Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Imaginează-ți că vrei să tapetezi cu gazon sintetic un teren pătrat de joacă a cărui suprafață este de $30$ de metri pătrați. Cât de lungă e o latură? Știi că latura la pătrat dă aria, deci latura este $\sqrt{30}$. Pe calculator ți-ar ieși un șir lung de zecimale, dar în magazinul de bricolaj ai nevoie doar de o valoare rezonabilă: „ceva între $5$ și $6$ metri, mai aproape de $5,5$". Exact asta înseamnă estimarea rădăcinii pătrate: să afli repede, fără calculator, între ce valori se află o rădăcină și cât de mare este ea, aproximativ. În această lecție înveți să încadrezi orice rădăcină pătrată a unui număr rațional pozitiv între numere cunoscute și să o așezi corect pe axa numerelor.

Ce vei învăța

• Vei ști să încadrezi o rădăcină pătrată între două numere naturale consecutive.
• Vei ști să afli partea întreagă a unei rădăcini pătrate (de exemplu $5<\sqrt{30}<6$).
• Vei ști să estimezi rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv, fie el fracție ordinară sau număr zecimal.
• Vei ști să poziționezi aproximativ o rădăcină pe axa numerelor.
• Vei ști să verifici o estimare, ridicând la pătrat marginile alese.

Hai să descoperim împreună

Reamintim o singură idee de care avem nevoie

În lecțiile anterioare din această unitate ai învățat ce este un pătrat perfect și rădăcina lui și ai văzut că $\sqrt{a^2}=|a|$ în relația dintre putere și rădăcină. Toată estimarea se sprijină pe o singură idee foarte simplă:

Dacă un număr $a$ este mai mare, atunci și $\sqrt{a}$ este mai mare.

Cu alte cuvinte, rădăcina pătrată păstrează ordinea: pentru numere pozitive, cu cât numărul de sub radical e mai mare, cu atât rădăcina lui e mai mare. Scris riguros: dacă $0\le a<b$, atunci $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

De ce e adevărat? Pentru că, dacă am avea $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ la două numere pozitive, ridicând la pătrat am obține $a\ge b$, ceea ce ar contrazice $a<b$. Deci nu se poate; singura variantă rămâne $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. Ține minte proprietatea aceasta, pentru că este motorul întregii lecții.

Pasul 1 — Șirul pătratelor perfecte, unealta ta principală

Ca să estimezi rapid, trebuie să ai „la degete" primele pătrate perfecte. Le recunoști ușor, sunt rezultatele înmulțirii unui număr natural cu el însuși:

$$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225\dots$$

adică $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2,10^2,11^2,12^2,13^2,14^2,15^2,\dots$

Rădăcina unui pătrat perfect este exactă: $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{144}=12$. Problema apare când numărul de sub radical nu este pătrat perfect, de exemplu $\sqrt{30}$, $\sqrt{52}$ sau $\sqrt{7,3}$. Atunci nu putem scrie un rezultat exact simplu, dar putem spune între ce valori se află. Aici intervine estimarea.

Pasul 2 — Încadrarea între două pătrate perfecte consecutive

Ideea de bază este: prindem numărul de sub radical între două pătrate perfecte vecine.

Să luăm $\sqrt{30}$. Căutăm în șirul de mai sus pătratele perfecte imediat mai mic și imediat mai mare decât $30$:

• pătratul perfect imediat mai mic: $25=5^2$;
• pătratul perfect imediat mai mare: $36=6^2$.

Deci $30$ este prins între ele: $$25<30<36.$$

Acum aplicăm proprietatea de la Pasul 1 (rădăcina păstrează ordinea) și luăm rădăcina din fiecare termen: $$\sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{36}.$$

Cum $\sqrt{25}=5$ și $\sqrt{36}=6$, obținem încadrarea căutată: $$5<\sqrt{30}<6.$$

Gata! Am aflat că $\sqrt{30}$ este un număr cuprins între $5$ și $6$. Nu am folosit niciun calculator, doar șirul pătratelor perfecte și o proprietate. Răspunsul la întrebarea „între ce numere se află rădăcina din 30" este: între $5$ și $6$.

