Șir de rapoarte egale

Până acum ai lucrat cu un singur raport, iar apoi cu două rapoarte puse cap la cap într-o proporție. Acum facem un pas firesc mai departe: legăm trei, patru sau mai multe rapoarte prin semnul de egal și obținem un instrument numit șir de rapoarte egale. Pare complicat, dar de fapt ascunde una dintre cele mai elegante și mai utile reguli din toată matematica de gimnaziu — o regulă care îți permite să împarți o sumă de bani între mai mulți prieteni, să afli laturile unui triunghi sau să rezolvi probleme aparent grele dintr-o singură mișcare. În această lecție despre șirul de rapoarte egale pentru clasa a 6-a descoperim ce este, cum funcționează proprietatea sumei numărătorilor pe suma numitorilor și cum afli numere necunoscute fără să te încurci.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști și să scrii corect un șir de rapoarte egale de forma $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$.
• Vei ști să afli valoarea comună a tuturor rapoartelor dintr-un șir.
• Vei ști să folosești proprietatea șirului de rapoarte egale: suma numărătorilor pe suma numitorilor dă tot valoarea comună.
• Vei ști să afli numere necunoscute dintr-un șir de rapoarte, când cunoști suma sau diferența lor.
• Vei ști să rezolvi probleme practice de împărțire „în raport" (bani, premii, ingrediente, unghiuri).

Hai să descoperim împreună

Pornim de la ce știm deja

Îți amintești din lecția despre proporția și proprietatea fundamentală: o proporție este o egalitate de două rapoarte, scrisă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Ai exersat și aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție, folosind regula „produsul extremilor este egal cu produsul mezilor".

Dar ce facem când avem nu două, ci trei sau mai multe rapoarte egale? De exemplu: $$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}$$ Toate aceste rapoarte sunt egale între ele — fiecare, simplificat, dă $\frac{2}{3}$. Avem astfel un lanț de rapoarte legate prin egal. Exact acest lanț se numește șir de rapoarte egale.

Ce este un șir de rapoarte egale

Hai să dăm o definiție clară, ca la matematică.

Definiție. Se numește șir de rapoarte egale o egalitate de mai multe rapoarte (de regulă trei sau mai multe; pentru două rapoarte regăsim proporția), de forma: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\dots$$ unde toți numitorii sunt nenuli ($b\ne 0$, $d\ne 0$, $f\ne 0$, …), pentru că nu putem împărți niciodată la zero.

Numerele $a$, $c$, $e$ de sus se numesc numărători, iar numerele $b$, $d$, $f$ de jos se numesc numitori. Ideea esențială este simplă: toate rapoartele din șir au exact aceeași valoare. Dacă unul valorează $\frac{2}{3}$, atunci toate valorează $\frac{2}{3}$.

Valoarea comună a rapoartelor

Pentru că toate rapoartele sunt egale, ele au o singură valoare, pe care o numim valoarea comună a rapoartelor. Este foarte util să-i dăm un nume scurt, o literă. De obicei folosim litera $k$ (de la „coeficient").

Așadar, dacă scriem: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k,$$ atunci $k$ este valoarea comună. Din această scriere obținem o informație de aur. Dacă $\frac{a}{b}=k$, atunci, înmulțind, $a=b\cdot k$. La fel, $c=d\cdot k$ și $e=f\cdot k$.

Reține: fiecare numărător se obține înmulțind numitorul său cu valoarea comună $k$.

Hai să vedem pe un exemplu concret. Fie șirul $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$ și să presupunem că valoarea comună este $k=3$. Atunci: $$x=2\cdot 3=6,y=5\cdot 3=15.$$ Verificăm: $\frac{6}{2}=3$ și $\frac{15}{5}=3$. Perfect, ambele rapoarte dau $3$. Vezi cât de comod e? Dacă afli o singură dată valoarea comună $k$, afli toate numerele dintr-o singură mișcare.

