Într-un paralelipiped dreptunghic $$ABCDA'B'C'D'$$, muchia verticală $$DD'$$ are exact un punct comun cu planul bazei $$(ABC)$$, punctul $$D$$. Cum se numește poziția dreptei $$DD'$$ față de planul $$(ABC)$$ și cum se notează corect?

Secantă, $$DD' \cap (ABC) = \{D\}$$

Inclusă, $$DD' \subset (ABC)$$

Paralelă, $$DD' \parallel (ABC)$$

Secantă, $$DD' \cap (ABC) = \{D, D'\}$$

Ce simbol pun între o dreaptă și un plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Puncte, drepte, plane: relații

Simbolul de apartenență leagă un singur punct de o dreaptă sau de un plan, iar cel de incluziune leagă o dreaptă întreagă de un plan. Regula se ține minte simplu: un element folosește apartenența, o mulțime întreagă folosește incluziunea. Scrierea $A \in α$ este corectă, la fel și $d \subset α$ , dar $d \in α$ nu, fiindcă dreapta este alcătuită din multe puncte, nu este ea însăși un punct.

În geometria în spațiu, dreapta și planul sunt mulțimi de puncte, de aceea folosim simbolurile de la mulțimi:

$A \in α$ — un punct aparține unui plan (sau unei drepte). Se citește „aparține".
$d \subset α$ — o dreaptă este inclusă într-un plan (toate punctele ei sunt pe plan).

Regulă de bază: un singur element (punct) → $\in$ ; o mulțime întreagă (dreaptă) → $\subset$ .

O dreaptă poate sta față de un plan în exact trei feluri, după numărul de puncte comune: inclusă ( $d \subset α$ , infinite puncte comune), secantă ( $d \cap α = {P}$ , un singur punct) sau paralelă ( $d ∥ α$ , niciun punct comun).

Dacă două plane distincte au un punct comun, ele au automat o dreaptă întreagă comună: $α \cap β = d$ (fără acolade — e o dreaptă, nu un punct).

Exemplu minimal: pe cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchia $A B \subset (A B C)$ (inclusă în baza de jos), muchia $A A^{'}$ este secantă bazei ( $A A^{'} \cap (A B C) = {A}$ ), iar muchia $A^{'} B^{'}$ este paralelă cu baza.

De reținut

$A \in α$ — punct în plan; $d \subset α$ — dreaptă inclusă în plan
o dreaptă poate fi inclusă, secantă sau paralelă față de un plan
două plane distincte care se ating au în comun o dreaptă întreagă

Greșeala tipică

Se scrie o dreaptă legată de un plan prin simbolul de apartenență. Acela este rezervat punctelor, iar pentru o dreaptă se folosește simbolul de incluziune.

Exerciții din această mini-lecție

Se dă cubul $M N P Q M^{'} N^{'} P^{'} Q^{'}$ (notat analog cu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ). Care simbol completează corect relația dintre punctul $N^{'}$ și planul bazei de jos $(M N P)$ : $N^{'} □ (M N P)$ ?
- a) $\in$
- b) $\in /$
- c) $\subset$
- d) $\neq \subset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\in /$

$N^{'}$ este un vârf al bazei de sus, deci se află deasupra planului bazei de jos, nu pe el. Fiind un punct, folosim $\in$ / $\in /$ (nu $\subset$ ), iar răspunsul corect este $N^{'} \in / (M N P)$ .
Într-un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchia verticală $D D^{'}$ are exact un punct comun cu planul bazei $(A B C)$ , punctul $D$ . Cum se numește poziția dreptei $D D^{'}$ față de planul $(A B C)$ și cum se notează corect?
- a) Inclusă, $D D^{'} \subset (A B C)$
- b) Paralelă, $D D^{'} ∥ (A B C)$
- c) Secantă, $D D^{'} \cap (A B C) = {D}$
- d) Secantă, $D D^{'} \cap (A B C) = {D, D^{'}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Secantă, $D D^{'} \cap (A B C) = {D}$

Un singur punct comun între o dreaptă și un plan înseamnă că dreapta este secantă planului, iar intersecția, fiind un punct, se scrie cu acolade: $D D^{'} \cap (A B C) = {D}$ . Nu e inclusă (nu toate punctele lui $D D^{'}$ sunt pe plan) și nu e paralelă (au un punct comun).
Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Care simbol completează corect relația dintre punctul $B$ și planul bazei de sus $(A^{'} B^{'} C^{'})$ : $B □ (A^{'} B^{'} C^{'})$ ?
- a) $\in$
- b) $\in /$
- c) $\subset$
- d) $\neq \subset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\in /$

$B$ este un vârf al bazei de jos, deci se află sub planul bazei de sus, nu pe el. Fiind un punct, folosim $\in$ / $\in /$ (nu $\subset$ ), iar răspunsul corect este $B \in / (A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un punct se află pe o dreaptă dintr-un plan?

Înseamnă că el aparține și planului, fiindcă toată dreapta este cuprinsă acolo. Din apartenența la dreaptă și incluziunea dreptei în plan se trage imediat concluzia. Raționamentul acesta scurt apare foarte des în demonstrații.

Cum arăt că o dreaptă este cuprinsă într-un plan?

Este de ajuns să arăți că două puncte ale ei se află în plan. Prin cele două puncte trece o singură dreaptă, iar aceasta rămâne în întregime acolo. Proprietatea este chiar una dintre axiomele de bază.

Ce relații pot exista între două puncte și un plan?

Amândouă în plan, amândouă în afara lui sau unul înăuntru și unul în afară. În primul caz și dreapta lor este cuprinsă acolo; în ultimul, dreapta străpunge suprafața într-un singur punct. Situațiile se deosebesc ușor pe desen.

Cum citesc cu voce tare o scriere cu simboluri de mulțimi?

Spui aparține pentru simbolul de apartenență, este inclusă în pentru cel de incluziune și intersectat cu pentru cel de intersecție. Citirea corectă îți arată imediat dacă ai folosit simbolul potrivit obiectului.

De ce se folosesc simboluri de la mulțimi în geometria în spațiu?

Fiindcă dreptele și planele sunt privite ca mulțimi de puncte. Astfel toate relațiile dintre ele se pot scrie scurt și fără ambiguitate. Aceleași simboluri se folosesc și la mulțimi de numere.

Ce greșeli de notare se penalizează la examen?

Folosirea apartenenței pentru o dreaptă, punerea acoladelor la intersecția a două plane și scrierea unui plan cu literă mică latină. Fiecare arată o confuzie între obiecte, nu doar o scăpare de scris.

Oamenii mai întreabă și: diferența dintre aparține și inclus · simbolurile din geometria în spațiu · când folosesc simbolul de incluziune · relații între puncte drepte și plane · notarea apartenenței în geometrie