Sistemul de axe. Coordonatele unui punct în plan

Când deschizi o hartă pe telefon și cauți un magazin, aplicația îți spune poziția printr-o pereche de numere: latitudine și longitudine. Când joci un joc pe tablă și muți piesa „pe coloana C, rândul 4", folosești tot o pereche de indicații. În matematică, ideea este exact aceeași: pentru a fixa un punct oriunde în plan avem nevoie de două numere. Locul unde vom scrie aceste perechi de numere se numește sistemul de axe xOy, iar el este instrumentul de bază cu care vei desena, în lecțiile următoare, graficul unei funcții. Hai să învățăm să reprezentăm și să citim puncte cu precizie — este exact ce ți se cere și la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești și să numești corect sistemul de axe perpendiculare xOy: axa absciselor $Ox$ și axa ordonatelor $Oy$.
• Vei ști să reprezinți un punct dat prin coordonate $(x,y)$ în plan, pas cu pas.
• Vei ști să citești abscisa și ordonata unui punct deja desenat.
• Vei ști să recunoști cele patru cadrane și în ce cadran se află un punct după semnele coordonatelor.
• Vei ști să folosești sistemul de axe pentru a pregăti reprezentarea grafică a funcțiilor.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge un singur număr

În clasele trecute ai lucrat cu axa numerelor: o dreaptă orizontală pe care fiecărui număr real îi corespunde exact un punct. Un singur număr, de exemplu $3$, îți spune precis unde te afli pe acea dreaptă.

Dar pe o foaie de hârtie (adică într-un plan) un singur număr nu mai este suficient. Dacă îți spun „mergi $3$ unități", nu știu în ce direcție: la dreapta? în sus? Ai nevoie de două informații: cât mergi pe orizontală și cât mergi pe verticală. De aceea, în plan, poziția unui punct se dă printr-o pereche de numere.

2. Construcția sistemului de axe xOy

Luăm două axe numerice (două drepte gradate) perpendiculare, adică formând între ele un unghi de $90°$:

• una orizontală, pe care o numim axa absciselor și o notăm $Ox$;
• una verticală, pe care o numim axa ordonatelor și o notăm $Oy$.

Punctul în care cele două axe se intersectează se numește originea sistemului și se notează cu $O$. În origine, ambele axe au valoarea $0$.

Ansamblul celor două axe perpendiculare formează sistemul de axe ortogonale (perpendiculare) xOy, numit și reper cartezian (după numele matematicianului René Descartes, cel care a avut ideea de a lega geometria de numere).

Pe fiecare axă alegem un sens pozitiv, marcat de obicei cu o săgeată:

• pe $Ox$, sensul pozitiv este spre dreapta (la stânga sunt numerele negative);
• pe $Oy$, sensul pozitiv este în sus (în jos sunt numerele negative).

Alegem și o unitate de măsură — de regulă un pătrățel al caietului de matematică — și o păstrăm aceeași pe ambele axe. Este important să gradăm axele cu numere egal depărtate: $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$

3. Coordonatele unui punct: abscisă și ordonată

Fie un punct oarecare $A$ în plan. Ne întrebăm: cum îl descriem cu numere?

Pasul 1. Coborâm (sau urcăm) o perpendiculară din $A$ pe axa $Ox$. Numărul din locul în care aceasta întâlnește axa $Ox$ se numește abscisa punctului $A$ și îl notăm de obicei cu $x$.

Pasul 2. Ducem o perpendiculară din $A$ pe axa $Oy$. Numărul din locul în care aceasta întâlnește axa $Oy$ se numește ordonata punctului $A$ și îl notăm cu $y$.

Perechea ordonată $(x,y)$ formată din abscisă și ordonată reprezintă coordonatele punctului $A$. Scriem: $$A(x,y).$$

Foarte important: ordinea contează! Se scrie întâi abscisa (x), apoi ordonata (y). De aceea perechea se numește ordonată — nu poți schimba locurile. Punctul $A(2,5)$ este cu totul altul decât punctul $B(5,2)$.

O idee bună de reținut cu o analogie: abscisa îți spune „cât mergi la dreapta/stânga" (deplasare orizontală), iar ordonata îți spune „cât urci/cobori" (deplasare verticală). Ca la lift: întâi te muți pe hol până în dreptul ușii (orizontal), apoi urci cu liftul la etaj (vertical).

