Cum se calculează aria și volumul sferei?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria și volumul sferei

Suprafața sferei are aria $A = 4 π R^{2}$ , iar corpul plin dinăuntru are volumul $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$ . Dacă enunțul dă diametrul, prima linie a rezolvării este $R = \frac{d}{2}$ . Pentru $R = 3 cm$ ies $A = 36 π cm^{2}$ și $V = 36 π cm^{3}$ , același număr, dar unități diferite. Aria se măsoară în centimetri pătrați, volumul în centimetri cubi.

Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță $R$ (raza) de un punct fix, centrul $O$ . Când vorbim de arie, ne gândim la „coaja" sferei (suprafața), iar când vorbim de volum, ne gândim la corpul sferic plin (bila). Cele două formule de bază sunt:

$A = 4 π R^{2} V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$

Dacă enunțul dă diametrul $d$ , treci întâi la rază cu $R = \frac{d}{2}$ . Reține și legătura cu unitățile: aria e în $cm^{2}$ (pătrat, fiindcă „stă în plan"), volumul e în $cm^{3}$ (cub, fiindcă „umple spațiul").

Exemplu minimal. Pentru $R = 2 cm$ : $A = 4 π \cdot 2^{2} = 16 π cm^{2}$ și $V = \frac{4 π \cdot 2 ^{3}}{3} = \frac{32 π}{3} cm^{3}$ .

Sfera se obține și rotind un semicerc în jurul diametrului său — raza sferei fiind chiar raza semicercului.

De reținut

$A = 4 π R^{2}$
$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
din diametru se trece la rază: $R = \frac{d}{2}$

Greșeala tipică

Diametrul este pus direct în formulă în locul razei: la $d = 10$ se calculează $4 π \cdot 100$ în loc de $4 π \cdot 25$ . Înainte de orice înlocuire, scrie pe foaie raza, adică jumătatea diametrului.

Exerciții din această mini-lecție

O minge sferică are raza $R = 5 cm$ . Care este aria suprafeței ei, exprimată în funcție de $π$ ?
- a) $20 π cm^{2}$
- b) $25 π cm^{2}$
- c) $100 π cm^{2}$
- d) $125 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $100 π cm^{2}$

$A = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 5^{2} = 4 π \cdot 25 = 100 π cm^{2}$ .
Aria unei sfere este $A = 36 π cm^{2}$ . Care este raza sferei?
- a) $3 cm$
- b) $6 cm$
- c) $9 cm$
- d) $36 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 cm$

Din $A = 4 π R^{2}$ scoatem $R^{2} = \frac{36 π}{4 π} = 9$ , deci $R = 9 = 3 cm$ .
Volumul unei sfere este $V = \frac{32 π}{3} cm^{3}$ . Care este raza sferei?
- a) $8 cm$
- b) $32 cm$
- c) $2 cm$
- d) $12 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 cm$

Din $V = \frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{32 π}{3}$ rezultă $4 R^{3} = 32$ , deci $R^{3} = 8$ , adică $R = 2 cm$ (rădăcina cubică a lui $8$ ).

Întrebări conexe

Ce unitate de măsură are aria sferei, față de volum?

Aria se exprimă în unități pătratice, de exemplu $cm^{2}$ sau $m^{2}$ , fiindcă măsoară o suprafață. Volumul se exprimă în unități cubice, $cm^{3}$ sau $m^{3}$ , fiindcă măsoară spațiul umplut. Un răspuns bun numeric, dar cu unitatea pusă greșit, pierde puncte la corectare.

Cum aflu aria sferei dacă știu doar diametrul?

Împarți diametrul la doi și abia apoi folosești formula. Pentru $d = 14 cm$ rezultă $R = 7 cm$ , deci $A = 4 π \cdot 49 = 196 π cm^{2}$ . Dacă pui direct diametrul în locul razei, rezultatul iese de patru ori mai mare. Verificarea e simplă: raza trebuie să fie jumătate din diametru.

Ce legătură există între aria sferei și cercul mare?

Cercul mare apare atunci când planul de tăiere conține chiar centrul; el are aria $π R^{2}$ . Formula $A = 4 π R^{2}$ arată că suprafața sferei este cât aria a patru astfel de cercuri. Pentru $R = 5$ , cercul mare are $25 π$ , iar sfera $100 π$ .

Cât face volumul unei sfere cu raza de 6 cm?

Înlocuiești în formulă: $V = \frac{4 π \cdot 6 ^{3}}{3} = \frac{4 π \cdot 216}{3} = 288 π cm^{3}$ . Ordinea operațiilor contează: întâi ridici raza la cub, apoi înmulțești. Dacă vrei o valoare aproximativă, înmulțești cu $3, 14$ și obții aproape $904, 3 cm^{3}$ .

De ce se lasă răspunsul cu pi, în loc de o valoare zecimală?

Pentru că $π$ este un număr irațional: orice zecimală scrisă e doar o aproximare, iar erorile se adună de la un pas la altul. Păstrând simbolul, rezultatul rămâne exact și se compară ușor cu al altei sfere. Aproximarea se face abia la final, dacă enunțul o cere.

Cum se compară volumul sferei cu al cilindrului în care încape?

Un cilindru care cuprinde exact sfera are raza $R$ și înălțimea $2 R$ , deci volumul $2 π R^{3}$ . Volumul sferei, $\frac{4 π R ^{3}}{3}$ , reprezintă două treimi din el. Raportul de $\frac{2}{3}$ nu depinde de rază și a fost descoperit de Arhimede.

Oamenii mai întreabă și: aria și volumul sferei · formula ariei unei sfere · cum aflu volumul unei bile · aria suprafeței sferice · volumul corpului sferic