Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: √(a²) = |a|

Imaginează-ți că un prieten îți spune: „Am ridicat un număr la pătrat și mi-a dat 25. Ce număr era?" Ai fi tentat să răspunzi rapid „5". Dar oare era chiar 5? Ar fi putut fi și $-5$, pentru că $(-5{)}^2=25$. Această mică nesiguranță ascunde una dintre cele mai importante idei ale acestei unități: atunci când extragem rădăcina pătrată dintr-un pătrat, rezultatul nu este întotdeauna numărul de la care am plecat, ci modulul lui. În lecția de față vei înțelege exact de ce $\sqrt{a^2}=|a|$ și cum să folosești corect această formulă în calcule, chiar și atunci când nu știi dacă numărul este pozitiv sau negativ.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici corect formula $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice număr real $a$.
• Vei ști să calculezi rădăcina pătrată a pătratului unui număr negativ și să obții un rezultat pozitiv.
• Vei ști să folosești modulul (valoarea absolută) ca „instrument" care garantează un rezultat pozitiv.
• Vei ști să simplifici expresii de forma $\sqrt{a^2}$ atunci când semnul lui $a$ nu este cunoscut dinainte.
• Vei ști să eviți greșeala clasică $\sqrt{a^2}=a$ și să explici de ce este incorectă.

Hai să descoperim împreună

Pasul 1: Ce înseamnă, de fapt, rădăcina pătrată

În lecțiile anterioare — Pătrate perfecte și rădăcina pătrată a unui pătrat perfect și Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural — ai lucrat cu numere naturale. Acum facem un pas mai departe și ne întrebăm ce se întâmplă când numărul de sub pătrat este negativ.

Să reamintim regula de bază. Rădăcina pătrată a unui număr pozitiv $x$, notată $\sqrt{x}$, este acel număr pozitiv care, ridicat la pătrat, dă $x$. De exemplu:

$$\sqrt{49}=7,\text{pentru ca˘ }{7}^2=49\text{ și }7>0.$$

Reține un cuvânt esențial din această definiție: pozitiv. Prin definiție, rezultatul unei rădăcini pătrate nu poate fi niciodată un număr negativ. Simbolul x​ „livrează" mereu un număr mai mare sau egal cu zero. Această regulă mică, aparent banală, este cheia întregii lecții.

Pasul 2: O întrebare care pare simplă, dar nu este

Să calculăm $\sqrt{9}$. Ușor: $\sqrt{9}=3$, fiindcă $3^2=9$ și $3$ este pozitiv.

Acum privește pătratul altfel. Știm că $9$ se poate scrie și ca $9=3^2$, dar și ca $9=(-3{)}^2$, deoarece un număr negativ ridicat la pătrat dă un rezultat pozitiv. Așadar apare o întrebare firească:

$$\sqrt{(-3{)}^2}=?$$

Un elev grăbit ar „simplifica" rădăcina cu pătratul și ar scrie $\sqrt{(-3{)}^2}=-3$. Este greșit! Hai să calculăm cinstit, pas cu pas, fără scurtături:

1. Mai întâi ridicăm la pătrat ce este în paranteză: $(-3{)}^2=(-3)\cdot (-3)=9$.
2. Abia apoi extragem rădăcina: $\sqrt{9}=3$.

Deci $\sqrt{(-3{)}^2}=3$, nu $-3$. Observă ce s-a întâmplat: am plecat de la $-3$, dar am ajuns la $+3$. Rădăcina „a șters" semnul minus.

De ce a dispărut minusul? Din două motive care se întâlnesc:

• Pătratul transformă orice număr negativ într-unul pozitiv (semnul se pierde la ridicarea la pătrat).
• Rădăcina are voie să dea doar rezultate pozitive.

Așadar, chiar dacă am plecat de la un număr negativ, drumul dus-întors prin „pătrat, apoi rădăcină" ne aduce înapoi la varianta pozitivă a numărului.

Pasul 3: De ce $\sqrt{a^2}$ nu este întotdeauna egal cu $a$

Să comparăm două situații una lângă alta, ca să vedem clar tiparul.