Marea descoperire: suma numărătorilor pe suma numitorilor

Acum vine partea cea mai frumoasă a lecției, proprietatea șirului de rapoarte egale pentru clasa a 6-a. O explicăm pas cu pas, ca să o înțelegi cu adevărat, nu doar să o memorezi.

Pornim de la șirul: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k.$$ Știm deja că $a=bk$, $c=dk$, $e=fk$. Hai să adunăm numărătorii între ei și numitorii între ei și să formăm un raport nou: suma de sus pe suma de jos: $$\frac{a+c+e}{b+d+f}.$$ Înlocuim $a$, $c$, $e$ cu ce am găsit mai sus: $$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{bk+dk+fk}{b+d+f}.$$ La numărător dăm factor comun pe $k$: $$=\frac{k(b+d+f)}{b+d+f}.$$ Iar acum simplificăm prin paranteza $(b+d+f)$, care apare și sus, și jos (și care nu este zero): $$=k.$$

Ce am obținut? Exact valoarea comună! Adică noul raport, format din suma numărătorilor pe suma numitorilor, este egal cu fiecare raport din șir.

Proprietatea șirului de rapoarte egale. Dacă $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$ și $b+d+f\ne 0$, atunci: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}.$$

Pe scurt și ușor de ținut minte: „suma numărătorilor pe suma numitorilor" dă tot valoarea comună.

De ce este atât de utilă această proprietate

Imaginează-ți că trei prieteni — Andrei, Bianca și Cristian — primesc bani pentru un proiect, dar nu în mod egal, ci „în raport". Andrei ia $2$ părți, Bianca $3$ părți și Cristian $4$ părți. Asta înseamnă că, dacă notăm cu $a$, $b$, $c$ sumele lor: $$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}.$$ Problema îți spune și un lucru în plus: în total au primit $540$ de lei, deci $a+b+c=540$.

Aici intervine magia proprietății. Putem scrie: $$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{2+3+4}=\frac{540}{9}=60.$$ Am aflat valoarea comună: $k=60$! De aici, totul curge: $$a=2\cdot 60=120,b=3\cdot 60=180,c=4\cdot 60=240.$$ Verificare: $120+180+240=540$. Exact suma din enunț. Andrei primește $120$ lei, Bianca $180$ lei, iar Cristian $240$ lei.

Observă „rețeta" care se repetă mereu:

1. Scrii șirul de rapoarte egale din datele problemei.
2. Folosești proprietatea: suma numărătorilor pe suma numitorilor.
3. Înlocuiești suma cunoscută (din enunț) și calculezi valoarea comună $k$.
4. Înmulțești fiecare numitor cu $k$ și afli numerele căutate.
5. Verifici că suma (sau diferența) dă ce spune problema.

Ce facem când cunoaștem o diferență, nu o sumă

Uneori problema nu îți dă suma numerelor, ci diferența lor. Și aici proprietatea funcționează, doar că în locul sumei punem diferența — atât la numărători, cât și la numitori (în aceeași ordine).

Varianta cu diferență. Dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ și $b-d\ne 0$, atunci: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}.$$

De exemplu, fie $\frac{x}{7}=\frac{y}{4}$ și $x-y=12$. Folosim varianta cu diferență: $$\frac{x}{7}=\frac{y}{4}=\frac{x-y}{7-4}=\frac{12}{3}=4.$$ Deci $k=4$, de unde $x=7\cdot 4=28$ și $y=4\cdot 4=16$. Verificare: $28-16=12$. Corect!

Atenție mare la ordine: dacă la numărători scrii $x-y$, atunci la numitori trebuie să scrii $7-4$, adică numitorul lui $x$ minus numitorul lui $y$. Nu amesteca ordinea, altfel obții un semn greșit.

O privire de ansamblu

Hai să strângem totul într-o singură imagine mintală. Un șir de rapoarte egale este ca o rețetă în care toate ingredientele cresc „în același ritm". Acel ritm este valoarea comună $k$. Indiferent dacă aduni numărătorii și numitorii, sau dacă îi scazi, raportul rămâne neclintit la aceeași valoare $k$. De aceea proprietatea este atât de puternică: îți transformă mai multe necunoscute într-un singur număr $k$, ușor de aflat.

