Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate

Când calculatorul îți arată că $\sqrt{2}=1,41421356\dots$ și zecimalele nu se mai termină niciodată, apare o întrebare foarte practică: cum lucrezi cu un astfel de număr? Dacă un tâmplar trebuie să taie o scândură lungă de $\sqrt{2}$ metri, el nu poate măsura o infinitate de zecimale — alege o valoare apropiată, de exemplu $1,41$ m sau $1,42$ m. Exact asta înseamnă aproximarea unei rădăcini pătrate prin lipsă și prin adaos: să prindem numărul irațional între două numere zecimale simple, unul mai mic și unul mai mare, cât mai apropiate de el. În această lecție de matematică pentru clasa a 7-a înveți să faci aproximări la unități, la zecimi și la sutimi, să rotunjești corect o rădăcină și să compari rădăcini fără calculator.

Ce vei învăța

• Vei ști să aproximezi o rădăcină pătrată prin lipsă și prin adaos, la unități, la zecimi și la sutimi.
• Vei ști să rotunjești o rădăcină pătrată la zecimi și la sutimi și să înțelegi diferența dintre rotunjire și aproximare prin lipsă/adaos.
• Vei ști să folosești aproximările pentru a compara și ordona rădăcini pătrate și numere raționale, fără calculator.
• Vei ști să aplici aproximarea rădăcinii în probleme practice de măsurători și lungimi.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de aproximări

Din lecțiile anterioare știi deja că unele rădăcini pătrate „ies frumos": $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{100}=10$, pentru că $9$ și $100$ sunt pătrate perfecte. Dar cele mai multe numere nu sunt pătrate perfecte. Numere ca $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ sunt numere iraționale: scrierea lor zecimală are o infinitate de zecimale care nu se repetă după niciun tipar. Nu le poți scrie complet niciodată.

Ce facem atunci? Le încadrăm. Găsim un număr zecimal puțin mai mic decât rădăcina și un număr zecimal puțin mai mare, cât de apropiate vrem noi. Cu cât folosim mai multe zecimale, cu atât încadrarea e mai strânsă.

Ideea de bază pe care ne sprijinim mereu este simplă și o folosim în toată lecția:

$$\text{Daca˘ }0\le x\le y,\text{ atunci }\sqrt{x}\le \sqrt{y}.$$

Cu alte cuvinte, rădăcina pătrată păstrează ordinea: un număr mai mare are rădăcina mai mare. De aceea, ca să prindem $\sqrt{a}$ între două valori, e de ajuns să ridicăm acele valori la pătrat și să vedem între ce pătrate se află $a$.

2. Aproximarea prin lipsă și prin adaos la unități (numere întregi)

Să începem cel mai simplu: cu numere întregi. Vrem să aproximăm $\sqrt{7}$.

Ne întrebăm: între ce două pătrate perfecte consecutive se află $7$?

$$2^2=4\text{și}{3}^2=9,\text{iar }4<7<9.$$

Aplicăm rădăcina peste tot (ordinea se păstrează):

$$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}⟹2<\sqrt{7}<3.$$

Am prins $\sqrt{7}$ între $2$ și $3$. Acum dăm nume celor două margini:

• Aproximarea prin lipsă la unități a lui $\sqrt{7}$ este $2$ (numărul întreg mai mic, „lipsește ceva" până la valoarea adevărată).
• Aproximarea prin adaos la unități a lui $\sqrt{7}$ este $3$ (numărul întreg mai mare, „am adăugat ceva" peste valoarea adevărată).

Definiție. Aproximarea prin lipsă la unități a lui $\sqrt{a}$ este cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n^2\le a$. Aproximarea prin adaos este atunci $n+1$ (când $a$ nu este pătrat perfect).

Ține minte o analogie utilă: aproximarea prin lipsă este ca podeaua de sub tine (ești mai sus decât ea), iar aproximarea prin adaos este ca tavanul de deasupra (ești mai jos decât el). Valoarea adevărată a rădăcinii stă mereu între podea și tavan.

Încă un exemplu, cu un număr mai mare: $\sqrt{44}$. Căutăm pătratele perfecte vecine:

$$6^2=36,7^2=49,36<44<49,$$

deci $6<\sqrt{44}<7$. Prin lipsă la unități: $6$. Prin adaos la unități: $7$.

