Pătrate perfecte și rădăcina pătrată a unui pătrat perfect

Imaginează-ți că vrei să pavezi o terasă perfect pătrată folosind exact 144 de plăci de gresie, câte una lângă alta. Câte plăci pui pe fiecare rând? Răspunsul, $12$, ascunde una dintre cele mai importante idei din matematica de clasa a VII-a: rădăcina pătrată. Numărul $144$ este un „pătrat perfect", adică se poate așeza fix într-o formă pătrată, iar operația prin care afli latura acelui pătrat se numește extragerea rădăcinii pătrate. În această lecție înveți ce este un pătrat perfect la clasa a 7-a, cum folosești corect simbolul radical x​ și cum calculezi rapid rădăcina pătrată a unui pătrat perfect, de la $\sqrt{49}$ până la $\sqrt{400}$. Este prima lecție din capitolul despre rădăcini și, odată stăpânită, îți deschide drumul spre toți radicalii pe care îi vei întâlni anul acesta.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști dacă un număr natural este pătrat perfect (de exemplu de ce $36$ este, dar $30$ nu este).
• Vei ști să calculezi rădăcina pătrată a unui pătrat perfect, precum $\sqrt{49}=7$ sau $\sqrt{144}=12$.
• Vei ști să folosești corect simbolul x​ și terminologia legată de el (radical, radicand).
• Vei ști să construiești și să folosești tabelul pătratelor numerelor de la $0$ la $20$.
• Vei înțelege că ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse, la fel cum sunt adunarea și scăderea.

Hai să descoperim împreună

De la pătratul unui număr la pătratul geometric

Din clasa a V-a și a VI-a știi deja ce înseamnă ridicarea la puterea a doua: a ridica un număr la pătrat înseamnă a-l înmulți cu el însuși.

$$5^2=5\cdot 5=25,8^2=8\cdot 8=64,12^2=12\cdot 12=144.$$

Citim $5^2$ „cinci la pătrat" sau „cinci la puterea a doua". De ce spunem tocmai „la pătrat"? Pentru că are o semnificație geometrică foarte concretă. Dacă iei un pătrat cu latura de $5$ unități și îl împarți în pătrățele mici de latură $1$, obții exact $25$ de pătrățele. Numărul $5^2$ este chiar aria unui pătrat cu latura $5$.

Această imagine este cheia întregii lecții. Reține legătura:

$$\text{latura}=5\stackrel{\text{ridic la pa˘trat}}{\to }\text{aria}=25.$$

Întrebarea firească pe care ne-o punem acum este întrebarea inversă: dacă știu că un pătrat are aria $25$, cât este latura lui? Evident, $5$. Tocmai am făcut, fără să știm încă cum se numește, o extragere de rădăcină pătrată.

Ce este un pătrat perfect

Să pornim de la numerele naturale $0,1,2,3,4,\dots$ și să le ridicăm pe rând la pătrat:

$$0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,5^2=25,6^2=36,\dots$$

Numerele care apar în dreapta — $0,1,4,9,16,25,36,\dots$ — au un statut special.

Definiție. Un număr natural se numește pătrat perfect dacă este pătratul unui număr natural. Altfel spus, $n$ este pătrat perfect dacă există un număr natural $a$ astfel încât $n=a^2$.

Așadar, $0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,\dots$ sunt pătrate perfecte, pentru că fiecare este pătratul unui număr natural: $100=10^2$, iar $10$ este natural.

În schimb, numere ca $2,3,5,7,10,20,30,50$ nu sunt pătrate perfecte, pentru că nu există niciun număr natural care, ridicat la pătrat, să dea exact aceste valori. De exemplu, între $16=4^2$ și $25=5^2$ nu mai există niciun alt pătrat perfect, deci $17,18,19,20,21,22,23,24$ nu sunt pătrate perfecte. Sunt pur și simplu „prinse la mijloc" între două pătrate consecutive.

