Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural

Imaginează-ți că ai un teren pătrat cu latura de $7$ metri. Ridici latura la pătrat și obții aria: $7^2=49$ metri pătrați. Acum inversezi drumul: știi că aria e $49$ și vrei să afli latura. Extragi rădăcina pătrată și te întorci exact la $7$. Ai făcut un tur complet — ai ieșit din $7$ și te-ai întors la $7$. Exact despre acest „dus-întors" perfect vorbește lecția de astăzi: rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural, adică minunata proprietate $\sqrt{a^2}=a$. Este una dintre cele mai folositoare scurtături din tot capitolul cu radicali, pentru că te scapă de calcule inutile.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr natural $a$.
• Vei ști să calculezi rapid expresii de forma $\sqrt{7^2}$, $\sqrt{15^2}$, $\sqrt{100^2}$ fără să mai efectuezi puterea.
• Vei ști să simplifici expresii combinate, cum ar fi $\sqrt{a^2}+b$ sau $\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b^2}$.
• Vei ști să verifici corectitudinea unui calcul cu rădăcini prin ridicare la pătrat.
• Vei înțelege de ce ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse pentru numerele naturale.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim: ce înseamnă rădăcina pătrată

În lecția anterioară, Pătrate perfecte și rădăcina pătrată a unui pătrat perfect, am definit rădăcina pătrată. Să reluăm ideea, pentru că astăzi construim exact peste ea.

Fie un număr $x\ge 0$. Rădăcina pătrată a lui $x$, notată $\sqrt{x}$, este acel număr pozitiv (sau zero) care, ridicat la pătrat, dă $x$. Cu alte cuvinte:

$$\sqrt{x}=t\text{ıˆnseamna˘}t\ge 0\text{ și }{t}^2=x.$$

De exemplu, $\sqrt{49}=7$ pentru că $7\ge 0$ și $7^2=49$. La fel, $\sqrt{81}=9$ pentru că $9^2=81$, iar $\sqrt{0}=0$ pentru că $0^2=0$.

Reține foarte bine: rădăcina pătrată nu poate fi un număr negativ. Chiar dacă și $(-7{)}^2=49$, prin definiție scriem $\sqrt{49}=7$, nu $-7$. Simbolul   ​ ne dă întotdeauna rezultatul pozitiv (sau zero). Acest detaliu pare mărunt acum, dar devine esențial în lecția următoare, Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: √(a²) = |a|, unde numărul ridicat la pătrat poate fi negativ.

Două operații care se „anulează" reciproc

Gândește-te la câteva perechi de operații care se anulează una pe cealaltă, ca un buton și antibutonul lui:

• Aduni $5$, apoi scazi $5$ → te întorci de unde ai plecat.
• Înmulțești cu $3$, apoi împarți la $3$ → te întorci de unde ai plecat.
• Ridici la pătrat, apoi extragi rădăcina pătrată → te întorci de unde ai plecat (dacă ai pornit de la un număr natural).

Spunem că aceste operații sunt inverse una alteia. Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii pătrate sunt inverse pentru numerele naturale. Hai să vedem concret drumul dus-întors, pornind de la numărul $6$:

$$6\stackrel{\text{ridic la pa˘trat}}{\to }{6}^2=36\stackrel{\text{extrag ra˘da˘cina}}{\to }\sqrt{36}=6.$$

Am plecat din $6$ și am ajuns tot la $6$. Nu contează cât de mare e numărul: mecanismul e același.

Descoperim regula: $\sqrt{a^2}=a$

Să testăm ideea pe mai multe numere naturale și să notăm rezultatele într-un tabel. La fiecare rând întâi ridicăm la pătrat, apoi extragem rădăcina și comparăm cu numărul de start.

Observi tiparul? De fiecare dată, $\sqrt{a^2}$ ne dă înapoi exact numărul $a$ de la care am pornit. Rezultatul nu e o întâmplare, ci o proprietate care se scrie foarte compact:

$$\boxed{\sqrt{a^2}=a,\text{pentru orice numa˘r natural }a.}$$

De ce este adevărată această proprietate?

Nu ne mulțumim cu „așa iese în tabel". Vrem să înțelegem de ce. Argumentul se sprijină chiar pe definiția rădăcinii pătrate.

Prin definiție, $\sqrt{a^2}$ este acel număr pozitiv (sau zero) care, ridicat la pătrat, dă $a^2$. Ne întrebăm: ce număr pozitiv, ridicat la pătrat, dă $a^2$? Răspunsul sare în ochi — chiar $a$! Într-adevăr:

• $a$ este pozitiv (sau zero), pentru că e număr natural;
• $a^2=a^2$, adică ridicat la pătrat dă exact $a^2$.

