Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate

Ai văzut deja că unele numere au o rădăcină pătrată „frumoasă": $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{144}=12$. Dar ce te faci cu $\sqrt{54756}$ sau cu $\sqrt{2}$, când calculatorul nu e la îndemână — la un test, la olimpiadă sau pur și simplu ca să înțelegi cum funcționează matematica din interior? Există un procedeu ordonat, inventat cu secole înainte de calculatoare, care îți dă cifră cu cifră rezultatul. Se numește algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate și seamănă surprinzător de mult cu împărțirea în coloană pe care o știi din clasele mici. În această lecție îl vei stăpâni complet, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să împarți un număr în grupe de câte două cifre, corect, atât la stânga cât și la dreapta virgulei.
• Vei ști să aplici pas cu pas algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate pentru un număr natural.
• Vei ști să calculezi rădăcina pătrată a unui număr mare fără calculator.
• Vei ști să obții zecimalele rădăcinii unui număr rațional pozitiv, oprindu-te la câte zecimale vrei.
• Vei ști să verifici rezultatul obținut prin ridicare la pătrat.

Hai să descoperim împreună

De unde vine ideea

Până acum, ca să afli $\sqrt{a}$, căutai un număr al cărui pătrat este $a$. Metoda funcționează perfect când $a$ este un pătrat perfect mic. Dar pentru numere mari, „ghicitul" devine imposibil. Ne trebuie o metodă sistematică, care să producă rezultatul cifră cu cifră, sigur, fără să ne bazăm pe noroc.

Ideea de bază este simplă. Gândește-te la un număr de două cifre, de exemplu $37$. Pătratul lui, $37^2=1369$, are $4$ cifre. Un număr de trei cifre, ridicat la pătrat, dă un rezultat cu $5$ sau $6$ cifre. Se observă o regulă:

Numărul de cifre al rădăcinii este strâns legat de numărul de grupe de câte două cifre ale numărului de sub radical.

De aceea, primul gest al algoritmului este să tăiem numărul în grupe de câte două cifre. Fiecare grupă va produce exact o cifră a rădăcinii. Frumusețea metodei stă tocmai aici: transformăm o problemă grea într-un șir de pași mărunți, fiecare ușor de făcut.

Pasul 0 — Împărțirea în grupe de câte două cifre

Regula de grupare este precisă:

• Pentru partea întreagă (cifrele din stânga virgulei): grupăm câte două cifre pornind de la virgulă spre stânga. Ultima grupă din stânga poate avea o singură cifră — e permis.
• Pentru partea zecimală (cifrele din dreapta virgulei): grupăm câte două cifre pornind de la virgulă spre dreapta. Dacă la capăt rămâne o singură cifră, adăugăm un $0$ ca să completăm grupa (asta nu schimbă valoarea numărului).

Câteva exemple de grupare corectă:

Observă la $54756$: pornim de la dreapta (de la virgula subînțeleasă de după $6$) și tăiem $56$, apoi $47$, apoi rămâne $5$ singur. Grupa singură din capătul stâng este perfect corectă.

De ce câte două cifre, și nu trei? Pentru că ridicarea la pătrat „dublează" numărul de cifre. Când mărești un număr de $10$ ori (adică îi adaugi o cifră), pătratul lui se mărește de $100$ de ori (adică îi adaugi două cifre). Deci fiecare cifră a rădăcinii corespunde unei grupe de două cifre sub radical. Numărul de grupe îți spune din start câte cifre va avea rezultatul.

Pasul 1 — Prima cifră a rădăcinii

Ne uităm la prima grupă din stânga (cea care poate avea o singură cifră). Căutăm cea mai mare cifră $c$ astfel încât $c^2$ să nu depășească acea grupă. Acel $c$ este prima cifră a rădăcinii.

Apoi scădem $c^2$ din prima grupă și obținem un rest.

Să luăm $\sqrt{576}$, grupat $5|76$.

• Prima grupă este $5$. Care e cea mai mare cifră cu pătratul $\le 5$? $2^2=4\le 5$, dar $3^2=9>5$. Deci $c=2$.
• Prima cifră a rădăcinii este $2$.
• Rest: $5-4=1$.