Truc: nu e nevoie să știi rezultatul exact. E de ajuns să recunoști pătratele perfecte din jur. Merită să ai în cap primele pătrate: $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144\dots$

Atenție la un caz special: dacă numărul de sub radical este pătrat perfect, atunci rădăcina este un număr natural și nu mai are sens să vorbim despre lipsă și adaos — valoarea este exactă. De exemplu $\sqrt{36}=6$ exact, deci nu spunem „prin lipsă $5$, prin adaos $6$"; aproximarea are rost doar când $a$ nu este pătrat perfect. Aproximarea prin lipsă și prin adaos există tocmai pentru numerele care „nu ies frumos".

3. Aproximarea la zecimi (o zecimală)

Acum vrem mai multă precizie: aproximări cu o zecimală, adică la zecimi. Să lucrăm cu $\sqrt{2}$.

Știm deja că $1<\sqrt{2}<2$. Împărțim intervalul de la $1$ la $2$ în zecimi și încercăm, pas cu pas, ridicând la pătrat numere de forma $1,1$; $1,2$; $1,3\dots$ Vrem să vedem între ce zecimi „cade" numărul $2$ de sub radical:

$$1,4^2=1,96\text{și}1,5^2=2,25.$$

Observăm că $1,96<2<2,25$. Aplicăm rădăcina:

$$1,4<\sqrt{2}<1,5.$$

Deci:

• Aproximarea prin lipsă la zecimi a lui $\sqrt{2}$ este $1,4$.
• Aproximarea prin adaos la zecimi a lui $\sqrt{2}$ este $1,5$.

Metoda de lucru, mereu aceeași: ridic la pătrat candidații și compar cu numărul de sub radical. Nu compar rădăcinile direct (nu le știu), ci compar pătratele lor (pe care le pot calcula ușor).

Să mai facem unul: $\sqrt{5}$ la zecimi. Știm că $2<\sqrt{5}<3$. Testăm zecimile între $2$ și $3$:

$$2,2^2=4,84,2,3^2=5,29.$$

Cum $4,84<5<5,29$, rezultă $2,2<\sqrt{5}<2,3$. Prin lipsă la zecimi: $2,2$; prin adaos la zecimi: $2,3$.

4. Aproximarea la sutimi (două zecimale)

Mergem un pas mai departe și strângem încadrarea la două zecimale, adică la sutimi. Reluăm $\sqrt{2}$, care e deja între $1,4$ și $1,5$. Împărțim acest interval în sutimi și testăm:

$$1,41^2=1,9881,1,42^2=2,0164.$$

Deoarece $1,9881<2<2,0164$, obținem:

$$1,41<\sqrt{2}<1,42.$$

• Prin lipsă la sutimi: $\sqrt{2}\approx 1,41$.
• Prin adaos la sutimi: $\sqrt{2}\approx 1,42$.

Simbolul $\approx$ se citește „aproximativ egal" și se folosește ori de câte ori scriem o valoare care nu este exactă, ci apropiată.

Observă frumusețea metodei: la fiecare pas nu o luăm de la zero, ci pornim de la încadrarea anterioară și o rafinăm. Am trecut de la „$1$ și $2$", la „$1,4$ și $1,5$", la „$1,41$ și $1,42$". Fiecare treaptă adaugă o zecimală de precizie.

5. Rotunjirea rădăcinii pătrate

Aproximarea prin lipsă și prin adaos îți dă ambele margini. Uneori însă vrei o singură valoare, cea mai apropiată de rădăcină. Aceasta se numește rotunjire.

Regula rotunjirii (aceeași ca la orice număr zecimal): ne uităm la prima cifră pe care o eliminăm.

• Dacă acea cifră este $0,1,2,3$ sau $4$, rotunjim în jos (păstrăm cifra dinainte) — practic alegem aproximarea prin lipsă.
• Dacă acea cifră este $5,6,7,8$ sau $9$, rotunjim în sus (mărim cu $1$ cifra dinainte) — practic alegem aproximarea prin adaos.