În lecțiile următoare, despre mărimi direct proporționale, vei vedea că șirul de rapoarte egale este chiar inima ideii de „proporționalitate" — așa că merită să-l stăpânești foarte bine acum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea comună dintr-un șir simplu

Enunț. Verifică dacă $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}=\frac{15}{20}$ formează un șir de rapoarte egale și află valoarea comună.

Rezolvare. Simplificăm fiecare raport:

• $\frac{3}{4}$ este deja ireductibil, valoarea lui este $0,75$.
• $\frac{9}{12}=\frac{9:3}{12:3}=\frac{3}{4}$.
• $\frac{15}{20}=\frac{15:5}{20:5}=\frac{3}{4}$.

Toate trei dau $\frac{3}{4}$, deci avem într-adevăr un șir de rapoarte egale, cu valoarea comună $\frac{3}{4}$. Putem verifica și cu proprietatea: $\frac{3+9+15}{4+12+20}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$. Iese tot $\frac{3}{4}$ — exact cum promite proprietatea.

Exemplul 2 — Două numere cu sumă dată

Enunț. Numerele $x$ și $y$ verifică $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}$ și $x+y=48$. Află $x$ și $y$.

Rezolvare. Aplicăm proprietatea „suma numărătorilor pe suma numitorilor": $$\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{x+y}{5+7}=\frac{48}{12}=4.$$ Deci valoarea comună este $k=4$. Atunci: $$x=5\cdot 4=20,y=7\cdot 4=28.$$ Verificare: $20+28=48$. Corect. Răspuns: $x=20$, $y=28$.

Exemplul 3 — Trei numere cu sumă dată

Enunț. Numerele $a$, $b$, $c$ verifică $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$ și $a+b+c=63$. Află cele trei numere.

Rezolvare. Suma numitorilor este $2+3+4=9$. Folosim proprietatea: $$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{2+3+4}=\frac{63}{9}=7.$$ Valoarea comună este $k=7$, deci: $$a=2\cdot 7=14,b=3\cdot 7=21,c=4\cdot 7=28.$$ Verificare: $14+21+28=63$. Corect. Răspuns: $a=14$, $b=21$, $c=28$.

Exemplul 4 — Două numere cu diferență dată

Enunț. Numerele $m$ și $n$ verifică $\frac{m}{9}=\frac{n}{5}$ și $m-n=8$. Află $m$ și $n$.

Rezolvare. Folosim varianta cu diferență, atent la ordine (numitorul lui $m$ minus numitorul lui $n$): $$\frac{m}{9}=\frac{n}{5}=\frac{m-n}{9-5}=\frac{8}{4}=2.$$ Deci $k=2$, de unde: $$m=9\cdot 2=18,n=5\cdot 2=10.$$ Verificare: $18-10=8$. Corect. Răspuns: $m=18$, $n=10$.

Exemplul 5 — Cunoaștem unul dintre numere

Enunț. Se știe că $\frac{x}{4}=\frac{y}{9}=\frac{z}{6}$ și că $y=36$. Află $x$ și $z$.

Rezolvare. Aici nu avem o sumă, dar avem ceva și mai direct: cunoaștem un raport complet. Din $\frac{y}{9}=\frac{36}{9}=4$ aflăm imediat valoarea comună $k=4$. (Nu mai e nevoie de proprietatea sumei — orice raport din șir ne dă pe $k$ dacă îi cunoaștem ambele numere.)

Apoi: $$x=4\cdot 4=16,z=6\cdot 4=24.$$ Verificare: $\frac{16}{4}=4$, $\frac{36}{9}=4$, $\frac{24}{6}=4$. Toate rapoartele dau $4$. Răspuns: $x=16$, $z=24$.

Exemplul 6 — Problemă practică: împărțirea unui premiu

Enunț. O echipă de robotică a câștigat un premiu de $1000$ de lei. Banii se împart între cei trei membri — Dan, Elena și Florin — proporțional cu numărul de puncte aduse la concurs: Dan a adus $4$ puncte, Elena $7$ puncte, Florin $9$ puncte. Câți lei primește fiecare?