Pasul 3 — Partea întreagă a unei rădăcini pătrate

Din încadrarea $5<\sqrt{30}<6$ citim direct un lucru foarte util: numărul întreg al lui $\sqrt{30}$ este $5$. Adică, dacă ar fi să scriem $\sqrt{30}$ ca număr zecimal, ar începe cu $5$: ceva de forma $5,\dots$

Numărul întreg cel mai mare care nu depășește un număr real se numește partea întreagă și se notează cu paranteze pătrate: $[\sqrt{30}]=5$.

Regula practică este simplă și merită reținută:

Partea întreagă a lui $\sqrt{n}$ este numărul natural $k$ pentru care $k^2\le n<(k+1{)}^2$.

De exemplu, pentru $\sqrt{52}$: căutăm pătratele perfecte vecine. $49=7^2$ și $64=8^2$, iar $49<52<64$. Prin urmare $7<\sqrt{52}<8$, deci $[\sqrt{52}]=7$.

Atenție la o greșeală des întâlnită: partea întreagă nu se obține rotunjind! Chiar dacă $\sqrt{52}\approx 7,21$ este mai aproape de $7$, iar un alt număr precum $\sqrt{63}\approx 7,94$ este mai aproape de $8$, partea întreagă a amândurora este $7$, pentru că amândouă sunt cuprinse între $7$ și $8$. Partea întreagă înseamnă „câți întregi încap", nu „la ce întreg e mai aproape".

Pasul 4 — De la „între ce întregi" la „la o zecimală"

Uneori vrem o estimare mai fină, adică să aflăm rădăcina la o zecimală. Metoda e aceeași, doar că folosim numere cu o zecimală în loc de numere întregi. Reluăm $\sqrt{30}$, despre care știm deja că $5<\sqrt{30}<6$.

Testăm câteva pătrate ale numerelor cu o zecimală din intervalul $(5;6)$:

• $5,4^2=29,16$;
• $5,5^2=30,25$.

Observăm că $29,16<30<30,25$, deci $$5,4^2<30<5,5^2\Rightarrow 5,4<\sqrt{30}<5,5.$$

Am rafinat estimarea: $\sqrt{30}$ este între $5,4$ și $5,5$. Putem spune chiar de care margine e mai aproape: comparăm distanțele de la $30$ la cele două pătrate. Avem $30-29,16=0,84$ și $30,25-30=0,25$. Cum $0,25<0,84$, numărul $30$ este mai aproape de $30,25$, deci $\sqrt{30}$ este mai aproape de $5,5$. Valoarea reală este $\sqrt{30}\approx 5,48$, ceea ce confirmă estimarea noastră. Vezi cât de departe poți ajunge doar cu înmulțiri simple și cu răbdare?

Această tehnică de rafinare o vei aprofunda în lecțiile algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate și aproximări prin lipsă și prin adaos. Pentru lecția de față, reține doar principiul: încadrezi între margini și ridici marginile la pătrat.

Pasul 5 — Rădăcina unui număr rațional scris ca zecimal

Un număr rațional pozitiv poate fi scris ca număr zecimal (de exemplu $7,3$) sau ca fracție (de exemplu $\frac{11}{2}$). Începem cu cazul zecimal, care e mai apropiat de ce am făcut deja.

Estimăm $\sqrt{7,3}$. Numărul de sub radical, $7,3$, este între ce pătrate perfecte? Îl prindem între întregi: $4<7,3<9$, adică între $2^2$ și $3^2$, deci $$2<\sqrt{7,3}<3.$$

Vrem o estimare mai bună, la o zecimală. Testăm numere cu o zecimală între $2$ și $3$, în zona în care bănuim că e răspunsul (aproape de $7,3$ înseamnă o rădăcină aproape de $2,7$, fiindcă $2,7^2$ e cam $7,3$):

• $2,7^2=7,29$;
• $2,8^2=7,84$.

Deoarece $7,29<7,3<7,84$, avem $$2,7<\sqrt{7,3}<2,8.$$

Mai mult, cum $7,3$ este foarte aproape de $7,29$, deducem că $\sqrt{7,3}$ este foarte aproape de $2,7$ (de fapt $\approx 2,70$). Iată cum, dintr-un simplu $2,7^2=7,29$, aflăm o valoare surprinzător de precisă.

Pasul 6 — Rădăcina unui număr rațional scris ca fracție

Când numărul rațional e o fracție, cel mai comod e să o transformi în zecimal (dacă iese o împărțire simplă) sau să prinzi direct valoarea între margini.

