Care este negația propoziției «Ana are bicicletă și patine»?

«Ana nu are bicicletă și nu are patine»

«Ana nu are nici bicicletă, nici patine»

Care sunt legile lui De Morgan?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Legile lui De Morgan

Sunt cele două reguli după care se neagă un enunț compus: $\neg (p \land q)$ devine $\neg p \lor \neg q$ , iar $\neg (p \lor q)$ devine $\neg p \land \neg q$ . Cu alte cuvinte, negi fiecare bucată și schimbi legătura dintre ele. „Nu are și bicicletă, și patine” înseamnă că îi lipsește măcar una dintre ele. Aceleași reguli se scriu și cu mulțimi, pentru complementara unei intersecții sau reuniuni.

Când negi un enunț compus, nu ajunge să pui «nu» în față: trebuie să schimbi și legătura dintre propoziții. Regulile se numesc legile lui De Morgan:

$\neg (p \land q) = \neg p \lor \neg q \neg (p \lor q) = \neg p \land \neg q$

Cu alte cuvinte: negi fiecare parte și schimbi «și» cu «sau» (respectiv «sau» cu «și»).

De ce e așa? «Ana are bicicletă și patine» este falsă dacă îi lipsește măcar unul dintre ele — deci negația este «Ana nu are bicicletă sau nu are patine». Iar «Ana are bicicletă sau patine» este falsă doar dacă nu are niciunul — deci negația este «nu are bicicletă și nu are patine».

Verificarea se face cu tabelul de adevăr: cele două coloane, $\neg (p \land q)$ și $\neg p \lor \neg q$ , ies identice pe toate cele patru linii.

Îți mai amintești și de negația dublă: $\neg (\neg p) = p$ . Împreună, cele trei reguli îți ajung ca să negi corect orice enunț compus.

De reținut

$\neg (p \land q)$ este echivalent cu $\neg p \lor \neg q$
$\neg (p \lor q)$ este echivalent cu $\neg p \land \neg q$
$\neg (p \Rightarrow q)$ este echivalent cu $p \land \neg q$

Greșeala tipică

La negare se schimbă doar propozițiile, iar legătura rămâne pe loc, așa că iese $\neg p \land \neg q$ în locul lui $\neg p \lor \neg q$ . Operatorul se întoarce mereu odată cu părțile.

Exerciții din această mini-lecție

Care este negația enunțului $p \land q$ ?
- a) $\neg p \land \neg q$
- b) $\neg p \lor \neg q$
- c) $p \lor q$
- d) $\neg p \Rightarrow q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\neg p \lor \neg q$

Legea lui De Morgan: negi fiecare parte și schimbi «și» în «sau». Varianta a) este negația lui $p \lor q$ , nu a conjuncției: ea ar cere ca amândouă să fie false, dar conjuncția cade și dacă doar una este falsă.
Care este negația propoziției «Ana are bicicletă și patine»?
- a) «Ana nu are bicicletă și nu are patine»
- b) «Ana nu are bicicletă sau nu are patine»
- c) «Ana are bicicletă sau patine»
- d) «Ana nu are nici bicicletă, nici patine»
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) «Ana nu are bicicletă sau nu are patine»

Ca propoziția inițială să fie falsă, ajunge să lipsească un obiect. Deci negația este «nu are bicicletă sau nu are patine». Variantele a) și d) spun același lucru între ele — că nu are niciunul — și sunt prea tari: dacă Ana are doar patine, propoziția inițială este falsă, dar a) și d) sunt și ele false.
Care este negația enunțului $p \lor q$ ?
- a) $\neg p \lor \neg q$
- b) $\neg p \land \neg q$
- c) $p \land q$
- d) $\neg (p \land q)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\neg p \land \neg q$

Disjuncția este falsă doar când ambele părți sunt false, deci negația cere ca $\neg p$ și $\neg q$ să fie adevărate: $\neg p \land \neg q$ .

Întrebări conexe

Cum verific legile lui De Morgan cu un tabel de adevăr?

Scrii cele patru linii cu valori pentru cele două propoziții, apoi câte o coloană pentru fiecare membru al egalității. Dacă cele două coloane finale ies identice pe toate liniile, regula este confirmată. Verificarea durează un minut și lămurește orice dubiu.

Cum neg un enunț cu trei propoziții legate prin «și»?

La fel ca la două: negi fiecare dintre cele trei și înlocuiești toate legăturile cu „sau”. Rezultatul spune că măcar una dintre condiții nu se împlinește. Regula se extinde astfel la oricâte propoziții, fără nicio schimbare de idee.

Cum neg condiția x mai mare ca 2 și x mai mic ca 5?

Negi fiecare inegalitate și schimbi „și” în „sau”: iese $x \leq 2$ sau $x \geq 5$ . Pe axă, mulțimea obținută este exact ce rămâne în afara intervalului $(2, 5)$ . Capetele intră în negație, fiindcă enunțul de la început le lăsa pe dinafară.

Cum se neagă un enunț care amestecă «și» cu «sau»?

Se lucrează dinspre exterior spre interior, aplicând regula la fiecare pas. Negația lui $(p \land q) \lor r$ devine întâi $\neg (p \land q) \land \neg r$ , apoi $(\neg p \lor \neg q) \land \neg r$ . Parantezele se păstrează cu grijă, altfel se schimbă sensul enunțului.

Ce se întâmplă dacă neg de două ori același enunț compus?

Te întorci la enunțul de la care ai plecat. Prima negare schimbă legătura și fiecare parte, a doua le pune la loc. Este o verificare bună: dacă negi de două ori și nu obții forma inițială, undeva s-a strecurat o greșeală.

Cum sună legile lui De Morgan în cuvinte, fără simboluri?

Prima spune că „nu amândouă” se traduce prin „măcar una lipsește”. A doua spune că „niciuna” se traduce prin „nici prima, nici a doua”. Formulate așa, ele devin ușor de reținut și de aplicat la enunțuri scrise în limbaj obișnuit, nu doar la cele cu litere.

Oamenii mai întreabă și: legile lui de morgan · cum se neagă un enunț cu și · negația lui p sau q · de morgan la mulțimi · reguli de negare în logică