Care dintre următoarele este condiția CORECTĂ pentru ca o piramidă să fie regulată?

Baza este poligon regulat și piciorul înălțimii cade în centrul bazei

Toate fețele laterale sunt echilaterale

Piramida are exact două baze congruente

Muchia laterală este egală cu apotema bazei

Ce este apotema unei piramide?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Piramida regulată: elemente

Este segmentul care coboară din vârf și se oprește la jumătatea unei laturi de jos, adică înălțimea unei fețe laterale. La piramida regulată toate ies egale și se leagă de celelalte mărimi prin $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ , unde $h$ este înălțimea corpului, iar $a_{b}$ apotema bazei. Pentru $h = 8$ cm și $a_{b} = 6$ cm obții $a_{p} = 10$ cm. Fiind ipotenuză în acel triunghi, apotema piramidei depășește întotdeauna înălțimea.

O piramidă are o singură bază (un poligon) și fețe laterale triunghiuri care se întâlnesc toate într-un vârf $V$ . Este regulată dacă baza e poligon regulat ȘI piciorul înălțimii cade exact în centrul bazei — atunci toate muchiile laterale sunt egale.

La piramida regulată reținem trei mărimi care lucrează împreună în același triunghi dreptunghic $V O M$ (drept în centrul $O$ ):

$h = V O$ — înălțimea;
$a_{b} = O M$ — apotema bazei (până la mijlocul $M$ al unei laturi);
$a_{p} = V M$ — apotema piramidei (ipotenuza, mereu cea mai mare).

$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$

Exemplu: dacă $h = 8$ cm și $a_{b} = 6$ cm, atunci $a_{p} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm.

Nu confunda apotema piramidei ( $V M$ , spre mijlocul laturii) cu muchia laterală ( $V A$ , spre un colț) — muchia laterală e mereu mai lungă.

De reținut

$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ — apotema piramidei este ipotenuza
apotema bazei ajunge la mijlocul unei laturi, muchia laterală ajunge la un vârf
piramidă regulată = bază poligon regulat și picior al înălțimii în centru

Greșeala tipică

Se confundă apotema piramidei cu muchia laterală. Prima coboară spre mijlocul unei laturi, a doua spre un colț al bazei, iar muchia iese întotdeauna mai lungă.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele este condiția CORECTĂ pentru ca o piramidă să fie regulată?
- a) Toate fețele laterale sunt echilaterale
- b) Baza este poligon regulat și piciorul înălțimii cade în centrul bazei
- c) Piramida are exact două baze congruente
- d) Muchia laterală este egală cu apotema bazei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Baza este poligon regulat și piciorul înălțimii cade în centrul bazei

Definiția piramidei regulate cere două condiții: baza să fie poligon regulat și piciorul înălțimii ( $O$ ) să cadă exact în centrul bazei. Din acestea rezultă că muchiile laterale sunt egale, deci fețele laterale sunt triunghiuri isoscele — dar nu neapărat echilaterale, deci a) nu este condiția din definiție. Piramida are o singură bază (două baze congruente are prisma), iar muchia laterală este mereu mai lungă decât apotema bazei.
Într-o piramidă regulată, ce relație leagă înălțimea $h$ , apotema bazei $a_{b}$ și apotema piramidei $a_{p}$ ?
- a) $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$
- b) $h^{2} = a_{p}^{2} + a_{b}^{2}$
- c) $a_{b}^{2} = h^{2} + a_{p}^{2}$
- d) $a_{p} = h + a_{b}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$

În triunghiul dreptunghic $V O M$ (drept în $O$ ), apotema piramidei este ipotenuza, deci $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ .
O piramidă patrulateră regulată are înălțimea $h = 8$ cm și apotema bazei $a_{b} = 15$ cm. Cât este apotema piramidei $a_{p}$ ?
- a) $17$ cm
- b) $23$ cm
- c) $27$ cm
- d) $37$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17$ cm

$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$ , deci $a_{p} = 289 = 17$ cm (tripletul 8-15-17).

Întrebări conexe

Ce fel de triunghiuri sunt fețele laterale ale unei piramide regulate?

Sunt triunghiuri isoscele identice între ele, care se întâlnesc toate în vârf. Apotema piramidei este chiar înălțimea fiecăruia dintre ele, coborâtă pe latura de jos. Numărul lor coincide cu numărul laturilor poligonului de la bază.

Cum se calculează aria laterală a unei piramide regulate?

Se înmulțește perimetrul bazei cu apotema piramidei și se împarte la doi. Formula vine din faptul că toate fețele sunt triunghiuri cu aceeași înălțime, adică apotema, iar bazele lor adunate dau chiar perimetrul poligonului de jos.

Cum se numește o piramidă după forma bazei?

Triunghiulară, patrulateră, hexagonală și așa mai departe, după poligonul de jos. O piramidă patrulateră regulată are baza pătrat. Numele se folosește peste tot în enunțuri, așa că el îți spune din prima cu ce lucrezi.

Cum aflu muchia laterală a unei piramide regulate?

Lucrezi în triunghiul dreptunghic format de înălțime, raza cercului circumscris bazei și muchia laterală. Muchia iese ca ipotenuză, deci se calculează cu teorema lui Pitagora. Ea este mereu mai lungă decât apotema piramidei.

Câte apoteme are o piramidă regulată?

Câte fețe laterale, adică tot atâtea câte laturi are baza. Toate au aceeași lungime, așa că în probleme se vorbește despre una singură. La o piramidă neregulată ele pot ieși diferite, iar formulele obișnuite nu se mai aplică.

De ce sunt egale muchiile laterale ale unei piramide regulate?

Fiindcă piciorul înălțimii se află la aceeași depărtare de toate vârfurile bazei, iar înălțimea este comună. Toate triunghiurile dreptunghice formate ies identice, deci și ipotenuzele lor coincid.

Oamenii mai întreabă și: apotema piramidei · ce este apotema unei piramide regulate · apotema bazei și apotema piramidei · elementele piramidei regulate · înălțimea unei fețe laterale