4. Cazul special: originea, punctele de pe axe

• Originea are ambele coordonate nule: $O(0,0)$.
• Un punct situat pe axa $Ox$ are ordonata $0$: are forma $(x,0)$. De exemplu $M(3,0)$ este pe axa orizontală.
• Un punct situat pe axa $Oy$ are abscisa $0$: are forma $(0,y)$. De exemplu $N(0,-2)$ este pe axa verticală.

Reține regula scurtă: pe $Ox$, ordonata este $0$; pe $Oy$, abscisa este $0$. Această observație te va ajuta enorm la lecția Punctele de intersecție ale graficului cu axele și în toată unitatea despre funcția liniară.

5. Cum reprezint un punct de coordonate date (pas cu pas)

Aceasta este operația pe care o vei face cel mai des. Să reprezentăm punctul $P(3,2)$.

1. Pornesc din origine $O$.
2. Mă uit la abscisă ($x=3$): mă deplasez pe orizontală cu $3$ unități. Semnul este pozitiv, deci spre dreapta.
3. Din locul la care am ajuns, mă uit la ordonată ($y=2$): mă deplasez pe verticală cu $2$ unități. Semnul este pozitiv, deci în sus.
4. Marchez punctul cu un $\times$ sau o bulină plină și scriu alături eticheta $P(3,2)$.

Să reprezentăm și un punct cu coordonate negative: $Q(-4,-1)$.

1. Pornesc din $O$.
2. Abscisa $x=-4$ este negativă: mă deplasez $4$ unități spre stânga.
3. Ordonata $y=-1$ este negativă: cobor $1$ unitate în jos.
4. Marchez și etichetez $Q(-4,-1)$.

Regula semnelor, pe scurt:

• $x>0\Rightarrow$ dreapta; $x<0\Rightarrow$ stânga;
• $y>0\Rightarrow$ sus; $y<0\Rightarrow$ jos.

6. Cum citesc coordonatele unui punct desenat (operația inversă)

Dacă punctul este deja pe desen și vreau să-i aflu coordonatele, fac invers:

1. Din punct cobor/urc o verticală până la axa $Ox$ și citesc numărul: acela este abscisa $x$.
2. Din punct duc o orizontală până la axa $Oy$ și citesc numărul: acela este ordonata $y$.
3. Scriu coordonatele în ordine: $(x,y)$.

Atenție la semne: dacă verticala cade la stânga originii, abscisa e negativă; dacă orizontala ajunge sub origine, ordonata e negativă.

7. Cele patru cadrane

Cele două axe împart planul în patru regiuni numite cadrane, numerotate cu cifre romane, în sens invers acelor de ceasornic, pornind din dreapta-sus:

Astfel, doar privind semnele coordonatelor, poți spune imediat în ce cadran se află un punct, fără să-l mai desenezi. De exemplu $(-5,-7)$ are ambele coordonate negative, deci este în cadranul III.

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran: ele se află pe „graniță".

8. De ce contează pentru funcții

În lecția anterioară, Valoarea unei funcții într-un punct. Imaginea unei funcții, ai învățat să calculezi $f(x)$ pentru diverse valori ale lui $x$. Fiecare astfel de calcul îți dă o pereche $(x,f(x))$ — adică exact un punct în sistemul de axe! Abscisa este valoarea aleasă $x$, iar ordonata este valoarea funcției $f(x)$.

De exemplu, dacă $f(x)=2x-1$ și iei $x=3$, obții $f(3)=5$, deci punctul $(3,5)$. Adunând mai multe astfel de puncte și unindu-le, obții graficul funcției — subiectul lecției următoare, Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică. Sistemul de axe este, deci, „foaia de desen" pe care prind viață toate funcțiile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reprezentarea mai multor puncte

Cerință: Reprezintă în sistemul de axe xOy punctele $A(4,3)$, $B(-2,4)$, $C(-3,-2)$, $D(2,-3)$ și $E(0,3)$.

Rezolvare:

• $A(4,3)$: din $O$, $4$ unități la dreapta, apoi $3$ în sus — cadranul I.
• $B(-2,4)$: $2$ unități la stânga, $4$ în sus — cadranul II.
• $C(-3,-2)$: $3$ unități la stânga, $2$ în jos — cadranul III.
• $D(2,-3)$: $2$ unități la dreapta, $3$ în jos — cadranul IV.
• $E(0,3)$: abscisa $0$, deci punctul este pe axa $Oy$, la $3$ unități în sus.

