Numărul rațional pozitiv; ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive

Până acum ai lucrat separat cu numere naturale, cu fracții ordinare și cu fracții zecimale. A venit momentul să le aducem pe toate sub același acoperiș și să le dăm un nume comun: numere raționale pozitive. În această lecție vei descoperi că un întreg, o fracție și un număr zecimal sunt, de fapt, „rude apropiate", iar regula care le pune în ordine atunci când calculezi este aceeași pe care o știi de la numerele naturale. Hai să o stăpânim până la capăt!

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce este un număr rațional pozitiv și să dai exemple sub formă de fracție ordinară sau zecimală.
• Vei ști să recunoști că același număr rațional poate fi scris în mai multe feluri (fracție ordinară, fracție zecimală, întreg).
• Vei ști să respecți ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive: paranteze, puteri, înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi.
• Vei ști să rezolvi calcule în mai mulți pași, fără să te grăbești și fără să sari peste reguli.
• Vei ști să folosești proprietățile operațiilor ca să calculezi mai repede și mai sigur.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „număr rațional pozitiv"

Gândește-te la o pizza împărțită în felii. Dacă iei toată pizza, ai un întreg: numărul natural 1. Dacă iei jumătate, ai fracția $\frac{1}{2}$. Dacă ai vrea să scrii aceeași jumătate ca număr zecimal, ai scrie $0,5$. Toate aceste scrieri vorbesc despre cantități pe care le poți obține împărțind ceva în părți egale.

Tocmai aici stă ideea cheie a lecției:

Un număr rațional pozitiv este orice număr care poate fi scris ca o fracție ordinară pozitivă $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale, iar $b\ne 0$.

De ce „rațional"? Cuvântul vine de la „rație", adică „raport, împărțire". Un număr rațional este, la bază, rezultatul unei împărțiri. „Pozitiv" înseamnă că în clasa a V-a lucrăm doar cu numere mai mari sau egale cu zero (numerele negative vin la anul).

Partea frumoasă este că același număr rațional are mai multe haine:

• ca fracție ordinară: $\frac{3}{4}$;
• ca fracție zecimală: $0,75$;
• iar un număr natural este și el rațional, fiindcă $5=\frac{5}{1}$.

Așadar, mulțimea numerelor naturale $\mathbb{N}$ se află „înăuntrul" mulțimii numerelor raționale pozitive: orice număr natural este și rațional, dar nu orice rațional este natural (de exemplu $\frac{1}{2}$ nu este număr natural).

Aceeași valoare, mai multe scrieri

Pentru că un număr rațional poate purta haine diferite, este foarte util să știi să treci dintr-o formă în alta. Ai învățat deja aceste transformări în lecțiile anterioare; aici doar le folosim împreună.

• Din fracție ordinară în zecimală împarți numărătorul la numitor: $\frac{3}{4}=3:4=0,75$. (Revezi, dacă vrei, lecția „Transformarea fracției ordinare în zecimală; periodicitate; fracții zecimale periodice".)
• Din fracție zecimală finită în fracție ordinară scrii cifrele fără virgulă la numărător și o putere a lui 10 la numitor: $0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. (Vezi „Transformarea unei fracții zecimale finite în fracție ordinară".)

De ce contează asta când calculăm? Pentru că uneori îți este mai ușor să lucrezi cu zecimale (la adunări și scăderi), iar alteori cu fracții ordinare (când apar împărțiri care nu „ies frumos"). Tu alegi haina cea mai comodă pentru calcul.

De ce avem nevoie de o ordine a operațiilor

Hai să facem un experiment. Calculează expresia $2+3\times 4$.

Dacă aduni întâi $2+3=5$ și apoi înmulțești cu $4$, obții $20$. Dacă, în schimb, înmulțești întâi $3\times 4=12$ și apoi aduni $2$, obții $14$. Două rezultate diferite pentru același șir de semne! Asta nu poate fi acceptat în matematică: o expresie trebuie să aibă un singur rezultat corect.

