Suma dintre un număr întreg și pătratul său este $$42$$. Ecuația devine $$x^2+x-42=0$$, cu soluțiile $$x=6$$ și $$x=-7$$. Care soluții reprezintă răspunsuri corecte la problemă?

niciuna, ecuația nu are soluții valide

Când elimin soluția negativă a unei ecuații?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Probleme cu ecuații de gradul doi

Atunci când necunoscuta reprezintă o mărime care nu poate coborî sub zero: o lungime, o arie, o vârstă sau un număr de obiecte. Dintr-o ecuație cu soluțiile $- 12$ și $5$ , o lățime de dreptunghi rămâne doar $5$ . Dacă însă litera înseamnă un număr întreg oarecare, o temperatură sau o diferență, valoarea negativă poate rămâne pe deplin valabilă. Decizia se ia citind din nou ce ai notat cu litera la începutul rezolvării.

O problemă cu text ascunde, de multe ori, o ecuație de gradul al doilea. Rețeta are patru pași: alegi necunoscuta $x$ (scriind clar ce reprezintă), scrii ecuația traducând enunțul, o rezolvi prin descompunere în factori folosind principiul produsului nul, apoi verifici și elimini soluțiile care nu convin. Gradul al doilea apare mai ales când înmulțești două mărimi care depind amândouă de $x$ : un produs de numere consecutive sau o arie de dreptunghi (lungime × lățime).

Exemplu: un dreptunghi are aria $60 dm^{2}$ , iar lungimea e cu $7$ dm mai mare decât lățimea. Notez $x$ lățimea: $x (x + 7) = 60 \Rightarrow x^{2} + 7 x - 60 = 0 \Rightarrow (x + 12) (x - 5) = 0$ , deci $x = - 12$ sau $x = 5$ . Cum lățimea nu poate fi negativă, rămâne $x = 5$ : lățimea $5$ dm, lungimea $12$ dm.

Reține: contează ce reprezintă necunoscuta — dacă e o lungime, o arie sau un număr de obiecte, elimini soluția negativă; dacă e un întreg oarecare, poate rămâne validă.

De reținut

scrii clar de la început ce reprezintă litera aleasă
lungimile, ariile și numerele de obiecte nu pot fi negative
verificarea se face în enunț, nu doar în ecuație

Greșeala tipică

Se dau amândouă valorile drept răspuns, inclusiv cea negativă, la o problemă despre lungimi. Soluția trebuie confruntată cu sensul mărimii notate cu litera, iar cea fără sens se respinge explicit.

Exerciții din această mini-lecție

Produsul a două numere naturale consecutive este $72$ . Care sunt numerele?
- a) $7$ și $8$
- b) $8$ și $9$
- c) $9$ și $10$
- d) $6$ și $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$ și $9$

Fie $x$ primul număr: $x (x + 1) = 72 \Rightarrow x^{2} + x - 72 = 0 \Rightarrow (x - 8) (x + 9) = 0$ , deci $x = 8$ sau $x = - 9$ . Cum $x$ e natural, se elimină $- 9$ . Numerele sunt $8$ și $9$ ( $8 \cdot 9 = 72$ ).
Suma dintre un număr întreg și pătratul său este $42$ . Ecuația devine $x^{2} + x - 42 = 0$ , cu soluțiile $x = 6$ și $x = - 7$ . Care soluții reprezintă răspunsuri corecte la problemă?
- a) doar $x = 6$
- b) doar $x = - 7$
- c) ambele, $x = 6$ și $x = - 7$
- d) niciuna, ecuația nu are soluții valide
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ambele, $x = 6$ și $x = - 7$

Enunțul cere doar un număr întreg, fără restricția de a fi pozitiv (nu e o lungime, o arie sau un număr de obiecte), deci ambele soluții sunt valabile: $6 + 6^{2} = 42$ și $- 7 + (- 7)^{2} = 42$ .
Produsul a două numere naturale consecutive este $132$ . Care sunt numerele?
- a) $10$ și $11$
- b) $11$ și $12$
- c) $12$ și $13$
- d) $13$ și $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$ și $12$

Fie $x$ primul număr: $x (x + 1) = 132 \Rightarrow x^{2} + x - 132 = 0 \Rightarrow (x - 11) (x + 12) = 0$ , deci $x = 11$ sau $x = - 12$ . Cum $x$ e natural, se elimină $- 12$ . Numerele sunt $11$ și $12$ ( $11 \cdot 12 = 132$ ).

Întrebări conexe

Ce necunoscută aleg într-o problemă cu aria unui dreptunghi?

De obicei latura mai mică, iar pe cealaltă o scrii în funcție de ea. Dacă lungimea este cu $7$ mai mare decât lățimea, notezi lățimea cu literă și lungimea cu litera plus șapte. Ecuația iese direct din formula ariei.

De ce apare gradul al doilea când înmulțesc două mărimi?

Fiindcă amândouă depind de aceeași literă, iar produsul lor o ridică la pătrat. La un dreptunghi cu laturile $x$ și $x + 7$ , aria devine $x^{2} + 7 x$ . Același lucru se întâmplă la produsul a două numere consecutive.

Ce fac dacă ambele valori găsite au sens în context?

Le păstrezi pe amândouă și scrii două răspunsuri. Se întâmplă la probleme cu numere întregi sau cu diferențe, unde nicio condiție nu taie vreo valoare. Verifici ambele în enunț, nu doar în ecuație.

Cum formulez răspunsul final după ce rezolv ecuația?

Traduci valoarea găsită înapoi în limbajul problemei, cu unitate de măsură. Nu scrii doar că litera este $5$ , ci că lățimea este de $5$ decimetri, iar lungimea de $12$ . Verifici apoi că aria iese cea din enunț.

Ce probleme de geometrie duc la ecuații de gradul al doilea?

Cele cu arii de dreptunghi sau de triunghi în care ambele dimensiuni depind de aceeași literă, cele cu teorema lui Pitagora și cele cu volume. În toate apare o înmulțire între două mărimi variabile.

Cum aleg între soluții când necunoscuta este un număr de obiecte?

Păstrezi doar valorile naturale, deci elimini negativele și fracțiile. Un număr de elevi nu poate fi $- 3$ și nici $4, 5$ . Dacă nicio soluție nu este naturală, problema nu are răspuns și trebuie recitit enunțul.

Oamenii mai întreabă și: când resping soluția negativă · probleme cu ecuații de gradul al doilea · soluție care nu convine · cum aleg soluția potrivită · probleme cu arie și ecuație de gradul doi