Exemplu: rotunjim $\sqrt{2}=1,41421\dots$

• la zecimi: privim a doua zecimală, care este $1$ (mai mic decât $5$) $\Rightarrow$ rotunjim în jos $\Rightarrow \sqrt{2}\approx 1,4$.
• la sutimi: privim a treia zecimală, care este $4$ (mai mic decât $5$) $\Rightarrow$ rotunjim în jos $\Rightarrow \sqrt{2}\approx 1,41$.

Alt exemplu, unde rotunjirea urcă: $\sqrt{15}=3,87298\dots$

• la zecimi: a doua zecimală este $7\ge 5\Rightarrow$ rotunjim în sus $\Rightarrow \sqrt{15}\approx 3,9$.
• la sutimi: a treia zecimală este $2<5\Rightarrow$ rotunjim în jos $\Rightarrow \sqrt{15}\approx 3,87$.

Legătura cu lipsă și adaos: rotunjirea alege, dintre aproximarea prin lipsă și cea prin adaos, pe cea mai apropiată de valoarea reală. La $\sqrt{15}$ la zecimi, marginile sunt $3,8$ (lipsă) și $3,9$ (adaos); cum $3,873$ e mai aproape de $3,9$, rotunjirea dă $3,9$.

Rotunjirea funcționează la fel și dacă sub radical avem un număr rațional pozitiv (o fracție zecimală). De exemplu, $\sqrt{7,3}=2,70185\dots$; rotunjit la sutimi, a treia zecimală este $1<5$, deci $\sqrt{7,3}\approx 2,70$.

6. Compararea și ordonarea rădăcinilor cu ajutorul aproximărilor

Aproximările sunt o unealtă excelentă când vrem să comparăm o rădăcină cu un număr rațional (o zecimală sau o fracție), fără calculator.

Ideea-cheie: ca să compar $\sqrt{a}$ cu un număr pozitiv $r$, ridic ambele la pătrat și compar $a$ cu $r^2$. Deoarece rădăcina păstrează ordinea:

$$\sqrt{a}<r⟺a<r^2,\sqrt{a}>r⟺a>r^2.$$

Exemplu: cine e mai mare, $\sqrt{7}$ sau $2,6$? Ridicăm la pătrat: $2,6^2=6,76$. Comparăm cu $7$: cum $7>6,76$, rezultă $\sqrt{7}>2,6$.

Alt exemplu: comparăm $\sqrt{7}$ cu $2,65$. Avem $2,65^2=7,0225>7$, deci $\sqrt{7}<2,65$. Am și confirmat astfel că $2,6<\sqrt{7}<2,65$, adică prin lipsă la sutimi $\sqrt{7}\approx 2,64$ (poți verifica: $2,64^2=6,9696<7$).

Pentru ordonare, cel mai comod este să scriem fiecare număr ca aproximare zecimală (rotunjită cu suficiente zecimale) și apoi să le așezăm în ordine. Exemplu: ordonează crescător $\frac{7}{3}$, $\sqrt{6}$ și $\frac{5}{2}$.

$$\frac{7}{3}\approx 2,33,\sqrt{6}\approx 2,45,\frac{5}{2}=2,5.$$

Ordinea crescătoare este $\frac{7}{3}<\sqrt{6}<\frac{5}{2}$.

Mai facem un exemplu de ordonare, ca să prinzi bine tehnica. Ordonează descrescător $3,2$, $\sqrt{10}$ și $\sqrt{11}$. Aproximăm rădăcinile la sutimi: $\sqrt{10}\approx 3,16$ și $\sqrt{11}\approx 3,32$. Așezăm cele trei valori: $3,32>3,2>3,16$, deci ordinea descrescătoare este $\sqrt{11}>3,2>\sqrt{10}$. Observă un mic pericol: $\sqrt{10}$ și $3,2$ sunt foarte apropiate, așa că a fost esențial să folosim două zecimale; cu o singură zecimală, ambele s-ar fi rotunjit la $3,2$ și nu am fi putut decide care e mai mare. Regula practică: când numerele sunt aproape egale, folosește mai multe zecimale în aproximare.