Rezolvare. Notăm sumele cu $d$, $e$, $f$. „Proporțional cu punctele" înseamnă: $$\frac{d}{4}=\frac{e}{7}=\frac{f}{9},d+e+f=1000.$$ Suma numitorilor: $4+7+9=20$. Proprietatea ne dă: $$\frac{d}{4}=\frac{e}{7}=\frac{f}{9}=\frac{1000}{20}=50.$$ Deci $k=50$ (fiecare punct valorează $50$ de lei), de unde: $$d=4\cdot 50=200,e=7\cdot 50=350,f=9\cdot 50=450.$$ Verificare: $200+350+450=1000$. Corect. Dan ia $200$ lei, Elena $350$ lei, Florin $450$ lei.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Crește dificultatea treptat, așa că nu sări peste primele exerciții — ele îți construiesc baza.

1. Adevărat sau fals? Într-un șir de rapoarte egale, toate rapoartele au aceeași valoare.

2. Adevărat sau fals? Pentru orice șir de rapoarte egale, raportul „suma numărătorilor pe suma numitorilor" este egal cu valoarea comună.

3. Verifică dacă $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}=\frac{8}{20}$ este un șir de rapoarte egale și scrie valoarea comună.

4. Încercuiește șirul în care rapoartele NU sunt egale: a) $\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{7}{14}$; b) $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{5}{9}$.

5. Completează: dacă $\frac{x}{4}=\frac{y}{9}$, atunci, după proprietate, $\frac{x}{4}=\frac{y}{9}=\frac{x+y}{\underline{}}$.

6. Află valoarea comună $k$, știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{2}$ și $a+b+c=40$.

7. Folosind rezultatul de la exercițiul 6, află numerele $a$, $b$ și $c$.

8. Numerele $x$ și $y$ verifică $\frac{x}{4}=\frac{y}{6}$ și $x+y=30$. Află $x$ și $y$.

9. Numerele $p$ și $q$ verifică $\frac{p}{8}=\frac{q}{3}$ și $p-q=15$. Află $p$ și $q$.

10. Se știe că $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z}{7}$ și $z=21$. Află valoarea comună, apoi $x$ și $y$.

11. Trei frați împart $480$ de lei proporțional cu numerele $3$, $5$ și $8$. Câți lei primește fiecare?

12. Două numere sunt în raportul $\frac{5}{9}$ (adică $\frac{a}{b}=\frac{5}{9}$) și suma lor este $112$. Află numerele. (Indicație: scrie $\frac{a}{5}=\frac{b}{9}$.)

13. Potrivește fiecare șir cu valoarea sa comună: A) $\frac{4}{2}=\frac{10}{5}$ B) $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ C) $\frac{3}{12}=\frac{5}{20}$ — valori posibile: $\frac{1}{4}$, $2$, $\frac{2}{3}$.

14. Măsurile a trei unghiuri ale unui triunghi sunt proporționale cu $2$, $3$ și $4$. Știind că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180°$, află cele trei măsuri.

15. Numerele $a$, $b$, $c$ verifică $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}$ și $b-a=9$. Află $a$, $b$ și $c$. (Indicație: folosește diferența la numitorii lui $b$ și $a$.)

16. Un șirag de $1000$ de mărgele se face din mărgele roșii, albastre și verzi în raportul $2:3:5$. Câte mărgele de fiecare culoare sunt?

17. Perimetrul unui dreptunghi este $84$ cm. Lungimea și lățimea sunt proporționale cu $5$ și $2$. Află lungimea și lățimea. (Indicație: lungime + lățime = jumătate din perimetru.)

18. Numerele $x$, $y$, $z$ verifică $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$ și $2x+y-z=16$. Află $x$, $y$, $z$. (Indicație: scrie $x=3k$, $y=4k$, $z=6k$ și înlocuiește.)