Pasul 2 — Coborâm grupa următoare și găsim cifra următoare

Acum vine partea care seamănă cu împărțirea. Repetăm, pentru fiecare grupă rămasă, următorii pași:

1. Coborâm lângă rest grupa următoare (două cifre). Se formează un număr de lucru.
2. Dublăm rădăcina găsită până acum și scriem rezultatul lăsând un loc gol pentru o cifră: obținem un „număr-cheie" incomplet, de forma $\overline{(\text{dublu})d}$.
3. Căutăm cea mai mare cifră $d$ astfel încât $\overline{(\text{dublu})d}\cdot d$ să nu depășească numărul de lucru.
4. Acel $d$ este următoarea cifră a rădăcinii.
5. Scădem produsul din numărul de lucru și obținem noul rest.
6. Reluăm de la punctul 1, cât timp mai avem grupe.

Continuăm cu $\sqrt{576}$. Aveam prima cifră $2$ și restul $1$.

• Coborâm grupa $76$ lângă rest: numărul de lucru este $176$.
• Dublăm rădăcina de până acum: $2\cdot 2=4$. Numărul-cheie este $\overline{4d}$ (adică $40+d$), înmulțit cu $d$.
• Căutăm cea mai mare cifră $d$ cu $\overline{4d}\cdot d\le 176$. Încercăm $d=4$: $44\cdot 4=176\le 176$. Merge exact.
• A doua cifră a rădăcinii este $4$.
• Rest: $176-176=0$.

Nu mai avem grupe, restul este $0$: rădăcina este $\boxed{24}$. Numărul $576$ era un pătrat perfect: $\sqrt{576}=24$.

Un exemplu mai lung, cu trei grupe

Să extragem $\sqrt{54756}$. Grupare: $5|47|56$. Sunt trei grupe, deci rădăcina va avea trei cifre.

Pasul 1. Prima grupă: $5$. Cea mai mare cifră cu pătratul $\le 5$ este $2$ ($2^2=4$). Prima cifră a rădăcinii: $2$. Rest: $5-4=1$.

Pasul 2. Coborâm $47$: numărul de lucru $147$. Dublul rădăcinii: $2\cdot 2=4$, cheia $\overline{4d}$.

• $d=3$: $43\cdot 3=129\le 147$. ✔
• $d=4$: $44\cdot 4=176>147$. ✘ Alegem $d=3$. A doua cifră: $3$. Rest: $147-129=18$.

Pasul 3. Coborâm $56$: numărul de lucru $1856$. Dublul rădăcinii de până acum ($23$): $2\cdot 23=46$, cheia $\overline{46d}$.

• $d=4$: $464\cdot 4=1856\le 1856$. ✔ (exact) Alegem $d=4$. A treia cifră: $4$. Rest: $1856-1856=0$.

Rădăcina este $\boxed{234}$. Verificare: $234^2=54756$. ✔

Observă cum, la fiecare pas, „numărul-cheie" crește: mai întâi $\overline{4d}$, apoi $\overline{46d}$. El se obține întotdeauna dublând întreaga rădăcină găsită până în acel moment, nu doar ultima cifră. Aceasta este inima algoritmului.

De ce funcționează dublarea? (justificare intuitivă)

Nu trebuie să demonstrezi nimic formal, dar merită să înțelegi ideea cu ajutorul unui pătrat, fiindcă rădăcina pătrată a unei arii este chiar latura pătratului cu acea arie.

Imaginează-ți că numărul de sub radical este aria unui pătrat, iar rădăcina pe care o construiești cifră cu cifră este latura lui. După ce ai găsit primele cifre, ai desenat deja un pătrat mare, de latură cunoscută. Ți-a rămas însă o suprafață de acoperit, în formă de ramă (litera „L") de-a lungul a două laturi ale pătratului.

Când adaugi cifra următoare, mărești puțin latura, iar rama pe care o „umpli" este formată din două fâșii lungi — câte una de-a lungul fiecăreia dintre cele două laturi ale pătratului deja construit — plus un colț mic, un pătrățel. Puse cap la cap, cele două fâșii au împreună o lungime egală cu dublul laturii de până acum: exact de aici vine dublarea din algoritm. Cifra nouă completează în același timp fâșiile și colțul, de aceea ea apare de două ori în calcul — o dată în „cheie" (lipită la dublu) și o dată ca înmulțitor.

Nu memora nimic complicat. Reține doar regula practică, iar imaginea pătratului îți spune de ce e corectă: dublez rădăcina de până acum, las un loc pentru cifra nouă, o aleg cât mai mare fără să depășesc.