Un truc util pentru vizualizare: un număr este pătrat perfect exact atunci când poți aranja acel număr de bile într-un pătrat perfect, cu rânduri și coloane egale. Cu $9$ bile faci un pătrat $3\times 3$. Cu $10$ bile nu reușești: îți rămâne o bilă în plus, oricum le-ai aranja. De aceea $9$ este pătrat perfect, iar $10$ nu.

Definiția rădăcinii pătrate și simbolul radical

Am ajuns la vedeta lecției. Operația inversă ridicării la pătrat se numește extragerea rădăcinii pătrate și se notează cu simbolul x​, numit radical.

Definiție. Fie $a$ un număr pozitiv sau zero. Rădăcina pătrată a lui $a$ este acel număr pozitiv sau zero care, ridicat la pătrat, dă $a$. O notăm $\sqrt{a}$.

Cu alte cuvinte: $\sqrt{a}=b$ înseamnă că $b\ge 0$ și $b^2=a$.

Numărul de sub radical se numește radicand. În scrierea $\sqrt{49}$, radicandul este $49$, iar rezultatul, $7$, este rădăcina pătrată.

Să testăm definiția pe câteva exemple:

• $\sqrt{25}=5$, pentru că $5\ge 0$ și $5^2=25$. ✓
• $\sqrt{81}=9$, pentru că $9\ge 0$ și $9^2=81$. ✓
• $\sqrt{0}=0$, pentru că $0^2=0$. ✓
• $\sqrt{1}=1$, pentru că $1^2=1$. ✓

Sunt două detalii din definiție pe care trebuie neapărat să le reții, pentru că sunt sursă de greșeli:

1. Rădăcina pătrată este întotdeauna un număr pozitiv sau zero. Este adevărat că și $(-5{)}^2=25$, dar prin convenție simbolul $\sqrt{25}$ desemnează doar valoarea pozitivă, adică $5$. Nu scriem niciodată $\sqrt{25}=-5$ și nici $\sqrt{25}=\pm 5$. Rezultatul unui radical este mereu $\ge 0$.

2. Nu putem extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ. Nu există $\sqrt{-9}$ printre numerele pe care le studiezi, pentru că niciun număr ridicat la pătrat nu poate da un rezultat negativ: un pătrat este mereu $\ge 0$. De aceea radicandul trebuie să fie mereu pozitiv sau zero.

Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect

Definiția devine cea mai simplă și mai plăcută tocmai atunci când radicandul este pătrat perfect. În acest caz rezultatul este un număr natural „rotund", fără zecimale.

$$\sqrt{49}=7(\text{pentru ca˘ }{7}^2=49),\sqrt{144}=12(\text{pentru ca˘ }12^2=144).$$

Cum procedezi în practică pentru a calcula rădăcina pătrată a unui pătrat perfect? Îți pui întrebarea:

„Ce număr natural, înmulțit cu el însuși, îmi dă radicandul?"

De pildă, pentru $\sqrt{169}$ te întrebi: ce număr la pătrat dă $169$? Încerci: $12^2=144$ (prea mic), $13^2=169$ (exact!). Deci $\sqrt{169}=13$.

Iată încă o serie de exemple pe care merită să le urmărești cu atenție:

$$\sqrt{4}=2,\sqrt{9}=3,\sqrt{16}=4,\sqrt{36}=6,\sqrt{64}=8,\sqrt{100}=10,\sqrt{121}=11.$$

Observă cât de repede rezolvi asemenea calcule odată ce cunoști pe de rost primele pătrate perfecte. Tocmai de aceea vom construi imediat un tabel.

Tabelul pătratelor până la 400

Ca să recunoști rapid pătratele perfecte și să extragi rădăcinile lor, este foarte util să memorezi tabelul pătratelor numerelor naturale de la $0$ la $20$. Îl vei folosi tot restul capitolului, la estimări, la scoaterea factorilor de sub radical și la teorema lui Pitagora.

Coloana din dreapta îți dă lista completă a pătratelor perfecte până la 400:

$$0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400.$$

Sunt exact $21$ de pătrate perfecte între $0$ și $400$ (de la $0^2$ până la $20^2$). Citit invers, tabelul îți dă direct rădăcinile: $\sqrt{196}=14$, $\sqrt{256}=16$, $\sqrt{324}=18$, $\sqrt{361}=19$, $\sqrt{400}=20$.