Deci $a$ îndeplinește amândouă condițiile din definiția rădăcinii, prin urmare $\sqrt{a^2}=a$. Simplu și solid. Ține minte că acest raționament folosește faptul că $a\ge 0$; pentru numere naturale asta e mereu adevărat, iar de aceea regula $\sqrt{a^2}=a$ funcționează perfect aici.

Marea scurtătură: nu mai calcula puterea!

Aici vine partea utilă în practică. Când vezi ceva de forma $\sqrt{7^2}$, ai fi tentat să faci întâi $7^2=49$ și apoi $\sqrt{49}=7$. Corect, dar inutil de lung. Proprietatea îți spune că poți sări peste calcul: numărul de sub radical este chiar $7$ la pătrat, deci rezultatul este direct $7$.

$$\sqrt{7^2}=7,\sqrt{15^2}=15,\sqrt{100^2}=100.$$

Uită-te ce s-ar întâmpla fără scurtătură la $\sqrt{100^2}$: ar trebui să calculezi $100^2=10000$ și abia apoi $\sqrt{10000}=100$. Cu proprietatea, citești răspunsul dintr-o privire. Practic, când semnul rădăcinii și exponentul $2$ „se întâlnesc" pe același număr natural, ele se anulează și rămâne numărul dinăuntru.

Tabelul pătratelor — prietenul tău de nădejde

Uneori numărul de sub radical nu îți este dat sub forma $a^2$, ci ca un număr obișnuit, de exemplu $\sqrt{256}$. Ca să aplici proprietatea, trebuie mai întâi să recunoști că $256$ este un pătrat perfect, adică pătratul unui număr natural. Aici te ajută enorm să ai în minte pătratele primelor numere naturale. Iată-le pe primele douăzeci:

Cum îl folosești? Dacă întâlnești $\sqrt{256}$, cauți $256$ în coloana pătratelor: îl găsești în dreptul lui $16$. Deci $256=16^2$ și, aplicând regula, $\sqrt{256}=\sqrt{16^2}=16$. Cu puțin antrenament vei ține minte aceste valori și vei „citi" rădăcina dintr-o privire, exact cum recunoști tabla înmulțirii.

Există și un mic truc pentru numerele rotunde, cu multe zerouri. La $\sqrt{40000}$ observăm că $40000=4\cdot 10000=2^2\cdot 100^2=200^2$, prin urmare $\sqrt{40000}=200$. Recunoașterea pătratelor devine astfel o unealtă puternică de calcul mintal, care te scapă de înmulțiri lungi la test.

Atenție la ce e sub radical

Este esențial să vezi corect ce număr este ridicat la pătrat. Compară cele două expresii:

• $\sqrt{7^2}$ înseamnă „rădăcina din $7$ la pătrat", adică $\sqrt{49}=7$.
• ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$ înseamnă „pătratul rădăcinii lui $7$", adică $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$.

Interesant: amândouă dau $7$! Asta confirmă încă o dată că ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse — indiferent în ce ordine le aplici unui număr natural, te întorci la el. Vom folosi mult această idee mai târziu, la Înmulțirea numerelor reale cu radicali.

Totuși, ai grijă la o capcană: $\sqrt{a^2}$ nu este același lucru cu $2a$. Un elev grăbit ar putea crede că „rădăcină și pătrat" înseamnă „înmulțesc cu 2". Fals. $\sqrt{9^2}=9$, nu $18$. Regula spune că rezultatul este numărul însuși, nu dublul lui. Ai grijă și să nu confunzi $\sqrt{a^2}$ cu $\sqrt{a}$: sub primul radical numărul este ridicat la pătrat, așa că rezultatul este $a$; sub al doilea nu, așa că rezultatul e altul. De pildă $\sqrt{4^2}=4$, dar $\sqrt{4}=2$ — două lucruri diferite.

Expresii combinate: $\sqrt{a^2}+b$

De multe ori proprietatea apare într-o expresie mai lungă. Strategia e mereu aceeași: întâi simplifici fiecare rădăcină de pătrat, apoi faci operațiile rămase, respectând ordinea operațiilor pe care o știi din clasele anterioare (și pe care o vom relua la Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale).

De exemplu, să calculăm $\sqrt{8^2}+5$. Pas cu pas:

1. Simplific rădăcina: $\sqrt{8^2}=8$.
2. Adun: $8+5=13$.

Deci $\sqrt{8^2}+5=13$. La fel, $\sqrt{20^2}-12=20-12=8$, iar $3+\sqrt{6^2}=3+6=9$.