Poți învăța mai multe despre așezarea numerelor iraționale pe axă în lecția Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări, iar despre estimarea rapidă a unei rădăcini în lecția Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv.

7. De ce alegem lipsă sau adaos: problemele practice

În viața reală, alegerea între aproximarea prin lipsă și cea prin adaos nu e la întâmplare — depinde de situație.

Imaginează-ți o grădină pătrată cu aria de $200{\text{ m}}^2$. Latura ei este $\sqrt{200}$ metri, pentru că latura la pătrat dă aria. Calculăm o încadrare la sutimi: $14,14^2=199,9396$ și $14,15^2=200,2225$, deci

$$14,14<\sqrt{200}<14,15.$$

Dacă vrei să cumperi gard pentru a împrejmui grădina, ce aproximare folosești pentru latură? Pe cea prin adaos, $14,15$ m! Dacă ai lua valoarea prin lipsă, ai cumpăra prea puțin gard și ți-ar rămâne un colț neîmprejmuit. Când e vorba de „să nu-mi lipsească", alegem adaosul.

În schimb, dacă vrei să tai o bucată dintr-o scândură și să fii sigur că nu depășești o anumită lungime, alegi aproximarea prin lipsă — mai bine ceva mai scurt decât să treci de limită. Regula practică: „ca să-mi ajungă" $\to$ adaos; „ca să nu depășesc" $\to$ lipsă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aproximare prin lipsă și prin adaos la unități. Aproximează $\sqrt{30}$ prin lipsă și prin adaos la unități.

Căutăm pătratele perfecte vecine: $5^2=25$ și $6^2=36$. Cum $25<30<36$, aplicăm rădăcina și obținem $5<\sqrt{30}<6$. Răspuns: prin lipsă $5$, prin adaos $6$.

Exemplul 2 — aproximare la zecimi. Aproximează $\sqrt{11}$ prin lipsă și prin adaos la zecimi.

Întâi la unități: $3^2=9<11<16=4^2$, deci $3<\sqrt{11}<4$. Acum testăm zecimile: $$3,3^2=10,89,3,4^2=11,56.$$ Cum $10,89<11<11,56$, avem $3,3<\sqrt{11}<3,4$. Răspuns: prin lipsă $3,3$; prin adaos $3,4$.

Exemplul 3 — aproximare la sutimi. Aproximează $\sqrt{10}$ prin lipsă și prin adaos la sutimi.

Știm $3,1<\sqrt{10}<3,2$ (pentru că $3,1^2=9,61$ și $3,2^2=10,24$). Rafinăm la sutimi: $$3,16^2=9,9856,3,17^2=10,0489.$$ Cum $9,9856<10<10,0489$, obținem $3,16<\sqrt{10}<3,17$. Răspuns: prin lipsă $3,16$; prin adaos $3,17$.

Exemplul 4 — rotunjire la zecimi și la sutimi. Se dă $\sqrt{13}=3,60555\dots$ Rotunjește la zecimi și la sutimi.

• La zecimi: a doua zecimală este $0<5\Rightarrow$ rotunjire în jos $\Rightarrow \sqrt{13}\approx 3,6$.
• La sutimi: a treia zecimală este $5\ge 5\Rightarrow$ rotunjire în sus $\Rightarrow \sqrt{13}\approx 3,61$.

Exemplul 5 — comparare fără calculator. Compară $\sqrt{17}$ cu $4,2$.

Ridicăm $4,2$ la pătrat: $4,2^2=17,64$. Comparăm cu numărul de sub radical: $17<17,64$, deci $\sqrt{17}<4,2$. Răspuns: $\sqrt{17}<4,2$.

Exemplul 6 — problemă practică. O placă pătrată de sticlă are aria de $50{\text{ cm}}^2$. Ce lungime are latura ei, aproximată prin adaos la zecimi?

Latura este $\sqrt{50}$ cm. Aproximăm la zecimi: $7,0^2=49$ și $7,1^2=50,41$, deci $7<\sqrt{50}<7,1$. Cum $49<50<50,41$, aproximarea prin lipsă este $7,0$, iar cea prin adaos este $7,1$. Răspuns: latura, prin adaos la zecimi, este $7,1$ cm.