Cazul unui număr pozitiv, de exemplu $a=4$: $$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4.$$ Aici chiar am obținut înapoi numărul $4$. Deci pentru numere pozitive, $\sqrt{a^2}=a$. Totul e în ordine.

Cazul unui număr negativ, de exemplu $a=-4$: $$\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4.$$ Am plecat de la $-4$, dar am obținut $+4$. Deci de data aceasta $\sqrt{a^2}\ne a$, fiindcă $4\ne -4$.

Concluzia este importantă: egalitatea $\sqrt{a^2}=a$ funcționează doar pentru numere pozitive (și pentru zero), dar se strică pentru numere negative. Avem nevoie de o formulă care să meargă în ambele cazuri, indiferent de semnul lui $a$. Aici intră în scenă modulul.

Pasul 4: Reamintim ce este modulul (valoarea absolută)

Ai întâlnit modulul unui număr încă din clasa a VI-a și îl vei aprofunda în lecția Modulul (valoarea absolută) a unui număr real. Să ni-l reamintim, pentru că este vedeta lecției de azi.

Modulul unui număr real $a$, notat $|a|$, este „distanța" de la $0$ până la $a$ pe axa numerelor. Fiindcă o distanță nu poate fi negativă, modulul este întotdeauna pozitiv sau zero.

În practică, modulul se comportă foarte simplu: ia numărul și îi șterge semnul minus, dacă îl are.

• $|7|=7$ (era deja pozitiv, rămâne la fel);
• $|-7|=7$ (era negativ, i se șterge minusul);
• $|0|=0$.

Definiția riguroasă, pe cazuri, este: $$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{daca˘ }a\ge 0\\ -a,& \text{daca˘ }a<0\end{array}$$

Atenție la a doua linie! Când $a$ este negativ, scriem $|a|=-a$. Nu te speria de minusul din fața lui $a$: dacă $a$ este deja negativ, atunci $-a$ este pozitiv. De exemplu, pentru $a=-7$: $|a|=-a=-(-7)=7$. Minusul din formulă „anulează" minusul din numărul negativ și produce un rezultat pozitiv. Exact ce ne trebuie.

Pasul 5: Descoperim formula $\sqrt{a^2}=|a|$

Acum punem toate piesele împreună. Observația-cheie a fost:

• când $a$ este pozitiv, $\sqrt{a^2}=a$;
• când $a$ este negativ, $\sqrt{a^2}=-a$ (adică opusul lui, care este pozitiv).

Dar tocmai am văzut că exact așa se definește modulul: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Cele două comportamente coincid perfect! De aceea putem scrie o singură formulă care merge în orice caz:

$$\boxed{\sqrt{a^2}=|a|}$$

Aceasta este formula centrală a lecției. În cuvinte: rădăcina pătrată a pătratului unui număr este egală cu modulul acelui număr. Rezultatul este mereu pozitiv (sau zero), oricât de negativ ar fi numărul de la care am pornit.

Să verificăm formula pe exemplele deja lucrate:

• $\sqrt{(-3{)}^2}=|-3|=3$. ✓ (Corespunde cu calculul direct $\sqrt{9}=3$.)
• $\sqrt{4^2}=|4|=4$. ✓
• $\sqrt{(-4{)}^2}=|-4|=4$. ✓

Formula funcționează în toate situațiile. Fii atent: cât timp lucrezi doar cu numere naturale, așa cum ai făcut în lecția precedentă, modulul nici nu se vede, pentru că numerele naturale sunt deja pozitive și $|a|=a$. Modulul devine indispensabil abia acum, când sub pătrat poate sta orice număr real, inclusiv unul negativ sau o expresie al cărei semn nu-l cunoaștem.

Pasul 6: Aplicații când semnul lui $a$ nu este cunoscut dinainte

Adevărata putere a formulei $\sqrt{a^2}=|a|$ se vede atunci când sub pătrat nu avem un număr concret, ci o expresie cu literă, al cărei semn nu-l știm.