Exemplul 2 — Citirea coordonatelor de pe desen

Cerință: Într-un sistem de axe sunt marcate punctele: $M$ la $2$ unități dreapta și $1$ unitate sus; $N$ la $3$ unități stânga și $0$ pe verticală (pe axă); $P$ la $0$ orizontal și $4$ jos. Scrie coordonatele lor.

Rezolvare:

• $M$: abscisa $2$ (dreapta $\Rightarrow +$), ordonata $1$ (sus $\Rightarrow +$) $\Rightarrow M(2,1)$.
• $N$ este pe axa $Ox$ (nu urcă/coboară), la stânga: $N(-3,0)$.
• $P$ este pe axa $Oy$ (nu se mută orizontal), în jos: $P(0,-4)$.

Exemplul 3 — Determinarea cadranului fără desen

Cerință: Fără a desena, precizează cadranul (sau axa) pe care se află punctele: $A(7,-2)$, $B(-1,-6)$, $C(-8,5)$, $D(0,9)$, $E(4,0)$.

Rezolvare: Analizăm semnele.

• $A(7,-2)$: $x>0$, $y<0$ $\Rightarrow$ cadranul IV.
• $B(-1,-6)$: $x<0$, $y<0$ $\Rightarrow$ cadranul III.
• $C(-8,5)$: $x<0$, $y>0$ $\Rightarrow$ cadranul II.
• $D(0,9)$: $x=0$ $\Rightarrow$ pe axa $Oy$.
• $E(4,0)$: $y=0$ $\Rightarrow$ pe axa $Ox$.

Exemplul 4 — Punct cu parametru

Cerință: Se dă punctul $P(m-3,m+1)$, unde $m$ este un număr real. a) Pentru $m=5$, află coordonatele lui $P$. b) Determină $m$ astfel încât $P$ să se afle pe axa $Oy$.

Rezolvare:

a) Înlocuim $m=5$: abscisa $=5-3=2$, ordonata $=5+1=6$. Deci $P(2,6)$.

b) Un punct este pe axa $Oy$ dacă și numai dacă abscisa lui este $0$. Punem condiția: $$m-3=0\Rightarrow m=3.$$ Verificare: pentru $m=3$, ordonata este $3+1=4$, deci $P(0,4)$ — într-adevăr pe axa $Oy$.

Exemplul 5 — Un punct dintr-o funcție

Cerință: Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+2$. Verifică dacă punctul $A(3,-1)$ „aparține" reprezentării funcției, adică dacă ordonata lui $A$ este chiar $f(3)$.

Rezolvare: Calculăm valoarea funcției în abscisa punctului: $$f(3)=-3+2=-1.$$ Ordonata punctului $A$ este $-1$, egală cu $f(3)$. Deci punctul $A(3,-1)$ corespunde funcției: el se va afla pe graficul ei. (Așa vei verifica, în lecțiile despre funcția liniară, dacă un punct este pe grafic.)

Exemplul 6 — Figură geometrică din puncte

Cerință: Reprezintă punctele $A(-2,1)$, $B(3,1)$, $C(3,4)$ și $D(-2,4)$, apoi arată ce fel de patrulater formează $ABCD$ și calculează-i aria (unitatea = un pătrățel).

Rezolvare:

Observăm coordonatele:

• $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y=1$) $\Rightarrow$ segmentul $AB$ este orizontal;
• $D$ și $C$ au aceeași ordonată ($y=4$) $\Rightarrow$ segmentul $DC$ este orizontal;
• $A$ și $D$ au aceeași abscisă ($x=-2$) $\Rightarrow$ segmentul $AD$ este vertical;
• $B$ și $C$ au aceeași abscisă ($x=3$) $\Rightarrow$ segmentul $BC$ este vertical.

Deci laturile opuse sunt paralele și laturile alăturate perpendiculare: $ABCD$ este un dreptunghi.

Lungimile: $$AB=3-(-2)=5\text{ unita˘ți},AD=4-1=3\text{ unita˘ți}.$$ Aria: $$\mathcal{A}=AB\cdot AD=5\cdot 3=15{\text{ unita˘ți}}^2.$$

Să exersăm

1. Completează: axa orizontală se numește axa __________ și se notează __________; axa verticală se numește axa __________ și se notează __________.

2. Scrie coordonatele originii sistemului de axe.

3. Pentru punctul $A(-6,2)$, precizează abscisa și ordonata.

4. Reprezintă în același sistem de axe punctele: $A(3,4)$, $B(-4,2)$, $C(-3,-3)$, $D(5,-2)$.

5. Precizează, fără desen, cadranul fiecărui punct: $M(2,9)$, $N(-7,3)$, $P(-1,-1)$, $Q(6,-4)$.

6. Pe ce axă se află fiecare punct: $R(0,-5)$, $S(8,0)$, $T(0,0)$?

7. Citește coordonatele: punctul $E$ se află la $5$ unități la stânga și $2$ unități în sus; punctul $F$ la $1$ unitate la dreapta și $3$ unități în jos.

