Linia mijlocie în triunghi

Imaginează-ți că vrei să afli lățimea unui râu, dar nu poți traversa ca să măsori direct. Sau că, pe un teren triunghiular, vrei să construiești o alee care să treacă exact prin mijlocul a două laturi și te întrebi cât de lungă va fi. Exact aici intervine linia mijlocie în triunghi, una dintre cele mai elegante și utile idei din geometria clasei a VII-a. Cu o singură teoremă vei putea, dintr-o privire, să afli o lungime „ascunsă" și să dovedești că două drepte sunt paralele, fără instrumente sofisticate. Hai să descoperim cum funcționează.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect ce este linia mijlocie în triunghi și să o desenezi.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema liniei mijlocii folosind proprietățile paralelogramului.
• Vei ști să calculezi lungimi de segmente folosind formula liniei mijlocii.
• Vei ști să demonstrezi paralelismul unor drepte cu ajutorul liniei mijlocii și al reciprocei ei.
• Vei ști să recunoști când poți aplica reciproca teoremei liniei mijlocii.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce pornim

Din lecțiile anterioare știi deja câteva lucruri de care ne vom folosi intens:

• Un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele; el are laturile opuse egale și diagonalele care se înjumătățesc (vezi Paralelogramul: definiție și proprietăți și Paralelogramul: proprietatea diagonalelor).
• Ai învățat și condițiile ca un patrulater să fie paralelogram (vezi Condiții ca un patrulater să fie paralelogram). Una dintre ele va fi cheia demonstrației noastre: dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt paralele și egale, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ține minte aceste unelte — le vom folosi ca piese de Lego pentru a construi teorema liniei mijlocii.

2. Ce înseamnă „mijlocul unei laturi"

Fie un triunghi $ABC$. Mijlocul unei laturi este punctul care împarte latura în două segmente egale. De exemplu, dacă $M$ este mijlocul laturii $[AB]$, atunci $AM=MB$, adică $M$ se află exact la jumătatea distanței dintre $A$ și $B$.

3. Definiția liniei mijlocii

Iată noțiunea centrală a lecției:

Definiție. Se numește linie mijlocie a unui triunghi segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului.

Într-un triunghi $ABC$, dacă $M$ este mijlocul laturii $[AB]$ și $N$ este mijlocul laturii $[AC]$, atunci segmentul $[MN]$ este o linie mijlocie a triunghiului.

Observă un lucru important: un triunghi are trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare pereche de laturi. Fiecare linie mijlocie este „legată" de o latură pe care nu o atinge — latura a treia, cea rămasă. În desenul de mai sus, linia mijlocie $[MN]$ „privește" spre latura $[BC]$. Vom vedea imediat că între $MN$ și $BC$ există o relație foarte frumoasă.

4. Ce observăm experimental

Înainte de a demonstra ceva, hai să ne facem o intuiție. Desenează un triunghi oarecare pe caiet, marchează mijloacele a două laturi și unește-le. Măsoară cu rigla și cu echerul. Vei observa, indiferent de forma triunghiului, două lucruri surprinzătoare:

1. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.
2. Linia mijlocie are lungimea exact jumătate din a treia latură.

Dacă latura $BC$ are, să zicem, $8$ cm, atunci linia mijlocie $MN$ va avea $4$ cm. Nu este o coincidență și nu depinde de cât de „ascuțit" sau „turtit" e triunghiul. Este o lege geometrică. Hai să o enunțăm cu grijă.

5. Teorema liniei mijlocii

Teorema liniei mijlocii. Într-un triunghi, linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătatea acesteia.

Scris matematic, pentru triunghiul $ABC$ cu $M$ mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[AC]$:

$$MN\parallel BC\text{și}MN=\frac{BC}{2}.$$

Aceasta este formula liniei mijlocii în triunghi, cea pe care o vei folosi cel mai des:

$$\boxed{MN=\frac{BC}{2}}\text{echivalent cu}BC=2\cdot MN.$$

Cele două afirmații ale teoremei (paralelism și lungime) sunt independente ca folosire: uneori ai nevoie doar de paralelism, alteori doar de lungime, iar deseori de amândouă. Reține-le separat, dar nu uita că teorema ți le oferă împreună.