De exemplu, cât este $\sqrt{(x-5{)}^2}$? Am fi tentați să răspundem $x-5$, dar nu putem, pentru că nu știm dacă $x-5$ este pozitiv sau negativ. Aplicăm corect formula, punând expresia întreagă în modul:

$$\sqrt{(x-5{)}^2}=|x-5|.$$

Acesta este răspunsul corect și complet. Dacă ni se spune, în plus, cât este $x$, putem merge mai departe. Să presupunem că $x=2$:

$$|x-5|=|2-5|=|-3|=3.$$

Iar dacă $x=9$:

$$|x-5|=|9-5|=|4|=4.$$

Observă cum, pentru $x=2$, expresia $x-5$ era negativă, iar modulul i-a schimbat semnul. Pentru $x=9$, expresia era pozitivă, iar modulul a lăsat-o neschimbată. Formula se descurcă singură în ambele cazuri — de aceea este atât de utilă.

Pasul 7: Un tipar simetric frumos

Iată o observație care te ajută să eviți greșeli. Fie $a$ și $b$ două numere. Atunci:

$$\sqrt{(a-b{)}^2}=|a-b|\text{și}\sqrt{(b-a{)}^2}=|b-a|.$$

Dar $a-b$ și $b-a$ sunt numere opuse (unul este negativul celuilalt), iar numere opuse au același modul. De exemplu, pentru $a=5$ și $b=8$: $a-b=-3$ și $b-a=3$, iar $|-3|=|3|=3$. Prin urmare:

$$\sqrt{(a-b{)}^2}=\sqrt{(b-a{)}^2}.$$

Cu alte cuvinte, ordinea în care scazi nu contează sub un astfel de radical, pentru că modulul „egalizează" cele două variante. Vei folosi mai târziu exact această idee la distanța dintre două puncte din plan, unde distanța iese mereu pozitivă, indiferent de ordinea punctelor.

Pasul 8: Un tabel care lămurește totul

Uneori, cel mai clar mod de a înțelege o formulă este să o urmărești pe mai multe valori dintr-odată. Hai să construim un mic tabel în care pornim de la diverse valori ale lui $a$, calculăm $a^2$ și apoi $\sqrt{a^2}$, iar în ultima coloană scriem $|a|$. Vom vedea că ultimele două coloane sunt mereu identice.

Observă câteva lucruri importante din acest tabel:

• Coloana $\sqrt{a^2}$ și coloana $|a|$ coincid pe fiecare rând. Aceasta este chiar formula $\sqrt{a^2}=|a|$, verificată numeric.
• Toate valorile din coloana $\sqrt{a^2}$ sunt pozitive sau zero, indiferent dacă $a$ a fost pozitiv, negativ sau nul.
• Numerele opuse, precum $-9$ și $9$, dau exact același rezultat sub radical (ambele dau $9$). Rădăcina „nu-și amintește" cu ce semn a pornit.

Dacă vrei, poți continua tabelul cu alte valori alese de tine. Vei obține de fiecare dată același tipar: rezultatul din $\sqrt{a^2}$ este versiunea pozitivă a lui $a$.

Pasul 9: Legătura cu mulțimile de numere

Un ultim gând care leagă lecția de restul unității. În lecția precedentă, Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural, toate numerele de sub pătrat erau naturale, adică pozitive. De aceea nu ai avut nevoie de modul: pentru numere naturale, $|a|=a$, iar formula părea că spune pur și simplu $\sqrt{a^2}=a$.

Acum, când lucrăm în mulțimea numerelor întregi și, mai general, în mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ (pe care o vei studia pe larg la Mulțimea numerelor reale ℝ), sub pătrat pot apărea și numere negative. Exact aici modulul devine indispensabil. Reține deci ideea: modulul nu este o complicație inutilă, ci exact ceea ce face formula corectă pentru toate numerele reale, nu doar pentru cele pozitive. Este ca o umbrelă pe care o iei cu tine chiar și în zilele senine: nu strică niciodată, iar când plouă (adică atunci când $a$ este negativ) te salvează.