8. (Adevărat/Fals cu motivare) Punctele $A(2,5)$ și $B(5,2)$ reprezintă același punct în plan. Justifică.

9. Un punct are abscisa $-4$ și se află pe axa $Ox$. Care este ordonata lui? Scrie coordonatele complete.

10. Determină numărul real $a$ astfel încât punctul $P(a+2,7)$ să se afle pe axa $Oy$.

11. Se dă $Q(3,b-5)$. Află $b$ astfel încât $Q$ să se afle pe axa $Ox$.

12. În ce cadran se află un punct dacă abscisa și ordonata au semne diferite? (Dă toate variantele posibile.)

13. Reprezintă punctele $A(-3,0)$, $B(2,0)$, $C(2,4)$. Ce fel de triunghi este $ABC$ (după unghiuri)? Calculează aria lui.

14. (Tip Evaluare Națională) Se consideră punctele $A(1,2)$, $B(5,2)$ și $C(5,5)$. a) Reprezintă punctele în sistemul de axe xOy. b) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic. c) Calculează lungimea segmentului $AC$.

15. Se dă punctul mobil $P(t-1,2t)$, cu $t\in \mathbb{R}$. Completează tabelul cu coordonatele lui $P$ pentru $t\in \{0,1,2,3\}$, apoi reprezintă cele patru poziții.

16. (Raționament) Trei vârfuri ale unui dreptunghi $ABCD$ sunt $A(-1,-2)$, $B(4,-2)$ și $C(4,3)$. Găsește coordonatele celui de-al patrulea vârf, $D$.

17. Punctul $M(-2,3)$ se oglindește (se reflectă) față de axa $Oy$. Care sunt coordonatele imaginii $M^{\prime }$? Dar dacă se reflectă față de axa $Ox$?

18. (Aplicație) Pe un plan de amplasare, un panou solar este montat în punctul $S(6,8)$, iar invertorul în punctul $I(6,2)$ (unitatea = $1$ metru). La ce distanță pe verticală se află cele două, în metri?

Răspunsuri și explicații

1. Axa absciselor, notată $Ox$; axa ordonatelor, notată $Oy$.

2. $O(0,0)$ — ambele coordonate sunt nule.

3. Abscisa este $-6$, ordonata este $2$.

4. $A(3,4)$ — cadranul I; $B(-4,2)$ — cadranul II; $C(-3,-3)$ — cadranul III; $D(5,-2)$ — cadranul IV. (Verifică-ți desenul cu regula semnelor: dreapta/sus $=+$, stânga/jos $=-$.)

5. $M(2,9)$: $(+,+)\Rightarrow$ cadranul I; $N(-7,3)$: $(-,+)\Rightarrow$ cadranul II; $P(-1,-1)$: $(-,-)\Rightarrow$ cadranul III; $Q(6,-4)$: $(+,-)\Rightarrow$ cadranul IV.

6. $R(0,-5)$: abscisa $0\Rightarrow$ pe axa $Oy$; $S(8,0)$: ordonata $0\Rightarrow$ pe axa $Ox$; $T(0,0)$: este chiar originea $O$ (pe ambele axe).

7. $E(-5,2)$ (stânga $\Rightarrow$ abscisă negativă, sus $\Rightarrow$ ordonată pozitivă); $F(1,-3)$ (dreapta $\Rightarrow$ pozitiv, jos $\Rightarrow$ negativ).

8. Fals. Perechea de coordonate este ordonată: contează ordinea. La $A(2,5)$ abscisa e $2$ și ordonata $5$; la $B(5,2)$ abscisa e $5$ și ordonata $2$. Sunt două puncte diferite (ambele în cadranul I, dar în locuri distincte).

9. Pe axa $Ox$, ordonata este $0$. Deci ordonata este $0$, iar coordonatele complete sunt $(-4,0)$.

10. Pe axa $Oy$, abscisa este $0$: $a+2=0\Rightarrow a=-2$.

11. Pe axa $Ox$, ordonata este $0$: $b-5=0\Rightarrow b=5$.

12. Dacă abscisa și ordonata au semne diferite, punctul este în cadranul II (când $x<0,y>0$) sau în cadranul IV (când $x>0,y<0$).