Expresii combinate: $\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b^2}$

Când apar două rădăcini de pătrate înmulțite, simplifici fiecare separat, apoi înmulțești rezultatele:

$$\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b^2}=a\cdot b.$$

De exemplu:

$$\sqrt{4^2}\cdot \sqrt{5^2}=4\cdot 5=20.$$

Verificăm cu drumul lung, ca să fim siguri: $\sqrt{16}\cdot \sqrt{25}=4\cdot 5=20$. Se potrivește. La fel funcționează și cu împărțirea: $\frac{\sqrt{18^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{18}{3}=6$.

Ideea de reținut: fiecare $\sqrt{(\text{natural}{)}^2}$ devine numărul natural respectiv, iar apoi expresia se transformă într-un calcul obișnuit cu numere naturale, exact ca acelea pe care le faci de ani buni.

Compară fără să calculezi

Proprietatea ne ajută și când trebuie să comparăm sau să ordonăm expresii cu rădăcini de pătrate. În loc să efectuezi puteri mari, transformi fiecare rădăcină în numărul ei natural și compari numerele obținute — mult mai simplu și fără riscul de a greși un calcul lung.

Cine e mai mare, $\sqrt{13^2}$ sau $\sqrt{11^2}$? Nu ridicăm nimic la pătrat: $\sqrt{13^2}=13$ și $\sqrt{11^2}=11$, iar $13>11$, deci $\sqrt{13^2}>\sqrt{11^2}$. Regula ne-a scutit de calculul lui $169$ și $121$.

La fel putem ordona un șir întreg. Fie numerele $\sqrt{8^2}$, $\sqrt{3^2}$, $\sqrt{10^2}$, $\sqrt{6^2}$. Simplificăm fiecare și obținem $8$, $3$, $10$, $6$. Le așezăm crescător: $3<6<8<10$, adică $\sqrt{3^2}<\sqrt{6^2}<\sqrt{8^2}<\sqrt{10^2}$. Ideea de reținut: compararea rădăcinilor de pătrate se reduce la compararea numerelor de dedesubt.

Cel mai puternic obicei: verificarea prin ridicare la pătrat

Cum știi că un rezultat cu rădăcini e corect? Îl ridici la pătrat și vezi dacă obții numărul de sub radical. Aceasta este verificarea prin ridicare la pătrat și se bazează tot pe faptul că cele două operații sunt inverse.

Exemplu: susțin că $\sqrt{13^2}=13$. Verific: ridic $13$ la pătrat și obțin $13^2=169$; iar sub radical aveam $13^2=169$. Se potrivește, deci rezultatul $13$ este corect.

Regula generală de verificare: dacă afirmi că $\sqrt{N}=t$, atunci trebuie ca $t\ge 0$ și $t^2=N$. Dacă una dintre condiții cade, rezultatul e greșit. Fă-ți un obicei din a verifica — este plasa ta de siguranță la orice test.

O analogie care te ajută să nu uiți

Gândește-te la   ​ și la exponentul $2$ ca la două lăcătușe care merg pe aceeași ușă. Ridicarea la pătrat încuie numărul $a$ într-o cameră etichetată $a^2$. Extragerea rădăcinii descuie camera și scoate afară exact numărul care fusese încuiat. Dacă încui $a$ și imediat descui, în cameră rămâne același $a$. De aceea $\sqrt{a^2}=a$: nu s-a schimbat nimic, doar am încuiat și am descuiat.

Aceeași imagine explică și de ce verificarea funcționează. Ca să te convingi că un număr $t$ este cel care fusese încuiat, îl încui la loc (îl ridici la pătrat) și verifici că obții aceeași cameră $N$. Dacă $t^2=N$, atunci $t$ este într-adevăr răspunsul căutat.

O privire înainte: unde vom folosi această regulă

Proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ nu este un truc izolat, ci temelia multor lecții care urmează. La Scoaterea factorilor de sub radical vei „scoate" un număr de sub radical tocmai pentru că îl recunoști ca pătrat. La Ecuația de forma x² = a vei folosi rădăcina ca operație inversă a ridicării la pătrat pentru a afla necunoscuta. Iar la Teorema lui Pitagora vei extrage rădăcini pentru a găsi lungimea unei laturi. Cu cât stăpânești mai bine ideea de azi, cu atât mai ușor îți vor fi toate acestea.

Rezumatul descoperirii

Am aflat trei lucruri legate strâns între ele: (1) ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse pentru numere naturale; (2) de aici rezultă regula $\sqrt{a^2}=a$, care ne permite să calculăm instant expresii precum $\sqrt{100^2}$; (3) orice rezultat cu rădăcini se poate controla ridicându-l la pătrat. Cu aceste trei unelte în mână, hai să lucrăm exemple complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicare directă a proprietății

Calculează: $\sqrt{9^2}$, $\sqrt{23^2}$ și $\sqrt{200^2}$.