Răspunsuri și explicații

1. Adevărat. Aceasta este chiar ideea de șir de rapoarte egale: toate rapoartele au valoarea comună $k$.

2. Adevărat. Este proprietatea șirului de rapoarte egale, demonstrată în lecție (cu condiția ca suma numitorilor să fie nenulă).

3. Da, este șir de rapoarte egale. $\frac{2}{5}$ este ireductibil; $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ (împărțim cu $3$); $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ (împărțim cu $4$). Valoarea comună este $\frac{2}{5}$.

4. Răspuns: b). La a) toate rapoartele dau $\frac{1}{2}$, deci sunt egale. La b), $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, dar $\frac{5}{9}\ne \frac{2}{3}$ (căci $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$, nu $\frac{5}{9}$). Deci la b) rapoartele nu sunt toate egale.

5. Răspuns: 13. Suma numitorilor este $4+9=13$, deci $\frac{x}{4}=\frac{y}{9}=\frac{x+y}{13}$.

6. Suma numitorilor: $3+5+2=10$. Atunci $k=\frac{a+b+c}{10}=\frac{40}{10}=4$. Valoarea comună este $k=4$.

7. Cu $k=4$: $a=3\cdot 4=12$, $b=5\cdot 4=20$, $c=2\cdot 4=8$. Verificare: $12+20+8=40$. $a=12$, $b=20$, $c=8$.

8. $\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{x+y}{4+6}=\frac{30}{10}=3$. Deci $k=3$, $x=4\cdot 3=12$, $y=6\cdot 3=18$. Verificare: $12+18=30$. $x=12$, $y=18$.

9. $\frac{p}{8}=\frac{q}{3}=\frac{p-q}{8-3}=\frac{15}{5}=3$. Deci $k=3$, $p=8\cdot 3=24$, $q=3\cdot 3=9$. Verificare: $24-9=15$. $p=24$, $q=9$.

10. Cunoaștem $z=21$, deci din $\frac{z}{7}=\frac{21}{7}=3$ obținem $k=3$. Atunci $x=5\cdot 3=15$ și $y=2\cdot 3=6$. Verificare: $\frac{15}{5}=3$, $\frac{6}{2}=3$, $\frac{21}{7}=3$. $x=15$, $y=6$.

11. Sumele sunt $\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}=\frac{480}{3+5+8}=\frac{480}{16}=30$. Deci $k=30$: $a=3\cdot 30=90$, $b=5\cdot 30=150$, $c=8\cdot 30=240$. Verificare: $90+150+240=480$. Cei trei frați primesc $90$ lei, $150$ lei și $240$ lei.

12. Scriem $\frac{a}{5}=\frac{b}{9}=\frac{a+b}{5+9}=\frac{112}{14}=8$. Deci $k=8$, $a=5\cdot 8=40$, $b=9\cdot 8=72$. Verificare: $40+72=112$ și $\frac{40}{72}=\frac{5}{9}$. Numerele sunt $40$ și $72$.

13. A $\to 2$ (căci $\frac{4}{2}=2$); B $\to \frac{2}{3}$; C $\to \frac{1}{4}$ (căci $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$). A–2, B–$\frac{2}{3}$, C–$\frac{1}{4}$.

14. Notăm măsurile $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{180}{2+3+4}=\frac{180}{9}=20$. Deci $k=20°$: $a=2\cdot 20=40°$, $b=3\cdot 20=60°$, $c=4\cdot 20=80°$. Verificare: $40°+60°+80°=180°$. Unghiurile au $40°$, $60°$ și $80°$.

15. Folosim diferența la $b$ și $a$: $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{b-a}{5-2}=\frac{9}{3}=3$. Deci $k=3$: $a=2\cdot 3=6$, $b=5\cdot 3=15$, $c=6\cdot 3=18$. Verificare: $b-a=15-6=9$. $a=6$, $b=15$, $c=18$.

16. $\frac{r}{2}=\frac{a}{3}=\frac{v}{5}=\frac{1000}{2+3+5}=\frac{1000}{10}=100$. Deci $k=100$: roșii $=2\cdot 100=200$, albastre $=3\cdot 100=300$, verzi $=5\cdot 100=500$. Verificare: $200+300+500=1000$. $200$ roșii, $300$ albastre, $500$ verzi.

