Probleme aplicative cu arii și volume ale corpurilor rotunde

Un rezervor de apă, un pahar de suc, o pâlnie de bucătărie, o conservă, o bilă de rulment sau un boiler de baie — toate acestea sunt, în limbaj matematic, corpuri rotunde. Ai învățat deja, lecție cu lecție, formulele pentru cilindru, con, trunchi de con și sferă. Acum vine partea cea mai interesantă și cea mai des întâlnită la Evaluarea Națională: să iei o situație reală, să o „traduci" într-o figură geometrică, să alegi formula potrivită și să interpretezi rezultatul — câți litri, cât material, cât cost. În această lecție înveți să modelezi, să calculezi arii și volume ale corpurilor compuse, să folosești conservarea volumului la topire și turnare și să transformi corect unitățile de măsură.

Ce vei învăța

• Vei ști să modelezi o situație practică printr-un corp rotund sau printr-un corp compus și să alegi metoda de calcul potrivită.
• Vei ști să calculezi aria totală și volumul corpurilor compuse prin însumarea părților componente.
• Vei ști să folosești conservarea volumului la topirea/turnarea unui corp în altul și să afli o dimensiune necunoscută.
• Vei ști să transformi unitățile de măsură pentru volum și capacitate (${\text{cm}}^3$, ${\text{dm}}^3=\text{litri}$, ${\text{m}}^3$).
• Vei ști să interpretezi rezultatul în context real: cantitate de material, capacitate, cost, arie de vopsit.

Hai să descoperim împreună

Această lecție nu introduce formule noi — ci te învață cum să le folosești în probleme adevărate. De aceea începem prin a strânge într-un singur loc tot ce știi și adăugăm trei „unelte de gândire" pe care le vei folosi la fiecare problemă: modelarea, transformarea unităților și conservarea volumului.

1. Tabelul-cheie cu toate formulele

Ține acest tabel la îndemână. La examen nu îl primești tipărit decât parțial, așa că merită învățat temeinic. Peste tot, $R$ și $r$ sunt raze, $h$ este înălțimea, iar $G$ este generatoarea (la con și la trunchiul de con).

Reține și relațiile dintre elemente, pe care le folosim tot timpul:

• La con: generatoarea, înălțimea și raza formează un triunghi dreptunghic, deci $G^2=h^2+R^2$ (teorema lui Pitagora).
• La trunchiul de con: $G^2=h^2+(R-r{)}^2$.
• La semisferă (jumătate de sferă): volumul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{2\pi R^3}{3}$, iar suprafața curbă (fără discul de bază) este jumătate din aria sferei, adică $2\pi R^2$.

2. Prima unealtă: modelarea

A modela înseamnă a înlocui obiectul real cu corpul geometric care îi seamănă. Pași:

1. Citește problema și fă un desen simplu.
2. Întreabă-te: ce corp geometric este? O conservă e cilindru; o pâlnie e con; un pahar tronconic e trunchi de con; o minge e sferă.
3. Notează datele pe desen (raze, înălțimi, generatoare) și ce se cere (volum? arie laterală? arie totală?).
4. Alege formula potrivită după ce se cere: pentru „câtă apă încape" folosești volumul; pentru „câtă tablă/vopsea trebuie" folosești o arie.

Regula de aur: volum = cât încape înăuntru; arie = cât material acoperă suprafața. Confundarea celor două este cea mai frecventă greșeală la examen.

3. A doua unealtă: transformarea unităților

Rezultatele geometrice ies în unități de volum (${\text{cm}}^3$, ${\text{dm}}^3$, ${\text{m}}^3$), dar în viața reală vorbim de capacitate (litri, mililitri). Legăturile esențiale:

$$1\text{litru}=1{\text{dm}}^3,1{\text{m}}^3=1000\text{litri},1\text{litru}=1000{\text{cm}}^3,1\text{ml}=1{\text{cm}}^3.$$

Atenție la saltul de 1000 între unitățile de volum, spre deosebire de saltul de 10 la lungimi și de 100 la arii:

$$1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3=1000000{\text{cm}}^3.$$

De ce 1000? Pentru că un cub cu latura $1\text{dm}=10\text{cm}$ are volumul $10\times 10\times 10=1000{\text{cm}}^3$. Deci când treci de la o unitate mai mare la una imediat mai mică înmulțești cu 1000, iar invers împarți la 1000.