Un mic truc cu ultima cifră. Uneori poți elimina rapid numere care sigur nu sunt pătrate perfecte, uitându-te la ultima cifră. Pătratele perfecte se pot termina doar în $0,1,4,5,6$ sau $9$. Deci un număr care se termină în $2,3,7$ sau $8$ nu poate fi pătrat perfect. De exemplu, $147$ se termină în $7$, deci nu are șanse. Atenție însă: regula funcționează într-un singur sens. Faptul că un număr se termină „bine" (de exemplu $144$ sau $24$) nu garantează că e pătrat perfect — $24$ se termină în $4$, dar nu este pătrat perfect. Ultima cifră ajută doar la eliminare, verificarea sigură rămâne tabelul.

Ridicarea la pătrat și rădăcina — două operații inverse

Ideea centrală, pe care o vei folosi în toate lecțiile următoare, este că a ridica la pătrat și a extrage rădăcina pătrată sunt operații care se „anulează" reciproc, exact cum a înmulți cu $3$ și a împărți la $3$ readuc numărul la valoarea de plecare.

Pornim de la un număr natural $a$, îl ridicăm la pătrat, apoi extragem rădăcina:

$$a\stackrel{({)}^2}{\to }{a}^2\stackrel{\sqrt{}}{\to }a.$$

Concret, cu $a=7$: $7\stackrel{({)}^2}{\to }49\stackrel{\sqrt{}}{\to }7$. Am ajuns înapoi la $7$.

Putem scrie acest lucru și cu o formulă foarte utilă, valabilă pentru orice număr natural $a$:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a\text{și}\sqrt{a^2}=a.$$

De exemplu, ${\left(\sqrt{13}\right)}^2=13$ și $\sqrt{15^2}=\sqrt{225}=15$. Nu e nevoie să calculezi radicalul separat: fiindcă operațiile se inversează, rezultatul este chiar numărul de la care ai plecat.

Această legătură cu operația inversă va fi rafinată în lecțiile următoare. Când numărul de sub pătrat poate fi și negativ, formula $\sqrt{a^2}=a$ se schimbă puțin și devine $\sqrt{a^2}=|a|$ (modulul lui $a$) — dar acesta este subiectul lecției despre relația dintre pătrat și rădăcină. Deocamdată lucrăm doar cu numere naturale, unde totul este pozitiv, și formula $\sqrt{a^2}=a$ merge fără complicații.

Ce facem când radicandul NU este pătrat perfect?

E firesc să te întrebi: dar cât este $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{50}$? Aceste numere există, dar nu sunt numere „rotunde". $\sqrt{2}$ este aproximativ $1,41$, iar cifrele zecimale nu se mai termină și nu se repetă niciodată — este un număr irațional. Despre asemenea numere și despre cum le estimăm vei învăța în lecțiile următoare: estimarea rădăcinii pătrate și aproximări prin lipsă și prin adaos. În lecția de față ne concentrăm exclusiv pe cazul frumos și exact: radicandul este pătrat perfect, deci rădăcina este un număr natural.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verifică dacă un număr este pătrat perfect

Cerință: Stabilește care dintre numerele $81$, $90$ și $196$ sunt pătrate perfecte.

Rezolvare.

Pentru $81$: caut un număr natural al cărui pătrat să fie $81$. Din tabel, $9^2=81$. Deci $81$ este pătrat perfect, $81=9^2$.

Pentru $90$: verific pătratele din jur. $9^2=81$ (prea mic), $10^2=100$ (prea mare). Numărul $90$ cade între două pătrate perfecte consecutive, deci nu poate fi el însuși pătrat perfect. $90$ NU este pătrat perfect.

Pentru $196$: caut în tabel. $14^2=196$. Deci $196$ este pătrat perfect, $196=14^2$.

Răspuns: pătrate perfecte sunt $81$ și $196$; $90$ nu este.