Estimăm $\sqrt{\frac{11}{2}}$. Împărțim: $\frac{11}{2}=5,5$. Deci trebuie să estimăm $\sqrt{5,5}$.

Prindem $5,5$ între pătrate perfecte întregi: $4<5,5<9$, deci $2<\sqrt{5,5}<3$. Rafinăm la o zecimală testând numere din intervalul $(2;3)$:

• $2,3^2=5,29$;
• $2,4^2=5,76$.

Cum $5,29<5,5<5,76$, obținem $$2,3<\sqrt{\frac{11}{2}}<2,4.$$

Există și un truc frumos: uneori fracția de sub radical se simplifică până la un pătrat perfect. De pildă $\sqrt{\frac{50}{2}}$: aici ai putea fi tentat să estimezi, dar mai întâi simplifică fracția: $\frac{50}{2}=25$, iar $\sqrt{25}=5$ este exact! Morala: înainte de a estima o rădăcină de fracție, verifică dacă fracția nu cumva se simplifică la un pătrat perfect. Uneori nu ai deloc nevoie de estimare.

Pasul 7 — Poziționarea aproximativă pe axa numerelor

Estimarea are un scop foarte vizual: să putem arăta unde stă o rădăcină pe axă. Să poziționăm $\sqrt{20}$.

1. Încadrăm între întregi: $16<20<25$, deci $4<\sqrt{20}<5$. Știm deci că punctul cade între reperele $4$ și $5$.
2. Rafinăm la o zecimală: $4,4^2=19,36$ și $4,5^2=20,25$. Cum $19,36<20<20,25$, avem $4,4<\sqrt{20}<4,5$.
3. Cum $20$ este aproape de $20,25$, punctul e aproape de $4,5$; îl marcăm chiar înainte de $4,5$ (valoarea reală $\approx 4,47$).

Vei aprofunda reprezentarea numerelor reale pe axă prin aproximări mai târziu; important acum e să reții succesiunea: întâi între ce întregi, apoi între ce zecimi, și marchezi punctul acolo unde te-au condus marginile.

Pasul 8 — Verificarea estimării prin ridicare la pătrat

Cum știi că nu ai greșit? Foarte simplu: ridici marginile la pătrat și verifici că numărul de sub radical stă între ele. Aceasta este metoda ta de autocontrol și trebuie să devină un reflex.

Presupunem că cineva afirmă: $6,4<\sqrt{41}<6,5$. Verificăm ridicând marginile la pătrat:

• $6,4^2=40,96$;
• $6,5^2=42,25$.

Trebuie ca $41$ să fie între ele: $40,96<41<42,25$. Da, este adevărat! Deci estimarea $6,4<\sqrt{41}<6,5$ este corectă.

Această verificare funcționează pentru că, dacă $a^2<n<b^2$ (cu $a,b$ pozitive), atunci luând rădăcina peste tot obținem $a<\sqrt{n}<b$ — exact ce voiam. Ridicarea la pătrat „desface" rădăcina și ne întoarce la numere ușor de comparat. De fiecare dată când estimezi, fă acest test rapid: e o plasă de siguranță care te scapă de greșeli.

Pasul 9 — Compararea unui radical cu un număr obișnuit

Un tip de exercițiu foarte des întâlnit la teste sună așa: „Care e mai mare, $\sqrt{60}$ sau $7,8$?" sau „Este $\sqrt{45}$ mai mic decât $7$?". Aici nu ai nevoie să afli valoarea exactă a rădăcinii; îți ajunge o comparație inteligentă, folosind aceeași idee că, la numere pozitive, ridicarea la pătrat păstrează ordinea.

Metoda are doar doi pași:

1. Ridici la pătrat numărul „curat" (cel fără radical). De exemplu, pentru a compara $\sqrt{60}$ cu $7,8$, calculezi $7,8^2=60,84$.
2. Compari sub radical. Practic, compari $60$ (numărul de sub radical) cu $60,84$ (pătratul numărului curat). Cum $60<60,84$, rezultă $\sqrt{60}<\sqrt{60,84}=7,8$. Deci $\sqrt{60}<7,8$.