6. Demonstrația teoremei folosind paralelogramul

Acum vine partea frumoasă: de ce este adevărată teorema? La clasa a VII-a nu ne mulțumim cu „am măsurat și așa iese"; vrem o demonstrație riguroasă. O vom face folosind proprietățile paralelogramului, exact așa cum cere programa.

Ipoteză: În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$ (deci $AM=MB$ și $AN=NC$).

Concluzie: $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$.

Ideea demonstrației: Prelungim linia mijlocie $MN$ dincolo de $N$, până la un punct $P$ ales astfel încât $N$ să fie mijlocul segmentului $[MP]$. Apoi arătăm că se formează niște paralelograme, iar din proprietățile lor scoatem exact ce vrem.

Pasul 1 — construcția. Pe semidreapta $MN$, alegem punctul $P$ astfel încât $NP=MN$, adică $N$ să fie mijlocul segmentului $[MP]$. Unim $P$ cu $C$.

Pasul 2 — comparăm două triunghiuri. Privim triunghiurile $AMN$ și $CPN$. Avem:

• $AN=NC$ (pentru că $N$ este mijlocul lui $[AC]$ — din ipoteză);
• $MN=NP$ (așa am ales punctul $P$ — din construcție);
• $\widehat{ANM}\equiv \widehat{CNP}$ (unghiuri opuse la vârf, formate de dreptele $AC$ și $MP$ care se intersectează în $N$).

Prin urmare, conform cazului de congruență LUL (latură–unghi–latură), triunghiurile sunt congruente: $$△AMN\equiv △CPN.$$

Pasul 3 — ce obținem din congruență. Din congruența triunghiurilor rezultă că elementele corespunzătoare sunt egale:

• $AM=CP$ (laturi corespunzătoare);
• $\widehat{MAN}\equiv \widehat{PCN}$ (unghiuri corespunzătoare).

Pasul 4 — obținem un paralelogram. Unghiurile $\widehat{MAN}$ și $\widehat{PCN}$ sunt egale și sunt unghiuri alterne interne formate de dreptele $AM$ (adică $AB$) și $CP$ cu secanta $AC$. Dacă unghiurile alterne interne sunt egale, atunci dreptele sunt paralele: $$AB\parallel CP,\text{deci și}AM\parallel CP.$$

Am aflat astfel că în patrulaterul $AMPC$... stai puțin, hai să fim atenți la ordinea punctelor. Privim patrulaterul $MBCP$. În el:

• $MB$ și $PC$ sunt segmente paralele (fiindcă $AB\parallel CP$, iar $MB$ este pe dreapta $AB$);
• $MB$ și $PC$ sunt și egale: $MB=AM$ (pentru că $M$ e mijlocul lui $AB$), iar $AM=CP$ (Pasul 3), deci $MB=CP$.

Avem un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale ($MB\parallel PC$ și $MB=PC$). Conform condiției de paralelogram învățate anterior, rezultă că $MBCP$ este paralelogram.

Pasul 5 — tragem concluziile. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și egale. În paralelogramul $MBCP$:

• $MP\parallel BC$. Dar $MN$ este o parte din $MP$ (fiindcă $P$ e pe prelungirea lui $MN$), deci $MN\parallel BC$. Prima parte demonstrată.
• $MP=BC$. Însă $MP=MN+NP=MN+MN=2\cdot MN$ (fiindcă $N$ e mijlocul lui $MP$). Așadar $2\cdot MN=BC$, de unde $$MN=\frac{BC}{2}.$$ A doua parte demonstrată.

Am arătat exact ce voiam: $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$. Q.E.D. (ceea ce era de demonstrat).

Ce e frumos aici? Am pornit de la un triunghi și, printr-o construcție inteligentă, am „fabricat" un paralelogram. Toată puterea paralelogramului (laturi opuse paralele și egale) s-a transferat înapoi în triunghi. Aceasta este o strategie tipică în geometrie: transformi ce nu știi într-o figură pe care o cunoști bine.

7. Reciproca teoremei liniei mijlocii

Teorema spune: „dacă unești mijloacele, obții un segment paralel cu a treia latură, jumătate din ea." Ne putem întreba invers: dacă știm că o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi și este paralelă cu altă latură, ce putem spune? Răspunsul e la fel de util:

Reciproca teoremei liniei mijlocii. Dreapta care trece prin mijlocul unei laturi a triunghiului și este paralelă cu o altă latură intersectează a treia latură exact în mijlocul ei.