Rezolvare. Fiecare expresie este rădăcina pătrată a unui pătrat de număr natural, deci aplicăm direct $\sqrt{a^2}=a$:

$$\sqrt{9^2}=9,\sqrt{23^2}=23,\sqrt{200^2}=200.$$

Nu a fost nevoie să efectuăm nicio putere. Observă cât de mult am economisit la ultima: fără regulă ar fi trebuit să calculăm $200^2=40000$ și apoi $\sqrt{40000}$.

Verificare. $9^2=81$ și $\sqrt{81}=9$ ✓; $23^2=529$ și $\sqrt{529}=23$ ✓; $200^2=40000$ și $\sqrt{40000}=200$ ✓.

Exemplul 2 — Recunoașterea pătratului „ascuns"

Calculează: $\sqrt{169}$ și $\sqrt{625}$, folosind ideea din lecție.

Rezolvare. Aici numărul nu apare scris ca putere, dar putem descoperi că este un pătrat perfect. Ne întrebăm: ce număr la pătrat dă $169$? Încercăm: $13^2=169$. Deci $169=13^2$, iar

$$\sqrt{169}=\sqrt{13^2}=13.$$

Pentru $625$: căutăm numărul al cărui pătrat este $625$. Cum $20^2=400$ și $30^2=900$, răspunsul e între $20$ și $30$. Încercăm $25^2=625$. Deci $625=25^2$ și

$$\sqrt{625}=\sqrt{25^2}=25.$$

Verificare. $13^2=169$ ✓ și $25^2=625$ ✓.

Exemplul 3 — Expresie de forma $\sqrt{a^2}+b$

Calculează: $E=\sqrt{14^2}+6-\sqrt{5^2}$.

Rezolvare. Simplificăm întâi fiecare rădăcină de pătrat:

$$\sqrt{14^2}=14,\sqrt{5^2}=5.$$

Înlocuim în expresie și facem calculul de la stânga la dreapta:

$$E=14+6-5=20-5=15.$$

Deci $E=15$.

Verificare parțială. Rădăcinile au fost corect simplificate: $14^2=196$, $\sqrt{196}=14$ ✓; $5^2=25$, $\sqrt{25}=5$ ✓.

Exemplul 4 — Produs și cât de rădăcini de pătrate

Calculează: $P=\sqrt{6^2}\cdot \sqrt{5^2}$ și $C=\frac{\sqrt{24^2}}{\sqrt{8^2}}$.

Rezolvare. La produs, simplificăm fiecare rădăcină și apoi înmulțim:

$$P=\sqrt{6^2}\cdot \sqrt{5^2}=6\cdot 5=30.$$

La cât, simplificăm fiecare rădăcină și apoi împărțim:

$$C=\frac{\sqrt{24^2}}{\sqrt{8^2}}=\frac{24}{8}=3.$$

Deci $P=30$ și $C=3$.

Verificare. Pentru $P$: pe drumul lung, $\sqrt{36}\cdot \sqrt{25}=6\cdot 5=30$ ✓. Pentru $C$: $\sqrt{576}/\sqrt{64}=24/8=3$ ✓.

Exemplul 5 — Expresie cu mai multe operații

Calculează: $F=\sqrt{10^2}+\sqrt{4^2}\cdot 3-\sqrt{7^2}$.

Rezolvare. Simplificăm rădăcinile: $\sqrt{10^2}=10$, $\sqrt{4^2}=4$, $\sqrt{7^2}=7$. Expresia devine:

$$F=10+4\cdot 3-7.$$

Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi adunarea și scăderea.

$$F=10+12-7=22-7=15.$$

Deci $F=15$. Reține că înmulțirea $4\cdot 3$ se face înaintea adunării; dacă am fi adunat greșit $10+4$ mai întâi, am fi obținut un rezultat fals.

Exemplul 6 — Problemă aplicată cu verificare

Problemă. O grădină pătrată are aria de $\sqrt{18^2}$ ari, iar o a doua grădină pătrată are aria de $\sqrt{7^2}$ ari. Câți ari au împreună cele două grădini? Verifică rezultatul.

Rezolvare. Aflăm fiecare arie folosind proprietatea:

$$\sqrt{18^2}=18\text{ ari},\sqrt{7^2}=7\text{ ari}.$$

Suma ariilor:

$$18+7=25\text{ ari}.$$

Verificare prin ridicare la pătrat. Controlăm că am simplificat corect: $18^2=324$ și $\sqrt{324}=18$ ✓; $7^2=49$ și $\sqrt{49}=7$ ✓. Cele două grădini au împreună $25$ de ari.