De aceea matematicienii s-au înțeles asupra unei reguli unice, valabilă în toată lumea. Vestea bună este că această regulă este exact aceeași pe care ai folosit-o la numere naturale, în lecția „Ordinea efectuării operațiilor. Paranteze rotunde, pătrate și acolade". Singura noutate este că acum numerele din calcul pot fi fracții sau zecimale. Regula nu se schimbă deloc!

Cele patru trepte ale ordinii operațiilor

Ține minte aceste patru trepte, în această ordine, de sus în jos:

1. Parantezele — întâi se rezolvă ce este în interiorul parantezelor. Mai întâi cele rotunde $()$, apoi cele pătrate $[]$, apoi acoladele $\{\}$.
2. Ridicarea la putere — apoi se calculează puterile (pătrate, cuburi etc.).
3. Înmulțirile și împărțirile — în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
4. Adunările și scăderile — la final, tot de la stânga la dreapta.

Foarte important: la treapta 3, înmulțirea și împărțirea au aceeași putere. Nu faci toate înmulțirile și apoi toate împărțirile, ci le iei în ordinea în care le întâlnești citind de la stânga la dreapta. La fel și la treapta 4 cu adunarea și scăderea.

O propoziție-trucă pe care o poți memora: „Pa-Pu-Î-A" — Paranteze, Puteri, Împărțiri/înmulțiri, Adunări/scăderi.

Pas cu pas, cu numere raționale

Hai să aplicăm treptele pe o expresie simplă cu zecimale: $$0,5+0,2\times 3.$$

• Treapta 1 (paranteze): nu avem paranteze. Trecem mai departe.
• Treapta 2 (puteri): nu avem puteri. Trecem mai departe.
• Treapta 3 (înmulțiri/împărțiri): avem $0,2\times 3=0,6$. Expresia devine $0,5+0,6$.
• Treapta 4 (adunări/scăderi): $0,5+0,6=1,1$.

Rezultat: $1,1$. Observă cum am rezolvat înmulțirea înaintea adunării, chiar dacă adunarea era scrisă prima. Asta face ordinea operațiilor.

Acum una cu fracții ordinare: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}.$$

• Treapta 3 întâi (împărțirea): $\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Am folosit inversa fracției, cum ai învățat la „Împărțirea fracțiilor. Inversa (răsturnata) unei fracții".
• Treapta 4 (adunarea): $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Rezultat: $1$. Frumos, nu? Numărul rațional final a ieșit chiar un întreg.

Atenție la puteri și la paranteze

Puterile sunt pe treapta a doua, deci se calculează înaintea înmulțirilor. Privește: $$2\times 0,3^2.$$

Mulți elevi se grăbesc și înmulțesc $2\times 0,3=0,6$ și apoi ridică la pătrat. Greșit! Puterea se aplică doar bazei $0,3$, nu și factorului $2$. Corect:

• Treapta 2: $0,3^2=0,3\times 0,3=0,09$.
• Treapta 3: $2\times 0,09=0,18$.

Rezultat: $0,18$.

Dacă vrei ca puterea să se aplice la tot, trebuie să pui paranteză: $(2\times 0,3{)}^2=0,6^2=0,36$. Vezi cum paranteza schimbă totul? Ea „prinde" mai întâi produsul, apoi îl ridică la putere.

Calcul rapid cu proprietățile operațiilor

Ordinea operațiilor îți spune când ai voie să faci ceva, dar proprietățile operațiilor te ajută să faci acel ceva mai inteligent. Iată cele mai utile, valabile și pentru numere raționale pozitive:

• Comutativitatea adunării și a înmulțirii: poți schimba ordinea termenilor sau a factorilor. $0,25+0,9+0,75=(0,25+0,75)+0,9=1+0,9=1,9$. Am grupat întâi numerele care dau un întreg rotund.
• Asociativitatea: poți grupa termenii cum îți convine. $\frac{1}{4}\times 7\times 4=\left(\frac{1}{4}\times 4\right)\times 7=1\times 7=7$.
• Distributivitatea înmulțirii față de adunare/scădere: $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$. De exemplu $0,5\times (8+6)=0,5\times 14=7$, dar și $0,5\times 8+0,5\times 6=4+3=7$. Folosește varianta care îți pică mai ușor.
• Element neutru: adunarea cu $0$ nu schimbă nimic, iar înmulțirea cu $1$ nu schimbă nimic. Înmulțirea cu $0$ dă mereu $0$.