Exemple rapide de transformare:

• $2,5{\text{m}}^3=2500{\text{dm}}^3=2500\text{litri}$;
• $750{\text{dm}}^3=0,75{\text{m}}^3$;
• $3\text{litri}=3000{\text{cm}}^3$;
• $250\text{ml}=250{\text{cm}}^3=0,25\text{litri}$.

4. A treia unealtă: conservarea volumului

Iată una dintre cele mai frumoase idei din geometria aplicată. Dacă topești un corp (de exemplu o bilă de ceară sau de metal) și torni materialul într-o altă formă, volumul nu se schimbă. Materia doar își schimbă forma; cantitatea rămâne aceeași.

Principiul conservării volumului: la topire, turnare sau reformare fără pierderi, $$V_{\text{inițial}}=V_{\text{final}}.$$

Consecință practică: dacă topești un corp și torni în $n$ forme identice, atunci $$V_{\text{inițial}}=n\cdot V_{\text{o forma˘}}.$$

Această egalitate îți dă o ecuație din care afli o mărime necunoscută (o rază, o înălțime sau numărul de piese). Este exact tipul de raționament cerut de competența „conservarea volumului".

5. Corpuri compuse: strategia însumării

Multe obiecte reale sunt „lipite" din mai multe corpuri simple: un boiler = cilindru + semisferă; un siloz sau un creion ascuțit = cilindru + con; o clepsidră = două conuri. Pentru ele:

• Volumul corpului compus = suma volumelor părților: $V=V_1+V_2+\dots$
• Aria suprafeței exterioare = suma ariilor suprafețelor care se văd pe dinafară. Aici e cheia: nu aduni discurile sau fețele care se „lipesc" înăuntru, pentru că ele nu mai fac parte din suprafața exterioară.

Reține avertismentul: la volume aduni tot; la arii aduni doar ce rămâne la vedere. Vom vedea imediat, în exemple, cum se aplică.

Peste tot în această lecție, dacă problema nu spune altfel, aproximăm $\pi \approx 3,14$. Uneori lăsăm rezultatul „în funcție de $\pi$" (de exemplu $90\pi {\text{cm}}^3$), exact cum se acceptă la Evaluarea Națională.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Câți litri încap într-un rezervor cilindric

Un rezervor de apă are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei de $1,2\text{m}$ și înălțimea de $1,5\text{m}$. Câți litri de apă încap în el? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

Modelare. Corpul este un cilindru; „câtă apă încape" înseamnă volum.

Date. Diametrul $d=1,2\text{m}$, deci raza $R=0,6\text{m}$; înălțimea $h=1,5\text{m}$.

Calcul. $$V=\pi R^{2}h=3,14\cdot 0,6^2\cdot 1,5=3,14\cdot 0,36\cdot 1,5=3,14\cdot 0,54=1,6956{\text{m}}^3.$$

Transformare și interpretare. $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$, deci $$V=1,6956{\text{m}}^3=1695,6\text{litri}.$$ În rezervor încap aproximativ 1696 de litri de apă.

Exemplul 2 — Un corp compus: cilindru cu capac semisferic (boiler)

Un boiler are forma unui cilindru cu raza $R=3\text{dm}$ și înălțimea $h=8\text{dm}$, acoperit deasupra cu o semisferă de aceeași rază. Baza de jos este un disc plin. Află: a) volumul boilerului (în litri); b) aria suprafeței exterioare. (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

a) Volumul. Adunăm volumul cilindrului și volumul semisferei: $$V_{\text{cil}}=\pi R^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 8=72\pi ,V_{\text{semisf}}=\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{2\pi \cdot 27}{3}=18\pi .$$ $$V=72\pi +18\pi =90\pi \approx 90\cdot 3,14=282,6{\text{dm}}^3=282,6\text{litri}.$$

b) Aria exterioară. Suprafețele care se văd pe dinafară sunt: discul de bază de jos ($\pi R^2$), mantaua cilindrului ($2\pi Rh$) și calota semisferică ($2\pi R^2$). Discul de sus al cilindrului nu se socotește, pentru că este acoperit de semisferă (este suprafața de lipire). $$\mathcal{A}=\underset{\text{baza jos}}{\underbrace{\pi R^2}}+\underset{\text{manta}}{\underbrace{2\pi Rh}}+\underset{\text{semisfera˘}}{\underbrace{2\pi R^2}}=\pi \cdot 9+2\pi \cdot 3\cdot 8+2\pi \cdot 9=9\pi +48\pi +18\pi =75\pi .$$ $$\mathcal{A}\approx 75\cdot 3,14=235,5{\text{dm}}^2.$$