Exemplul 7 — Găsirea numărului de start

Problemă. Se știe că $\sqrt{a^2}=34$, unde $a$ este număr natural. Află $a$ și verifică.

Rezolvare. Din proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ rezultă imediat că rădăcina pătrată a lui $a^2$ este chiar numărul $a$. Deci $a=34$.

Verificare. $\sqrt{34^2}=34$ ✓, pentru că $34^2=1156$ și $\sqrt{1156}=34$. Observă cum problema ne cere să mergem „invers": nu calculăm rădăcina, ci recunoaștem că rezultatul $34$ este chiar numărul căutat.

Exemplul 8 — Expresie mai lungă, cu toate operațiile

Calculează: $G=\sqrt{9^2}\cdot \sqrt{2^2}+\sqrt{40^2}-\sqrt{5^2}\cdot 4$.

Rezolvare. Simplificăm fiecare rădăcină de pătrat:

$$\sqrt{9^2}=9,\sqrt{2^2}=2,\sqrt{40^2}=40,\sqrt{5^2}=5.$$

Expresia devine $G=9\cdot 2+40-5\cdot 4$. Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirile.

$$G=18+40-20=58-20=38.$$

Deci $G=38$. Cheia a fost să transformăm fiecare rădăcină într-un număr natural și abia apoi să calculăm, cu grijă la ordinea operațiilor.

Exemplul 9 — Recunoaștere cu tabelul pătratelor și comparare

Problemă. Calculează $\sqrt{324}$ și $\sqrt{289}$, apoi spune care dintre cele două rezultate este mai mare.

Rezolvare. Niciunul dintre numere nu este scris ca putere, așa că întâi recunoaștem pătratele perfecte cu ajutorul tabelului pătratelor. Căutăm $324$: îl găsim în dreptul lui $18$, deci $324=18^2$ și

$$\sqrt{324}=\sqrt{18^2}=18.$$

Căutăm $289$: îl găsim în dreptul lui $17$, deci $289=17^2$ și

$$\sqrt{289}=\sqrt{17^2}=17.$$

Acum comparăm rezultatele: $18>17$, prin urmare $\sqrt{324}>\sqrt{289}$. Observă cum n-a fost nevoie de niciun calcul greu — doar de recunoașterea pătratelor și de o comparare simplă de numere naturale.

Verificare. $18^2=324$ ✓ și $17^2=289$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi compară cu secțiunea de răspunsuri. La exercițiile de calcul, folosește proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ fără a mai efectua puterea.

1. Calculează: a) $\sqrt{4^2}$; b) $\sqrt{11^2}$; c) $\sqrt{30^2}$; d) $\sqrt{100^2}$.

2. Calculează: a) $\sqrt{1^2}$; b) $\sqrt{0^2}$; c) $\sqrt{50^2}$; d) $\sqrt{1000^2}$.

3. Scrie fiecare număr ca pătrat al unui număr natural, apoi extrage rădăcina: a) $\sqrt{36}$; b) $\sqrt{121}$; c) $\sqrt{225}$; d) $\sqrt{400}$.

4. Calculează: a) $\sqrt{8^2}+4$; b) $\sqrt{15^2}-9$; c) $12+\sqrt{6^2}$.

5. Calculează: a) $\sqrt{9^2}\cdot \sqrt{2^2}$; b) $\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{10^2}$.

6. Calculează: a) $\frac{\sqrt{20^2}}{\sqrt{4^2}}$; b) $\frac{\sqrt{45^2}}{\sqrt{9^2}}$.

7. Calculează, respectând ordinea operațiilor: $\sqrt{12^2}-\sqrt{3^2}\cdot 2$.

8. Calculează: $\sqrt{5^2}+\sqrt{4^2}+\sqrt{3^2}$.

9. Calculează valoarea expresiei $E=\sqrt{13^2}+\sqrt{6^2}-\sqrt{10^2}$.

10. Adevărat sau fals? Justifică fiecare răspuns. a) $\sqrt{8^2}=16$. b) $\sqrt{25^2}=25$. c) $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr natural $a$. d) $\sqrt{6^2}={\left(\sqrt{6}\right)}^2$.

11. Verifică prin ridicare la pătrat dacă egalitatea $\sqrt{17^2}=17$ este corectă. Arată calculul.

12. Găsește numărul natural $a$ care verifică $\sqrt{a^2}=21$.

13. Calculează: $\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{3^2}\cdot \sqrt{4^2}$.

14. Ordonează crescător numerele: $\sqrt{9^2}$, $\sqrt{7^2}$, $\sqrt{12^2}$, $\sqrt{5^2}$.

15. O piscină pătrată are latura de $\sqrt{14^2}$ metri. Calculează perimetrul piscinei (perimetrul pătratului = $4\times$ latura).