Exemplul 2 — Calcul de rădăcini pătrate

Cerință: Calculează: $\sqrt{64}$, $\sqrt{169}$, $\sqrt{225}$, $\sqrt{324}$.

Rezolvare. Pentru fiecare mă întreb „ce număr la pătrat dă radicandul?" și folosesc tabelul pătratelor.

$$\sqrt{64}=8(8^2=64),\sqrt{169}=13(13^2=169),$$ $$\sqrt{225}=15(15^2=225),\sqrt{324}=18(18^2=324).$$

Răspuns: $8$, $13$, $15$, $18$.

Exemplul 3 — Latura unei suprafețe pătrate

Cerință: O grădină pătrată are aria de $256{\text{m}}^2$. Ce lungime are gardul care o înconjoară (perimetrul)?

Rezolvare.

Aria unui pătrat este ${\text{latura}}^2$. Dacă notez latura cu $\ell$, atunci ${\ell }^2=256$, deci latura este rădăcina pătrată a ariei:

$$\ell =\sqrt{256}=16\text{m}(\text{pentru ca˘ }16^2=256).$$

Perimetrul unui pătrat este de $4$ ori latura:

$$P=4\cdot \ell =4\cdot 16=64\text{m}.$$

Răspuns: latura are $16\text{m}$, iar gardul (perimetrul) are $64\text{m}$.

Exemplul 4 — Operații inverse fără calcul lung

Cerință: Calculează, folosind faptul că ridicarea la pătrat și rădăcina sunt operații inverse: ${\left(\sqrt{17}\right)}^2$ și $\sqrt{19^2}$.

Rezolvare.

Pentru ${\left(\sqrt{17}\right)}^2$: aplic formula ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ cu $a=17$. Nu trebuie să știu cât e $\sqrt{17}$; pătratul „desface" radicalul.

$${\left(\sqrt{17}\right)}^2=17.$$

Pentru $\sqrt{19^2}$: aplic formula $\sqrt{a^2}=a$ cu $a=19$ (număr natural, deci pozitiv). Radicalul „desface" pătratul.

$$\sqrt{19^2}=19.$$

Aș fi putut și să calculez: $19^2=361$, apoi $\sqrt{361}=19$ — același rezultat, dar cu drum mai lung.

Răspuns: $17$ și $19$.

Exemplul 5 — Rădăcină dintr-o expresie

Cerință: Calculează $\sqrt{9\cdot 16}$ în două moduri și $\sqrt{100+44}$.

Rezolvare.

Pentru $\sqrt{9\cdot 16}$: mai întâi efectuez înmulțirea de sub radical, $9\cdot 16=144$, apoi extrag rădăcina.

$$\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12.$$

Observ un lucru interesant: $\sqrt{9}\cdot \sqrt{16}=3\cdot 4=12$ — același rezultat. (Vei studia sistematic această proprietate mai târziu, la înmulțirea radicalilor; deocamdată reține doar că radicalul se aplică după ce faci calculele de sub el.)

Pentru $\sqrt{100+44}$: atenție, aici trebuie mai întâi să efectuez adunarea de sub radical, apoi rădăcina. Nu am voie să „despart" rădăcina peste o adunare!

$$\sqrt{100+44}=\sqrt{144}=12.$$

Dacă aș fi scris greșit $\sqrt{100}+\sqrt{44}$, aș fi obținut cu totul altceva. Radicalul se aplică pe tot ce este sub el, ca o paranteză.

Răspuns: $\sqrt{9\cdot 16}=12$ și $\sqrt{100+44}=12$.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu motivare

Cerință: Stabilește dacă afirmațiile sunt adevărate sau false și justifică: (a) $\sqrt{36}=-6$; (b) $121$ este pătrat perfect; (c) $\sqrt{50}$ este un număr natural.

Rezolvare.

(a) FALS. Prin definiție, rădăcina pătrată este mereu pozitivă sau zero. Deși $(-6{)}^2=36$, simbolul $\sqrt{36}$ înseamnă doar valoarea pozitivă, adică $\sqrt{36}=6$.

(b) ADEVĂRAT. $121=11^2$, iar $11$ este număr natural, deci $121$ este pătrat perfect.

