Două plane distincte, $$\alpha$$ și $$\beta$$, au un punct comun $$P$$. Ce se poate spune despre poziția lor?

Au în comun o dreaptă întreagă care trece prin $$P$$ — sunt plane secante

Au în comun exact un singur punct, $$P$$

Nu se poate ști nimic fără informații suplimentare

Planul $$\beta$$ conține două drepte $$m$$ și $$n$$, ambele paralele cu planul $$\alpha$$. Ce condiție trebuie neapărat să îndeplinească $$m$$ și $$n$$ pentru a putea concluziona, prin criteriul de paralelism al planelor, că $$\alpha \parallel \beta$$?

Să fie concurente (să se intersecteze într-un punct)

Să fie perpendiculare una pe alta

Nicio condiție suplimentară — criteriul e valabil oricum

Planul $$\beta$$ conține două drepte $$p$$ și $$q$$, PARALELE ÎNTRE ELE (nu concurente), ambele paralele cu planul $$\alpha$$. Ce se poate spune?

Nu rezultă neapărat $$\alpha \parallel \beta$$, deoarece criteriul cere drepte concurente

Rezultă sigur $$\alpha \parallel \beta$$

Rezultă sigur că $$\alpha$$ și $$\beta$$ sunt secante

$$p$$ și $$q$$ nu pot fi ambele paralele cu $$\alpha$$ dacă sunt paralele între ele

Când sunt două plane paralele?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Criteriul de paralelism al planelor

Atunci când nu au niciun punct comun, oricât ai prelungi amândouă suprafețele. Ca să dovedești paralelismul, cauți în unul dintre ele două drepte care se taie și arăți că fiecare este paralelă cu celălalt plan. Condiția ca dreptele să se taie este obligatorie: două paralele ar prinde o singură direcție și planul ar putea rămâne înclinat. Într-un cub, fața de sus și cea de jos sunt paralele exact din acest motiv.

Două plane din spațiu pot sta unul față de celălalt în doar două feluri: fie sunt secante (au în comun o dreaptă întreagă), fie sunt paralele ( $α ∥ β$ ), adică nu au niciun punct comun. Nu există cazul „un singur punct comun" — dacă se ating, se ating pe o dreaptă întreagă.

Cum demonstrezi paralelismul? Cu criteriul de paralelism al planelor: dacă planul $β$ conține două drepte concurente $a$ și $b$ (adică se intersectează într-un punct), ambele paralele cu planul $α$ , atunci $α ∥ β$ . Cuvântul-cheie este concurente — două drepte paralele între ele nu sunt suficiente, pentru că prind o singură direcție și planul tot ar putea fi înclinat.

Exemplu minimal: la cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , în fața de sus alegem $A^{'} B^{'}$ și $A^{'} D^{'}$ , concurente în $A^{'}$ . Din $A^{'} B^{'} ∥ A B$ și $A^{'} D^{'} ∥ A D$ rezultă că amândouă sunt paralele cu $(A B C D)$ , deci $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) ∥ (A B C D)$ .

De reținut

plane paralele = niciun punct comun
criteriul cere două drepte concurente dintr-un plan, ambele paralele cu celălalt
două plane sunt fie secante, fie paralele

Greșeala tipică

Se aplică criteriul folosind două drepte paralele din același plan. Dreptele trebuie neapărat să se taie, altfel dovada nu acoperă decât o singură direcție și concluzia este falsă.

Exerciții din această mini-lecție

Două plane distincte, $α$ și $β$ , au un punct comun $P$ . Ce se poate spune despre poziția lor?
- a) Au în comun o dreaptă întreagă care trece prin $P$ — sunt plane secante
- b) Au în comun exact un singur punct, $P$
- c) Sunt automat plane paralele
- d) Nu se poate ști nimic fără informații suplimentare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Au în comun o dreaptă întreagă care trece prin $P$ — sunt plane secante

Două plane nu pot avea în comun „doar un punct": dacă au un punct comun, au automat o dreaptă întreagă de puncte comune. Deci $α$ și $β$ sunt secante, cu dreapta de intersecție prin $P$ .
Planul $β$ conține două drepte $m$ și $n$ , ambele paralele cu planul $α$ . Ce condiție trebuie neapărat să îndeplinească $m$ și $n$ pentru a putea concluziona, prin criteriul de paralelism al planelor, că $α ∥ β$ ?
- a) Să fie perpendiculare una pe alta
- b) Să fie concurente (să se intersecteze într-un punct)
- c) Să aibă aceeași lungime
- d) Nicio condiție suplimentară — criteriul e valabil oricum
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Să fie concurente (să se intersecteze într-un punct)

Dacă $m$ și $n$ ar fi doar paralele între ele, ele ar prinde o singură direcție din $β$ , iar planul $β$ ar putea totuși să taie $α$ . Doar dacă $m$ și $n$ sunt concurente (fixează două direcții diferite), criteriul garantează $α ∥ β$ .
Planul $β$ conține două drepte $p$ și $q$ , PARALELE ÎNTRE ELE (nu concurente), ambele paralele cu planul $α$ . Ce se poate spune?
- a) Rezultă sigur $α ∥ β$
- b) Nu rezultă neapărat $α ∥ β$ , deoarece criteriul cere drepte concurente
- c) Rezultă sigur că $α$ și $β$ sunt secante
- d) $p$ și $q$ nu pot fi ambele paralele cu $α$ dacă sunt paralele între ele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu rezultă neapărat $α ∥ β$ , deoarece criteriul cere drepte concurente

Criteriul de paralelism al planelor cere ca cele două drepte din $β$ să fie concurente, nu doar paralele între ele. Două drepte paralele fixează o singură direcție, insuficientă pentru a garanta $α ∥ β$ .

Întrebări conexe

Ce fel de drepte apar când un plan taie două plane paralele?

Două drepte paralele între ele. Amândouă se află în planul care taie, iar un punct comun al lor ar aparține și celor două plane paralele, ceea ce nu se poate. Proprietatea se folosește des la secțiunile făcute în cub sau în prismă.

Cum notez că două plane sunt paralele?

Scrii literele grecești ale celor două plane despărțite de simbolul de paralelism. Când planele sunt date prin puncte, folosești parantezele cu numele vârfurilor, ca la fețele unui cub. Notația se citește plan paralel cu plan.

Câte plane paralele cu unul dat trec printr-un punct din afara lui?

Unul singur. Prin acel punct nu poți așeza două suprafețe diferite care să evite amândouă planul dat. Proprietatea aceasta seamănă cu cea de la drepte paralele din geometria plană.

Ce plane paralele găsesc într-o prismă dreaptă?

Cele două baze, care sunt poligoane identice așezate una deasupra celeilalte. La o prismă cu baza patrulater apar și perechi de fețe laterale paralele, dacă baza are laturi opuse paralele. Muchiile laterale leagă perechile.

Dacă două plane sunt paralele, sunt paralele și toate dreptele lor?

Nu. O dreaptă din primul plan poate fi necoplanară cu o dreaptă din al doilea, deși cele două suprafețe nu se ating. Paralelismul planelor garantează doar că dreptele lor nu se intersectează niciodată.

La ce ajută planele paralele într-o problemă cu volum?

Ajută la recunoașterea corpului: două baze paralele și identice arată o prismă sau un cilindru, iar formula volumului devine aria bazei înmulțită cu înălțimea. Fără paralelism, corpul ar avea altă formă și altă formulă.

Oamenii mai întreabă și: plane paralele · când sunt două plane paralele · criteriul de paralelism al planelor · fețe opuse paralele · alfa paralel cu beta