Pasul 10: Recapitulare vizuală a raționamentului

Hai să strângem totul într-un singur tablou de idei, ca să rămână limpede:

1. x​ dă mereu un rezultat $\ge 0$.
2. Pătratul șterge semnul: $(-a{)}^2=a^2$.
3. De aceea, drumul „pătrat apoi rădăcină" te aduce la varianta pozitivă a numărului.
4. Varianta pozitivă a unui număr se numește modul.
5. Concluzie: $\sqrt{a^2}=|a|$, mereu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rădăcina din pătratul unui număr negativ

Cerință: Calculează $\sqrt{(-8{)}^2}$.

Rezolvare: Metoda 1 (direct, prin calcul): $$(-8{)}^2=64,\text{apoi}\sqrt{64}=8.$$ Metoda 2 (cu formula): $\sqrt{(-8{)}^2}=|-8|=8$.

Ambele metode dau același rezultat. Răspuns: $8$.

Exemplul 2 — Comparăm două expresii

Cerință: Ce este mai mare: $\sqrt{(-10{)}^2}$ sau $\sqrt{9^2}$?

Rezolvare: $$\sqrt{(-10{)}^2}=|-10|=10,\sqrt{9^2}=|9|=9.$$ Cum $10>9$, rezultă că $\sqrt{(-10{)}^2}>\sqrt{9^2}$.

Răspuns: $\sqrt{(-10{)}^2}$ este mai mare (are valoarea $10$, față de $9$).

Exemplul 3 — Sumă de radicali

Cerință: Calculează $E=\sqrt{(-6{)}^2}+\sqrt{(-8{)}^2}-\sqrt{5^2}$.

Rezolvare: Aplicăm formula pe fiecare termen: $$\sqrt{(-6{)}^2}=|-6|=6,\sqrt{(-8{)}^2}=|-8|=8,\sqrt{5^2}=5.$$ Deci: $$E=6+8-5=9.$$

Răspuns: $E=9$.

Exemplul 4 — Cu numere raționale (fracții și zecimale)

Cerință: Calculează $\sqrt{{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}$ și $\sqrt{(-0,7{)}^2}$.

Rezolvare: Pentru fracție: $$\sqrt{{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}=\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}.$$ (Verificare: ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, iar $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$. ✓)

Pentru zecimală: $$\sqrt{(-0,7{)}^2}=|-0,7|=0,7.$$ (Verificare: $(-0,7{)}^2=0,49$, iar $\sqrt{0,49}=0,7$. ✓)

Răspuns: $\frac{2}{3}$ și, respectiv, $0,7$.

Exemplul 5 — Expresie cu semn necunoscut

Cerință: Scrie sub formă mai simplă $\sqrt{(x+2{)}^2}$, apoi calculează valoarea ei pentru $x=-5$.

Rezolvare: Fiindcă nu știm semnul lui $x+2$, folosim modulul: $$\sqrt{(x+2{)}^2}=|x+2|.$$ Pentru $x=-5$: $$|x+2|=|-5+2|=|-3|=3.$$

Răspuns: forma simplificată este $|x+2|$, iar pentru $x=-5$ valoarea este $3$.

Exemplul 6 — Justificare a unei afirmații

Cerință: Este adevărat că $\sqrt{(-15{)}^2}=-15$? Justifică.

Rezolvare: Nu. O rădăcină pătrată nu poate da niciodată un rezultat negativ, iar $-15$ este negativ. Corect este: $$\sqrt{(-15{)}^2}=|-15|=15.$$ Egalitatea $\sqrt{a^2}=a$ ar fi funcționat doar dacă $a$ ar fi fost pozitiv; aici $a=-15$ este negativ, deci trebuie folosit modulul.

Răspuns: Afirmația este falsă; valoarea corectă este $15$.

Exemplul 7 — Rezolvarea unei mici ecuații

Cerință: Găsește toate numerele reale $a$ pentru care $\sqrt{a^2}=6$.

Rezolvare: Formula ne spune că $\sqrt{a^2}=|a|$, deci ecuația devine $|a|=6$. Căutăm toate numerele aflate la distanța $6$ de zero pe axa numerelor. Există exact două: $a=6$ și $a=-6$. Verificăm: $$\sqrt{6^2}=\sqrt{36}=6✓,\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6✓.$$

Răspuns: $a=6$ sau $a=-6$. (Reține legătura cu lecția Ecuația de forma x² = a: și acolo apar de obicei două soluții opuse.)