De ce funcționează? Pentru că orice număr pozitiv $c$ se poate scrie ca $c=\sqrt{c^2}$. Astfel $7,8=\sqrt{7,8^2}=\sqrt{60,84}$, iar comparația $\sqrt{60}$ cu $\sqrt{60,84}$ se reduce la comparația $60$ cu $60,84$ — numere naturale/zecimale banale. Cu alte cuvinte, „bagi și numărul curat sub radical" și apoi compari doar ce e sub radical.

Un al doilea exemplu, ca să prinzi tehnica: cine e mai mare, $\sqrt{27}$ sau $5,2$? Calculăm $5,2^2=27,04$, adică $5,2=\sqrt{27,04}$. Cum $27<27,04$, avem $\sqrt{27}<\sqrt{27,04}=5,2$, deci $\sqrt{27}<5,2$. Vei folosi mult această tehnică la compararea și ordonarea numerelor reale.

Pasul 10 — Ordonarea mai multor numere cu radicali

Ce faci când ai de ordonat crescător un amestec de rădăcini și numere obișnuite, de exemplu $\sqrt{10}$, $3$ și $\sqrt{8}$? Trucul e să aduci totul sub radical, ca să compari mere cu mere.

Numărul întreg $3$ îl scriem ca radical: $3=\sqrt{9}$. Acum toate trei sunt rădăcini: $\sqrt{10}$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{8}$. Cum rădăcina păstrează ordinea, e de ajuns să ordonăm numerele de sub radical: $8<9<10$. Deci $$\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}\Rightarrow \sqrt{8}<3<\sqrt{10}.$$

Reține strategia generală: scrie fiecare număr obișnuit ca $\sqrt{(\text{numa˘rul}{)}^2}$, apoi ordonează după ce se află sub radical. Metoda merge la oricâte numere, oricât de amestecate.

Pasul 11 — Un exemplu complet, din viața reală

Să legăm toate etapele într-un singur exemplu, exact cum ar apărea într-o problemă. Un grădinar vrea să amenajeze un strat de flori pătrat cu aria de $52,5{\text{m}}^2$ și trebuie să comande un gard de jur împrejur. De cât gard are nevoie, aproximativ?

Latura pătratului este $\ell =\sqrt{52,5}$ metri, iar perimetrul (lungimea gardului) este $P=4\ell$. Estimăm latura:

1. Între întregi: $49<52,5<64$, adică $7^2<52,5<8^2$, deci $7<\ell <8$. Latura e între $7$ și $8$ metri.
2. La o zecimală: $7,2^2=51,84$ și $7,3^2=53,29$. Cum $51,84<52,5<53,29$, avem $7,2<\ell <7,3$. Latura e cam $7,25$ m.
3. Perimetrul: $P=4\ell$, iar din $7,2<\ell <7,3$ obținem $28,8<P<29,2$. Deci grădinarul are nevoie de aproximativ $29$ de metri de gard.

Observă cum estimarea rădăcinii ne-a dat un răspuns practic și de încredere, fără calculator: „în jur de $29$ de metri, cu siguranță nu mai puțin de $28,8$ și nu mai mult de $29,2$". Aceasta este puterea reală a estimării — nu un rezultat cu douăzeci de zecimale, ci o margine sigură pe care te poți baza când comanzi materiale, planifici sau verifici dacă un rezultat are sens.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrare între întregi și partea întreagă

Cerință: Încadrează $\sqrt{52}$ între două numere naturale consecutive și află $[\sqrt{52}]$.

Rezolvare: Căutăm pătratele perfecte vecine lui $52$. Avem $49=7^2$ și $64=8^2$, iar $$49<52<64.$$ Luăm rădăcina în fiecare parte: $$\sqrt{49}<\sqrt{52}<\sqrt{64}\Rightarrow 7<\sqrt{52}<8.$$ Deci $\sqrt{52}$ este între $7$ și $8$, iar partea întreagă este $\boxed{[\sqrt{52}]=7}$.

Exemplul 2 — Estimare la o zecimală (prin lipsă)

Cerință: Estimează $\sqrt{7,3}$ la o zecimală, prin lipsă (adică marginea de jos).

Rezolvare: Mai întâi între întregi: $4<7,3<9$, deci $2<\sqrt{7,3}<3$. Rafinăm testând numere cu o zecimală: $$2,7^2=7,29,2,8^2=7,84.$$ Cum $7,29<7,3<7,84$, rezultă $$2,7<\sqrt{7,3}<2,8.$$ Aproximarea prin lipsă la o zecimală este $\boxed{2,7}$. Fiindcă $7,3$ e foarte aproape de $7,29$, valoarea reală este aproape de $2,70$.