17. Lungime + lățime $=84:2=42$ cm. Atunci $\frac{L}{5}=\frac{\ell }{2}=\frac{L+\ell }{5+2}=\frac{42}{7}=6$. Deci $k=6$: $L=5\cdot 6=30$ cm, $\ell =2\cdot 6=12$ cm. Verificare: $2\cdot (30+12)=84$ cm. Lungimea $30$ cm, lățimea $12$ cm.

18. Scriem $x=3k$, $y=4k$, $z=6k$. Înlocuim în $2x+y-z=16$: $$2\cdot 3k+4k-6k=6k+4k-6k=4k=16\Rightarrow k=4.$$ Deci $x=3\cdot 4=12$, $y=4\cdot 4=16$, $z=6\cdot 4=24$. Verificare: $2\cdot 12+16-24=24+16-24=16$. $x=12$, $y=16$, $z=24$.

De reținut

• Un șir de rapoarte egale este o egalitate de mai multe rapoarte: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\dots$, cu toți numitorii nenuli.
• Toate rapoartele au aceeași valoare comună, notată de obicei $k$. Din $\frac{a}{b}=k$ rezultă $a=b\cdot k$ (numărător = numitor × $k$).
• Proprietatea cheie: suma numărătorilor pe suma numitorilor dă tot $k$: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$.
• Când cunoști o diferență, folosești aceeași idee: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$ (atenție la ordinea termenilor).
• Rețeta de aur: scrii șirul → afli $k$ (din suma, diferența sau un raport cunoscut) → înmulțești fiecare numitor cu $k$ → verifici.

Greșeli frecvente

• Inversezi ordinea la diferență. Dacă scrii $a-c$ la numărători, trebuie să scrii $b-d$ la numitori, în aceeași ordine. Dacă încurci ordinea, obții un semn greșit. Verifică mereu la final dacă diferența iese cea din enunț.
• Aduni numărătorii cu numitorii „de-a valma". Proprietatea cere strict: numărătorii cu numărătorii (sus cu sus) și numitorii cu numitorii (jos cu jos). Nu amesteca un numărător cu un numitor.
• Confunzi numerele cu numitorii (părțile). În $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, numerele $2$ și $3$ sunt „părțile" (numitorii), nu valorile finale. Valoarea comună $k$ înmulțește părțile ca să dea numerele reale $a$ și $b$.
• Uiți verificarea. După ce afli numerele, pune-le mereu înapoi: verifică atât rapoartele (să fie egale), cât și condiția din enunț (suma, diferența sau relația dată). Verificarea prinde aproape orice greșeală.

Joc acasă

1. Comoara împărțită „în raport". Ia $20$ de bănuți (sau boabe de fasole). Alege un raport, de exemplu $2:3$, pentru tine și un prieten/părinte. Calculează mai întâi pe hârtie cu proprietatea: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{20}{5}=4$, deci $a=8$ și $b=12$. Apoi împarte efectiv bănuții și verifică numărând. Schimbă raportul și totalul și repetă.

2. Rețeta dublată și triplată. Caută o rețetă simplă (de exemplu $2$ căni de făină la $3$ ouă). Scrie raportul $\frac{\text{fa˘ina˘}}{2}=\frac{\text{oua˘}}{3}$ și află câtă făină și câte ouă trebuie dacă vrei să folosești în total $15$ „părți" de ingrediente. Discută cu un adult de ce raportul trebuie păstrat ca rețeta să iasă la fel.

3. Detectivul de rapoarte egale. Scrie pe bilețele mai multe fracții, unele egale între ele, altele nu (de exemplu $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{3}{5}$). Provoacă un membru al familiei să grupeze bilețelele în „șiruri de rapoarte egale". Câștigă cine găsește cel mai repede toate grupele corecte.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă proporțiile (deja învățate) de ideea de proporționalitate care urmează. Scopul nu este memorarea formulei, ci înțelegerea ei: de ce „suma numărătorilor pe suma numitorilor" dă aceeași valoare.