Pasul 3 — Rădăcina cu zecimale

Ce facem când numărul nu este pătrat perfect, sau când vrem rădăcina cu zecimale? Continuăm exact la fel, doar că, după ce am epuizat cifrele părții întregi:

1. Punem virgula în rezultat (rădăcină).
2. Coborâm grupe de $00$ (adică adăugăm zecimale la numărul de sub radical, ceea ce nu îi schimbă valoarea).
3. Continuăm algoritmul câte cifre zecimale dorim.

Să calculăm $\sqrt{2}$ cu trei zecimale. Grupare: $2,00|00|00\dots$

Pasul 1. Prima grupă: $2$. Cea mai mare cifră cu pătratul $\le 2$ este $1$. Prima cifră: $1$. Rest: $2-1=1$. Am terminat partea întreagă, deci punem virgula în rezultat: rădăcina începe cu $1,\dots$

Pasul 2. Coborâm $00$: numărul de lucru $100$. Dublul lui $1$ este $2$, cheia $\overline{2d}$.

• $d=4$: $24\cdot 4=96\le 100$. ✔ $d=5$: $25\cdot 5=125>100$. ✘ $d=4$. Prima zecimală: $4$. Rest: $100-96=4$. Rădăcina: $1,4\dots$

Pasul 3. Coborâm $00$: numărul de lucru $400$. Dublul lui $14$ este $28$, cheia $\overline{28d}$.

• $d=1$: $281\cdot 1=281\le 400$. ✔ $d=2$: $282\cdot 2=564>400$. ✘ $d=1$. A doua zecimală: $1$. Rest: $400-281=119$. Rădăcina: $1,41\dots$

Pasul 4. Coborâm $00$: numărul de lucru $11900$. Dublul lui $141$ este $282$, cheia $\overline{282d}$.

• $d=4$: $2824\cdot 4=11296\le 11900$. ✔ $d=5$: $2825\cdot 5=14125>11900$. ✘ $d=4$. A treia zecimală: $4$. Rest: $11900-11296=604$.

Oprindu-ne aici: $\sqrt{2}\approx 1,414$. Poți continua oricât — restul nu ajunge niciodată la $0$, pentru că $\sqrt{2}$ este un număr irațional (vei studia asta în lecția Numere iraționale. Exemple și recunoaștere).

Rădăcina unui număr rațional cu zecimale

Dacă numărul are deja virgulă, grupăm partea întreagă spre stânga și partea zecimală spre dreapta, iar în rezultat punem virgula exact când trecem dinspre grupele întregi spre grupele zecimale.

Exemplu: $\sqrt{166,41}$. Grupare: $1|66,41$.

Pasul 1. Prima grupă $1$: cea mai mare cifră cu pătratul $\le 1$ este $1$. Prima cifră: $1$. Rest: $0$.

Pasul 2. Coborâm $66$: numărul de lucru $66$. Dublul lui $1$ este $2$, cheia $\overline{2d}$.

• $d=2$: $22\cdot 2=44\le 66$. ✔ $d=3$: $23\cdot 3=69>66$. ✘ $d=2$. A doua cifră: $2$. Rest: $66-44=22$. Am terminat partea întreagă → punem virgula: $12,\dots$

Pasul 3. Coborâm $41$ (grupă zecimală): numărul de lucru $2241$. Dublul lui $12$ este $24$, cheia $\overline{24d}$.

• $d=9$: $249\cdot 9=2241\le 2241$. ✔ (exact) $d=9$. Rest: $0$. Rădăcina: $\boxed{12,9}$. Verificare: $12,9^2=166,41$. ✔

Pasul 4 — Verificarea prin ridicare la pătrat

Ultimul pas nu este niciodată de sărit: verifici rezultatul ridicându-l la pătrat.

• Dacă ai obținut o rădăcină exactă (rest $0$), atunci pătratul ei trebuie să dea exact numărul de sub radical. Ex.: $234^2=54756$. ✔
• Dacă ai lucrat cu zecimale și te-ai oprit la o aproximare, pătratul ei trebuie să fie apropiat de numărul inițial (nu exact egal, fiindcă ai rotunjit). Ex.: $1,414^2=1,999396\approx 2$. ✔

Verificarea îți prinde imediat greșelile de calcul. Fă-o de fiecare dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un pătrat perfect de patru cifre: $\sqrt{1849}$

Grupare: $18|49$ (două grupe → două cifre).

• Prima grupă $18$: $4^2=16\le 18$, $5^2=25>18$ → cifra $4$, rest $18-16=2$.
• Coborâm $49$ → $249$. Dublul lui $4$ este $8$, cheia $\overline{8d}$. $d=3$: $83\cdot 3=249\le 249$ (exact) → cifra $3$, rest $0$.