16. Un elev scrie $\sqrt{10^2}+\sqrt{24^2}=34$. Are dreptate? Verifică pas cu pas.

17. Calculează valoarea expresiei $M=\sqrt{20^2}-\sqrt{8^2}\cdot \sqrt{2^2}+5$.

18. (Raționament) Fără să calculezi puterile, explică de ce $\sqrt{999^2}=999$. La ce proprietate apelezi?

19. Folosind tabelul pătratelor, calculează: a) $\sqrt{196}$; b) $\sqrt{289}$; c) $\sqrt{361}$.

20. Compară, fără a calcula puterile: a) $\sqrt{16^2}$ și $\sqrt{19^2}$; b) $\sqrt{8^2}$ și $\sqrt{6^2}$.

21. Calculează valoarea expresiei $E=\sqrt{15^2}+\sqrt{8^2}\cdot \sqrt{2^2}-\sqrt{9^2}$.

22. O sală de clasă are podeaua pătrată, cu latura de $\sqrt{6^2}$ metri. Câte plăci pătrate cu latura de $1$ metru sunt necesare ca să acoperi podeaua? (Numărul de plăci = aria podelei, în metri pătrați.)

23. Adevărat sau fals? $\sqrt{144}=\sqrt{12^2}$. Justifică răspunsul.

24. Calculează: $\frac{\sqrt{30^2}+\sqrt{6^2}}{\sqrt{4^2}}$.

Răspunsuri și explicații

1. Aplicăm $\sqrt{a^2}=a$: a) $4$; b) $11$; c) $30$; d) $100$.

2. a) $1$ (căci $\sqrt{1^2}=1$); b) $0$ ($\sqrt{0^2}=0$); c) $50$; d) $1000$.

3. Recunoaștem pătratele perfecte: a) $36=6^2$, deci $\sqrt{36}=6$; b) $121=11^2$, deci $\sqrt{121}=11$; c) $225=15^2$, deci $\sqrt{225}=15$; d) $400=20^2$, deci $\sqrt{400}=20$.

4. a) $\sqrt{8^2}+4=8+4=12$; b) $\sqrt{15^2}-9=15-9=6$; c) $12+\sqrt{6^2}=12+6=18$.

5. a) $\sqrt{9^2}\cdot \sqrt{2^2}=9\cdot 2=18$; b) $\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{10^2}=7\cdot 10=70$.

6. a) $\frac{\sqrt{20^2}}{\sqrt{4^2}}=\frac{20}{4}=5$; b) $\frac{\sqrt{45^2}}{\sqrt{9^2}}=\frac{45}{9}=5$.

7. Simplific rădăcinile: $\sqrt{12^2}=12$, $\sqrt{3^2}=3$. Expresia devine $12-3\cdot 2=12-6=6$. (Întâi înmulțirea $3\cdot 2$, apoi scăderea.)

8. $\sqrt{5^2}+\sqrt{4^2}+\sqrt{3^2}=5+4+3=12$.

9. $E=13+6-10=19-10=9$.

10. a) Fals. $\sqrt{8^2}=8$, nu $16$; regula dă numărul însuși, nu dublul lui. b) Adevărat. $\sqrt{25^2}=25$, aplicare directă. c) Adevărat. Aceasta este chiar proprietatea studiată, valabilă pentru orice număr natural $a$. d) Adevărat. $\sqrt{6^2}=6$ și ${\left(\sqrt{6}\right)}^2=6$; ambele dau $6$, pentru că ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse.

11. Verific: ridic $17$ la pătrat: $17^2=289$. Sub radical aveam $17^2=289$. Se potrivește, iar $17\ge 0$, deci egalitatea $\sqrt{17^2}=17$ este corectă.

12. Din $\sqrt{a^2}=a$ rezultă $a=21$. Verificare: $\sqrt{21^2}=21$ ✓.

13. $\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{3^2}\cdot \sqrt{4^2}=2\cdot 3\cdot 4=24$.

14. Simplific fiecare: $\sqrt{9^2}=9$, $\sqrt{7^2}=7$, $\sqrt{12^2}=12$, $\sqrt{5^2}=5$. Ordonat crescător: $5<7<9<12$, adică $\sqrt{5^2}<\sqrt{7^2}<\sqrt{9^2}<\sqrt{12^2}$.

