Care dintre următoarele mulțimi conține doar numere întregi? a) $$\{5, -3, 2{,}5, 0\}$$ b) $$\{-7, 0, 12, -1\}$$ c) $$\{-4, \tfrac{1}{2}, 8, -9\}$$ d) $$\{3{,}1, -6, 0, 7\}$$

$$\{-4, \tfrac{1}{2}, 8, -9\}$$

Ce sunt numerele întregi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mulțimea ℤ și axa numerelor

Numerele întregi sunt numerele naturale împreună cu opusele lor negative, strânse în mulțimea notată $Z$ : $\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots$ . Ele se împart în pozitive, negative și numărul $0$ , care nu face parte din niciuna dintre cele două grupe. Fracțiile și zecimalele nu intră aici, deci $2, 5$ nu este întreg. Pe axă ele se așază din unitate în unitate, iar cel aflat mai la dreapta este mai mare.

Mulțimea numerelor întregi $Z$ este formată din toate numerele naturale (0, 1, 2, 3, ...) împreună cu opusele lor negative (−1, −2, −3, ...): $Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}$ , o mulțime infinită în ambele sensuri. Numerele întregi sunt de trei feluri: pozitive $Z^{+} = {1, 2, 3, ...}$ , negative $Z^{-} = {- 1, - 2, - 3, ...}$ și numărul 0, care nu este nici pozitiv, nici negativ. Orice număr natural este și întreg, deci $N \subset Z$ , dar nu invers (de exemplu $- 5$ este întreg, dar nu natural). Pe axa numerelor alegem o origine (0), o unitate de măsură egală și un sens pozitiv (spre dreapta); numerele cresc spre dreapta și scad spre stânga. Exemplu rezolvat: pentru a reprezenta $- 4$ , pornim din 0 și numărăm 4 unități spre stânga. Regulă esențială: cu cât un număr e mai la dreapta pe axă, cu atât e mai mare, chiar și la negative — de exemplu $- 2 > - 6$ .

De reținut

$Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ , infinită în ambele sensuri
$0$ nu este nici pozitiv, nici negativ
orice natural este întreg: $N \subset Z$

Greșeala tipică

Se compară numerele negative după cifre și se scrie că $- 6$ este mai mare decât $- 2$ ; pe axă $- 6$ stă mai la stânga, deci este mai mic, chiar dacă modulul lui este mai mare.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele mulțimi conține doar numere întregi?

a) ${5, - 3, 2, 5, 0}$ b) ${- 7, 0, 12, - 1}$ c) ${- 4, \frac{1}{2}, 8, - 9}$ d) ${3, 1, - 6, 0, 7}$
- a) ${5, - 3, 2, 5, 0}$
- b) ${- 7, 0, 12, - 1}$
- c) ${- 4, \frac{1}{2}, 8, - 9}$
- d) ${3, 1, - 6, 0, 7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 7, 0, 12, - 1}$

Un număr este întreg dacă este natural sau opusul unui natural, deci fără virgulă și fără fracție. La a) apare $2, 5$ (virgulă), la c) apare $\frac{1}{2}$ (fracție), la d) apare $3, 1$ (virgulă) — toate au elemente care nu sunt întregi. Doar mulțimea b) ${- 7, 0, 12, - 1}$ conține exclusiv numere întregi (naturale sau negative).
Care dintre afirmațiile despre numerele întregi este adevărată?

a) $- 8 > - 2$ b) $- 15 < - 20$ c) $- 6 < - 1$ d) $0 < - 3$
- a) $- 8 > - 2$
- b) $- 15 < - 20$
- c) $- 6 < - 1$
- d) $0 < - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 6 < - 1$

Pe axa numerelor, numărul așezat mai la dreapta este întotdeauna mai mare. $- 6$ este mai la stânga decât $- 1$ , deci $- 6 < - 1$ (afirmația c este adevărată). La a), $- 8$ este mai la stânga decât $- 2$ , deci $- 8 < - 2$ , nu $>$ . La b), $- 15$ este mai la dreapta decât $- 20$ , deci $- 15 > - 20$ , nu $<$ . La d), $0$ este întotdeauna mai mare decât orice număr negativ, deci $0 > - 3$ , nu $<$ .
Care dintre următoarele mulțimi conține doar numere întregi?
- a) ${- 2, 4, 6, 5, 0}$
- b) ${- 10, 3, - 1, 8}$
- c) ${5, \frac{1}{3}, - 2, 9}$
- d) ${7, 2, - 3, 0, 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 10, 3, - 1, 8}$

Un număr este întreg dacă este natural sau opusul unui natural, deci fără virgulă și fără fracție. La a) apare $6, 5$ (virgulă), la c) apare $\frac{1}{3}$ (fracție), la d) apare $7, 2$ (virgulă) — toate au elemente care nu sunt întregi. Doar mulțimea b) ${- 10, 3, - 1, 8}$ conține exclusiv numere întregi.

Întrebări conexe

Ce sens are săgeata desenată la capătul axei numerelor?

Arată sensul în care numerele cresc, adică spre dreapta. Împreună cu originea și cu unitatea de măsură, săgeata este a treia informație de care ai nevoie ca să construiești axa. Fără ea nu s-ar ști în ce parte se scriu numerele pozitive.

Ce este opusul unui număr întreg?

Este numărul aflat de cealaltă parte a lui zero, la aceeași depărtare. Opusul lui $7$ este $- 7$ , iar opusul lui $- 7$ este $7$ . Zero este propriul lui opus. Adunând un număr cu opusul lui obții întotdeauna zero, ceea ce se folosește la rezolvarea ecuațiilor.

Cum ordonez crescător numere întregi pozitive și negative?

Le așezi mental pe axă și le citești de la stânga la dreapta. Toate negativele stau înaintea lui zero, iar dintre ele cea cu modulul mai mare este mai mică. Astfel $- 9, - 2, 0, 3, 8$ este ordinea crescătoare corectă a acestor cinci numere.

Ce înseamnă că mulțimea numerelor întregi nu are capăt?

Înseamnă că oricât de mare ai alege un număr, adunând $1$ obții altul mai mare, iar scăzând $1$ obții mereu unul mai mic. Șirul continuă la nesfârșit în ambele direcții, motiv pentru care scrierea mulțimii începe și se termină cu puncte de suspensie.

Cum se notează mulțimea numerelor întregi fără zero?

Se scrie $Z^{*}$ , steluța arătând că numărul $0$ a fost scos. La fel se marchează și celelalte mulțimi din care se exclude zero. Notația apare des la împărțire, unde împărțitorul trebuie luat dintr-o mulțime fără acest element.

Cum aleg unitatea de măsură când desenez axa numerelor?

O alegi potrivită cu numerele pe care vrei să le reprezinți și o păstrezi aceeași pe toată axa. Pentru valori între $- 10$ și $10$ merge un pătrățel pentru fiecare unitate. Distanțele inegale ar strica ordinea și ar face comparațiile imposibile.

Oamenii mai întreabă și: mulțimea numerelor întregi · ce înseamnă numere întregi · numere negative și pozitive · numerele întregi pe axă