Cu notații: în triunghiul $ABC$, dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și ducem prin $M$ o dreaptă paralelă cu $BC$, aceasta va intersecta latura $[AC]$ într-un punct $N$ care este mijlocul lui $[AC]$. Astfel $[MN]$ devine linie mijlocie, deci automat $MN=\frac{BC}{2}$.

De ce e utilă reciproca? Pentru că ne dă o metodă puternică de a demonstra că un punct este mijlocul unui segment: e suficient să arătăm că el se află pe o paralelă dusă printr-un alt mijloc. Vom folosi această idee în exemple.

8. Cum recunoști că ai de-a face cu o linie mijlocie

În probleme, „linia mijlocie" nu vine mereu la pachet cu numele ei. Iată semnalele care îți spun că o poți folosi:

• În enunț apar mijloace a două laturi ale unui triunghi → unește-le, ai o linie mijlocie.
• Ți se cere o lungime și cunoști o latură „paralelă și de două ori mai mare/mai mică" → gândește-te la formula $MN=\frac{BC}{2}$.
• Ți se cere să demonstrezi un paralelism și ai mijloace prin preajmă → linia mijlocie e paralelă cu latura opusă.
• Ai un mijloc și o paralelă → aplică reciproca pentru a obține alt mijloc.

9. O aplicație practică (râul)

Revenim la problema din introducere. Vrei lățimea $BC$ a unui râu, dar poți umbla doar pe un mal. Alegi un punct $A$ pe malul tău, marchezi mijloacele $M$ și $N$ ale drumurilor de la $A$ către două repere $B$ și $C$ de pe celălalt mal (poți face asta măsurând pe malul tău), apoi măsori direct $MN$ pe uscat. Din teoremă, $BC=2\cdot MN$. Ai aflat lățimea râului fără să-l traversezi! Așa lucrează, de fapt, topografii — geometria triunghiului clasa a 7-a are aplicații reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — calcul direct al liniei mijlocii

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Se știe că $BC=14$ cm. Cât măsoară linia mijlocie $MN$?

Rezolvare. Segmentul $[MN]$ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie corespunzătoare laturii $[BC]$. Aplicăm formula: $$MN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Răspuns: $MN=7$ cm.

Exemplul 2 — aflarea laturii când știm linia mijlocie

Enunț. În triunghiul $PQR$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $[PQ]$, respectiv $[PR]$. Linia mijlocie $EF$ măsoară $6,5$ cm. Cât măsoară latura $[QR]$?

Rezolvare. $[EF]$ este linie mijlocie corespunzătoare laturii $[QR]$, deci $EF=\frac{QR}{2}$. De aici: $$QR=2\cdot EF=2\cdot 6,5=13\text{ cm}.$$

Răspuns: $QR=13$ cm.

Exemplul 3 — perimetrul triunghiului format din liniile mijlocii

Enunț. În triunghiul $ABC$ avem $AB=10$ cm, $BC=12$ cm și $CA=8$ cm. Notăm cu $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $[AB]$, $[BC]$, respectiv $[CA]$. Calculează perimetrul triunghiului $MNP$.

Rezolvare. Fiecare latură a triunghiului $MNP$ este o linie mijlocie a triunghiului $ABC$, deci este jumătate din latura corespunzătoare:

• $MP$ unește mijloacele lui $[AB]$ și $[CA]$ → este linie mijlocie față de $[BC]$, deci $MP=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm.
• $MN$ unește mijloacele lui $[AB]$ și $[BC]$ → este linie mijlocie față de $[CA]$, deci $MN=\frac{CA}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm.
• $NP$ unește mijloacele lui $[BC]$ și $[CA]$ → este linie mijlocie față de $[AB]$, deci $NP=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm.

Perimetrul: $$P_{MNP}=MN+NP+MP=4+5+6=15\text{ cm}.$$

Observație frumoasă: perimetrul lui $MNP$ este exact jumătate din perimetrul lui $ABC$. Verifică: $P_{ABC}=10+12+8=30$ cm, iar $30:2=15$ cm. Nu e o coincidență — fiecare latură s-a înjumătățit, deci și suma lor.