Rezultat: $\sqrt{1849}=43$. Verificare: $43^2=1849$. ✔

Exemplul 2 — Cinci cifre: $\sqrt{15129}$

Grupare: $1|51|29$ (trei grupe → trei cifre).

• Prima grupă $1$: cifra $1$, rest $0$.
• Coborâm $51$ → $51$. Dublul lui $1$ e $2$, cheia $\overline{2d}$. $d=2$: $22\cdot 2=44\le 51$; $d=3$: $23\cdot 3=69>51$ → cifra $2$, rest $51-44=7$.
• Coborâm $29$ → $729$. Dublul lui $12$ e $24$, cheia $\overline{24d}$. $d=3$: $243\cdot 3=729$ (exact) → cifra $3$, rest $0$.

Rezultat: $\sqrt{15129}=123$. Verificare: $123^2=15129$. ✔

Exemplul 3 — Când apare cifra $0$ în rădăcină: $\sqrt{11025}$

Grupare: $1|10|25$.

• Prima grupă $1$: cifra $1$, rest $0$.
• Coborâm $10$ → $10$. Dublul lui $1$ e $2$, cheia $\overline{2d}$. Chiar și $d=1$ dă $21\cdot 1=21>10$! Deci $d=0$: $20\cdot 0=0\le 10$ → cifra $0$, rest $10$.
• Coborâm $25$ → $1025$. Dublul lui $10$ e $20$, cheia $\overline{20d}$. $d=5$: $205\cdot 5=1025$ (exact) → cifra $5$, rest $0$.

Rezultat: $\sqrt{11025}=105$. Verificare: $105^2=11025$. ✔

Reține lecția: dacă numărul de lucru este prea mic ca să încapă chiar și cifra $1$ în cheie, cifra rădăcinii în acel pas este $0$ — nu sări peste ea, altfel îți iese o rădăcină cu o cifră lipsă!

Exemplul 4 — Cu zecimale, până la două zecimale: $\sqrt{5}$

Grupare: $5,00|00\dots$

• Prima grupă $5$: $2^2=4\le 5$ → cifra $2$, rest $1$. Punem virgula: $2,\dots$
• Coborâm $00$ → $100$. Dublul lui $2$ e $4$, cheia $\overline{4d}$. $d=2$: $42\cdot 2=84\le 100$; $d=3$: $43\cdot 3=129>100$ → cifra $2$, rest $16$. Rădăcina: $2,2\dots$
• Coborâm $00$ → $1600$. Dublul lui $22$ e $44$, cheia $\overline{44d}$. $d=3$: $443\cdot 3=1329\le 1600$; $d=4$: $444\cdot 4=1776>1600$ → cifra $3$, rest $271$.

Rezultat: $\sqrt{5}\approx 2,23$. Verificare: $2,23^2=4,9729\approx 5$. ✔

Exemplul 5 — Un număr rațional cu virgulă: $\sqrt{2,56}$

Grupare: $2,56$.

• Prima grupă $2$: cifra $1$, rest $1$. Punem virgula: $1,\dots$
• Coborâm $56$ → $156$. Dublul lui $1$ e $2$, cheia $\overline{2d}$. $d=6$: $26\cdot 6=156$ (exact) → cifra $6$, rest $0$.

Rezultat: $\sqrt{2,56}=1,6$. Verificare: $1,6^2=2,56$. ✔

Exemplul 6 — Aplicație: latura unui teren pătrat

Un teren pătrat are aria de $166464{\text{m}}^2$. Ce lungime are latura?

Latura este $\sqrt{166464}$. Grupare: $16|64|64$.

• Prima grupă $16$: $4^2=16$ (exact) → cifra $4$, rest $0$.
• Coborâm $64$ → $64$. Dublul lui $4$ e $8$, cheia $\overline{8d}$. $d=0$: $80\cdot 0=0\le 64$; $d=1$: $81\cdot 1=81>64$ → cifra $0$, rest $64$.
• Coborâm $64$ → $6464$. Dublul lui $40$ e $80$, cheia $\overline{80d}$. $d=8$: $808\cdot 8=6464$ (exact) → cifra $8$, rest $0$.

Rezultat: latura $=\sqrt{166464}=408\text{m}$. Verificare: $408^2=166464$. ✔

Exemplul 7 — Un număr mai mic decât $1$: $\sqrt{0,0625}$

Aici partea întreagă este $0$, așa că trebuie să fim atenți la virgulă. Grupăm partea zecimală de la virgulă spre dreapta: $0,06|25$.