Exemplul 3 — Rădăcina unei fracții

Cerință: Estimează $\sqrt{\frac{19}{4}}$ între două numere cu o zecimală.

Rezolvare: Transformăm fracția în zecimal: $\frac{19}{4}=4,75$. Estimăm $\sqrt{4,75}$. Între întregi: $4<4,75<9$, deci $2<\sqrt{4,75}<3$. Rafinăm: $$2,1^2=4,41,2,2^2=4,84.$$ Cum $4,41<4,75<4,84$, obținem $$2,1<\sqrt{\frac{19}{4}}<2,2.$$ Deci $\sqrt{\frac{19}{4}}$ este între $\boxed{2,1\text{ și }2,2}$ (valoarea reală $\approx 2,18$).

Exemplul 4 — Când fracția ascunde un pătrat perfect

Cerință: Calculează sau estimează $\sqrt{\frac{50}{2}}$.

Rezolvare: Nu ne grăbim să estimăm! Simplificăm întâi fracția: $$\frac{50}{2}=25.$$ Iar $\sqrt{25}=5$ este exact. Răspunsul este $\boxed{5}$, fără nicio aproximare. Lecția: verifică mereu dacă fracția se simplifică la un pătrat perfect înainte de a estima.

Exemplul 5 — Poziționarea pe axă

Cerință: Arată între ce repere de pe axă se află $\sqrt{40}$ și precizează mai exact poziția.

Rezolvare: Între întregi: $36<40<49$, deci $6<\sqrt{40}<7$; punctul cade între $6$ și $7$. Rafinăm: $$6,3^2=39,69,6,4^2=40,96.$$ Cum $39,69<40<40,96$, avem $6,3<\sqrt{40}<6,4$. Îl marcăm între $6,3$ și $6,4$ (valoarea reală $\approx 6,32$).

Exemplul 6 — Verificarea unei afirmații

Cerință: Este adevărat că $\sqrt{50}<7,1$?

Rezolvare: Comparăm ridicând la pătrat numărul $7,1$ (ambele numere sunt pozitive, deci ridicarea la pătrat păstrează ordinea): $$7,1^2=50,41.$$ Cum $50<50,41$, avem $\sqrt{50}<\sqrt{50,41}=7,1$. Deci afirmația este $\boxed{\text{adeva˘rata˘}}$: $\sqrt{50}<7,1$ (real $\approx 7,07$).

Exemplul 7 — Ordonare crescătoare

Cerință: Ordonează crescător numerele $\sqrt{50}$, $7$ și $\sqrt{45}$.

Rezolvare: Scriem întregul ca radical: $7=\sqrt{49}$. Acum toate sunt rădăcini: $\sqrt{45}$, $\sqrt{49}$, $\sqrt{50}$. Ordonăm numerele de sub radical: $45<49<50$. Deci $$\sqrt{45}<\sqrt{49}<\sqrt{50}\Rightarrow \boxed{\sqrt{45}<7<\sqrt{50}}.$$

Exemplul 8 — Câte numere naturale?

Cerință: Câte numere naturale $n$ au proprietatea că $[\sqrt{n}]=6$?

Rezolvare: $[\sqrt{n}]=6$ înseamnă $6\le \sqrt{n}<7$, adică $36\le n<49$. Numerele naturale de la $36$ la $48$ inclusiv sunt: $36,37,38,\dots ,48$. Numărul lor este $48-36+1=13$. Deci există $\boxed{13}$ numere naturale $n$ cu $[\sqrt{n}]=6$.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. În cele mai multe cerințe numerele nu sunt pătrate perfecte, deci vei folosi încadrarea. Ordinea e de la ușor la mai greu.

1. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{30}$?
2. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{72}$?
3. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{95}$?
4. Află partea întreagă $[\sqrt{130}]$.
5. Află partea întreagă $[\sqrt{200}]$.
6. Estimează $\sqrt{11,5}$ la o zecimală, prin lipsă.
7. Estimează $\sqrt{\frac{29}{4}}$ între două numere cu o zecimală.
8. Calculează $\sqrt{\frac{72}{2}}$. (Atenție: simplifică întâi!)
9. Între ce repere întregi de pe axa numerelor se află $\sqrt{28}$?
10. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\sqrt{45}>7$".
11. Adevărat sau fals, cu justificare: „$6<\sqrt{38}<7$".
12. Compară, fără calculator, $\sqrt{60}$ și $7,8$.
13. Compară, fără calculator, $\sqrt{27}$ și $5,2$.
14. Ordonează crescător numerele: $\sqrt{10}$, $3$, $\sqrt{8}$.
15. Un teren pătrat are aria de $55{\text{m}}^2$. Între ce două numere naturale de metri este lungimea laturii?
16. O placă pătrată are aria de $2,5{\text{m}}^2$. Estimează latura la o zecimală.
17. Află partea întreagă $\left[\sqrt{\frac{85}{4}}\right]$.
18. Găsește un număr natural $n$ pentru care $\sqrt{n}$ este cuprins între $4$ și $5$. Câte astfel de numere naturale $n$ există?
19. Ordonează crescător numerele: $\sqrt{26}$, $5$, $\sqrt{24}$.
20. Câte numere naturale $n$ au partea întreagă $[\sqrt{n}]=8$?
21. Estimează $\sqrt{\frac{13}{2}}$ între două numere cu o zecimală.

Răspunsuri și explicații

1. $25<30<36\Rightarrow 5<\sqrt{30}<6$. Între $5$ și $6$.
2. $64<72<81\Rightarrow 8<\sqrt{72}<9$. Între $8$ și $9$.
3. $81<95<100\Rightarrow 9<\sqrt{95}<10$. Între $9$ și $10$.
4. $121<130<144$, adică $11^2<130<12^2$, deci $11<\sqrt{130}<12$. $[\sqrt{130}]=11$.
5. $196<200<225$, adică $14^2<200<15^2$, deci $14<\sqrt{200}<15$. $[\sqrt{200}]=14$.
6. Între întregi: $9<11,5<16\Rightarrow 3<\sqrt{11,5}<4$. Rafinăm: $3,3^2=10,89$ și $3,4^2=11,56$. Cum $10,89<11,5<11,56$, avem $3,3<\sqrt{11,5}<3,4$. Prin lipsă: $3,3$.
7. $\frac{29}{4}=7,25$. Între întregi: $4<7,25<9\Rightarrow 2<\sqrt{7,25}<3$. Rafinăm: $2,6^2=6,76$, $2,7^2=7,29$; cum $6,76<7,25<7,29$, $2,6<\sqrt{\frac{29}{4}}<2,7$ (aprox. $2,69$).
8. $\frac{72}{2}=36$, iar $\sqrt{36}=6$. Rezultat exact: $6$.
9. $25<28<36\Rightarrow 5<\sqrt{28}<6$. Între $5$ și $6$.
10. $7^2=49$ și $45<49$, deci $\sqrt{45}<\sqrt{49}=7$, adică $\sqrt{45}<7$. Afirmația „$\sqrt{45}>7$" este FALSĂ.
11. $6^2=36<38$ și $38<49=7^2$, deci $6<\sqrt{38}<7$. ADEVĂRAT.
12. $7,8^2=60,84$. Cum $60<60,84$, rezultă $\sqrt{60}<7,8$. $\sqrt{60}<7,8$.
13. $5,2^2=27,04$. Cum $27<27,04$, rezultă $\sqrt{27}<5,2$. $\sqrt{27}<5,2$.
14. Scriem $3=\sqrt{9}$. Cum $8<9<10$, avem $\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}$, adică $\sqrt{8}<3<\sqrt{10}$.
15. Latura este $\sqrt{55}$. $49<55<64\Rightarrow 7<\sqrt{55}<8$. Între $7$ și $8$ metri.
16. Latura este $\sqrt{2,5}$. Între întregi: $1<2,5<4\Rightarrow 1<\sqrt{2,5}<2$. Rafinăm: $1,5^2=2,25$, $1,6^2=2,56$; cum $2,25<2,5<2,56$, $1,5<\sqrt{2,5}<1,6$ m (aprox. $1,58$ m).
17. $\frac{85}{4}=21,25$. Cum $16<21,25<25$, adică $4^2<21,25<5^2$, avem $4<\sqrt{21,25}<5$. $\left[\sqrt{\frac{85}{4}}\right]=4$.
18. $\sqrt{n}$ este între $4$ și $5$ înseamnă $4<\sqrt{n}<5$, adică $16<n<25$. Numerele naturale sunt $17,18,19,20,21,22,23,24$. Un exemplu: $n=20$; există în total $8$ astfel de numere naturale.
19. Scriem $5=\sqrt{25}$. Cum $24<25<26$, avem $\sqrt{24}<\sqrt{25}<\sqrt{26}$, adică $\sqrt{24}<5<\sqrt{26}$.
20. $[\sqrt{n}]=8$ înseamnă $8\le \sqrt{n}<9$, adică $64\le n<81$. Numerele naturale sunt de la $64$ la $80$, în total $80-64+1=17$. Există $17$ numere naturale.
21. $\frac{13}{2}=6,5$. Între întregi: $4<6,5<9\Rightarrow 2<\sqrt{6,5}<3$. Rafinăm: $2,5^2=6,25$, $2,6^2=6,76$; cum $6,25<6,5<6,76$, avem $2,5<\sqrt{\frac{13}{2}}<2,6$ (aprox. $2,55$).