Aceste proprietăți nu „rup" ordinea operațiilor — ele lucrează în interiorul aceleiași trepte, ca să-ți ușureze munca. (Ai mai folosit factorul comun și la numere naturale, în „Factorul comun: scoaterea și darea în factor comun".)

Hai să vedem de ce ne ajută atât de mult. Imaginează-ți că trebuie să calculezi $0,5\times 9+0,5\times 11$. Dacă ai face fiecare înmulțire pe rând, ai obține $4,5+5,5=10$. Corect, dar puțin obositor. Cu distributivitatea „pe dos" (adică dând factorul comun în față) observi că $0,5$ apare la ambele produse, deci $0,5\times 9+0,5\times 11=0,5\times (9+11)=0,5\times 20=10$. Ai înlocuit două înmulțiri grele cu una singură, ușoară. Cu cât numerele sunt mai urâte, cu atât trucul este mai prețios.

Numere raționale în viața de zi cu zi

Poate te întrebi de ce ne batem capul cu toate aceste reguli. Răspunsul este simplu: numerele raționale pozitive sunt peste tot în jurul tău, iar de fiecare dată când le combini ai nevoie de ordinea operațiilor.

• La cumpărături, când plătești $3$ produse de $2,5$ lei și $2$ produse de $4,9$ lei, calculezi $3\times 2,5+2\times 4,9$ — exact o expresie cu prioritatea înmulțirii.
• În sport, când afli media a trei timpi sau procentul de aruncări reușite la baschet, lucrezi cu fracții și zecimale.
• În bucătărie, când dublezi o rețetă care cere $\frac{3}{4}$ de cană de făină, înmulțești o fracție cu un număr.
• În tehnologie, când un fișier de $0,5$ GB se descarcă cu $0,2$ GB pe minut, împarți zecimale ca să afli timpul.

În toate aceste situații, dacă greșești ordinea operațiilor, greșești și rezultatul real — plătești prost, calculezi greșit media sau ratezi rețeta. De aceea merită să stăpânești bine regula.

Un mic plan pe care îl poți urma mereu

Ori de câte ori vezi o expresie lungă, respiră adânc și fă așa:

1. Citește toată expresia până la capăt înainte să calculezi.
2. Subliniază parantezele și rezolvă-le pe rând, dinăuntru spre afară.
3. Calculează puterile rămase.
4. Fă înmulțirile și împărțirile de la stânga la dreapta.
5. Fă adunările și scăderile de la stânga la dreapta.
6. Verifică: are sens rezultatul? Poți estima rapid?

Când în aceeași expresie apar și fracții, și zecimale

Uneori vei întâlni o expresie în care o parte este scrisă cu fracție ordinară, iar altă parte cu zecimală, de exemplu $\frac{1}{2}+0,25\times 2$. Nu te speria: regula treptelor rămâne neschimbată, doar că, înainte de a aduna sau scădea, este înțelept să aduci toate numerele la aceeași haină.

Ai două variante și amândouă sunt corecte:

• Treci totul în zecimale. $\frac{1}{2}$ devine $0,5$, iar expresia se transformă în $0,5+0,25\times 2=0,5+0,5=1$.
• Treci totul în fracții ordinare. $0,25$ devine $\frac{1}{4}$, iar expresia devine $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Cum alegi? Întreabă-te ce numere apar. Dacă fracțiile sunt „prietenoase" cu zecimalele (jumătăți, sferturi, zecimi), trecerea în zecimale este de obicei cea mai rapidă. Dacă, în schimb, apar numitori precum $3$, $6$ sau $7$, care dau zecimale periodice urâte, este mult mai sigur să rămâi în fracții ordinare. Important este ca, în momentul în care aduni sau scazi, numerele să fie în aceeași formă, ca să nu greșești.