• Partea întreagă este $0$: cea mai mare cifră cu pătratul $\le 0$ este chiar $0$. Prima cifră a rădăcinii: $0$. Am terminat partea întreagă → punem virgula: rezultatul începe cu $0,\dots$
• Coborâm prima grupă zecimală $06$: numărul de lucru $6$. Dublul rădăcinii de până acum ($0$) este $0$, deci cheia este pur și simplu $\overline{0d}$, adică cifra $d$ înmulțită cu ea însăși. Căutăm cel mai mare $d$ cu $d\cdot d\le 6$: $d=2$ ($2\cdot 2=4\le 6$), fiindcă $3\cdot 3=9>6$. Prima zecimală: $2$. Rest: $6-4=2$. Rădăcina: $0,2\dots$
• Coborâm grupa $25$: numărul de lucru $225$. Dublul rădăcinii de până acum ($0,2$, adică cifrele $02$) este $4$, cheia $\overline{4d}$. $d=5$: $45\cdot 5=225$ (exact) → a doua zecimală: $5$. Rest: $0$.

Rezultat: $\sqrt{0,0625}=0,25$. Verificare: $0,25^2=0,0625$. ✔

Reține din acest exemplu: la un număr mai mic decât $1$, partea întreagă fiind $0$, prima cifră a rădăcinii este tot $0$, iar rezultatul începe cu „$0,$". Nu sări peste acest $0$ din față — el arată că rădăcina este subunitară. De altfel se vede și logic: $0,25$ este mai mic decât $1$, iar pătratul lui, $0,0625$, este și mai mic — la numerele subunitare, ridicarea la pătrat le micșorează.

Exemplul 8 — Când rezultatul trebuie rotunjit: $\sqrt{7}$ cu două zecimale

Algoritmul îți dă zecimalele una câte una, „prin lipsă" (adică prin tăiere). Dacă cerința este să rotunjești la două zecimale, calculezi o zecimală în plus și te uiți la ea ca să decizi.

Grupare: $7,00|00|00\dots$

• Prima grupă $7$: $2^2=4\le 7$, $3^2=9>7$ → cifra $2$, rest $3$. Punem virgula: $2,\dots$
• Coborâm $00$ → $300$. Dublul lui $2$ e $4$, cheia $\overline{4d}$. $d=6$: $46\cdot 6=276\le 300$; $d=7$: $47\cdot 7=329>300$ → cifra $6$, rest $24$. Rădăcina: $2,6\dots$
• Coborâm $00$ → $2400$. Dublul lui $26$ e $52$, cheia $\overline{52d}$. $d=4$: $524\cdot 4=2096\le 2400$; $d=5$: $525\cdot 5=2625>2400$ → cifra $4$, rest $304$. Rădăcina prin lipsă: $2,64\dots$
• Mai calculăm o zecimală doar pentru decizia de rotunjire. Coborâm $00$ → $30400$. Dublul lui $264$ e $528$, cheia $\overline{528d}$. $d=5$: $5285\cdot 5=26425\le 30400$; $d=6$: $5286\cdot 6=31716>30400$ → a treia zecimală este $5$.

A treia zecimală ($5$) este $\ge 5$, deci rotunjim în sus ultima zecimală păstrată: $2,64$ devine $2,65$.

Rezultat: $\sqrt{7}\approx 2,65$ (rotunjit la două zecimale); prin lipsă ai fi scris $2,64$. Verificare: $2,65^2=7,0225\approx 7$. ✔ Diferența dintre „prin lipsă" și „prin rotunjire" o vei aprofunda în lecția Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate.

Să exersăm

Rezolvă în ordine; sunt gradate de la ușor la greu. Fă mereu verificarea prin ridicare la pătrat.

1. Împarte în grupe de câte două cifre, corect, numărul $3249$.

2. Împarte în grupe numărul $70596$. Câte cifre va avea rădăcina lui?

3. Împarte în grupe numărul $0,5476$ (atenție la sensul de grupare al zecimalelor).

4. Găsește doar prima cifră a rădăcinii lui $\sqrt{4489}$, apoi termină calculul complet.

5. Calculează $\sqrt{1024}$.

6. Calculează $\sqrt{3249}$.

7. Calculează $\sqrt{7396}$.

8. Calculează $\sqrt{54756}$ (reface exemplul din lecție singur, fără să te uiți).

9. Calculează $\sqrt{166464}$ și explică unde a apărut cifra $0$.

10. Calculează $\sqrt{2}$ cu două zecimale.

11. Calculează $\sqrt{5}$ cu două zecimale.

12. Calculează $\sqrt{2,56}$.

13. Calculează $\sqrt{0,2025}$.

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\sqrt{841}=29$".