Exemplul 3 — Conservarea volumului: o bilă topită într-un con

O bilă de plumb cu raza de $6\text{cm}$ este topită și tot materialul este turnat într-un tipar în formă de con cu raza bazei de $6\text{cm}$. Ce înălțime are conul obținut, dacă nu se pierde material?

Modelare. Nu se pierde material $\Rightarrow$ volumul se conservă: $V_{\text{bila˘}}=V_{\text{con}}$.

Volumul bilei (corp sferic). $$V_{\text{bila˘}}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 6^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=288\pi {\text{cm}}^3.$$

Volumul conului cu raza $6$ și înălțimea necunoscută $h$: $$V_{\text{con}}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot h}{3}=\frac{36\pi h}{3}=12\pi h.$$

Ecuația de conservare. $$288\pi =12\pi h|:12\pi ⟹h=\frac{288}{12}=24\text{cm}.$$

Conul obținut are înălțimea de 24 cm. Observă cât de simplu s-a simplificat $\pi$: la problemele de conservare, $\pi$ dispare aproape întotdeauna.

Exemplul 4 — O pâlnie: cât material și cât încape

O pâlnie are forma unui con circular drept cu raza $R=5\text{cm}$ și generatoarea $G=13\text{cm}$. Află: a) înălțimea pâlniei; b) volumul ei (în funcție de $\pi$); c) aria de tablă necesară pentru mantaua conului (aria laterală).

a) Înălțimea. Din $G^2=h^2+R^2$ avem $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{cm}$.

b) Volumul. $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 12}{3}=\frac{300\pi }{3}=100\pi {\text{cm}}^3.$$

c) Aria laterală (mantaua, adică materialul din care e făcută pâlnia, fără capac): $${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG=\pi \cdot 5\cdot 13=65\pi {\text{cm}}^2.$$

Interpretare. În pâlnie încap $100\pi \approx 314{\text{cm}}^3$, adică aproximativ $0,314$ litri, iar pentru a o confecționa e nevoie de $65\pi \approx 204,1{\text{cm}}^2$ de tablă.

Exemplul 5 — O găleată tronconică: capacitate și interpretare

O găleată are forma unui trunchi de con cu raza mare (gura) $R=15\text{cm}$, raza mică (fundul) $r=10\text{cm}$ și înălțimea $h=12\text{cm}$. a) Câți litri de apă încap în găleată? b) Care este aria laterală (materialul mantalei)? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

a) Volumul. $$V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{\pi \cdot 12}{3}\left(15^2+15\cdot 10+10^2\right)=4\pi (225+150+100)=4\pi \cdot 475=1900\pi {\text{cm}}^3.$$ $$V\approx 1900\cdot 3,14=5966{\text{cm}}^3.$$ Cum $1000{\text{cm}}^3=1\text{litru}$, găleata are capacitatea de aproximativ $5966{\text{cm}}^3=5,966\approx 6\text{litri}$.

b) Aria laterală. Avem nevoie de generatoare: $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{cm}$. Atunci $${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi G(R+r)=\pi \cdot 13\cdot (15+10)=325\pi \approx 1020,5{\text{cm}}^2.$$

Exemplul 6 — Raportul volumelor și al ariilor: sfera și cilindrul circumscris

Într-un cilindru este așezată o sferă care atinge exact cele două baze și mantaua (sferă înscrisă în cilindru). Astfel raza sferei este $R$, iar cilindrul are raza $R$ și înălțimea $2R$. Arată că raportul volumelor este $2:3$ și că aria sferei este egală cu aria laterală a cilindrului.

Volume. $$V_{\text{sfera˘}}=\frac{4\pi R^3}{3},V_{\text{cil}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3.$$ $$\frac{V_{\text{sfera˘}}}{V_{\text{cil}}}=\frac{\frac{4\pi R^3}{3}}{2\pi R^3}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$ Deci $V_{\text{sfera˘}}:V_{\text{cil}}=2:3$.