Estimează înainte și verifică după

Un calculator bun nu doar calculează — el și bănuiește dinainte cam cât ar trebui să iasă. Această deprindere se numește estimare și te salvează de greșeli mari. Înainte să începi, rotunjește numerele și fă un calcul „din cap".

Să luăm expresia $4,9+3,1\times 2$. Rotunjind, $4,9$ este aproape $5$, iar $3,1\times 2$ este aproape $6$, deci răspunsul ar trebui să fie pe undeva pe la $11$. Acum calculezi exact: $3,1\times 2=6,2$, apoi $4,9+6,2=11,1$. Perfect — răspunsul exact $11,1$ este foarte aproape de estimarea $11$, deci avem încredere că am respectat ordinea.

Dacă ai fi greșit ordinea și ai fi adunat întâi, ai fi obținut $(4,9+3,1)\times 2=8\times 2=16$, mult departe de estimarea ta de $11$. Vezi cum estimarea „trage un semnal de alarmă" când rezultatul nu are sens? De aceea, la fiecare expresie, fă acest mic ritual: estimează întâi, calculează apoi, compară la final.

Acum că ai harta, hai să mergem prin câteva exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Înmulțire înaintea adunării (zecimale)

Calculează: $3,2+1,5\times 4$.

Rezolvare. Nu avem paranteze și nici puteri, deci începem cu treapta a treia.

• Înmulțirea: $1,5\times 4=6$.
• Expresia devine $3,2+6$.
• Adunarea: $3,2+6=9,2$.

Răspuns: $9,2$. Reține: deși adunarea era scrisă prima, înmulțirea „are prioritate".

Exemplul 2 — Putere, apoi înmulțire, apoi scădere

Calculează: $5-2\times 0,1^2$.

Rezolvare. Mergem pe trepte.

• Treapta 2 (puterea): $0,1^2=0,1\times 0,1=0,01$.
• Treapta 3 (înmulțirea): $2\times 0,01=0,02$.
• Treapta 4 (scăderea): $5-0,02=4,98$.

Răspuns: $4,98$. Atenție, puterea s-a aplicat doar lui $0,1$, nu și lui $2$.

Exemplul 3 — Paranteze cu fracții ordinare

Calculează: $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\times 8$.

Rezolvare.

• Treapta 1 (paranteza): aducem fracțiile la numitor comun $4$. Avem $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, deci $\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$.
• Treapta 3 (înmulțirea): $\frac{1}{4}\times 8=\frac{8}{4}=2$.

Răspuns: $2$. Numărul rațional final este chiar un număr natural.

Exemplul 4 — Mai multe trepte amestecate

Calculează: $0,5\times 6+12:0,4$.

Rezolvare. Avem două operații de treapta a treia (o înmulțire și o împărțire) și o adunare de treapta a patra. Facem întâi treapta 3, de la stânga la dreapta.

• $0,5\times 6=3$.
• $12:0,4=30$. (Împărțirea la $0,4$ înseamnă „de câte ori încape $0,4$ în $12$": $12:0,4=120:4=30$.)
• Treapta 4 (adunarea): $3+30=33$.

Răspuns: $33$.

Exemplul 5 — Calcul rapid cu proprietăți

Calculează inteligent: $0,8\times 25\times 0,5$.

Rezolvare. Toate sunt înmulțiri (treapta 3), deci putem folosi comutativitatea și asociativitatea ca să grupăm convenabil.

• $0,8\times 0,5=0,4$.
• $0,4\times 25=10$.

Alternativ, $25\times 0,8=20$ și $20\times 0,5=10$. Oricum am grupa, răspunsul e același.

Răspuns: $10$. Proprietățile ne-au scutit de calcule grele.

Exemplul 6 — Expresie completă cu acolade

Calculează: $\left\{2,5+\left[3\times (0,6+0,4)-0,5\right]\right\}:5$.