15. Un pătrat are aria $1156{\text{cm}}^2$. Cât este latura lui?

16. Un teren pătrat are aria $2025{\text{m}}^2$. Cât este latura și cât este perimetrul lui?

17. Raționament: de ce, la extragerea rădăcinii, grupăm cifrele câte două, și nu câte trei sau câte una? Explică în două-trei propoziții.

18. Provocare: fără să faci tot algoritmul, spune câte cifre are rezultatul $\sqrt{998001}$. Apoi calculează-l.

Răspunsuri și explicații

1. $32|49$. Grupăm de la dreapta spre stânga, câte două: mai întâi $49$, apoi $32$.

2. $7|05|96$. Trei grupe → rădăcina are trei cifre.

3. $0,54|76$. La zecimale grupăm de la virgulă spre dreapta: prima grupă $54$, a doua $76$. (Ca informație: $\sqrt{0,5476}=0,74$, fiindcă $0,74^2=0,5476$.)

4. Grupare $44|89$. Prima grupă $44$: $6^2=36\le 44$, $7^2=49>44$ → prima cifră este $6$. Continuare: rest $44-36=8$, coborâm $89$ → $889$; dublul lui $6$ e $12$, cheia $\overline{12d}$; $d=7$: $127\cdot 7=889$ (exact). Rezultat: $\sqrt{4489}=67$. Verificare: $67^2=4489$. ✔

5. $\sqrt{1024}=32$. Grupare $10|24$; prima cifră $3$ ($3^2=9\le 10$), rest $1$; coborâm $24$ → $124$; cheia $\overline{6d}$, $d=2$: $62\cdot 2=124$. Verificare: $32^2=1024$. ✔

6. $\sqrt{3249}=57$. Grupare $32|49$; prima cifră $5$ ($25\le 32$), rest $7$; coborâm $49$ → $749$; cheia $\overline{10d}$, $d=7$: $107\cdot 7=749$. Verificare: $57^2=3249$. ✔

7. $\sqrt{7396}=86$. Grupare $73|96$; prima cifră $8$ ($64\le 73$), rest $9$; coborâm $96$ → $996$; cheia $\overline{16d}$, $d=6$: $166\cdot 6=996$. Verificare: $86^2=7396$. ✔

8. $\sqrt{54756}=234$. Pașii sunt cei din lecție. Verificare: $234^2=54756$. ✔

9. $\sqrt{166464}=408$. Grupare $16|64|64$. La al doilea pas, numărul de lucru era $64$, iar cheia $\overline{8d}$ dădea deja $81$ pentru $d=1$, prea mult; de aceea cifra este $0$. Verificare: $408^2=166464$. ✔

10. $\sqrt{2}\approx 1,41$. (Prima cifră $1$, apoi zecimalele $4$ și $1$ — vezi calculul din lecție.) Verificare: $1,41^2=1,9881\approx 2$. ✔

11. $\sqrt{5}\approx 2,23$. Verificare: $2,23^2=4,9729\approx 5$. ✔

12. $\sqrt{2,56}=1,6$. Verificare: $1,6^2=2,56$. ✔

13. $\sqrt{0,2025}=0,45$. Grupare $0,20|25$; prima grupă $20$: $4^2=16\le 20$ → cifra $4$, rest $4$; coborâm $25$ → $425$; cheia $\overline{8d}$, $d=5$: $85\cdot 5=425$. Verificare: $0,45^2=0,2025$. ✔

14. Adevărat. $29^2=841$, deci $\sqrt{841}=29$. (Cu algoritmul: $8|41$; prima cifră $2$, rest $4$; coborâm $41$ → $441$; cheia $\overline{4d}$, $d=9$: $49\cdot 9=441$.)