Răspuns: $P_{MNP}=15$ cm.

Exemplul 4 — demonstrarea unui paralelism

Enunț. Fie triunghiul $ABC$ și $M$, $N$ mijloacele laturilor $[AB]$, respectiv $[AC]$. Punctul $D$ este un punct oarecare pe latura $[BC]$. Demonstrează că $MN\parallel BD$.

Rezolvare. Deoarece $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$, segmentul $[MN]$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$. Din teorema liniei mijlocii rezultă: $$MN\parallel BC.$$ Dar $D$ este un punct pe segmentul $[BC]$, deci dreapta $BD$ coincide cu dreapta $BC$ (punctele $B$, $D$, $C$ sunt coliniare). Prin urmare $$MN\parallel BD.$$

Răspuns: Am demonstrat că $MN\parallel BD$, folosind că linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.

Exemplul 5 — folosirea reciprocei

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $[AB]$. Prin $M$ se duce o paralelă la $[BC]$, care intersectează latura $[AC]$ în punctul $N$. Știind că $AC=18$ cm, calculează $AN$ și arată că $[MN]$ este linie mijlocie.

Rezolvare. Aplicăm reciproca teoremei liniei mijlocii: dreapta prin mijlocul $M$ al laturii $[AB]$, paralelă cu $[BC]$, taie a treia latură $[AC]$ chiar în mijlocul ei. Deci $N$ este mijlocul lui $[AC]$, de unde: $$AN=\frac{AC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}.$$ Cum $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$, segmentul $[MN]$ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie.

Răspuns: $AN=9$ cm, iar $[MN]$ este linie mijlocie.

Exemplul 6 — problemă combinată

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$. Se știe că $MN=(x+3)$ cm și $BC=(3x-1)$ cm. Află $x$, apoi lungimile $MN$ și $BC$.

Rezolvare. Din teorema liniei mijlocii, $BC=2\cdot MN$. Scriem ecuația: $$3x-1=2(x+3).$$ Desfacem paranteza: $$3x-1=2x+6.$$ Trecem termenii cu $x$ într-o parte și numerele în cealaltă: $$3x-2x=6+1\Rightarrow x=7.$$ Acum înlocuim: $$MN=x+3=7+3=10\text{ cm},BC=3x-1=3\cdot 7-1=20\text{ cm}.$$

Verificare: $BC=2\cdot MN$? $20=2\cdot 10$. ✓ Corect.

Răspuns: $x=7$, $MN=10$ cm, $BC=20$ cm.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. Fă întâi un desen clar la fiecare problemă de geometrie — te ajută enorm.

1. În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$. Dacă $BC=22$ cm, cât măsoară $MN$?

2. În triunghiul $DEF$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $[DE]$ și $[DF]$. Linia mijlocie $PQ=9$ cm. Cât măsoară $EF$?

3. Completează: linia mijlocie a unui triunghi este ______ cu a treia latură și are lungimea egală cu ______ din ea.

4. Adevărat sau fals (justifică): „Un triunghi are exact o singură linie mijlocie."

5. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă $MN$ este linie mijlocie și $BC=15$ cm, atunci $MN=30$ cm."

6. În triunghiul $ABC$ cu $AB=14$ cm, $BC=16$ cm și $CA=10$ cm, se notează cu $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor. Calculează lungimile celor trei linii mijlocii.

7. Folosind datele de la exercițiul 6, calculează perimetrul triunghiului $MNP$ format de liniile mijlocii.

8. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Dacă $MN=5,5$ cm, cât măsoară $BC$?

9. Desenează un triunghi $ABC$, marchează mijloacele $M$ al lui $[AB]$ și $N$ al lui $[AC]$, apoi trasează linia mijlocie $[MN]$. Colorează latura cu care este paralelă.

10. În triunghiul $ABC$, prin mijlocul $M$ al laturii $[AB]$ se duce o paralelă la $[BC]$ care taie $[AC]$ în $N$. Ce fel de punct este $N$ pentru segmentul $[AC]$? Ce teoremă folosești?

11. În triunghiul $PQR$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $[PQ]$ și $[PR]$. Se știe că $EF=(2x+1)$ cm și $QR=(5x-4)$ cm. Află $x$ și cele două lungimi.