Rezolvare. Pornim din interior spre exterior.

• Paranteza rotundă: $0,6+0,4=1$.
• Înmulțirea din paranteza pătrată: $3\times 1=3$.
• Scăderea din paranteza pătrată: $3-0,5=2,5$.
• Acolada: $2,5+2,5=5$.
• Împărțirea finală: $5:5=1$.

Răspuns: $1$. Ai văzut cum am coborât treaptă cu treaptă, dinăuntru spre afară?

Exemplul 7 — Aceeași treaptă, de la stânga la dreapta

Calculează: $24:0,6:4$.

Rezolvare. Avem două împărțiri, deci aceeași treaptă (a treia). Mergem strict de la stânga la dreapta.

• Prima împărțire: $24:0,6=240:6=40$.
• A doua împărțire: $40:4=10$.

Răspuns: $10$. Dacă am fi calculat întâi $0,6:4$, am fi greșit — pe aceeași treaptă ordinea de la stânga la dreapta este obligatorie.

Exemplul 8 — Distributivitate pentru calcul rapid

Calculează inteligent: $1,25\times 6+1,25\times 2$.

Rezolvare. Factorul $1,25$ este comun, deci îl dăm în față:

• $1,25\times 6+1,25\times 2=1,25\times (6+2)=1,25\times 8=10$.

Răspuns: $10$. O singură înmulțire ușoară în loc de două.

Exemplul 9 — Fracție și zecimală în aceeași expresie

Calculează: $\frac{3}{4}+0,5\times 3$.

Rezolvare. Avem o fracție ordinară și niște zecimale în același calcul. Mai întâi respectăm treptele, apoi aducem totul la aceeași haină. Cum $\frac{3}{4}=0,75$, ne este comod să lucrăm în zecimale.

• Treapta 3 (înmulțirea): $0,5\times 3=1,5$.
• Trecem fracția în zecimală: $\frac{3}{4}=0,75$.
• Treapta 4 (adunarea): $0,75+1,5=2,25$.

Răspuns: $2,25$. Am transformat fracția în zecimală chiar înainte de adunare, ca să adunăm numere de aceeași formă. Dacă preferai fracțiile, $0,5\times 3=\frac{3}{2}$, iar $\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}+\frac{6}{4}=\frac{9}{4}=2,25$ — același rezultat.

Exemplul 10 — Estimează, apoi calculează exact

Calculează și verifică prin estimare: $19:0,5+2,1\times 4$.

Rezolvare. Întâi estimăm „din cap": $19:0,5$ înseamnă „de câte ori încape $0,5$ în $19$", adică în jur de $38$, iar $2,1\times 4$ este aproape $8$. Deci ne așteptăm la ceva pe la $46$.

Acum calculul exact, pe trepte:

• Treapta 3, de la stânga la dreapta: $19:0,5=190:5=38$.
• Tot treapta 3: $2,1\times 4=8,4$.
• Treapta 4 (adunarea): $38+8,4=46,4$.

Răspuns: $46,4$. Rezultatul exact este foarte aproape de estimarea $46$, semn că am respectat corect ordinea operațiilor.

Să exersăm

Lucrează pe caiet, scriind fiecare pas. La final compară cu cheia de mai jos.

1. Scrie sub formă de fracție zecimală: $\frac{7}{10}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$.

2. Scrie sub formă de fracție ordinară ireductibilă: $0,4$, $0,25$, $0,8$.

3. Adevărat sau fals: orice număr natural este un număr rațional pozitiv.

4. Adevărat sau fals: în $4+2\times 3$ se face întâi adunarea.

5. Încercuiește operația care se efectuează prima în $7-1,5\times 2$.