15. Latura este $\sqrt{14^2}=14$ m. Perimetrul: $4\cdot 14=56$ m.

16. Verific: $\sqrt{10^2}=10$ și $\sqrt{24^2}=24$, deci suma este $10+24=34$. Elevul are dreptate, rezultatul $34$ este corect.

17. Simplific: $\sqrt{20^2}=20$, $\sqrt{8^2}=8$, $\sqrt{2^2}=2$. Expresia devine $20-8\cdot 2+5=20-16+5=4+5=9$. (Întâi înmulțirea $8\cdot 2=16$, apoi scăderea și adunarea de la stânga la dreapta.) Deci $M=9$.

18. Apelez la proprietatea $\sqrt{a^2}=a$. Numărul de sub radical este chiar $999$ ridicat la pătrat, iar $999$ este număr natural (deci pozitiv). Prin urmare rădăcina „desface" pătratul și rezultatul este exact $999$, fără a calcula $999^2$.

19. Din tabelul pătratelor: a) $196=14^2$, deci $\sqrt{196}=14$; b) $289=17^2$, deci $\sqrt{289}=17$; c) $361=19^2$, deci $\sqrt{361}=19$.

20. a) $\sqrt{16^2}=16$ și $\sqrt{19^2}=19$; cum $16<19$, avem $\sqrt{16^2}<\sqrt{19^2}$. b) $\sqrt{8^2}=8$ și $\sqrt{6^2}=6$; cum $8>6$, avem $\sqrt{8^2}>\sqrt{6^2}$.

21. Simplific rădăcinile: $\sqrt{15^2}=15$, $\sqrt{8^2}=8$, $\sqrt{2^2}=2$, $\sqrt{9^2}=9$. Expresia devine $15+8\cdot 2-9$. Întâi înmulțirea: $8\cdot 2=16$; apoi $15+16-9=31-9=22$. Deci $E=22$.

22. Latura podelei este $\sqrt{6^2}=6$ m, deci aria este $6\cdot 6=36$ m². Sunt necesare $36$ de plăci pătrate cu latura de $1$ metru.

23. Adevărat. Numărul $144$ este pătrat perfect, căci $12^2=144$; putem deci scrie $144=12^2$. Prin urmare $\sqrt{144}=\sqrt{12^2}$, ambele fiind egale cu $12$.

24. Simplific rădăcinile: $\sqrt{30^2}=30$, $\sqrt{6^2}=6$, $\sqrt{4^2}=4$. Expresia devine $\frac{30+6}{4}=\frac{36}{4}=9$.

De reținut

• Proprietatea cheie: $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr natural $a$.
• Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii pătrate sunt operații inverse pentru numerele naturale: pornind de la $a$, obții $a^2$, iar apoi te întorci la $a$.
• Când vezi $\sqrt{(\text{numa˘r natural}{)}^2}$, scrii direct numărul, fără să calculezi puterea: $\sqrt{100^2}=100$.
• În expresii combinate, simplifică întâi fiecare rădăcină, apoi respectă ordinea operațiilor.
• Verifică orice rezultat cu rădăcini ridicându-l la pătrat: dacă $\sqrt{N}=t$, atunci trebuie ca $t\ge 0$ și $t^2=N$.

Greșeli frecvente

• „$\sqrt{a^2}$ înseamnă $2a$." Fals. Rezultatul este $a$, nu dublul lui. $\sqrt{9^2}=9$, nu $18$. Radicalul și exponentul $2$ se anulează, nu se înmulțesc.
• Calculezi inutil puterea. Nu e greșit, dar pierzi timp: la $\sqrt{50^2}$ nu ai nevoie de $50^2=2500$; răspunsul e direct $50$. Antrenează-te să folosești scurtătura.
• Confuzi $\sqrt{a^2}$ cu $\sqrt{a}$. Sub radical trebuie să vezi clar dacă numărul este sau nu ridicat la pătrat. $\sqrt{16}$ (adică $\sqrt{4^2}$) dă $4$, în timp ce $\sqrt{4}$ dă $2$ — sunt lucruri diferite.
• Nu respecți ordinea operațiilor în expresii combinate. După ce simplifici rădăcinile, înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii. La $\sqrt{9^2}+\sqrt{4^2}\cdot 2$ obții $9+8=17$, nu $(9+4)\cdot 2$.