Arii. $${\mathcal{A}}_{\text{sfera˘}}=4\pi R^2,{\mathcal{A}}_{\ell ,\text{cil}}=2\pi R\cdot h=2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2.$$ Cele două arii sunt egale. Acest rezultat elegant a fost descoperit de Arhimede și este un exemplu clasic de „raport al ariilor și volumelor" — genul de item de raționament care apare la examen.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde se cere. Dacă nu se precizează altfel, ia $\pi \approx 3,14$; unde e mai comod, lasă rezultatul în funcție de $\pi$.

1. Transformă în unitățile cerute: a) $4{\text{m}}^3=\dots \text{litri}$; b) $2500{\text{cm}}^3=\dots \text{litri}$; c) $0,8{\text{dm}}^3=\dots {\text{cm}}^3$; d) $3,5\text{litri}=\dots \text{ml}$.

2. O conservă cilindrică are raza $R=4\text{cm}$ și înălțimea $h=11\text{cm}$. Află volumul conservei și aria etichetei care înconjoară exact mantaua (aria laterală), în funcție de $\pi$.

3. O pâlnie conică are raza $R=6\text{cm}$ și înălțimea $h=8\text{cm}$. Calculează generatoarea, volumul și aria laterală (în funcție de $\pi$).

4. O bilă de oțel are raza $R=3\text{cm}$. Calculează aria și volumul corpului sferic, în funcție de $\pi$. Ce observi comparând valorile numerice ale coeficienților lui $\pi$?

5. O găleată tronconică are raza gurii $R=20\text{cm}$, raza fundului $r=10\text{cm}$ și înălțimea $h=24\text{cm}$. Află capacitatea în litri (ia $\pi \approx 3,14$) și aria laterală a mantalei, în funcție de $\pi$.

6. Un obiect are forma unui cilindru cu raza $3\text{cm}$ și înălțimea $10\text{cm}$, peste care este așezat, coaxial, un con cu aceeași rază de $3\text{cm}$ și înălțimea $4\text{cm}$ (ca un creion ascuțit). Calculează volumul total, în funcție de $\pi$.

7. O sferă de ceară cu raza $6\text{cm}$ este topită și turnată complet într-un tipar cilindric cu raza $4\text{cm}$. Ce înălțime are lumânarea cilindrică obținută?

8. Se dau două sfere cu razele $R$ și $2R$. Află raportul volumelor lor și raportul ariilor lor.

9. Un rezervor cilindric deschis (fără capac sus) are raza $R=1\text{m}$ și înălțimea $h=2\text{m}$. Vrem să-l vopsim pe exterior: mantaua și discul de jos. Dacă vopseaua costă $15{\text{lei/m}}^2$, cât costă vopsirea? (Ia $\pi \approx 3,14$.)

10. Adevărat sau fals? Justifică fiecare răspuns. a) $1{\text{m}}^3=100\text{litri}$. b) Dacă topești un corp și torni materialul în altă formă, volumul se păstrează. c) La un corp compus din cilindru și semisferă (semisfera așezată exact peste baza de sus a cilindrului), aria exterioară se obține adunând toate discurile și toate suprafețele curbe. d) Volumul unui con este de trei ori mai mic decât volumul unui cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime.

11. Un vas are forma unei semisfere cu raza $R=9\text{cm}$ (o cupă). Câți mililitri de suc încap în el? (Ia $\pi \approx 3,14$.)

12. O țeavă (tub cilindric gol) are raza exterioară $R=5\text{cm}$, raza interioară $r=4\text{cm}$ și lungimea $\ell =100\text{cm}$. Ce volum de metal conține peretele țevii, în funcție de $\pi$?

13. O clepsidră este formată din două conuri identice unite prin vârf, fiecare cu raza $R=2\text{cm}$ și înălțimea $h=6\text{cm}$. Tot nisipul din conul de sus se scurge în cel de jos. Ce volum de nisip curge (volumul unui con), în funcție de $\pi$? Cât este volumul total al celor două conuri?

14. (Item tip Evaluare Națională.) Un recipient are forma unui cilindru cu raza bazei $R=10\text{cm}$ și înălțimea $H=30\text{cm}$, umplut cu apă până la refuz. În apă se scufundă complet o bilă de metal cu raza $r=6\text{cm}$, care nu absoarbe apă. Ce volum de apă se revarsă din recipient? (Lasă rezultatul în funcție de $\pi$.)