Exemplul 7 — ordonare crescătoare. Ordonează crescător numerele $\sqrt{5}$, $2,3$ și $\frac{9}{4}$.

Aducem totul la formă zecimală, cu suficiente zecimale ca să putem decide. Fracția: $\frac{9}{4}=2,25$. Numărul $2,3$ e deja zecimal. Pentru $\sqrt{5}$ nu ghicim, ci comparăm prin ridicare la pătrat. Comparăm mai întâi $\sqrt{5}$ cu $2,25$: cum $2,25^2=5,0625>5$, rezultă $\sqrt{5}<2,25$. Apoi comparăm $\sqrt{5}$ cu $2,3$: cum $2,3^2=5,29>5$, rezultă și $\sqrt{5}<2,3$. Deci $\sqrt{5}$ este cel mai mic. Între $2,25$ și $2,3$ ordinea e clară: $2,25<2,3$. Răspuns: $\sqrt{5}<\frac{9}{4}<2,3$ (poți verifica: $\sqrt{5}\approx 2,24$).

Exemplul 8 — între ce numere naturale. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{55}$ și de care este mai apropiat?

Pătratele perfecte vecine: $7^2=49$ și $8^2=64$, iar $49<55<64$, deci $7<\sqrt{55}<8$. Ca să vedem de care e mai apropiat, comparăm cu mijlocul $7,5$: $7,5^2=56,25>55$, deci $\sqrt{55}<7,5$. Răspuns: $\sqrt{55}$ este între $7$ și $8$, mai aproape de $7$ (de fapt $\sqrt{55}\approx 7,42$).

Să exersăm

1. Aproximează prin lipsă și prin adaos la unități: a) $\sqrt{7}$; b) $\sqrt{19}$; c) $\sqrt{30}$; d) $\sqrt{44}$.

2. Aproximează prin lipsă și prin adaos la zecimi: a) $\sqrt{2}$; b) $\sqrt{5}$; c) $\sqrt{11}$; d) $\sqrt{23}$.

3. Aproximează prin lipsă și prin adaos la sutimi: a) $\sqrt{3}$; b) $\sqrt{6}$; c) $\sqrt{10}$.

4. Rotunjește la zecimi: a) $\sqrt{8}$; b) $\sqrt{15}$; c) $\sqrt{20}$.

5. Rotunjește la sutimi: a) $\sqrt{7}$; b) $\sqrt{13}$; c) $\sqrt{40}$.

6. Adevărat sau fals? Justifică fiecare răspuns. a) Aproximarea prin lipsă la unități a lui $\sqrt{50}$ este $7$. b) $\sqrt{30}$ rotunjit la zecimi este $5,4$. c) $\sqrt{2}<1,5$. d) $\sqrt{17}>4,2$.

7. Fără calculator, compară $\sqrt{7}$ cu $2,6$.

8. Fără calculator, compară $\sqrt{11}$ cu $3,35$.

9. Ordonează crescător: $\sqrt{6}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{7}{3}$.

10. Ordonează descrescător: $3,2$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$.

11. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{85}$? De care dintre ele este mai apropiat?

12. Un teren pătrat are aria de $50{\text{ m}}^2$. Aproximează latura terenului prin adaos la zecimi.

13. O grădină pătrată are aria de $200{\text{ m}}^2$. Aproximând latura prin adaos la sutimi, calculează câți metri de gard trebuie cumpărați pentru a o împrejmui complet. Explică de ce folosești adaosul, nu lipsa.

14. O placă pătrată are aria de $90{\text{ cm}}^2$. Estimează latura ei, rotunjită la zecimi.

15. Găsește: a) cel mai mic număr natural $n$ pentru care $\sqrt{n}>12$; b) cel mai mare număr natural $n$ pentru care $\sqrt{n}<8$.