12. Un teren are formă de triunghi cu laturile de $60$ m, $80$ m și $100$ m. O potecă unește mijloacele celor mai lungi două laturi. Ce lungime are poteca? (Indică ce latură este a treia.)

13. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$, $N$ mijlocul lui $[AC]$, iar $P$ mijlocul lui $[BC]$. Arată că $MN\parallel BP$.

14. Adevărat sau fals (justifică): „Perimetrul triunghiului format de cele trei linii mijlocii este jumătate din perimetrul triunghiului inițial."

15. În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$. Dacă $MN+BC=27$ cm, află $MN$ și $BC$.

16. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Segmentul $[MN]$ îl prelungim cu un segment $[NP]$ egal cu $MN$, unde $P$ este dincolo de $N$. Ce fel de patrulater este $MBCP$? Justifică pe scurt.

17. Problemă de raționament. În triunghiul $ABC$, liniile mijlocii $[MN]$, $[NP]$ și $[MP]$ împart triunghiul în patru triunghiuri mici. Argumentează, folosind teorema liniei mijlocii, de ce toate cele patru triunghiuri au aceleași lungimi de laturi (sunt congruente două câte două prin egalitatea laturilor).

18. Provocare. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Știind că $MN=7$ cm și că perimetrul triunghiului $AMN$ este $18$ cm, iar $AM=6$ cm, află $AN$. (Indiciu: perimetrul lui $AMN$ este $AM+AN+MN$.)

Răspunsuri și explicații

1. $MN=\frac{BC}{2}=\frac{22}{2}=11$ cm.

2. $P$ și $Q$ sunt mijloacele lui $[DE]$ și $[DF]$, deci $[PQ]$ este linie mijlocie corespunzătoare celei de-a treia laturi $[EF]$: e paralelă cu $[EF]$ și jumătate din ea. Așadar $EF=2\cdot PQ=2\cdot 9=18$ cm.

3. „...este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din ea." (formula: $MN=\frac{BC}{2}$).

4. Fals. Un triunghi are trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare pereche de laturi (deci pentru fiecare dintre cele trei laturi există o linie mijlocie paralelă cu ea).

5. Fals. Linia mijlocie este jumătate din a treia latură, nu dublul ei. Corect: $MN=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5$ cm.

6. Fiecare linie mijlocie e jumătate din latura opusă: $\frac{14}{2}=7$ cm, $\frac{16}{2}=8$ cm, $\frac{10}{2}=5$ cm. Cele trei linii mijlocii măsoară $7$ cm, $8$ cm și $5$ cm.

7. Perimetrul $=7+8+5=20$ cm. (Este jumătate din $14+16+10=40$ cm; $40:2=20$. ✓)

8. $BC=2\cdot MN=2\cdot 5,5=11$ cm.

9. Desen: linia mijlocie $[MN]$ este paralelă cu latura $[BC]$ (latura opusă vârfului $A$). Se colorează $[BC]$. Verifică cu echerul că $MN\parallel BC$ și cu rigla că $MN=\frac{BC}{2}$.

10. $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Se folosește reciproca teoremei liniei mijlocii: dreapta prin mijlocul unei laturi, paralelă cu altă latură, taie a treia latură în mijlocul ei.

11. Din $QR=2\cdot EF$: $5x-4=2(2x+1)\Rightarrow 5x-4=4x+2\Rightarrow x=6$. Atunci $EF=2\cdot 6+1=13$ cm și $QR=5\cdot 6-4=26$ cm. Verificare: $26=2\cdot 13$. ✓

12. Cele mai lungi două laturi sunt $80$ m și $100$ m; a treia latură (cea rămasă) este $60$ m. Poteca unește mijloacele laturilor de $80$ m și $100$ m, deci este linie mijlocie față de latura de $60$ m: lungimea potecii $=\frac{60}{2}=30$ m.

13. $M$ și $N$ sunt mijloacele lui $[AB]$ și $[AC]$, deci $[MN]$ e linie mijlocie și $MN\parallel BC$. Cum $P$ este pe $[BC]$, punctele $B$, $P$, $C$ sunt coliniare, deci dreapta $BP$ coincide cu $BC$. Prin urmare $MN\parallel BP$.