6. Calculează: $2,4+1,1\times 5$.

7. Calculează: $10-0,5\times 8$.

8. Calculează: $6:0,2+3$.

9. Calculează: $3\times 0,2^2$.

10. Calculează: $(1,2+0,8)\times 2,5$.

11. Calculează cu fracții: $\frac{2}{3}\times 9-4$.

12. Calculează: $\frac{5}{6}+\frac{1}{2}:\frac{3}{4}$.

13. Completează căsuța: $0,5\times \square +1=4$.

14. Calculează rapid, folosind proprietățile: $0,25\times 17\times 4$.

15. Calculează: $\left[(2,5-1,5)\times 6+0,4\right]:2$.

16. Potrivește fiecare expresie cu rezultatul corect: a) $0,1+0,1\times 0,1$    b) $(0,1+0,1)\times 0,1$    c) $0,1^2$ Rezultate: $0,01$;   $0,02$;   $0,11$.

17. Problemă: La un magazin, un caiet costă $2,5$ lei, iar un pix costă $1,5$ lei. Maria cumpără $3$ caiete și $4$ pixuri. Cât plătește în total? Scrie expresia și calculeaz-o respectând ordinea operațiilor.

18. Problemă: Un robinet umple $0,75$ litri pe minut. Cât toarnă în $8$ minute, din care $2$ minute a fost oprit? Scrie expresia cu o paranteză și rezolv-o.

19. Calculează: $36:0,9:5$.

20. Calculează inteligent, dând factorul comun: $2,5\times 13+2,5\times 7$.

21. Adevărat sau fals: în $20:4\times 5$ rezultatul este $1$. Justifică.

22. Calculează, aducând numerele la aceeași formă: $\frac{1}{2}+0,75\times 4$.

23. Estimează întâi „din cap", apoi calculează exact și compară: $9,8+4,1\times 3$.

24. Problemă: O rețetă de prăjitură cere $\frac{3}{4}$ de cană de zahăr pentru o porție. Faci $2$ porții și mai adaugi $0,5$ de cană pentru glazură. Scrie expresia și află câte căni de zahăr folosești în total.

25. Calculează: $0,6+\frac{1}{4}:\frac{1}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{7}{10}=0,7$; $\frac{3}{4}=0,75$; $\frac{1}{2}=0,5$. (Împarți numărătorul la numitor.)

2. $0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$; $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$; $0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. (Scrii cifrele peste o putere a lui 10, apoi simplifici.)

3. Adevărat. Orice număr natural $n$ se scrie $n=\frac{n}{1}$, deci este rațional pozitiv.

4. Fals. Înmulțirea $2\times 3$ se face prima; rezultatul corect este $4+6=10$.

5. Înmulțirea $1,5\times 2$ se efectuează prima. (Apoi $7-3=4$.)

6. $1,1\times 5=5,5$; apoi $2,4+5,5=7,9$.

7. $0,5\times 8=4$; apoi $10-4=6$.

8. $6:0,2=30$; apoi $30+3=33$.

9. Puterea întâi: $0,2^2=0,04$; apoi $3\times 0,04=0,12$. (Puterea se aplică doar bazei $0,2$.)

10. Paranteza întâi: $1,2+0,8=2$; apoi $2\times 2,5=5$.

11. $\frac{2}{3}\times 9=\frac{18}{3}=6$; apoi $6-4=2$.

12. Împărțirea întâi: $\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Apoi $\frac{5}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}+\frac{4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5$.

13. $\square =6$. Verificare: $0,5\times 6+1=3+1=4$. (Mers invers: $4-1=3$, apoi $3:0,5=6$.)

14. Grupezi $0,25\times 4=1$, apoi $1\times 17=17$. (Comutativitate + asociativitate.)

15. Paranteza rotundă: $2,5-1,5=1$; înmulțirea: $1\times 6=6$; adunarea din paranteza pătrată: $6+0,4=6,4$; împărțirea: $6,4:2=3,2$.

16. a) $0,1+0,1\times 0,1=0,1+0,01=0,11$;   b) $(0,1+0,1)\times 0,1=0,2\times 0,1=0,02$;   c) $0,1^2=0,01$.