16. Rotunjește la sutimi: a) $\sqrt{7,3}$; b) $\sqrt{0,5}$; c) $\sqrt{85}$.

17. Ordonează crescător: $\sqrt{5}$, $2,3$, $\frac{9}{4}$.

18. Fără calculator, compară $\sqrt{55}$ cu $7,5$ și spune între ce două numere naturale se află $\sqrt{55}$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\sqrt{7}$: $2^2=4<7<9=3^2\Rightarrow$ lipsă $2$, adaos $3$. b) $\sqrt{19}$: $16<19<25\Rightarrow$ lipsă $4$, adaos $5$. c) $\sqrt{30}$: $25<30<36\Rightarrow$ lipsă $5$, adaos $6$. d) $\sqrt{44}$: $36<44<49\Rightarrow$ lipsă $6$, adaos $7$.

2. a) $1,4^2=1,96<2<2,25=1,5^2\Rightarrow$ lipsă $1,4$, adaos $1,5$. b) $2,2^2=4,84<5<5,29\Rightarrow$ lipsă $2,2$, adaos $2,3$. c) $3,3^2=10,89<11<11,56\Rightarrow$ lipsă $3,3$, adaos $3,4$. d) $4,7^2=22,09<23<23,04=4,8^2\Rightarrow$ lipsă $4,7$, adaos $4,8$.

3. a) $1,73^2=2,9929<3<3,0276=1,74^2\Rightarrow$ lipsă $1,73$, adaos $1,74$. b) $2,44^2=5,9536<6<6,0025=2,45^2\Rightarrow$ lipsă $2,44$, adaos $2,45$. c) $3,16^2=9,9856<10<10,0489\Rightarrow$ lipsă $3,16$, adaos $3,17$.

4. a) $\sqrt{8}=2,828\dots$; a doua zecimală $2<5\Rightarrow$ $2,8$. b) $\sqrt{15}=3,872\dots$; a doua zecimală $7\ge 5\Rightarrow$ $3,9$. c) $\sqrt{20}=4,472\dots$; a doua zecimală $7\ge 5\Rightarrow$ $4,5$.

5. a) $\sqrt{7}=2,6457\dots$; a treia zecimală $5\ge 5\Rightarrow$ $2,65$. b) $\sqrt{13}=3,6055\dots$; a treia zecimală $5\ge 5\Rightarrow$ $3,61$. c) $\sqrt{40}=6,3245\dots$; a treia zecimală $4<5\Rightarrow$ $6,32$.

6. a) Adevărat. $7^2=49\le 50<64=8^2$, deci prin lipsă la unități este $7$. b) **Fals.** $\sqrt{30}=5,477\dots$; a doua zecimală $7\ge 5$, deci rotunjit la zecimi dă $5,5$, nu $5,4$. c) **Adevărat.** $1,5^2=2,25>2\Rightarrow \sqrt{2}<1,5$. d) **Fals.** $4,2^2=17,64>17\Rightarrow \sqrt{17}<4,2$.

7. $2,6^2=6,76$; cum $7>6,76\Rightarrow \boxed{\sqrt{7}>2,6}$.

8. $3,35^2=11,2225$; cum $11<11,2225\Rightarrow \boxed{\sqrt{11}<3,35}$.

9. $\frac{7}{3}\approx 2,33$; $\sqrt{6}\approx 2,45$; $\frac{5}{2}=2,5$. Crescător: $\boxed{\frac{7}{3}<\sqrt{6}<\frac{5}{2}}$.

10. $\sqrt{11}\approx 3,32$; $3,2$; $\sqrt{10}\approx 3,16$. Descrescător: $\boxed{\sqrt{11}>3,2>\sqrt{10}}$.

11. $9^2=81\le 85<100=10^2\Rightarrow 9<\sqrt{85}<10$, deci între $9$ și $10$. Cum $9,5^2=90,25>85$, valoarea este sub $9,5$, deci mai apropiată de $9$ ($\sqrt{85}\approx 9,22$).

12. $\sqrt{50}$: $7^2=49<50<50,41=7,1^2\Rightarrow 7<\sqrt{50}<7,1$. Prin adaos la zecimi: $7,1$ m.

13. Latura este $\sqrt{200}$. La sutimi: $14,14^2=199,9396<200<200,2225=14,15^2$, deci prin adaos $14,15$ m. Perimetrul: $4\times 14,15=\boxed{56,6\text{ m de gard}}$. Folosim adaosul ca să fim siguri că gardul ajunge de jur împrejur; cu valoarea prin lipsă ($14,14$) am cumpăra puțin prea puțin și ar rămâne un colț neacoperit.