13. $A(-3,0)$ și $B(2,0)$ sunt pe axa $Ox$, deci $AB$ este orizontal, cu $AB=2-(-3)=5$. Latura $BC$ este verticală ($B$ și $C$ au $x=2$), cu $BC=4$. Unghiul din $B$ este drept $\Rightarrow$ triunghi dreptunghic în $B$. Aria: $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ unități${}^2$.

14. a) $A(1,2)$ și $B(5,2)$ pe orizontala $y=2$; $C(5,5)$ deasupra lui $B$. b) $AB$ este orizontal ($AB=5-1=4$), $BC$ este vertical ($BC=5-2=3$), deci $AB\perp BC$ $\Rightarrow$ triunghi dreptunghic în $B$. c) $AC$ este ipotenuza; din teorema lui Pitagora: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

15. Calculăm $P(t-1,2t)$:

Cele patru puncte sunt „aliniate" (vei observa că se așază pe o dreaptă — o pregătire pentru graficul funcției liniare).

16. Într-un dreptunghi $ABCD$, vârfurile se parcurg în ordine, deci laturile sunt $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Latura $AB$ (de la $A(-1,-2)$ la $B(4,-2)$) este orizontală, iar $BC$ (de la $B(4,-2)$ la $C(4,3)$) este verticală. Latura $CD$ trebuie să fie paralelă cu $AB$ (orizontală), iar $DA$ paralelă cu $BC$ (verticală). Prin urmare al patrulea vârf $D$ are aceeași abscisă ca $A$ ($x=-1$, ca să fie $DA$ verticală) și aceeași ordonată ca $C$ ($y=3$, ca să fie $CD$ orizontală). Deci $D(-1,3)$. (Verificare: $DC=4-(-1)=5$ și $AD=3-(-2)=5$; laturile sunt egale, deci figura este chiar un pătrat, caz particular de dreptunghi.)

17. Reflexia față de axa $Oy$ schimbă semnul abscisei: $M^{\prime }(2,3)$. Reflexia față de axa $Ox$ schimbă semnul ordonatei: imaginea este $(-2,-3)$.

18. $S(6,8)$ și $I(6,2)$ au aceeași abscisă, deci sunt pe aceeași verticală. Distanța verticală este $8-2=6$ metri.

De reținut

• Sistemul de axe xOy este format din două axe perpendiculare: axa absciselor $Ox$ (orizontală) și axa ordonatelor $Oy$ (verticală), care se intersectează în originea $O(0,0)$.
• Coordonatele unui punct se scriu ca o pereche ordonată $A(x,y)$: întâi abscisa $x$, apoi ordonata $y$. Ordinea contează!
• Reprezentare: din $O$ mergi $x$ pe orizontală (dreapta dacă $+$, stânga dacă $-$), apoi $y$ pe verticală (sus dacă $+$, jos dacă $-$). Citire: invers — cobori/urci pe $Ox$ pentru $x$, mergi orizontal pe $Oy$ pentru $y$.
• Cadranele (I: $+,+$; II: $-,+$; III: $-,-$; IV: $+,-$) se recunosc după semnele coordonatelor. Pe $Ox$ ordonata este $0$, pe $Oy$ abscisa este $0$.
• Fiecare pereche $(x,f(x))$ dintr-o funcție este un punct în plan — baza pentru graficul funcției.

Greșeli frecvente

• Inversarea coordonatelor. Mulți scriu $(y,x)$ în loc de $(x,y)$, adică pun întâi valoarea verticală. Reține: „x este orizontal, y este vertical" — mereu întâi abscisa. Punctul $(2,5)$ nu este același cu $(5,2)$.
• Confuzia axei cu cadranul. Un punct de forma $(0,3)$ sau $(-4,0)$ nu este în niciun cadran — este pe o axă. Cadranele conțin doar puncte cu ambele coordonate nenule.
• Greșeli de semn la deplasare. Uiți că negativul înseamnă stânga (la $x$), respectiv jos (la $y$). Verifică mereu semnul înainte de a te deplasa.
• Unitate diferită pe cele două axe. Dacă pui un pătrățel pe $Ox$ și două pe $Oy$, figura se deformează. Păstrează aceeași unitate pe ambele axe (mai ales când calculezi lungimi sau arii).