Exemplul 8 — Combinație de operații

Cerință: Calculează $F=\frac{\sqrt{(-12{)}^2}}{\sqrt{(-4{)}^2}}-\sqrt{(-1{)}^2}$.

Rezolvare: Aplicăm formula pe fiecare radical, respectând ordinea operațiilor: $$\sqrt{(-12{)}^2}=12,\sqrt{(-4{)}^2}=4,\sqrt{(-1{)}^2}=1.$$ Atunci: $$F=\frac{12}{4}-1=3-1=2.$$

Răspuns: $F=2$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Verifică-te apoi la secțiunea „Răspunsuri și explicații". Exercițiile cresc treptat în dificultate.

1. Calculează $\sqrt{7^2}$.
2. Calculează $\sqrt{(-7{)}^2}$.
3. Calculează $\sqrt{(-13{)}^2}$.
4. Calculează $\sqrt{20^2}$.
5. Fără să ridici întâi la pătrat, spune cât este $\sqrt{(-1{)}^2}$.
6. Adevărat sau fals, cu motivare: $\sqrt{(-9{)}^2}=-9$.
7. Adevărat sau fals, cu motivare: pentru orice număr real $a$, avem $\sqrt{a^2}=a$.
8. Calculează $\sqrt{(-0,5{)}^2}$.
9. Calculează $\sqrt{{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}$.
10. Calculează $\sqrt{(-11{)}^2}+\sqrt{4^2}$.
11. Calculează $\sqrt{(-10{)}^2}-\sqrt{(-6{)}^2}$.
12. Calculează $\sqrt{(-1{)}^2}+\sqrt{(-2{)}^2}+\sqrt{(-3{)}^2}+\sqrt{(-4{)}^2}$.
13. Completează cu semnul corect ($<$, $>$ sau $=$): $\sqrt{(-12{)}^2}\square \sqrt{12^2}$.
14. Se știe că $a=-6$. Cât este $\sqrt{a^2}$?
15. Scrie sub formă mai simplă (cu modul) expresia $\sqrt{(x-4{)}^2}$, apoi calculează valoarea ei pentru $x=1$.
16. Dacă $a<0$, cu ce este egal $\sqrt{a^2}$: cu $a$ sau cu $-a$? Motivează.
17. Găsește toate numerele întregi $a$ pentru care $\sqrt{a^2}=8$.
18. Arată, printr-un exemplu numeric cu $a=3$ și $b=7$, că $\sqrt{(a-b{)}^2}=\sqrt{(b-a{)}^2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $7$. Numărul este deja pozitiv: $\sqrt{7^2}=|7|=7$.
2. $7$. $\sqrt{(-7{)}^2}=|-7|=7$. Am plecat de la $-7$, dar rezultatul e pozitiv.
3. $13$. $\sqrt{(-13{)}^2}=|-13|=13$. (Verificare: $(-13{)}^2=169$, $\sqrt{169}=13$.)
4. $20$. $\sqrt{20^2}=|20|=20$.
5. $1$. $\sqrt{(-1{)}^2}=|-1|=1$. Rădăcina dă mereu un rezultat pozitiv.
6. Fals. O rădăcină pătrată nu poate fi negativă. Corect: $\sqrt{(-9{)}^2}=|-9|=9$.
7. Fals. Egalitatea merge doar pentru $a\ge 0$. Pentru numere negative, de exemplu $a=-2$, avem $\sqrt{(-2{)}^2}=2\ne -2$. Formula corectă, valabilă mereu, este $\sqrt{a^2}=|a|$.
8. $0,5$. $\sqrt{(-0,5{)}^2}=|-0,5|=0,5$. (Verificare: $(-0,5{)}^2=0,25$, $\sqrt{0,25}=0,5$.)
9. $\frac{3}{4}$. $\sqrt{{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}=\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$. (Verificare: ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$, $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$.)
10. $15$. $\sqrt{(-11{)}^2}+\sqrt{4^2}=11+4=15$.
11. $4$. $\sqrt{(-10{)}^2}-\sqrt{(-6{)}^2}=10-6=4$.
12. $10$. $|-1|+|-2|+|-3|+|-4|=1+2+3+4=10$.
13. $=$. $\sqrt{(-12{)}^2}=12$ și $\sqrt{12^2}=12$, deci sunt egale: $12=12$.
14. $6$. $\sqrt{a^2}=|a|=|-6|=6$.
15. $|x-4|$; pentru $x=1$ valoarea este $3$. Avem $\sqrt{(x-4{)}^2}=|x-4|$, iar $|1-4|=|-3|=3$.
16. Cu $-a$. Dacă $a<0$, atunci $\sqrt{a^2}=|a|=-a$. Fiindcă $a$ este negativ, $-a$ este pozitiv, exact cum trebuie să fie rezultatul unei rădăcini. (Exemplu: $a=-6\Rightarrow -a=6$.)
17. $a=8$ sau $a=-8$. Căutăm numerele cu $|a|=8$; există două: $8$ și $-8$, pentru că $\sqrt{8^2}=8$ și $\sqrt{(-8{)}^2}=8$.
18. $a-b=3-7=-4$, deci $\sqrt{(-4{)}^2}=|-4|=4$. $b-a=7-3=4$, deci $\sqrt{4^2}=|4|=4$. Ambele dau $4$, prin urmare $\sqrt{(a-b{)}^2}=\sqrt{(b-a{)}^2}$.