15. (Item tip Evaluare Națională.) Un rezervor are forma unui cilindru cu raza $R=2\text{m}$ și înălțimea $h=5\text{m}$. a) Arată că volumul rezervorului este $20\pi {\text{m}}^3$. b) Câți litri reprezintă acest volum (ia $\pi \approx 3,14$)? c) Printr-un robinet curg $50$ litri pe minut. În câte minute (aproximativ) se umple rezervorul gol?

Răspunsuri și explicații

1. a) $4{\text{m}}^3=4000\text{litri}$ (înmulțești cu $1000$). b) $2500{\text{cm}}^3=2,5\text{litri}$ (împarți la $1000$). c) $0,8{\text{dm}}^3=800{\text{cm}}^3$. d) $3,5\text{litri}=3500\text{ml}$ (deoarece $1$ litru $=1000$ ml).

2. $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 16\cdot 11=176\pi {\text{cm}}^3$. Eticheta acoperă mantaua: ${\mathcal{A}}_{\ell }=2\pi Rh=2\pi \cdot 4\cdot 11=88\pi {\text{cm}}^2$.

3. $G=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}$. $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=96\pi {\text{cm}}^3$. ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$.

4. $\mathcal{A}=4\pi R^2=4\pi \cdot 9=36\pi {\text{cm}}^2$; $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3$. Coeficienții lui $\pi$ sunt egali ($36$), o coincidență numerică ce apare doar pentru $R=3$ — dar unitățile sunt diferite (cm² vs cm³), deci mărimile nu sunt „egale" ca sens.

5. $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \cdot 24}{3}(400+200+100)=8\pi \cdot 700=5600\pi {\text{cm}}^3\approx 5600\cdot 3,14=17584{\text{cm}}^3\approx 17,6\text{litri}$. Generatoarea: $G=\sqrt{24^2+(20-10{)}^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\text{cm}$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi G(R+r)=\pi \cdot 26\cdot 30=780\pi {\text{cm}}^2$.

6. $V=V_{\text{cil}}+V_{\text{con}}=\pi \cdot 3^2\cdot 10+\frac{\pi \cdot 3^2\cdot 4}{3}=90\pi +12\pi =102\pi {\text{cm}}^3$.

7. Conservarea volumului: $V_{\text{sfera˘}}=V_{\text{cil}}$. $\frac{4\pi \cdot 6^3}{3}=\pi \cdot 4^2\cdot h\Rightarrow 288\pi =16\pi h\Rightarrow h=\frac{288}{16}=18\text{cm}$.

8. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi (2R{)}^3}=\frac{R^3}{8R^3}=\frac{1}{8}$, deci raportul volumelor este $1:8$. $\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=\frac{4\pi R^2}{4\pi (2R{)}^2}=\frac{R^2}{4R^2}=\frac{1}{4}$, deci raportul ariilor este $1:4$. (Dacă lungimile se dublează, ariile cresc de $4$ ori, iar volumele de $8$ ori.)

9. Se vopsesc mantaua și discul de jos: $\mathcal{A}=2\pi Rh+\pi R^2=2\pi \cdot 1\cdot 2+\pi \cdot 1=4\pi +\pi =5\pi {\text{m}}^2\approx 5\cdot 3,14=15,7{\text{m}}^2$. Cost $=15,7\cdot 15=235,5\text{lei}$.

10. a) Fals: $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$ (saltul între unitățile de volum este $1000$, nu $100$). b) Adevărat: la topire/turnare fără pierderi, volumul se conservă. c) Fals: la aria exterioară a corpului compus nu se adună discul de lipire dintre cilindru și semisferă, pentru că el nu se vede pe dinafară; se adună doar suprafețele exterioare. d) Adevărat: $V_{\text{con}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$, iar $V_{\text{cil}}=\pi R^{2}h$ (cu aceeași bază și înălțime), deci conul are volumul de trei ori mai mic.

11. Semisferă: $V=\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{2\pi \cdot 9^3}{3}=\frac{2\pi \cdot 729}{3}=486\pi {\text{cm}}^3\approx 486\cdot 3,14=1526,04{\text{cm}}^3$. Cum $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$, încap aproximativ $1526\text{ml}$ (adică vreo $1,5$ litri).