15. Latura $=\sqrt{1156}=34\text{cm}$. Grupare $11|56$; prima cifră $3$ ($9\le 11$), rest $2$; coborâm $56$ → $256$; cheia $\overline{6d}$, $d=4$: $64\cdot 4=256$. Verificare: $34^2=1156$. ✔

16. Latura $=\sqrt{2025}=45\text{m}$. Grupare $20|25$; prima cifră $4$ ($16\le 20$), rest $4$; coborâm $25$ → $425$; cheia $\overline{8d}$, $d=5$: $85\cdot 5=425$. Perimetrul $=4\cdot 45=180\text{m}$. Verificare: $45^2=2025$. ✔

17. Pentru că ridicarea la pătrat aproximativ dublează numărul de cifre: dacă mărești un număr de $10$ ori, pătratul lui se mărește de $100$ de ori (adaugă două cifre). Așadar fiecare cifră a rădăcinii „acoperă" o grupă de exact două cifre ale numărului de sub radical. Gruparea câte două cifre potrivește perfect câte o cifră a rezultatului cu fiecare grupă.

18. Grupare $99|80|01$ → trei grupe, deci rădăcina are trei cifre. Calcul: prima grupă $99$: $9^2=81\le 99$ → cifra $9$, rest $18$; coborâm $80$ → $1880$; dublul lui $9$ e $18$, cheia $\overline{18d}$, $d=9$: $189\cdot 9=1701\le 1880$, rest $179$; coborâm $01$ → $17901$; dublul lui $99$ e $198$, cheia $\overline{198d}$, $d=9$: $1989\cdot 9=17901$ (exact). Rezultat: $\sqrt{998001}=999$. Verificare: $999^2=998001$. ✔

De reținut

• Grupăm numărul câte două cifre: partea întreagă de la virgulă spre stânga, partea zecimală de la virgulă spre dreapta (completând cu $0$ la nevoie). Numărul de grupe = numărul de cifre ale rădăcinii.
• Prima cifră: cea mai mare cifră $c$ cu $c^2\le$ prima grupă.
• La fiecare pas: coborâm grupa următoare lângă rest → dublăm rădăcina de până acum → lăsăm un loc pentru cifra nouă $d$ → alegem cel mai mare $d$ cu $\overline{(\text{dublu})d}\cdot d\le$ numărul de lucru.
• Când trecem de la partea întreagă la zecimale, punem virgula în rezultat și coborâm grupe de $00$ până la câte zecimale vrem.
• La un număr subunitar (mai mic decât $1$), partea întreagă este $0$, deci prima cifră a rădăcinii este $0$, iar rezultatul începe cu „$0,$". Nu omite acest zero din față.
• Verificăm mereu prin ridicare la pătrat: exact pentru pătrate perfecte, aproximativ pentru rezultate rotunjite.

Greșeli frecvente

• Grupare în sensul greșit. Elevii încep uneori gruparea de la stânga. Corect: întotdeauna de la virgulă, spre stânga pentru partea întreagă, spre dreapta pentru zecimale. La $54756$, grupa singură ($5$) rămâne în stânga, nu în dreapta.
• Dublezi doar ultima cifră, nu toată rădăcina. La fiecare pas dublezi întregul număr obținut până atunci (ex.: dublul lui $23$ e $46$, nu dublul lui $3$). E cea mai frecventă sursă de erori.
• Sari peste cifra $0$. Dacă numărul de lucru e prea mic ca să încapă chiar și cifra $1$, cifra rădăcinii este $0$ — și trebuie scrisă. Altfel îți iese un rezultat cu o cifră lipsă (ex.: $105$ devine greșit $15$).
• Uiți să verifici. Fără ridicarea la pătrat, o greșeală mică de calcul trece neobservată. Verificarea durează câteva secunde și te salvează la test.

Aplică acasă

1. Verifică-ți camera. Măsoară aria unei suprafețe pătrate din casă (o placă de gresie, o fereastră pătrată, un tablou). Presupunând că ai afla doar aria (în ${\text{cm}}^2$), calculează latura cu algoritmul și apoi măsoar-o cu rigla ca să confirmi.
2. Duel cu calculatorul. Alege trei numere de patru–cinci cifre (de exemplu date de naștere lipite: $2011$, $1998$…), extrage-le rădăcina cu două zecimale prin algoritm, apoi compară cu calculatorul telefonului. Cronometrează-te: la câteva încercări vei fi surprinzător de rapid.
3. Provocarea pătratelor perfecte. Scrie zece pătrate perfecte de trei–patru cifre (de la $10^2$ la $99^2$) pe bilețele, amestecă-le și extrage rădăcina fiecăruia prin algoritm, fără să te uiți de la ce număr a pornit. Verifică la final.