Aplică acasă

1. Harta camerei tale. Alege un colț al camerei ca origine, un perete ca axa $Ox$ și celălalt ca $Oy$. Măsoară cu pasul (sau cu metrul) poziția a $4$ obiecte (biroul, patul, ușa, fereastra) și notează-le coordonatele $(x,y)$. Desenează-le apoi pe hârtie de matematică, la scară (de exemplu $1$ metru $=1$ pătrățel).
2. Jocul „ghicește punctul". Cu un coleg sau părinte, desenați fiecare un sistem de axe și marcați în secret $5$ puncte. Pe rând, dictați coordonatele, iar celălalt le reprezintă; la final comparați desenele. Câștigă cine plasează corect mai multe puncte.
3. Desen din puncte. Alege 6–8 puncte cu coordonate întregi care, unite în ordine, formează o literă sau o formă simplă (o casă, o săgeată). Scrie lista de coordonate și dă-i-o cuiva să o „decodeze" desenând.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare către grafice de funcții, un subiect prezent constant la Evaluarea Națională (Subiectul al II-lea și al III-lea, în probleme cu funcția liniară: reprezentare de puncte, verificarea apartenenței la grafic, intersecția cu axele). Un elev care plasează și citește corect puncte va aborda mult mai ușor toată unitatea despre funcții.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să verbalizeze ce face: „merg $3$ la dreapta, apoi $2$ în sus". Verbalizarea previne inversarea coordonatelor.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „În ce cadran e $(-5,2)$?", „Ce coordonate are un punct de pe axa Ox?", „Cum se schimbă coordonatele dacă merg mai la stânga?".
• Semn că a înțeles cu adevărat: reușește operația inversă — să citească coordonatele unui punct desenat de altcineva, nu doar să reprezinte.
• Insistați pe caietul de matematică și pe aceeași unitate pe ambele axe; ordinea și acuratețea desenului aduc puncte la barem.

Întrebări frecvente

Ce este abscisa și ce este ordonata unui punct? Abscisa este prima coordonată a punctului, $x$, și arată deplasarea pe orizontală (axa $Ox$). Ordonata este a doua coordonată, $y$, și arată deplasarea pe verticală (axa $Oy$). Se scriu împreună ca pereche ordonată $A(x,y)$.

Cum reprezint un punct în plan la clasa a 8-a? Pornești din origine, te deplasezi pe orizontală cu valoarea abscisei (la dreapta dacă e pozitivă, la stânga dacă e negativă), apoi pe verticală cu valoarea ordonatei (sus dacă e pozitivă, jos dacă e negativă) și marchezi punctul. Scrii mereu întâi abscisa, apoi ordonata.

De ce se numește sistemul de axe „xOy"? Numele adună cele trei elemente esențiale: axa $x$ (adică $Ox$), originea $O$ și axa $y$ (adică $Oy$). Este notația standard pentru reperul cartezian din plan, format din două axe perpendiculare.

Care este diferența dintre $(2,5)$ și $(5,2)$? Sunt două puncte diferite, pentru că perechea de coordonate este ordonată. La $(2,5)$ mergi $2$ la dreapta și $5$ în sus; la $(5,2)$ mergi $5$ la dreapta și $2$ în sus. Ordinea abscisă–ordonată nu poate fi schimbată.

Ce coordonate are un punct care se află pe o axă? Dacă punctul este pe axa $Ox$ (orizontala), ordonata lui este $0$: are forma $(x,0)$. Dacă este pe axa $Oy$ (verticala), abscisa lui este $0$: are forma $(0,y)$. Originea, aflată pe ambele, are coordonatele $(0,0)$.

Cum aflu în ce cadran se află un punct? Te uiți doar la semnele celor două coordonate: $(+,+)$ este cadranul I, $(-,+)$ cadranul II, $(-,-)$ cadranul III, $(+,-)$ cadranul IV. Dacă vreo coordonată este $0$, punctul este pe o axă, nu într-un cadran.

La ce îmi folosește sistemul de axe la funcții? Fiecare valoare a unei funcții îți dă o pereche $(x,f(x))$, adică un punct în plan. Reprezentând mai multe astfel de puncte obții graficul funcției. Fără sistemul de axe nu poți desena grafice, motiv pentru care această lecție pregătește direct funcția liniară $f(x)=ax+b$.

Trebuie să folosesc aceeași unitate pe ambele axe? Da, este recomandat, mai ales când calculezi lungimi de segmente sau arii, pentru ca figura să nu apară deformată. La Evaluarea Națională se lucrează pe hârtie de matematică, folosind pătrățelul ca unitate comună pentru $Ox$ și $Oy$.