12. Volumul metalului = volumul cilindrului exterior minus volumul golului interior: $V=\pi R^2\ell -\pi r^2\ell =\pi \ell (R^2-r^2)=\pi \cdot 100\cdot (25-16)=\pi \cdot 100\cdot 9=900\pi {\text{cm}}^3$.

13. Volumul unui con: $V_{\text{con}}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 4\cdot 6}{3}=8\pi {\text{cm}}^3$. Prin vârf curge tot nisipul unui con, adică $8\pi {\text{cm}}^3$. Volumul total al celor două conuri: $2\cdot 8\pi =16\pi {\text{cm}}^3$.

14. Bila scufundată împinge afară un volum de apă egal cu volumul ei (bila umple un loc ocupat înainte de apă): $V_{\text{reva˘rsat}}=\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 6^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=288\pi {\text{cm}}^3$. (Recipientul era plin până la refuz, deci exact acest volum se revarsă.)

15. a) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 2^2\cdot 5=\pi \cdot 4\cdot 5=20\pi {\text{m}}^3$. b) $20\pi \approx 20\cdot 3,14=62,8{\text{m}}^3=62800\text{litri}$. c) $t=\frac{62800}{50}=1256\text{minute}$ (adică aproximativ $20$ ore și $56$ de minute).

De reținut

• Modelează întâi, calculează apoi: transformă obiectul real în cilindru, con, trunchi de con, sferă sau combinație a lor, apoi alege formula după ce se cere (volum pentru capacitate, arie pentru material/vopsea).
• Salt de 1000 la volume: $1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3=1000000{\text{cm}}^3$ și $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}$, $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$.
• Corp compus: la volum aduni toate părțile ($V=V_1+V_2+\dots$); la arie aduni doar suprafețele exterioare, fără discurile/fețele de lipire.
• Conservarea volumului: la topire/turnare fără pierderi $V_{\text{inițial}}=V_{\text{final}}$; obții o ecuație din care afli o dimensiune necunoscută, iar $\pi$ se simplifică.
• Relații metrice: con $G^2=h^2+R^2$; trunchi de con $G^2=h^2+(R-r{)}^2$; semisferă $V=\frac{2\pi R^3}{3}$, suprafață curbă $2\pi R^2$.

Greșeli frecvente

• Confundarea ariei cu volumul. „Câtă apă încape" cere volum, iar „câtă tablă/vopsea" cere arie. Citește cerința și subliniază cuvântul-cheie înainte de a scrie formula.
• Transformarea greșită a unităților. Mulți împart la $10$ sau $100$ când trec de la ${\text{m}}^3$ la ${\text{dm}}^3$. La volume factorul este $1000$. Verifică mereu sensul: unitate mai mică $\Rightarrow$ număr mai mare.
• Adunarea suprafețelor de lipire la corpuri compuse. Discul dintre cilindru și semisferă (sau baza pe care se sprijină un con) nu face parte din suprafața exterioară. Fă un desen și colorează doar ce se vede pe dinafară.
• Uitarea împărțirii la $3$ la con. Volumul conului este $\frac{\pi R^{2}h}{3}$, nu $\pi R^{2}h$. Aceeași atenție la trunchiul de con, unde volumul are $\frac{\pi h}{3}$ în față.

Aplică acasă

1. Măsoară o conservă sau o cană cilindrică din bucătărie (cu o riglă): diametrul și înălțimea interioară. Calculează volumul cu $V=\pi R^{2}h$, transformă în mililitri și compară cu capacitatea scrisă pe etichetă (de exemplu „$400\text{ml}$"). Cât de aproape ai nimerit? Diferența vine din grosimea pereților și din rotunjiri.

2. Estimează capacitatea unei găleți tronconice de acasă: măsoară raza gurii, raza fundului și înălțimea, apoi folosește $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$. Verifică turnând apă cu o sticlă de $1$ litru — de câte sticle ai nevoie ca să o umpli?

3. Experiment de conservare a volumului: ia plastilină, modelează o bilă și măsoară-i (aproximativ) raza; apoi remodeleaz-o într-un „cilindru" și măsoară raza și înălțimea. Calculează cele două volume și verifică dacă ies apropiate — ar trebui, pentru că materia nu s-a pierdut.

