Ce este panta unei drepte?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Panta și ordonata la origine

Panta este numărul care înmulțește litera în formula $f (x) = a x + b$ și arată cât urcă sau coboară dreapta la fiecare pas de o unitate spre dreapta. Semnul ei spune direcția: pozitiv înseamnă că linia urcă, negativ că ea coboară, iar zero dă o linie orizontală. Din două puncte se calculează ca raport între diferența ordonatelor și cea a absciselor. La $f (x) = 2 x + 3$ panta este $2$ , deci dreapta urcă destul de repede.

Într-o funcție liniară $f (x) = a x + b$ , cei doi coeficienți spun fiecare o poveste geometrică. Panta $a$ arată cât de „abruptă” este dreapta și în ce sens merge: dacă $a > 0$ , dreapta urcă (funcție crescătoare); dacă $a < 0$ , dreapta coboară (descrescătoare); dacă $a = 0$ , dreapta e orizontală (constantă). Cu cât $∣ a ∣$ e mai mare, cu atât dreapta e mai înclinată. Panta este chiar rata de variație: când $x$ crește cu $1$ , $f (x)$ se schimbă cu exact $a$ ; din două puncte, $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

Ordonata la origine $b$ este înălțimea la care dreapta taie axa $O y$ , în punctul $(0, b)$ , pentru că $f (0) = b$ .

Exemplu: pentru $f (x) = 2 x + 3$ , panta $a = 2 > 0$ (crescătoare), iar $b = 3$ , deci dreapta taie $O y$ în $(0, 3)$ .

Regulă cheie de reținut: două drepte sunt paralele exact atunci când au aceeași pantă $a$ , indiferent de $b$ .

De reținut

panta $a$ arată variația la fiecare pas de o unitate
$a > 0$ dreapta urcă, $a < 0$ coboară, $a = 0$ este orizontală
ordonata la origine este $b$ , iar dreapta taie axa verticală în $(0, b)$

Greșeala tipică

Se citește panta ca fiind punctul în care dreapta taie axa verticală. Acolo se citește termenul liber, iar panta se vede din înclinarea liniei, nu din poziția ei.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru funcția $f (x) = - 4 x + 9$ , care sunt panta $a$ și ordonata la origine $b$ ?
- a) $a = 9$ , $b = - 4$
- b) $a = - 4$ , $b = 9$
- c) $a = 4$ , $b = 9$
- d) $a = - 4$ , $b = - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = - 4$ , $b = 9$

Coeficientul lui $x$ este panta, deci $a = - 4$ ; numărul rămas singur este ordonata la origine, deci $b = 9$ .
Se dau dreptele $d_{1} : y = 4 x - 1$ , $d_{2} : y = 4 x + 7$ și $d_{3} : y = - 4 x + 7$ . Care pereche de drepte este paralelă?
- a) $d_{1}$ și $d_{3}$
- b) $d_{1}$ și $d_{2}$
- c) $d_{2}$ și $d_{3}$
- d) Nicio pereche
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $d_{1}$ și $d_{2}$

$d_{1}$ și $d_{2}$ au aceeași pantă $a = 4$ , iar ordonatele la origine diferă ( $- 1 \neq = 7$ ), deci sunt paralele. $d_{3}$ are pantă $- 4$ , diferită, deci nu e paralelă cu celelalte.
Pentru funcția $f (x) = 6 x - 5$ , care sunt panta $a$ și ordonata la origine $b$ ?
- a) $a = 6$ , $b = - 5$
- b) $a = - 6$ , $b = 5$
- c) $a = 6$ , $b = 5$
- d) $a = - 5$ , $b = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = 6$ , $b = - 5$

Coeficientul lui $x$ este panta, deci $a = 6$ ; numărul rămas singur este ordonata la origine, deci $b = - 5$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă o pantă mare fără semn?

Înseamnă o dreaptă foarte înclinată, aproape verticală. La panta $10$ dreapta urcă zece unități pentru fiecare pas orizontal, în timp ce la panta $0, 2$ abia se ridică. Semnul dă direcția, mărimea dă abruptul.

Ce pantă are o dreaptă orizontală?

Zero, fiindcă valoarea nu se schimbă deloc când înaintezi pe orizontală. Formula devine doar termenul liber, iar graficul este linia de la înălțimea acestuia. O dreaptă verticală, în schimb, nu are pantă și nici nu este graficul unei funcții.

Ce se schimbă în grafic dacă înmulțesc panta cu minus unu?

Dreapta își schimbă direcția: dacă urca, începe să coboare, păstrând aceeași înclinare. Punctul de pe axa verticală rămâne neatins, fiindcă termenul liber nu s-a modificat. Cele două drepte ies simetrice față de acea verticală.

Ce termen liber are dreapta care trece prin origine?

Zero, fiindcă originea are ambele coordonate nule, iar valoarea în zero este chiar termenul liber. Formula rămâne doar cu produsul dintre pantă și literă. Astfel de drepte descriu mărimi direct proporționale.

Unde se folosește panta în afara matematicii?

La drumuri și acoperișuri, unde arată cât se urcă pe fiecare metru parcurs orizontal, dar și la grafice de prețuri sau de temperaturi. Un tarif de doi lei pe kilometru este chiar o pantă. Peste tot ea măsoară o rată de schimbare.

Cum citesc panta numărând pătrățelele de pe caiet?

Pornești dintr-un punct al dreptei, mergi un pătrățel spre dreapta și numeri câte pătrățele urci sau cobori până întâlnești din nou linia. Numărul obținut, cu semnul potrivit, este chiar panta. Pentru mai multă precizie faci pasul pe mai multe pătrățele deodată.

Oamenii mai întreabă și: panta unei drepte · ce înseamnă panta a · coeficient unghiular · ordonata la origine · panta și termenul liber