Pentru părinți și profesori

Această lecție cere răbdare și ordine, nu talent special. Cel mai bine ajutați elevul cerându-i să verbalizeze fiecare pas: „Ce grupă cobor acum? Cât e dublul rădăcinii de până acum? Care e cea mai mare cifră care încape?" Dacă enunță corect regula la fiecare pas, aritmetica vine de la sine.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Câte cifre va avea rădăcina lui $70596$, înainte să calculezi?" (răspuns: trei — după numărul de grupe).
• „De ce dublezi $23$ și nu $3$?" (verifică dacă a înțeles că se dublează toată rădăcina).
• „Ce faci dacă numărul de lucru e mai mic decât cheia chiar și pentru cifra $1$?" (răspuns: pui cifra $0$).

Semne că a înțeles cu adevărat: pune singur virgula în rezultat la momentul potrivit, scrie cifra $0$ când e cazul și verifică din reflex prin ridicare la pătrat. Dacă greșește, cel mai adesea sursa e dublarea sau gruparea — reveniți acolo. Pentru consolidare, legați lecția de Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv și de Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate.

Întrebări frecvente

Cum se extrage rădăcina pătrată fără calculator la clasa a VII-a? Folosești algoritmul de extragere: grupezi numărul câte două cifre pornind de la virgulă, găsești prima cifră a rădăcinii (cea mai mare cifră cu pătratul sub prima grupă), apoi, la fiecare pas, cobori grupa următoare, dublezi rădăcina de până atunci și alegi cea mai mare cifră care încape. La final verifici prin ridicare la pătrat.

De ce se grupează cifrele câte două la extragerea rădăcinii? Pentru că ridicarea la pătrat aproape dublează numărul de cifre: un număr mărit de $10$ ori are pătratul mărit de $100$ de ori. Astfel, fiecare cifră a rădăcinii corespunde exact unei grupe de două cifre de sub radical, iar numărul de grupe îți spune câte cifre are rezultatul.

Cum obțin zecimalele rădăcinii unui număr care nu este pătrat perfect? După ce epuizezi cifrele părții întregi, pui virgula în rezultat și continui coborând grupe de $00$. Fiecare grupă de $00$ îți dă încă o zecimală. Te oprești la câte zecimale ai nevoie și verifici că pătratul aproximării este apropiat de numărul inițial.

Ce fac dacă la un pas cifra rădăcinii iese $0$? O scrii normal, ca pe orice altă cifră. Situația apare când numărul de lucru este prea mic ca să încapă chiar și cifra $1$ în „cheie". Dacă o omiți, rezultatul iese cu o cifră lipsă și deci greșit — de exemplu $\sqrt{166464}=408$, nu $48$.

Cum verific dacă am extras corect rădăcina pătrată? Ridici rezultatul la pătrat. Dacă rădăcina a ieșit exactă (rest $0$), pătratul ei trebuie să dea fix numărul de sub radical. Dacă ai lucrat cu zecimale și te-ai oprit la o aproximare, pătratul trebuie să fie foarte apropiat de numărul inițial, nu neapărat egal.

Se poate extrage rădăcina unui număr cu virgulă direct? Da. Grupezi partea întreagă de la virgulă spre stânga și partea zecimală de la virgulă spre dreapta (completând cu un $0$ dacă rămâne o cifră singură la coadă). În rezultat pui virgula exact când treci de la ultima grupă întreagă la prima grupă zecimală. De exemplu $\sqrt{166,41}=12,9$.

Algoritmul acesta se dă la teste și evaluare? Da, extragerea rădăcinii pătrate prin algoritm face parte din programa clasei a VII-a și poate apărea în teste, mai ales pentru numere care nu sunt pătrate perfecte evidente. Este util și pentru olimpiade sau situații în care nu ai voie cu calculatorul. Exersează-l până devine automat.

Cum extrag rădăcina unui număr mai mic decât $1$, de exemplu $\sqrt{0,0625}$? La fel ca la orice număr cu virgulă, doar că partea întreagă este $0$. Prima cifră a rădăcinii iese $0$, pui imediat virgula și continui cu grupele zecimale. Rezultatul începe cu „$0,$" — de exemplu $\sqrt{0,0625}=0,25$. Nu omite zeroul din față: el arată că rădăcina este subunitară, iar acest lucru e firesc, fiindcă numerele dintre $0$ și $1$ au rădăcina mai mare decât ele însele, dar tot subunitară.

Cât de multe zecimale trebuie să calculez? Depinde de cerință. De obicei, două zecimale sunt suficiente pentru majoritatea problemelor. Reține că, pentru numere iraționale precum $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{5}$, zecimalele nu se termină niciodată, deci alegi tu unde te oprești și precizezi că este o aproximare.