De reținut

• Formula centrală: $\sqrt{a^2}=|a|$, pentru orice număr real $a$. Rezultatul este întotdeauna pozitiv sau zero.
• Rădăcina pătrată nu dă niciodată un rezultat negativ. Simbolul x​ „livrează" mereu un număr $\ge 0$.
• Modulul șterge semnul: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Iar $-a$ (când $a$ e negativ) este pozitiv.
• $\sqrt{a^2}=a$ doar când $a\ge 0$. Pentru numere negative folosește obligatoriu modulul.
• Când sub pătrat stă o expresie cu literă al cărei semn nu-l știi, scrie răspunsul cu modul: $\sqrt{(x-5{)}^2}=|x-5|$.

Greșeli frecvente

• „Simplific" rădăcina cu pătratul și scriu $\sqrt{a^2}=a$. Este greșit pentru numere negative: $\sqrt{(-5{)}^2}=5$, nu $-5$. Corect este mereu $\sqrt{a^2}=|a|$. Reține: pătratul și rădăcina nu se „anulează" pur și simplu când numărul poate fi negativ.
• Cred că o rădăcină poate da un rezultat negativ. Nu poate. Dacă îți iese un răspuns negativ la o rădăcină pătrată, sigur ai greșit undeva. Rezultatul lui x​ este mereu $\ge 0$.
• Mă sperie minusul din formula $|a|=-a$. Pare că dă un rezultat negativ, dar nu-i așa: acea linie se folosește doar când $a$ este deja negativ, iar $-a$ devine atunci pozitiv. Exemplu: $a=-6\Rightarrow -a=6$.
• Scriu $\sqrt{(x-5{)}^2}=x-5$ fără modul. Fără să știi semnul lui $x-5$, nu ai voie. Răspunsul corect este $|x-5|$; abia dacă ți se dă valoarea lui $x$, calculezi mai departe.

Aplică acasă

1. Jocul „ghicește numărul de plecare". Cere unui coleg sau părinte să aleagă în gând un număr întreg (pozitiv sau negativ), să-l ridice la pătrat și să-ți spună doar rezultatul, de exemplu $36$. Tu calculezi $\sqrt{36}=6$, dar explică-i de ce numărul lui putea fi și $6$, și $-6$. Repetă cu mai multe numere și discutați de ce rădăcina „nu-și amintește" semnul de la început.
2. Tabelul modulelor. Fă un tabel cu trei coloane: numărul $a$, pătratul $a^2$ și $\sqrt{a^2}$. Completează-l pentru $a\in \{-4,-1,5,0,2,5\}$. Observă că ultima coloană coincide mereu cu $|a|$ și că este mereu pozitivă sau zero.
3. Vânătoarea de erori. Scrie trei egalități, dintre care două corecte și una greșită (de exemplu $\sqrt{(-4{)}^2}=-4$), amestecă-le și roagă pe cineva din familie să găsească intrusul. Explică apoi de ce este greșit, folosind formula $\sqrt{a^2}=|a|$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează o idee subtilă, care generează multe greșeli chiar și la elevii buni: rădăcina pătrată a unui pătrat nu „redă" numărul inițial, ci modulul lui. Sprijinul cel mai eficient este să insistați pe calculul în doi pași (întâi pătratul, apoi rădăcina), pentru ca elevul să vadă cu ochii lui cum dispare semnul minus, în loc să aplice mecanic o „simplificare".