14. Adevărat. Fiecare latură a triunghiului mijlociu este jumătate din latura corespunzătoare a triunghiului mare (teorema liniei mijlocii). Suma a trei jumătăți este jumătate din suma întregilor, deci perimetrul se înjumătățește.

15. $BC=2\cdot MN$. Notăm $MN=a$; atunci $BC=2a$ și $a+2a=27\Rightarrow 3a=27\Rightarrow a=9$. Deci $MN=9$ cm și $BC=18$ cm. Verificare: $9+18=27$. ✓

16. $MBCP$ este paralelogram. Justificare: $[MN]$ e linie mijlocie, deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$; cum $MP=2\cdot MN=BC$ și $MP\parallel BC$, patrulaterul $MBCP$ are două laturi opuse ($MP$ și $BC$) paralele și egale, deci este paralelogram. (Aceasta este chiar ideea din demonstrația teoremei.)

17. Fie $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$. Fiecare linie mijlocie e jumătate din latura opusă: $MN=\frac{CA}{2}=CP=AP$, $NP=\frac{AB}{2}=AM=MB$, $MP=\frac{BC}{2}=BN=NC$. Astfel, în fiecare dintre cele patru triunghiuri mici, laturile sunt egale cu aceste jumătăți, deci toate cele patru triunghiuri au laturi de aceleași lungimi (sunt congruente între ele prin cazul LLL). De exemplu, triunghiul de la vârful $A$ are laturile $AM$, $AP$, $MP$, egale respectiv cu $NP$, $MN$, $MP$ — laturile triunghiului central $MNP$.

18. Perimetrul lui $AMN$ este $AM+AN+MN=18$ cm. Deci $6+AN+7=18\Rightarrow AN=18-13=5$ cm.

De reținut

• Linia mijlocie = segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi. Un triunghi are trei linii mijlocii.
• Teorema liniei mijlocii: linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea ei: $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$ (echivalent $BC=2\cdot MN$).
• Demonstrația se face „fabricând" un paralelogram: prelungești $MN$ până la $P$ cu $NP=MN$, obții congruența $△AMN\equiv △CPN$ (LUL), apoi paralelogramul $MBCP$.
• Reciproca: dreapta prin mijlocul unei laturi, paralelă cu altă latură, trece prin mijlocul celei de-a treia laturi. E metoda ta pentru a demonstra că un punct este mijloc.
• Perimetrul triunghiului format de cele trei linii mijlocii este jumătate din perimetrul triunghiului inițial.

Greșeli frecvente

• Confuzia „jumătate ↔ dublu". Mulți elevi scriu $MN=2\cdot BC$. Greșit! Linia mijlocie este mai mică, jumătate din latură: $MN=\frac{BC}{2}$. Când afli latura din linia mijlocie, atunci înmulțești cu 2. Întreabă-te mereu: „care segment e mai lung?" — a treia latură.
• Alegerea greșită a laturii paralele. Linia mijlocie $[MN]$ (cu $M\in AB$, $N\in AC$) este paralelă cu latura care nu conține niciun mijloc, adică $[BC]$ — latura opusă vârfului comun $A$. Nu o compara cu $AB$ sau $AC$.
• Uiți să verifici că ai chiar mijloace. Teorema se aplică doar dacă $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor. Dacă un punct nu este la mijloc, segmentul nu este linie mijlocie și formula nu se aplică. Când în enunț ai un mijloc și o paralelă, folosește reciproca pentru a obține al doilea mijloc.
• Confuzia cu linia mijlocie a trapezului. Aceea are altă formulă (media laturilor paralele) și o vei învăța în lecția Linia mijlocie în trapez. Nu le amesteca: la triunghi este jumătatea unei laturi, la trapez este media a două laturi.

Aplică acasă

1. Măsurătoare cu triunghi. Desenează pe o coală un triunghi mare, oarecare. Marchează cu rigla mijloacele a două laturi, unește-le și măsoară linia mijlocie și a treia latură. Verifică dacă linia mijlocie este într-adevăr jumătate. Repetă cu un triunghi de altă formă — vei vedea că legea se respectă de fiecare dată.

2. Harta cartierului. Alege trei repere din cartier care formează aproximativ un triunghi (de exemplu școala, un magazin și un parc). Estimează pe hartă mijloacele a două „laturi" (drumuri) și imaginează o scurtătură între ele. Estimează lungimea scurtăturii ca jumătate din a treia distanță și compar-o cu ce arată harta.