(c) FALS. $50$ nu este pătrat perfect: $7^2=49$ și $8^2=64$, deci $50$ este între două pătrate consecutive. Prin urmare $\sqrt{50}$ nu este număr natural (este un număr irațional, aproximativ $7,07$).

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine, de la ușor la greu. Ai nevoie doar de tabelul pătratelor și de definiția rădăcinii.

1. Scrie primele opt pătrate perfecte, începând de la $0$.

2. Calculează: $\sqrt{9}$, $\sqrt{25}$, $\sqrt{49}$, $\sqrt{81}$.

3. Calculează: $\sqrt{100}$, $\sqrt{121}$, $\sqrt{144}$, $\sqrt{169}$.

4. Care dintre numerele următoare sunt pătrate perfecte? $16,20,36,45,64,70$.

5. Completează: $\sqrt{\dots }=6$ și $\sqrt{\dots }=15$. (Ce număr trebuie pus sub radical?)

6. Calculează cele mai mari două rădăcini din tabel: $\sqrt{361}$ și $\sqrt{400}$.

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\sqrt{81}=9$".

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\sqrt{49}=\pm 7$".

9. Un pătrat are aria de $196{\text{cm}}^2$. Cât este latura lui?

10. Fără să calculezi rădăcina, folosește operațiile inverse pentru a afla: ${\left(\sqrt{23}\right)}^2$ și $\sqrt{14^2}$.

11. Calculează, respectând ordinea operațiilor: $\sqrt{36+64}$.

12. Calculează: $\sqrt{4\cdot 25}$. Verifică apoi și prin $\sqrt{4}\cdot \sqrt{25}$.

13. Explică, folosind ultima cifră, de ce numărul $153$ nu poate fi pătrat perfect.

14. Găsește un număr natural $n$ astfel încât $n^2=289$. Este $289$ pătrat perfect?

15. Câte pătrate perfecte există între $1$ și $200$ (inclusiv)? Enumeră-le.

16. O sală de sport pătrată se pavează cu $225$ de plăci pătrate identice. Câte plăci sunt pe o latură?

17. Calculează $\sqrt{144}-\sqrt{81}$ și apoi $\sqrt{144-81}$. Sunt egale? De ce (nu)?

18. Un elev scrie $\sqrt{9+16}=3+4=7$. Explică unde greșește și dă rezultatul corect.

Răspunsuri și explicații

1. $0,1,4,9,16,25,36,49$. (Sunt $0^2,1^2,2^2,\dots ,7^2$.)

2. $\sqrt{9}=3$; $\sqrt{25}=5$; $\sqrt{49}=7$; $\sqrt{81}=9$. (Fiecare rezultat ridicat la pătrat dă radicandul: $3^2=9$ etc.)

3. $\sqrt{100}=10$; $\sqrt{121}=11$; $\sqrt{144}=12$; $\sqrt{169}=13$.

4. Pătrate perfecte: $16=4^2$, $36=6^2$, $64=8^2$. Nu sunt pătrate perfecte: $20$ (între $16$ și $25$), $45$ (între $36$ și $49$), $70$ (între $64$ și $81$).

5. $\sqrt{36}=6$ (pentru că $6^2=36$) și $\sqrt{225}=15$ (pentru că $15^2=225$). Deci sub radical se pun $36$, respectiv $225$.

6. $\sqrt{361}=19$ ($19^2=361$) și $\sqrt{400}=20$ ($20^2=400$).

7. Adevărat. $9\ge 0$ și $9^2=81$, deci prin definiție $\sqrt{81}=9$.

8. Fals. Rădăcina pătrată desemnează o singură valoare, cea pozitivă: $\sqrt{49}=7$. Nu scriem niciodată $\pm$ la un radical.

9. Latura $=\sqrt{196}=14\text{cm}$ (deoarece $14^2=196$).

10. ${\left(\sqrt{23}\right)}^2=23$ (pătratul desface radicalul); $\sqrt{14^2}=14$ (radicalul desface pătratul).