Pentru părinți și profesori

Această lecție integrează tot capitolul de corpuri rotunde și antrenează exact competențele testate la Evaluarea Națională: modelarea unei situații reale, alegerea metodei de calcul și interpretarea rezultatului. Pentru a sprijini elevul, cereți-i mai întâi să facă un desen și să scrie ce se dă și ce se cere — jumătate din greșeli dispar când problema este „văzută", nu doar citită.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Ce corp geometric modelează obiectul din problemă și de ce?"
• „Cerința îți cere un volum sau o arie? De unde știi?"
• „Când aduni ariile la un corp compus, ce suprafață nu socotești și de ce?"
• „De ce se simplifică $\pi$ la problemele cu topire și turnare?"
• „Cum transformi ${\text{m}}^3$ în litri și de ce factorul este $1000$?"

Semne că elevul a înțeles: transformă corect unitățile fără ezitare, distinge singur „cât încape" (volum) de „cât material" (arie) și, la corpuri compuse, exclude corect suprafețele de lipire. La Evaluarea Națională, aceste probleme apar de obicei ca subiecte de geometrie cu mai multe cerințe (a, b, c), unde punctajul se acordă pe pași: formulă corectă, calcul corect, transformare de unități, interpretare finală. Încurajați redactarea îngrijită — scrierea formulei generale înainte de a înlocui numerele aduce punctaj chiar și când calculul final are o mică eroare.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă o problemă cere aria sau volumul? Caută cuvântul-cheie din cerință. „Câtă apă/suc/nisip încape", „capacitate", „câți litri" înseamnă volum. „Câtă tablă", „câtă vopsea", „aria de vopsit", „cât material" înseamnă arie. Dacă întâlnești „câtă folie învelește un corp", este tot arie (a suprafeței exterioare).

Cât este $1{\text{m}}^3$ în litri? $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$. În general, $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}$ și $1{\text{cm}}^3=1\text{mililitru}$, iar între unitățile de volum vecine factorul este mereu $1000$ (nu $10$ ca la lungimi).

De ce dispare $\pi$ la problemele cu topire? Pentru că scrii egalitatea volumelor $V_1=V_2$, iar ambii membri conțin factorul $\pi$. Când împarți ecuația la $\pi$, acesta se simplifică și rămâne o ecuație doar cu numere, ușor de rezolvat.

Cum calculez aria unui corp compus din cilindru și semisferă? Aduni doar suprafețele care se văd pe dinafară: mantaua cilindrului ($2\pi Rh$), calota semisferei ($2\pi R^2$) și, dacă baza de jos este închisă, discul de bază ($\pi R^2$). Discul de sus al cilindrului nu se socotește, fiind acoperit de semisferă.

Ce volum de apă se revarsă când scufund o bilă într-un vas plin? Un volum egal cu volumul bilei scufundate, adică $\frac{4\pi r^3}{3}$, cu condiția ca bila să fie complet acoperită de apă și vasul să fi fost plin până la refuz. Acesta este un item clasic la Evaluarea Națională.

Trebuie să folosesc $\pi \approx 3,14$ sau pot lăsa rezultatul cu $\pi$? Amândouă variantele sunt corecte și acceptate la examen, în funcție de cerință. Dacă problema cere „câți litri" sau „ce cost", faci aproximarea numerică; dacă cere doar „volumul", poți lăsa un rezultat elegant de forma $90\pi {\text{cm}}^3$.

Cum aflu generatoarea la con și la trunchiul de con? La con, generatoarea, înălțimea și raza formează un triunghi dreptunghic: $G=\sqrt{h^2+R^2}$. La trunchiul de con, în triunghiul dreptunghic apar înălțimea și diferența razelor: $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$.

Unde apar aceste probleme la Evaluarea Națională? De regulă la Subiectul al III-lea, ca problemă de geometrie cu mai multe puncte (a, b, c), pornind de la un obiect real (rezervor, pahar, pâlnie, bilă). Se punctează separat scrierea formulei, calculul, transformarea unităților și interpretarea răspunsului în context. Poți exersa suplimentar cu lecțiile despre cilindru, con, trunchi de con și sferă, iar recapitularea generală o găsești în lecția Recapitulare: corpuri geometrice, arii și volume.