De reținut

• Rădăcina pătrată păstrează ordinea: dacă $0\le a<b$, atunci $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. Aceasta e baza oricărei estimări.
• Pentru a încadra $\sqrt{n}$, prinde $n$ între două pătrate perfecte consecutive $k^2\le n<(k+1{)}^2$; atunci $k\le \sqrt{n}<k+1$, iar $[\sqrt{n}]=k$.
• Pentru un număr rațional: transformă fracția în zecimal (sau simplifică — poate iese pătrat perfect!) și încadrează la fel.
• Rafinezi estimarea la o zecimală testând pătratele numerelor cu o zecimală din interval.
• Verifici orice estimare ridicând marginile la pătrat: dacă $a^2<n<b^2$, atunci $a<\sqrt{n}<b$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre partea întreagă și rotunjire. $\sqrt{63}\approx 7,94$ se rotunjește la $8$, dar partea întreagă este $[\sqrt{63}]=7$, pentru că $49<63<64$. Partea întreagă = câți întregi încap, nu întregul cel mai apropiat.
• Uitarea simplificării la fracții. Nu te apuca să estimezi $\sqrt{\frac{50}{2}}$ înainte de a observa că $\frac{50}{2}=25$ și $\sqrt{25}=5$ este exact. Simplifică întâi.
• Comparație greșită prin ridicare la pătrat cu numere negative. Ridicarea la pătrat păstrează ordinea doar la numere pozitive. La estimarea rădăcinilor lucrăm mereu cu numere pozitive, deci e în regulă, dar nu uita condiția.
• Alegerea unor pătrate care nu sunt consecutive. Pentru $\sqrt{30}$, marginile corecte sunt $25$ și $36$ (vecine), nu $16$ și $49$. Cu pătrate prea depărtate obții o încadrare adevărată, dar inutil de largă ($4<\sqrt{30}<7$ e prea vag).

Aplică acasă

• Latura camerei tale. Măsoară aria unei suprafețe pătrate din casă (o masă pătrată, o dală, un covor pătrat) în centimetri pătrați. Dacă aria nu e pătrat perfect, estimează latura ca $\sqrt{\text{aria}}$ prin încadrare la o zecimală, apoi măsoară efectiv latura cu ruleta și compară cu estimarea ta.
• Provocarea pătratelor perfecte. Cronometrează-te: în cât timp reușești să scrii din memorie pătratele perfecte de la $1^2$ până la $20^2$? Exersează până le spui în mai puțin de un minut — sunt „unealta" ta pentru orice estimare rapidă.
• Fără calculator, apoi cu. Alege cinci numere la întâmplare (de exemplu între $2$ și $200$), estimează-le rădăcina la o zecimală prin încadrare, notează rezultatul, apoi verifică cu un calculator. Numără câte ai nimerit corect la o zecimală — vei observa cum precizia ta crește cu exercițiul.