11. Mai întâi aduni sub radical: $36+64=100$, apoi $\sqrt{100}=10$. Deci $\sqrt{36+64}=10$.

12. $\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$; verificare: $\sqrt{4}\cdot \sqrt{25}=2\cdot 5=10$. Aceleași rezultate.

13. $153$ se termină în cifra $3$. Pătratele perfecte se pot termina doar în $0,1,4,5,6,9$. Cum $3$ nu apare în listă, $153$ nu poate fi pătrat perfect.

14. $n=17$, pentru că $17^2=289$. Da, $289$ este pătrat perfect (și $\sqrt{289}=17$).

15. Pătratele perfecte de la $1$ la $200$ sunt: $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196$. Sunt $14$ (de la $1^2$ până la $14^2$; $15^2=225>200$).

16. Numărul de plăci pe o latură $=\sqrt{225}=15$ plăci (deoarece $15^2=225$).

17. $\sqrt{144}-\sqrt{81}=12-9=3$, iar $\sqrt{144-81}=\sqrt{63}\approx 7,9$ (nici măcar număr natural). Nu sunt egale. Radicalul nu se „împarte" peste o scădere; trebuie întâi efectuat ce este sub el.

18. Elevul a desfăcut greșit radicalul peste adunare. Corect: se adună întâi sub radical, $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Rezultatul corect este $5$, nu $7$.

De reținut

• Un pătrat perfect este pătratul unui număr natural: $0,1,4,9,16,25,36,\dots$ Adică $n=a^2$ cu $a\in \mathbb{N}$.
• Rădăcina pătrată a lui $a\ge 0$ este numărul pozitiv sau zero $\sqrt{a}$ pentru care ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. Rezultatul unui radical este mereu $\ge 0$.
• Pentru pătrate perfecte, rădăcina este un număr natural: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{400}=20$.
• Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse: ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ și, pentru $a$ natural, $\sqrt{a^2}=a$.
• Tabelul pătratelor de la $0$ la $20$ merită memorat: îl vei folosi la estimări, la radicali și la teorema lui Pitagora.

Greșeli frecvente

• „$\sqrt{25}=\pm 5$". Greșit. Radicalul dă o singură valoare, cea pozitivă: $\sqrt{25}=5$. Semnul $\pm$ apare abia la ecuația $x^2=a$, nu la simbolul x​.
• „$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$". Greșit. Radicalul se aplică pe toată expresia de sub el, ca o paranteză. Întâi calculezi ce e sub radical, apoi extragi rădăcina: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, nu $3+4=7$.
• A confunda numărul cu pătratul lui. $\sqrt{16}$ nu este $16^2$ și nu este $8$. Este $4$, pentru că $4^2=16$. Întreabă-te mereu „ce număr la pătrat dă radicandul?", nu „cât e radicandul la pătrat".
• A crede că orice număr „arată" a pătrat perfect chiar este. $24$ se termină în $4$ ca și $144$, dar $24$ nu este pătrat perfect. Ultima cifră ajută doar la eliminare; verificarea sigură rămâne tabelul pătratelor.

Aplică acasă

1. Pătrate cu obiecte. Ia un pachet de plăcuțe, monede sau cuburi Lego (de exemplu $30$ de bucăți) și încearcă să formezi din ele un pătrat plin, cu rânduri și coloane egale. Notează cu câte piese reușești un pătrat perfect ($1,4,9,16,25$) și câte îți rămân în plus. Vei „simți" concret de ce doar unele numere sunt pătrate perfecte.

2. Aria terenului. Măsoară cu pasul sau cu ruleta o suprafață aproximativ pătrată din curte sau din cameră. Dacă aria iese, de exemplu, aproape de $9$, $16$ sau $25$ de metri pătrați, verifică ce latură ar avea pătratul perfect corespunzător extrăgând rădăcina. Compară cu latura măsurată.