3. Lățimea „inaccesibilă". Ca la exemplul cu râul din lecție: alege un obiect greu de traversat direct (un gard, o baltă). Fixează trei puncte care formează un triunghi, măsoară linia mijlocie pe partea accesibilă și estimează distanța inaccesibilă ca dublul ei. Notează cât de aproape ești de valoarea reală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce prima teoremă „cu demonstrație completă" din unitatea patrulaterelor, iar valoarea ei pedagogică stă tocmai în legătura dintre triunghi și paralelogram. Pentru a sprijini elevul, încurajați-l să deseneze de fiecare dată: geometria se înțelege cu creionul în mână, nu doar din formule.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce este linia mijlocie și câte are un triunghi?" (răspuns corect: segmentul dintre mijloacele a două laturi; sunt trei).
• „Cu ce latură este paralelă linia mijlocie și cât de lungă este?" (cu a treia latură; jumătate din ea).
• „Cum ai demonstra teorema?" (prin construcția paralelogramului — verificați dacă poate reface pașii, măcar ideea).
• „Când folosești reciproca?" (când ai un mijloc și o paralelă și vrei să obții alt mijloc).

Semne că a înțeles: știe să treacă corect de la linia mijlocie la latură și invers (fără să confunde jumătatea cu dublul), poate justifica un paralelism spunând „linia mijlocie e paralelă cu a treia latură", și poate rezolva o problemă cu ecuație de tipul Exemplului 6. Dacă greșește constant sensul „jumătate/dublu", reveniți la o măsurătoare concretă pe caiet — evidența vizuală fixează regula mai bine decât repetarea formulei.

Întrebări frecvente

Ce este linia mijlocie în triunghi la clasa a 7-a? Linia mijlocie în triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului. Într-un triunghi $ABC$, dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$, atunci $[MN]$ este o linie mijlocie. Fiecare triunghi are trei linii mijlocii.

Care este formula liniei mijlocii în triunghi? Formula este $MN=\frac{BC}{2}$, adică linia mijlocie este egală cu jumătatea laturii cu care este paralelă. Echivalent, latura este dublul liniei mijlocii: $BC=2\cdot MN$.

Cum se demonstrează teorema liniei mijlocii? Se prelungește linia mijlocie $[MN]$ dincolo de $N$ până la un punct $P$ cu $NP=MN$. Se arată că triunghiurile $AMN$ și $CPN$ sunt congruente (cazul LUL), de unde rezultă că patrulaterul $MBCP$ este paralelogram. Din proprietățile paralelogramului se obține $MN\parallel BC$ și $MP=BC$, deci $MN=\frac{BC}{2}$.

Care este reciproca teoremei liniei mijlocii? Reciproca spune că dreapta care trece prin mijlocul unei laturi și este paralelă cu o altă latură intersectează a treia latură exact în mijlocul ei. Este folosită pentru a demonstra că un punct este mijlocul unui segment.

Câte linii mijlocii are un triunghi? Un triunghi are exact trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare pereche de laturi. Cele trei linii mijlocii formează în interior un triunghi mai mic, cu laturile jumătate față de triunghiul mare.

Cu ce latură este paralelă linia mijlocie? Linia mijlocie este paralelă cu latura pe care nu se sprijină, adică cu a treia latură — cea opusă vârfului comun celor două laturi ale căror mijloace le-am unit. De exemplu, dacă unim mijloacele lui $[AB]$ și $[AC]$, linia mijlocie este paralelă cu $[BC]$.

Care e diferența dintre linia mijlocie în triunghi și cea în trapez? La triunghi, linia mijlocie este jumătatea unei singure laturi ($MN=\frac{BC}{2}$). La trapez, linia mijlocie este media aritmetică a celor două laturi paralele. Sunt formule diferite; nu le confunda.

La ce folosește linia mijlocie în probleme? Este folosită pentru a calcula lungimi (afli o latură sau linia mijlocie una din alta), pentru a demonstra că două drepte sunt paralele și, prin reciprocă, pentru a arăta că un punct este mijlocul unui segment. Va reveni în lecția despre centrul de greutate al triunghiului și în probleme de sinteză.