Pentru părinți și profesori

Această lecție dezvoltă „simțul mărimii" numerelor iraționale, o abilitate esențială pentru geometria din semestrul al doilea (teorema lui Pitagora, relații metrice). Elevul nu are nevoie de calculator; are nevoie să stăpânească șirul pătratelor perfecte și să aplice ideea că rădăcina păstrează ordinea.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Între ce două numere întregi se află $\sqrt{50}$? De unde știi?" (Răspuns așteptat: între $7$ și $8$, pentru că $49<50<64$.)
• „Care e partea întreagă a lui $\sqrt{90}$?" (Răspuns: $9$, fiindcă $81<90<100$.)
• „Cum verifici dacă $\sqrt{20}$ e între $4,4$ și $4,5$?" (Răspuns: ridic marginile la pătrat: $4,4^2=19,36$, $4,5^2=20,25$, iar $20$ e între ele.)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: identifică singur cele două pătrate perfecte vecine, nu confundă partea întreagă cu rotunjirea și își verifică singur răspunsul prin ridicare la pătrat. Dacă ezită, reveniți împreună la șirul pătratelor perfecte scris pe o foaie la vedere.

Întrebări frecvente

Între ce numere se află rădăcina din 30? $\sqrt{30}$ se află între $5$ și $6$, deoarece $25<30<36$, adică $5^2<30<6^2$. Mai exact, este între $5,4$ și $5,5$ (valoarea reală este aproximativ $5,48$).

Cum estimez o rădăcină pătrată fără calculator? Prinzi numărul de sub radical între două pătrate perfecte consecutive. Rădăcinile acestora, fiind numere întregi, îți dau imediat marginile. Pentru mai multă precizie, testezi pătratele numerelor cu o zecimală din intervalul găsit.

Ce este partea întreagă a unei rădăcini pătrate? Este cel mai mare număr natural care nu depășește rădăcina. Pentru $\sqrt{n}$, partea întreagă este numărul $k$ cu $k^2\le n<(k+1{)}^2$. De exemplu $[\sqrt{52}]=7$, pentru că $49\le 52<64$.

Cum estimez rădăcina pătrată a unei fracții? Transformi fracția în număr zecimal (sau o simplifici — uneori iese direct un pătrat perfect) și apoi o încadrezi între pătrate perfecte, exact ca la un număr întreg. De exemplu $\sqrt{\frac{11}{2}}=\sqrt{5,5}$, care este între $2,3$ și $2,4$.

Partea întreagă înseamnă că rotunjesc rădăcina? Nu. Partea întreagă e mereu marginea de jos a încadrării între întregi, indiferent de zecimale. $\sqrt{63}\approx 7,94$ se rotunjește la $8$, dar partea întreagă este $7$, deoarece $49<63<64$.

Cum poziționez o rădăcină pe axa numerelor? Întâi afli între ce numere întregi se află (deci între ce repere principale cade punctul), apoi rafinezi la o zecimală ca să știi mai precis unde să pui punctul între diviziunile mici. De exemplu $\sqrt{20}$ se află între $4$ și $5$, mai exact între $4,4$ și $4,5$.

Cum verific dacă estimarea mea e corectă? Ridici la pătrat cele două margini. Dacă numărul de sub radical se află între cele două pătrate obținute, estimarea e corectă. De exemplu, pentru $6,4<\sqrt{41}<6,5$: $6,4^2=40,96$ și $6,5^2=42,25$, iar $41$ este între ele, deci estimarea e bună.

De ce am nevoie să estimez rădăcini dacă am calculator? Pentru că estimarea îți dezvoltă înțelegerea mărimii numerelor și îți permite să verifici rapid dacă un rezultat are sens. La teste, la simulare și la Evaluarea Națională, multe cerințe presupun exact această încadrare între numere, fără calculator.

Cum compar două rădăcini fără să le calculez, de exemplu $\sqrt{45}$ și $\sqrt{50}$? Foarte simplu: la numere pozitive, rădăcina mai mare o are numărul mai mare de sub radical. Cum $45<50$, rezultă $\sqrt{45}<\sqrt{50}$. Nu ai nevoie de nicio valoare zecimală, doar compari ce se află sub radical.

Cum aflu între ce numere se află latura unui pătrat dacă știu aria? Latura este rădăcina pătrată a ariei. Încadrezi aria între două pătrate perfecte consecutive, iar rădăcinile lor îți dau marginile pentru latură. De exemplu, pentru o arie de $55{\text{m}}^2$: $49<55<64$, deci latura $\sqrt{55}$ este între $7$ și $8$ metri.