17. Expresia: $3\times 2,5+4\times 1,5$. Calcul: $3\times 2,5=7,5$ și $4\times 1,5=6$; apoi $7,5+6=13,5$ lei.

18. A curs efectiv $8-2=6$ minute. Expresia: $0,75\times (8-2)=0,75\times 6=4,5$ litri.

19. De la stânga la dreapta: $36:0,9=360:9=40$; apoi $40:5=8$.

20. Factor comun $2,5$: $2,5\times (13+7)=2,5\times 20=50$.

21. Fals. Cele două operații sunt pe aceeași treaptă, deci de la stânga la dreapta: $20:4=5$, apoi $5\times 5=25$, nu $1$. (Rezultatul $1$ ar apărea greșit dacă am face întâi $4\times 5=20$.)

22. Înmulțirea întâi: $0,75\times 4=3$. Trecem fracția în zecimală, $\frac{1}{2}=0,5$, apoi adunăm: $0,5+3=3,5$. (În fracții: $\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}=3,5$, același rezultat.)

23. Estimare: $9,8\approx 10$ și $4,1\times 3\approx 12$, deci ne așteptăm la aproximativ $22$. Calcul exact: $4,1\times 3=12,3$; apoi $9,8+12,3=22,1$. Foarte aproape de estimare, deci ordinea a fost respectată.

24. Expresia: $\frac{3}{4}\times 2+0,5$. Calcul: $\frac{3}{4}\times 2=\frac{6}{4}=1,5$; apoi $1,5+0,5=2$ căni de zahăr.

25. Împărțirea de fracții întâi: $\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\times \frac{2}{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5$. Apoi adunarea: $0,6+0,5=1,1$.

De reținut

• Un număr rațional pozitiv este orice număr de forma $\frac{a}{b}$ cu $a,b$ naturale și $b\ne 0$; el poate fi scris ca fracție ordinară, ca fracție zecimală sau, uneori, ca număr natural.
• Toate numerele naturale sunt și numere raționale, deci $\mathbb{N}$ este „cuprins" în mulțimea numerelor raționale pozitive.
• Ordinea operațiilor are patru trepte: 1) paranteze, 2) puteri, 3) înmulțiri și împărțiri, 4) adunări și scăderi. Reține trucul „Pa-Pu-Î-A".
• Pe aceeași treaptă (de exemplu înmulțiri și împărțiri) lucrezi de la stânga la dreapta.
• Proprietățile (comutativitate, asociativitate, distributivitate) te ajută să calculezi mai rapid, fără să încalci ordinea operațiilor.

Greșeli frecvente

• „Calculez în ordinea în care scrie." Nu! $2+3\times 4=14$, nu $20$. Înmulțirea are prioritate față de adunare, oricare ar fi ordinea pe foaie.
• Aplici puterea la tot produsul. În $2\times 0,3^2$ puterea se aplică doar lui $0,3$: rezultatul este $0,18$, nu $0,36$. Dacă vrei puterea peste tot, folosește paranteză: $(2\times 0,3{)}^2$.
• Faci toate înmulțirile, apoi toate împărțirile. Greșit. Pe aceeași treaptă mergi strict de la stânga la dreapta: în $12:2\times 3$ faci întâi $12:2=6$, apoi $6\times 3=18$ (nu $12:6=2$).
• Ignori parantezele interioare. La acolade și paranteze pătrate, rezolvi mereu dinăuntru spre afară: rotunde, apoi pătrate, apoi acolade.

Joc acasă

1. Cursa pe trepte. Scrie pe patru cartonașe cuvintele: „Paranteze", „Puteri", „Înmulțiri/Împărțiri", „Adunări/Scăderi". Un părinte îți spune o expresie (de exemplu $1,5+2\times 0,5^2$), iar tu ridici cartonașele în ordinea în care le folosești. Câștigi un punct pentru fiecare expresie pusă corect în ordine.

2. Magazinul de acasă. Pune prețuri (cu zecimale) pe câteva obiecte din casă: un măr $1,5$ lei, un baton $2,5$ lei etc. „Cumperi" $3$ mere și $2$ batoane. Scrie întâi expresia $3\times 1,5+2\times 2,5$ și abia apoi calculează. Verifică restul de la o bancnotă imaginară.