Cum să predați:

• Începeți concret, cu o împărțire de bani sau bomboane „în raport" (de exemplu $2:3$). Lăsați copilul să descopere singur că fiecare „parte" valorează același lucru — acela este $k$.
• Insistați pe pasul $a=b\cdot k$: numărătorul se obține înmulțind numitorul cu valoarea comună. Multe greșeli dispar când acest pas e clar.
• Cereți mereu verificarea finală. Este cea mai bună plasă de siguranță și formează un obicei bun.

Întrebări utile de pus:

• „De ce avem voie să adunăm numărătorii între ei și numitorii între ei?" (Pentru că fiecare numărător este numitorul său înmulțit cu același $k$, iar la final $k$ se simplifică.)
• „Dacă în loc de sumă am avea diferența numerelor, ce schimbăm?" (Punem diferența și sus, și jos, în aceeași ordine.)
• „Cum verifici că rezultatul e corect?" (Reintroduci numerele și controlezi rapoartele și condiția dată.)

Cum verificați înțelegerea: dați un exercițiu nou cu trei numere și o sumă (sau o diferență) și urmăriți dacă elevul scrie corect șirul, calculează $k$ și verifică. Dacă greșește ordinea la diferență sau amestecă sus cu jos, reluați cu un desen cu „părți" egale. Pentru aprofundare, continuați cu mărimi direct proporționale.

Întrebări frecvente

Ce este un șir de rapoarte egale la clasa a 6-a? Este o egalitate de mai multe rapoarte, de forma $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$, în care toți numitorii sunt diferiți de zero. Toate rapoartele din șir au exact aceeași valoare, numită valoare comună. Practic, este o proporție „extinsă" la trei sau mai multe rapoarte.

Care este proprietatea șirului de rapoarte egale? Proprietatea spune că suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă tot valoarea comună: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$, cu condiția ca suma numitorilor să fie nenulă. Este unealta principală pentru a afla numere necunoscute când cunoști suma lor.

Cum aflu valoarea comună a rapoartelor? Dacă știi suma numerelor, împarți suma numărătorilor la suma numitorilor. Dacă știi un raport întreg (ambele numere), îl calculezi direct. Valoarea obținută, notată $k$, este aceeași pentru toate rapoartele din șir.

Cum aflu numerele dacă știu suma lor? Scrii șirul de rapoarte egale, afli valoarea comună $k$ cu proprietatea sumei, apoi înmulțești fiecare numitor cu $k$. De exemplu, pentru $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$ și $x+y=25$, ai $k=\frac{25}{5}=5$, deci $x=10$ și $y=15$.

Ce fac dacă în problemă apare o diferență, nu o sumă? Folosești aceeași idee, dar cu scădere: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$. Important este să păstrezi ordinea: la numărători $a-c$, la numitori $b-d$ (numitorii în aceeași ordine ca numărătorii).

Care e diferența dintre o proporție și un șir de rapoarte egale? O proporție leagă exact două rapoarte ($\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$), iar șirul de rapoarte egale leagă trei sau mai multe. Proprietatea fundamentală a proporției (produsul extremilor egal cu produsul mezilor) se aplică la perechi, iar proprietatea sumei numărătorilor pe suma numitorilor se aplică la întreg șirul.

Pot să simplific rapoartele înainte să lucrez? Da, simplificarea ajută la verificare, dar pentru aflarea numerelor folosești numitorii exact așa cum apar în problemă (ei sunt „părțile"). Simplifică pentru a verifica dacă rapoartele sunt într-adevăr egale, apoi aplică proprietatea pe forma cerută de enunț.

Unde folosesc șirul de rapoarte egale în viața reală? Îl folosești ori de câte ori împarți ceva „în raport": bani între parteneri, premii pe baza punctelor, ingrediente într-o rețetă, mărgele pe culori sau măsurile unghiurilor unui triunghi. Este și baza pentru mărimi direct proporționale și pentru regula de trei simplă.