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Cât este $\sqrt{(-5{)}^2}$ și de ce nu $-5$?" (Răspuns așteptat: $5$, pentru că rădăcina dă mereu un rezultat pozitiv.)
• „Când este adevărat că $\sqrt{a^2}=a$?" (Doar când $a\ge 0$.)
• „Cu ce este egal $\sqrt{(x-3{)}^2}$ dacă nu știm semnul lui $x-3$?" (Cu $|x-3|$.)

Semnul că elevul a înțeles cu adevărat: explică singur de ce rezultatul e pozitiv, nu doar dă răspunsul corect. Dacă mai apar confuzii cu modulul, reluați împreună lecția Modulul (valoarea absolută) a unui număr real.

Întrebări frecvente

De ce √(a²) este egal cu modulul lui a, nu cu a? Pentru că rădăcina pătrată dă întotdeauna un rezultat pozitiv sau zero, iar dacă $a$ este negativ, rezultatul nu poate fi $a$ (care e negativ). Modulul $|a|$ păstrează valoarea, dar face semnul pozitiv, așa că se potrivește în orice caz. Pe scurt, $\sqrt{a^2}=|a|$ funcționează și pentru numere pozitive, și pentru numere negative.

Cât este √((-5)²) la clasa a 7-a? Este $5$. Calculezi întâi $(-5{)}^2=25$, apoi $\sqrt{25}=5$. Sau, direct cu formula: $\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$. Rezultatul este pozitiv, chiar dacă am plecat de la un număr negativ.

Când pot scrie √(a²) = a fără modul? Doar atunci când știi sigur că $a$ este pozitiv sau zero (adică $a\ge 0$). În acest caz $|a|=a$, deci formula se simplifică. Dacă $a$ poate fi negativ sau nu-i cunoști semnul, trebuie să păstrezi modulul: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Poate rezultatul unei rădăcini pătrate să fie negativ? Nu. Prin definiție, x​ dă mereu un număr mai mare sau egal cu zero. Dacă îți iese un răspuns negativ la o rădăcină pătrată, este semn că ai greșit calculul undeva.

Ce fac cu √((x-2)²) dacă nu știu cât este x? Scrii răspunsul cu modul: $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$. Aceasta este forma corectă și completă. Dacă ți se dă mai târziu valoarea lui $x$, înlocuiești și calculezi modulul (de exemplu, pentru $x=-1$: $|-1-2|=|-3|=3$).

De ce în formula modulului apare $-a$ pentru numere negative? Pentru că, atunci când $a$ este negativ, $-a$ devine pozitiv. De exemplu, dacă $a=-6$, atunci $-a=-(-6)=6$. Minusul din formulă „anulează" minusul numărului negativ, iar rezultatul iese pozitiv, exact cum cere modulul.

Care este diferența dintre √(a²) și (√a)²? Sunt lucruri diferite. $\sqrt{a^2}=|a|$ funcționează pentru orice număr real $a$ și dă mereu un rezultat pozitiv. În schimb, $(\sqrt{a}{)}^2=a$ are sens doar când $a\ge 0$, pentru că nu putem extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ. Ordinea operațiilor schimbă complet situația.

Formula √(a²) = |a| se cere la evaluarea de clasa a 7-a? Da, face parte din programa clasei a VII-a, la unitatea despre rădăcina pătrată. Este o proprietate des întâlnită în teste și în exerciții cu radicali, mai ales în combinație cu modulul și cu operațiile pe care le vei învăța la scoaterea factorilor de sub radical.