Ce este modulul unui număr real?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Modulul unui număr real

Este numărul luat fără semn, adică depărtarea lui față de zero. Se scrie $∣ a ∣$ și se calculează astfel: numerele pozitive și zero rămân neschimbate, iar cele negative își schimbă semnul. Așa $∣9∣ = 9$ și $∣ - 9∣ = 9$ . Rezultatul nu poate fi niciodată negativ, iar zero este singurul număr cu modulul zero. Două numere opuse au același modul, iar modulul unui produs este produsul modulelor.

Modulul unui număr real $a$ , notat $∣ a ∣$ , arată cât de departe este $a$ de zero pe axa numerelor, fără să conteze semnul. Regula: $∣ a ∣ = a$ dacă $a \geq 0$ , și $∣ a ∣ = - a$ dacă $a < 0$ (adică luăm opusul lui, care devine pozitiv). De exemplu, $∣9∣ = 9$ , iar $∣ - 9∣ = 9$ — amândouă la fel de departe de zero.

Modulul e mereu $\geq 0$ și e $0$ doar pentru $a = 0$ . În plus, $∣ - a ∣ = ∣ a ∣$ (un număr și opusul lui au același modul) și $∣ a \cdot b ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ .

La ecuații de forma $∣ x ∣ = a$ : dacă $a > 0$ ai două soluții ( $x = a$ și $x = - a$ ); dacă $a = 0$ , o singură soluție ( $x = 0$ ); dacă $a < 0$ , nicio soluție, pentru că modulul nu poate fi negativ.

Exemplu: $∣ x ∣ = 5 \Rightarrow x \in {- 5, 5}$ .

De reținut

$∣ a ∣ = a$ pentru $a \geq 0$ și $∣ a ∣ = - a$ pentru $a < 0$
$∣ a ∣ \geq 0$ , cu egalitate doar pentru $a = 0$
$∣ - a ∣ = ∣ a ∣$ și $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$
$a^{2} = ∣ a ∣$

Greșeala tipică

Se rezolvă o ecuație în care modulul este egal cu un număr negativ. Nicio valoare nu duce acolo, fiindcă modulul nu coboară sub zero, deci ecuația nu are soluții.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $∣ - 23∣$ ?
- a) $- 23$
- b) $23$
- c) $0$
- d) $46$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $23$

Numărul $- 23$ este negativ, deci modulul lui este opusul său: $∣ - 23∣ = - (- 23) = 23$ . Modulul nu poate fi niciodată negativ.
Câte soluții are ecuația $∣ x ∣ = - 7$ ?
- a) O singură soluție
- b) Două soluții
- c) Nicio soluție
- d) Infinit de multe soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nicio soluție

Modulul este întotdeauna $\geq 0$ , deci nu poate fi egal cu $- 7$ . Ecuația nu are nicio soluție reală: $x \in \emptyset$ .
Cât este $∣ - 46∣$ ?
- a) $46$
- b) $36$
- c) $56$
- d) $- 46$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $46$

Numărul $- 46$ este negativ, deci modulul lui este opusul său: $∣ - 46∣ = - (- 46) = 46$ .

Întrebări conexe

De ce modulul se scrie între două bare verticale?

Barele arată că numărul dinăuntru este luat ca mărime, fără semn, la fel cum ghilimelele arată o citare. Semnul acesta a fost ales tocmai pentru că nu seamănă cu nimic altceva din calcul și se vede ușor într-o expresie lungă.

Ce înseamnă că modulul unui produs este produsul modulelor?

Înseamnă că poți lua modulul fiecărui factor înainte de a înmulți: $∣ (- 3) \cdot 4∣ = 3 \cdot 4 = 12$ . Regula ajută la calcule lungi, fiindcă scapi de semne de la început și lucrezi doar cu numere pozitive.

Se poate scoate modulul dintr-o sumă la fel ca dintr-un produs?

Nu se poate. La $∣ - 3 + 5∣$ iese 2, în timp ce $∣ - 3∣ + ∣5∣$ dă 8. Regula produsului nu se mută la adunare; ce rămâne adevărat este că modulul sumei nu întrece niciodată suma modulelor.

Ce valori poate lua x dacă modulul lui este mai mic decât 4?

Toate numerele dintre $- 4$ și 4, fără capete. Condiția spune că depărtarea de zero rămâne sub 4 unități, deci punctul stă undeva pe segmentul din jurul originii. Se scrie pe scurt $- 4 < x < 4$ .

Cum scriu modulul unei expresii cu literă, ca x minus 2?

Îl lași scris ca $∣ x - 2∣$ până afli semnul dinăuntru. Dacă $x$ trece de 2, parantezele se scot direct; dacă $x$ rămâne sub 2, expresia devine $2 - x$ . De aceea problemele cu modul se rezolvă pe cazuri.

Unde apare modulul mai departe, în liceu?

Apare la ecuații și inecuații cu module, la funcția care îi poartă numele și al cărei grafic are forma unei litere V, apoi la distanțe în plan și la limite. Ideea rămâne aceeași: mărimea contează, semnul nu.

Oamenii mai întreabă și: modulul unui număr real · valoarea absolută · cum se calculează modulul · proprietățile modulului · ecuația cu modul