14. $\sqrt{90}=9,4868\dots$; a doua zecimală $8\ge 5\Rightarrow$ rotunjit la zecimi $9,5$ cm.

15. a) $\sqrt{144}=12$, deci $\sqrt{n}>12⟺n>144$; cel mai mic natural este $n=145$. b) $\sqrt{64}=8$, deci $\sqrt{n}<8⟺n<64$; cel mai mare natural este $n=63$.

16. a) $\sqrt{7,3}=2,7018\dots$; a treia zecimală $1<5\Rightarrow$ $2,70$. b) $\sqrt{0,5}=0,7071\dots$; a treia zecimală $7\ge 5\Rightarrow$ $0,71$. c) $\sqrt{85}=9,2195\dots$; a treia zecimală $9\ge 5\Rightarrow$ $9,22$.

17. $\frac{9}{4}=2,25$; comparăm $\sqrt{5}$ cu ambele numere ridicând la pătrat: $2,25^2=5,0625>5\Rightarrow \sqrt{5}<2,25$; $2,3^2=5,29>5\Rightarrow \sqrt{5}<2,3$. Cum $2,25<2,3$, crescător: $\boxed{\sqrt{5}<\frac{9}{4}<2,3}$.

18. $7,5^2=56,25$; cum $55<56,25\Rightarrow \sqrt{55}<7,5$. Iar $7^2=49<55<64=8^2\Rightarrow 7<\sqrt{55}<8$, deci $\sqrt{55}$ este între $7$ și $8$, mai aproape de $7$ ($\sqrt{55}\approx 7,42$).

De reținut

• Aproximare prin lipsă = margine mai mică (podeaua); aproximare prin adaos = margine mai mare (tavanul). Valoarea reală a rădăcinii stă mereu între ele.
• Pentru $\sqrt{a}$, aproximarea prin lipsă la unități este cel mai mare număr natural $n$ cu $n^2\le a$; adaosul este $n+1$.
• Metoda de aproximare la zecimi/sutimi: ridic candidații la pătrat și compar cu numărul de sub radical, nu compar rădăcinile direct.
• Rotunjirea alege cea mai apropiată margine: dacă prima cifră eliminată este $\ge 5$ rotunjești în sus, dacă este $<5$ rotunjești în jos.
• Pentru comparare: $\sqrt{a}<r⟺a<r^2$ (pentru numere pozitive), pentru că rădăcina pătrată păstrează ordinea.

Greșeli frecvente

• Confuzia lipsă ↔ adaos. Ține minte: prin lipsă = numărul mai mic (lipsește ceva până la valoarea reală); prin adaos = numărul mai mare (s-a adăugat ceva peste ea).
• Rotunjirea la fel cu aproximarea prin lipsă. Nu sunt totuna! Prin lipsă iei mereu marginea de jos; rotunjirea ia marginea cea mai apropiată. La $\sqrt{15}$ la zecimi, prin lipsă e $3,8$, dar rotunjit e $3,9$.
• Compararea rădăcinilor „după ochi". Nu ghici dacă $\sqrt{7}$ e mai mare sau mai mic decât $2,6$: ridică la pătrat și compară $7$ cu $2,6^2=6,76$. E singura metodă sigură.
• Uitarea de a verifica ambele margini. O aproximare corectă la zecimi trebuie să respecte $n^2\le a$ pentru marginea de jos ȘI $(n+1{)}^2>a$ pentru marginea de sus. Verifică-le pe amândouă.