3. Provocarea tabelului. Scrie tabelul pătratelor de la $0$ la $20$ pe o foaie, apoi acoperă coloana rezultatelor și încearcă să le spui pe de rost. A doua zi, roagă un părinte să-ți dea la întâmplare un pătrat perfect (de exemplu $256$) și spune imediat rădăcina lui. Cronometrează-te: scopul e să răspunzi în sub $3$ secunde.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune temelia întregului capitol de radicali. Cel mai important lucru pe care copilul trebuie să-l interiorizeze este legătura cu operația inversă: rădăcina „desface" pătratul, exact cum împărțirea desface înmulțirea. Sprijiniți vizual, cu desenul pătratului împărțit în pătrățele, apoi treceți la calcul.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce număr la pătrat dă $196$?” (răspuns: $14$) — verifică dacă a înțeles definiția, nu doar a memorat.
• „De ce $\sqrt{50}$ nu este număr natural?” — răspunsul corect menționează că $50$ este între $49=7^2$ și $64=8^2$.
• „Cât este $\sqrt{9+16}$?” — dacă răspunde $7$, are exact greșeala clasică de despărțire a radicalului peste adunare; reluați cu ordinea operațiilor.

Semne că a înțeles cu adevărat: recunoaște rapid pătratele perfecte până la $400$, nu pune niciodată semnul $\pm$ la un radical simplu și efectuează întâi calculele de sub radical. Dacă memorarea tabelului merge greu, împărțiți-l pe grupe (de la $0$ la $10$, apoi de la $11$ la $20$) și reluați zilnic câteva minute. Evitați să treceți la estimarea rădăcinilor din numere care nu sunt pătrate perfecte până când cazul exact nu este complet stăpânit.

Întrebări frecvente

Ce este un pătrat perfect la clasa a 7-a? Un pătrat perfect este un număr natural care se obține ridicând un alt număr natural la pătrat. De exemplu $36=6^2$ și $144=12^2$ sunt pătrate perfecte. Numerele $0,1,4,9,16,25,36,\dots$ formează șirul pătratelor perfecte.

Cum calculez rădăcina pătrată a unui pătrat perfect? Îți pui întrebarea „ce număr natural, înmulțit cu el însuși, îmi dă radicandul?”. De exemplu, pentru $\sqrt{144}$ cauți numărul al cărui pătrat este $144$; acesta este $12$, deci $\sqrt{144}=12$. Tabelul pătratelor de la $0$ la $20$ te ajută să răspunzi rapid.

Ce înseamnă simbolul √ (radical)? Simbolul x​ se numește radical și indică operația de extragere a rădăcinii pătrate. Numărul scris sub el se numește radicand. Rezultatul, $\sqrt{a}$, este acel număr pozitiv sau zero care ridicat la pătrat dă radicandul $a$.

Cât este rădăcina din 144? $\sqrt{144}=12$, deoarece $12^2=12\cdot 12=144$. Numărul $144$ este pătrat perfect, deci rădăcina lui este un număr natural exact, fără zecimale.

De ce √25 nu este egal cu −5, dacă și $(-5{)}^2=25$? Prin convenție, simbolul radical desemnează întotdeauna valoarea pozitivă sau zero. Este adevărat că $(-5{)}^2=25$, dar $\sqrt{25}$ înseamnă doar $5$. Ambele valori, $5$ și $-5$, apar abia când rezolvi ecuația $x^2=25$, nu la simplul radical.

Cum știu repede dacă un număr NU este pătrat perfect? Uită-te la ultima cifră: pătratele perfecte se termină doar în $0,1,4,5,6$ sau $9$. Dacă numărul se termină în $2,3,7$ sau $8$, sigur nu este pătrat perfect. Atenție, regula funcționează doar pentru eliminare; dacă cifra „e bună”, verifici cu tabelul pătratelor.

Se poate extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ? Nu, la nivelul clasei a VII-a nu putem extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ, pentru că niciun număr ridicat la pătrat nu dă un rezultat negativ. De aceea radicandul trebuie să fie mereu pozitiv sau zero.

Câte pătrate perfecte există până la 400? Există $21$ de pătrate perfecte de la $0$ la $400$, și anume pătratele numerelor de la $0$ la $20$: $0,1,4,9,\dots ,361,400$. Ultimul este $400=20^2$, adică $\sqrt{400}=20$.