie neparalele. Deci paralelogramul (cu ambele perechi paralele) nu intră în definiția trapezului. Verifică întotdeauna a doua condiție.
• Confuzia dintre baze și laturi neparalele. Bazele sunt cele paralele; laturile care „leagă" bazele sunt cele neparalele. Nu numi „bază" o latură laterală. Reperul sigur: în notația $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, bazele sunt $AB$ și $CD$.
• „Trapezul dreptunghic are un singur unghi drept." Greșit: are două unghiuri drepte, ambele pe aceeași latură neparalelă (cea perpendiculară pe baze). Dacă găsești un unghi de $90°$, unghiul alăturat lui pe aceeași latură este tot $90°$.
• Adunarea greșită a unghiurilor. Suplementaritatea se aplică pe aceeași latură neparalelă ($A$ cu $D$, $B$ cu $C$), NU între unghiuri de la aceeași bază. Unghiurile de la aceeași bază ($A$ cu $B$) nu sunt, în general, suplementare (sunt egale doar la trapezul isoscel).

Aplică acasă

• Vânătoare de trapeze. Timp de o zi, caută în jurul tău forme de trapez: geanta de umăr, un pahar văzut din față, un abajur, un buzunar de blugi, o clapă de pian văzută din lateral, un semn rutier. Pentru fiecare, spune ce fel de trapez pare (oarecare, dreptunghic sau isoscel) și de ce. Fotografiază două dintre ele și explică unui părinte care sunt bazele.
• Construiește și măsoară. Cu rigla și raportorul, desenează un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ la alegere. Măsoară cele patru unghiuri cu raportorul și verifică experimental că $\hat{A}+\hat{D}=180°$ și $\hat{B}+\hat{C}=180°$ (o mică eroare de $1°$–$2°$ din măsurare e normală).
• Proiect „rampă". O rampă de skateboard văzută din lateral este adesea un trapez dreptunghic. Desenează una la scară: baza jos $2\text{ m}$, sus $0,5\text{ m}$, latura din spate verticală (perpendiculară pe baze). Marchează cele două unghiuri drepte și măsoară cu raportorul unghiul rampei (latura oblică). Verifică apoi că unghiul de sus al rampei plus unghiul de jos dau $180°$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează recunoașterea unui patrulater particular și introduce prima proprietate calculabilă a trapezului (suplementaritatea unghiurilor alăturate unei laturi neparalele). Ea se sprijină direct pe două lucruri deja învățate: paralelismul dreptelor tăiate de o secantă (clasa a VI-a) și suma unghiurilor unui patrulater convex ($360°$).

Cum verificați că elevul a înțeles, prin întrebări scurte:

• „Prin ce se deosebește un trapez de un paralelogram?" (răspuns: trapezul are o singură pereche de laturi paralele).
• „Arată-mi bazele și laturile neparalele pe acest desen." (verifică identificarea corectă a elementelor).
• „Dacă un unghi al trapezului este $80°$, ce unghi poți afla imediat și cum?" (unghiul alăturat pe aceeași latură neparalelă, $180°-80°=100°$).
• „Câte unghiuri drepte are un trapez dreptunghic și de ce?" (două, fiindcă sunt alăturate laturii perpendiculare pe baze).

Semne că a înțeles: numește corect bazele indiferent de orientarea desenului (nu doar când baza mare e „jos"), aplică suplementaritatea pe latura corectă (nu între unghiurile aceleiași baze) și verifică singur rezultatul prin suma de $360°$. Dacă greșește, cel mai des motivul este confuzia dintre „unghiuri alăturate unei laturi" și „unghiuri de la aceeași bază" — reluați împreună justificarea cu secanta.

Întrebări frecvente

Ce este un trapez la clasa a 7-a? Un trapez este un patrulater convex care are exact o pereche de laturi paralele, numite baze, și o pereche de laturi neparalele. Se deosebește de paralelogram prin faptul că doar o singură pereche de laturi este paralelă.

Care sunt elementele trapezului? Elementele trapezului sunt: baza mare și baza mică (cele două laturi paralele), cele două laturi neparalele (laterale) și înălțimea, care este distanța dintre baze măsurată perpendicular. Trapezul are și două diagonale, $AC$ și $BD$.

Câte tipuri de trapeze există? Există trei tipuri: trapezul oarecare (fără proprietăți speciale), trapezul dreptunghic (o latură neparalelă este perpendiculară pe baze, deci are două unghiuri drepte) și trapezul isoscel (laturile neparalele sunt congruente, iar figura are axă de simetrie).

De ce paralelogramul nu este trapez? Pentru că, în definiția folosită la gimnaziu în România, trapezul cere ca laturile neparalele să fie chiar neparalele. Paralelogramul are ambele perechi de laturi paralele, așa că nu îndeplinește condiția și nu este considerat trapez.

Ce înseamnă că unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare? Înseamnă că cele două unghiuri de la capetele aceleiași laturi laterale au suma $180°$. La trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$: $\hat{A}+\hat{D}=180°$ și $\hat{B}+\hat{C}=180°$. Proprietatea rezultă din faptul că latura laterală este secantă pentru cele două baze paralele.

Câte unghiuri drepte are un trapez dreptunghic? Are exact două unghiuri drepte. Ele sunt situate la capetele laturii neparalele perpendiculare pe baze, adică sunt unghiuri alăturate acelei laturi. Nu poate avea un singur unghi drept, deoarece unghiul alăturat lui este tot de $90°$.

Cum recunosc dacă un patrulater este trapez? Verifici trei lucruri: să fie convex, să aibă o pereche de laturi paralele și cealaltă pereche să nu fie paralelă. Paralelismul îl poți dovedi arătând că două unghiuri interne de aceeași parte a unei secante sunt suplementare sau că unghiurile alterne interne sunt egale.

Care este diferența dintre trapezul isoscel și trapezul dreptunghic? Trapezul isoscel are laturile neparalele egale și o axă de simetrie, iar unghiurile de la aceeași bază sunt egale. Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze și, prin urmare, două unghiuri drepte. Un trapez nu poate fi în același timp isoscel și dreptunghic, pentru că ar deveni dreptunghi.