Aplică acasă

• Măsoară și verifică. Alege un obiect pătrat din casă (o dală, o față de cub Rubik, un tablou pătrat). Măsoară latura în centimetri, ridic-o la pătrat ca să afli aria, apoi extrage rădăcina ariei și confirmă că obții din nou latura. Ai demonstrat practic că $\sqrt{a^2}=a$.
• Fabrică-ți propriile exerciții. Scrie pe un bilet zece numere naturale la alegere (de la $1$ la $500$). Pentru fiecare, notează expresia $\sqrt{(\text{numa˘r}{)}^2}$ și scrie instant răspunsul, fără calculator. Apoi verifică unul-două cazuri ridicând la pătrat.
• Jocul „dus-întors". Provoacă un coleg sau un părinte: tu spui un număr, el trebuie să spună rapid $\sqrt{(\text{acel numa˘r}{)}^2}$. Răspunsul corect e mereu... numărul de start. Schimbați rolurile și cronometrați-vă.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează ideea de operații inverse, un concept care revine mereu în matematică (de la adunare–scădere până la putere–rădăcină). Elevul nu trebuie doar să memoreze $\sqrt{a^2}=a$, ci să înțeleagă de ce funcționează: pentru că rădăcina „caută" numărul pozitiv care ridicat la pătrat dă expresia de sub radical, iar acel număr este chiar $a$.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Cât face $\sqrt{7^2}$ și de ce nu e nevoie să calculezi $7^2$?"
• „De ce spunem că ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii se anulează una pe cealaltă?"
• „Cum verifici, ridicând la pătrat, că $\sqrt{169}=13$?"

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: dă răspunsul instant la $\sqrt{(\text{natural}{)}^2}$ fără să efectueze puterea, explică cu cuvintele lui de ce rezultatul e numărul însuși și nu dublul, și își verifică singur calculele ridicând la pătrat. Dacă apare confuzia „$\sqrt{a^2}=2a$", reveniți la un exemplu concret ($\sqrt{9^2}=9$, verificat prin $9^2=81$) și lăsați-l să observe singur eroarea. Precizați că lecția se referă la numere naturale; cazul general, cu numere care pot fi negative, vine imediat în Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: √(a²) = |a|.

Întrebări frecvente

Cât face rădăcina pătrată dintr-un număr ridicat la pătrat? Face exact numărul respectiv, dacă acel număr este natural: $\sqrt{a^2}=a$. De exemplu, $\sqrt{8^2}=8$ și $\sqrt{150^2}=150$. Rădăcina „desface" ridicarea la pătrat, pentru că sunt operații inverse.

De ce nu trebuie să mai calculez puterea la $\sqrt{15^2}$? Pentru că proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ îți dă direct rezultatul: numărul de sub radical este $15$ la pătrat, deci rădăcina te întoarce la $15$. Ai calcula $15^2=225$ și apoi $\sqrt{225}=15$ complet degeaba — ajungi tot la $15$.

Este $\sqrt{a^2}$ același lucru cu $2a$? Nu, este o greșeală frecventă. $\sqrt{a^2}=a$, adică numărul însuși, nu dublul lui. De exemplu $\sqrt{6^2}=6$, nu $12$. Semnul de radical împreună cu exponentul $2$ se anulează reciproc.

Ce înseamnă că ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse? Înseamnă că una „desface" ce face cealaltă. Dacă pornești de la un număr natural $a$, îl ridici la pătrat ($a^2$) și apoi extragi rădăcina, te întorci la $a$. Este ca și cum ai încuia și apoi ai descuia aceeași ușă.

Cum verific dacă am extras corect o rădăcină pătrată? Ridici rezultatul la pătrat și vezi dacă obții numărul de sub radical. Dacă susții că $\sqrt{N}=t$, verifici că $t\ge 0$ și că $t^2=N$. De exemplu, $\sqrt{225}=15$ e corect pentru că $15^2=225$.

Proprietatea $\sqrt{a^2}=a$ merge și pentru numere negative? La această lecție lucrăm doar cu numere naturale, unde $a\ge 0$, așa că da, merge perfect. Pentru numere care pot fi negative, regula se schimbă puțin și devine $\sqrt{a^2}=|a|$ (modulul lui $a$) — vei studia acest caz în lecția următoare.

Ce fac dacă numărul de sub radical nu este scris ca putere, de exemplu $\sqrt{144}$? Cauți numărul natural al cărui pătrat este $144$. Cum $12^2=144$, poți scrie $\sqrt{144}=\sqrt{12^2}=12$. Practic recunoști că numărul este un pătrat perfect și aplici aceeași proprietate.

Cum calculez o expresie ca $\sqrt{9^2}+\sqrt{4^2}\cdot 3$? Simplifici întâi fiecare rădăcină: $\sqrt{9^2}=9$ și $\sqrt{4^2}=4$. Obții $9+4\cdot 3$. Respectând ordinea operațiilor, faci întâi înmulțirea ($4\cdot 3=12$), apoi adunarea: $9+12=21$.