Este corect să scriem $$\sqrt{64} = \pm 8$$?

Nu, rezultatul unui radical este mereu pozitiv sau zero, deci $$\sqrt{64} = 8$$

Nu, pentru că $$64$$ nu este pătrat perfect

Da, dar doar $$-8$$ este corect

Ce este un pătrat perfect?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Pătrate perfecte și rădăcina pătrată

Este un număr natural care se obține înmulțind un întreg cu el însuși: $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36$ și așa mai departe. Astfel $144$ intră în listă, fiindcă $12 \cdot 12 = 144$ . Recunoști asemenea numere după faptul că radicalul lor iese fără zecimale: $49 = 7$ . Când radicandul lipsește din listă, rezultatul rămâne un număr cu zecimale nesfârșite.

Un pătrat perfect este un număr natural obținut ridicând la pătrat un alt număr natural: $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ De exemplu, $144 = 1 2^{2}$ , deci $144$ este pătrat perfect.

Rădăcina pătrată este operația inversă și se notează cu simbolul $x$ : $a$ este numărul pozitiv sau zero care, ridicat la pătrat, dă $a$ . Când radicandul este pătrat perfect, rădăcina iese un număr natural „rotund", fără zecimale.

Exemplu: $49 = 7$ , pentru că $7 \geq 0$ și $7^{2} = 49$ .

Reține două capcane: rezultatul unui radical e mereu $\geq 0$ (nu scriem $25 = \pm 5$ ), iar radicalul se aplică pe tot ce e sub el, ca o paranteză — nu se „desface" peste o adunare ( $9 + 16 = 25 = 5$ , nu $3 + 4$ ). Tabelul pătratelor de la $0$ la $20$ te ajută să calculezi rapid orice rădăcină de pătrat perfect.

De reținut

pătrat perfect: $n = a^{2}$ cu $a$ natural
$a \geq 0$ mereu; $25 = 5$
ridicarea la pătrat și radicalul se anulează una pe alta

Greșeala tipică

Se scrie $25 = \pm 5$ , amestecând radicalul cu rezolvarea ecuației $x^{2} = 25$ . Semnul radical dă mereu valoarea pozitivă, iar cele două soluții apar doar la ecuație.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre numerele următoare este pătrat perfect?
- a) $48$
- b) $90$
- c) $121$
- d) $75$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $121$

$121 = 1 1^{2}$ , iar $11$ este număr natural, deci $121$ este pătrat perfect. Celelalte numere se află între două pătrate perfecte consecutive și nu au un „rezultat rotund" la rădăcină.
Este corect să scriem $64 = \pm 8$ ?
- a) Da, ambele valori sunt corecte
- b) Nu, rezultatul unui radical este mereu pozitiv sau zero, deci $64 = 8$
- c) Nu, pentru că $64$ nu este pătrat perfect
- d) Da, dar doar $- 8$ este corect
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, rezultatul unui radical este mereu pozitiv sau zero, deci $64 = 8$

Prin definiție, $a$ desemnează doar valoarea pozitivă sau zero. Deși $(- 8)^{2} = 64$ , simbolul $64$ înseamnă exclusiv $8$ ; nu scriem niciodată $\pm$ la un radical simplu.
Dacă $x^{2} = 36$ , care sunt valorile posibile ale lui $x$ ?
- a) Doar $x = 6$
- b) $x = 6$ sau $x = - 6$
- c) $x = 36$
- d) Nu are soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 6$ sau $x = - 6$

Ecuația $x^{2} = 36$ are două soluții, $6$ și $- 6$ , pentru că ambele ridicate la pătrat dau $36$ . Deosebire importantă: radicalul $36$ înseamnă doar valoarea pozitivă, $6$ , dar ecuația $x^{2} = 36$ acceptă și soluția negativă.

Întrebări conexe

Cu ce cifră se poate termina un pătrat perfect?

Doar cu $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ sau $9$ . Cifra finală vine din ultima cifră a bazei, iar înmulțind-o cu ea însăși nu obții niciodată $2$ , $3$ , $7$ ori $8$ . Deci un număr terminat în $7$ , precum $167$ , sigur nu este pătratul unui întreg.

Cât este rădăcina din 1600 și din 0,25?

Pentru $1600$ desparți radicalul în $16 \cdot 100$ , adică $4 \cdot 10 = 40$ . Pentru $0, 25$ te folosești de scrierea fracționară $\frac{25}{100}$ , deci rezultatul este $\frac{5}{10} = 0, 5$ . Zerourile în număr par de la final trec pe jumătate în rezultat.

Ce pătrate perfecte trebuie știute pe de rost?

Pătratele întregilor de la $1$ la $20$ : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ , apoi $121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400$ . Cu ele scoți rapid orice radical dintr-un asemenea număr și estimezi repede rădăcinile care nu ies exact. Merită scrise pe o fișă și repetate până se rețin.

Cum încadrez rădăcina din 50 între doi întregi?

Cauți cele mai apropiate pătrate: $49$ stă sub $50$ , iar $64$ deasupra. Rezultă că $7 < 50 < 8$ , deci partea întreagă este $7$ . Cum $50$ e foarte aproape de $49$ , valoarea se apropie de $7, 07$ , mult mai mult decât de $8$ .

Este produsul a două pătrate perfecte tot pătrat perfect?

Da, întotdeauna. Dacă $m = a^{2}$ și $n = b^{2}$ , atunci produsul lor se scrie $(ab)^{2}$ , adică pătratul unui întreg. De exemplu $9 \cdot 16 = 144$ , iar $144 = 1 2^{2}$ . La sumă însă regula cade: $9 + 16 = 25$ merge, dar $4 + 9 = 13$ nu.

La ce folosesc pătratele perfecte în geometrie?

Apar la aria unui pătrat, unde latura se află extrăgând radicalul din arie, și la teorema lui Pitagora, unde rezultatul iese rotund tocmai când numerele formează un triplet cunoscut. Tripletele $(3, 4, 5)$ și $(5, 12, 13)$ se sprijină exact pe pătrate întregi.

Oamenii mai întreabă și: pătrate perfecte listă · ce înseamnă pătrat perfect · cum știu dacă un număr e pătrat perfect · rădăcina pătrată a unui pătrat perfect · tabelul pătratelor de la 1 la 20