3. Provocarea zarurilor și a parantezei. Aruncă trei zaruri și împarte fiecare valoare la $2$ (obții zecimale precum $1,5$, $3$, $0,5$). Formează o expresie folosind o înmulțire și o adunare, apoi mută o paranteză și vezi cum se schimbă rezultatul. Discută cu un coleg de ce paranteza schimbă totul.

Pentru părinți și învățători

Această lecție unifică ce a învățat copilul despre numere naturale, fracții ordinare și zecimale sub umbrela numerelor raționale pozitive și consolidează ordinea operațiilor, deja cunoscută de la numere naturale.

Cum sprijiniți eficient:

• Cereți întotdeauna expresia scrisă întâi. Înainte de orice calcul, copilul ar trebui să scrie expresia și să identifice treptele. Aceasta previne „calculul în ordinea de pe foaie".
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Care operație are prioritate aici și de ce?", „Ce s-ar întâmpla dacă am muta paranteza?", „Puterea se aplică la tot sau doar la bază?", „Poți scrie același număr și ca fracție, și ca zecimală?".
• Lăsați copilul să explice cu voce tare fiecare pas, ca un mic profesor. Dacă poate justifica de ce face un pas, l-a înțeles cu adevărat.
• Semnal de alarmă util: dacă rezultatul unei expresii cu paranteze și puteri „iese din prima", cereți o estimare rapidă pentru verificare (de exemplu, „aproximativ cât ar trebui să fie?").

Nu insistați pe calcule cu fracții foarte complicate; scopul aici este disciplina ordinii operațiilor, nu virtuozitatea aritmetică.

Întrebări frecvente

Ce este un număr rațional pozitiv în clasa a 5-a? Este orice număr care se poate scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$ cu $a$ și $b$ numere naturale și $b\ne 0$. Practic, include toate numerele naturale, toate fracțiile ordinare pozitive și toate fracțiile zecimale finite sau periodice. Același număr rațional poate fi scris în mai multe forme.

Care este ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale? Aceeași ca la numerele naturale: întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), iar la final adunările și scăderile (tot de la stânga la dreapta). Faptul că numerele sunt fracții sau zecimale nu schimbă regula.

De ce înmulțirea se face înaintea adunării? Pentru că matematicienii s-au înțeles asupra acestei reguli, ca o expresie să aibă un singur rezultat corect peste tot în lume. Fără ea, $2+3\times 4$ ar putea însemna și $14$, și $20$, ceea ce ar fi ambiguu.

Puterea se aplică și factorului din față? Nu, decât dacă există paranteză. În $2\times 0,3^2$, puterea se aplică doar bazei $0,3$, deci rezultatul este $0,18$. Dacă scrii $(2\times 0,3{)}^2$, atunci ridici la pătrat tot produsul și obții $0,36$.

Cum calculez mai repede o expresie lungă? Folosește proprietățile operațiilor: grupează termenii care dau întregi rotunzi (comutativitate și asociativitate) și aplică distributivitatea când ai un factor comun. Aceste trucuri lucrează în interiorul aceleiași trepte, fără să încalce ordinea operațiilor.

Un număr natural este și număr rațional? Da. Orice număr natural $n$ se scrie $n=\frac{n}{1}$, deci este și el rațional pozitiv. De aceea spunem că mulțimea numerelor naturale este cuprinsă în mulțimea numerelor raționale.

Ce fac mai întâi când am și împărțire, și înmulțire în expresie? Le rezolvi în ordinea în care apar, citind de la stânga la dreapta, pentru că au aceeași prioritate. De exemplu, în $12:2\times 3$ faci întâi $12:2=6$, apoi $6\times 3=18$.

E mai bine să lucrez cu fracții ordinare sau cu zecimale? Depinde de calcul. Pentru adunări și scăderi, zecimalele sunt adesea mai comode; pentru împărțiri care nu „ies frumos", fracțiile ordinare sunt mai sigure. Poți transforma dintr-o formă în alta oricând, alegând haina cea mai potrivită pentru pasul respectiv.