Aplică acasă

1. Diagonala unei foi. Măsoară aria unui pătrat pe care îl desenezi (de exemplu o coală tăiată la $20\text{ cm}\times 20\text{ cm}$, arie $400{\text{ cm}}^2$ — pătrat perfect). Apoi desenează un pătrat cu aria de $250{\text{ cm}}^2$ și estimează latura lui aproximând $\sqrt{250}$ prin lipsă și prin adaos la zecimi. Verifică apoi cu rigla.
2. Gard sau bordură. Ai o suprafață pătrată în curte sau un ghiveci pătrat. Măsoară aria, scrie latura ca rădăcină și hotărăște: dacă ar trebui să cumperi o bordură de jur împrejur, ce aproximare ai folosi — prin lipsă sau prin adaos? Argumentează în scris.
3. Provocare de rotunjire. Alege cinci numere care nu sunt pătrate perfecte (de exemplu $12$, $18$, $33$, $60$, $95$). Fără calculator, scrie pentru fiecare aproximarea prin lipsă și prin adaos la unități. Apoi verifică cu un calculator și rotunjește fiecare rezultat la sutimi.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul trebuie să înțeleagă că o rădăcină irațională nu se scrie exact, dar se poate încadra oricât de precis. Sprijiniți-l cerându-i mereu să justifice o aproximare prin ridicare la pătrat: „De ce spui că $\sqrt{7}$ este între $2,6$ și $2,7$? Ridică-le la pătrat și arată-mi." Aceasta verifică raționamentul, nu doar rezultatul.

Întrebări de verificare utile: „Care e diferența dintre aproximarea prin lipsă și rotunjire?", „Cum compari $\sqrt{20}$ cu $4,5$ fără calculator?", „Într-o problemă cu gard, folosești lipsa sau adaosul?". Dacă elevul răspunde corect la acestea și explică de ce, a înțeles esența. Un semn de înțelegere solidă este când poate încadra rapid o rădăcină între două numere întregi recunoscând pătratele perfecte vecine, fără să caute rezultatul. Evitați graba spre calculator: puterea lecției stă în estimarea mentală.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă aproximare prin lipsă și prin adaos la clasa a 7-a? Aproximarea prin lipsă este cel mai apropiat număr mai mic decât rădăcina, iar aproximarea prin adaos este cel mai apropiat număr mai mare. De exemplu, la unități, $2<\sqrt{7}<3$, deci prin lipsă $\sqrt{7}\approx 2$ și prin adaos $\sqrt{7}\approx 3$.

Cum aproximez o rădăcină pătrată la zecimi? Cauți două numere cu o zecimală ale căror pătrate încadrează numărul de sub radical. Pentru $\sqrt{5}$: $2,2^2=4,84$ și $2,3^2=5,29$, iar $4,84<5<5,29$, deci $2,2<\sqrt{5}<2,3$.

Care e diferența dintre rotunjire și aproximare prin lipsă? Aproximarea prin lipsă ia întotdeauna marginea de jos, iar rotunjirea ia marginea cea mai apropiată de valoarea reală. Ele coincid doar când rădăcina este mai aproape de marginea de jos; altfel rotunjirea urcă la marginea de sus.

Cum compar două rădăcini pătrate fără calculator? Folosești faptul că rădăcina păstrează ordinea: $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ dacă și numai dacă $a<b$. Iar pentru a compara o rădăcină cu un număr rațional $r$, compari numărul de sub radical cu $r^2$.

Ce aproximare folosesc în probleme practice, prin lipsă sau prin adaos? Depinde de scop: dacă vrei să fii sigur că ajunge materialul (gard, sârmă, țeavă), folosești adaosul; dacă vrei să fii sigur că nu depășești o limită, folosești lipsa.

Cum rotunjesc rădăcina unui număr zecimal, de exemplu $\sqrt{7,3}$? La fel ca la orice număr: calculezi valoarea, $\sqrt{7,3}=2,7018\dots$, apoi te uiți la prima cifră eliminată. La sutimi, a treia zecimală este $1<5$, deci rotunjești în jos: $\sqrt{7,3}\approx 2,70$.

Între ce numere naturale se află o rădăcină, de exemplu $\sqrt{85}$? Cauți pătratele perfecte vecine: $81=9^2$ și $100=10^2$, iar $81<85<100$, deci $\sqrt{85}$ este între $9$ și $10$. Fiind sub $9,5$ (pentru că $9,5^2=90,25>85$), este mai apropiată de $9$.

De ce nu pot scrie exact $\sqrt{2}$ ca număr zecimal? Pentru că $\sqrt{2}$ este un număr irațional: are o infinitate de zecimale care nu se repetă după niciun tipar. De aceea îl scriem doar aproximativ, cu semnul $\approx$, alegând câte zecimale avem nevoie.