Domeniul, codomeniul și legea de corespondență a unei funcții

Când deschizi o aplicație de streaming și scrii numărul de luni cât vrei abonament, aplicația îți afișează instant prețul total. Ai introdus o valoare, ai primit exact o valoare înapoi. Exact așa funcționează o funcție în matematică: o „mașinărie" precisă, care primește un număr și returnează unul singur, după o regulă bine stabilită. Ca să descriem complet această mașinărie, avem nevoie de trei ingrediente: din ce mulțime luăm numerele de intrare, în ce mulțime se găsesc rezultatele și care este regula de transformare. Aceste trei ingrediente se numesc domeniu, codomeniu și lege de corespondență — și sunt inima oricărei funcții pe care o vei întâlni la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici domeniul de definiție (mulțimea de plecare) al unei funcții date printr-o diagramă, un tabel sau o formulă.
• Vei ști să identifici codomeniul (mulțimea de sosire) al unei funcții.
• Vei ști să precizezi corect legea de corespondență, adică regula prin care fiecărui element din domeniu i se asociază un element din codomeniu.
• Vei ști să folosești și să citești corect notația $f:A\to B$, $f(x)=\dots$
• Vei ști să distingi cele trei elemente ale unei funcții și să scrii răspunsurile cu limbajul matematic cerut la examen.

Hai să descoperim împreună

Reamintim pe scurt ce este o funcție

Din lecțiile Noțiunea de funcție. Dependențe funcționale și Moduri de a descrie o funcție știm deja regula de aur:

O funcție de la o mulțime $A$ la o mulțime $B$ este o corespondență care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$.

Sunt două condiții pe care le respectă mereu o funcție:

1. Fiecare element din $A$ trebuie să aibă un corespondent (nimeni nu rămâne „nefolosit" în $A$).
2. Fiecărui element din $A$ îi corespunde un singur element din $B$ (niciodată două deodată).

Astăzi punem lupa pe cele trei „piese" din care este construită orice funcție. Le vom numi și le vom recunoaște în orice fel ne-ar fi prezentată funcția.

Cele trei elemente ale unei funcții

Ca să scriem o funcție, folosim notația:

$$f:A\to B,f(x)=\text{(o expresie ıˆn }x\text{)}.$$

Citim: „$f$ definită pe $A$ cu valori în $B$". Săgeata $\to$ ne arată sensul: plecăm din $A$ și ajungem în $B$. Iată cele trei elemente:

1. Domeniul de definiție (numit și mulțimea de plecare) este mulțimea $A$. El conține toate numerele pe care le putem introduce în funcție. Se notează adesea $D_f$ sau $D$. Elementele domeniului le numim de obicei $x$ (argumente sau variabilă independentă).

2. Codomeniul (numit și mulțimea de sosire) este mulțimea $B$. El este „locul" în care se află rezultatele. Atenție: codomeniul este mulțimea în care pot ateriza valorile, nu neapărat mulțimea valorilor chiar obținute (despre valorile efectiv atinse — imaginea funcției — vei învăța în lecția Valoarea unei funcții într-un punct. Imaginea unei funcții).

3. Legea de corespondență este regula prin care fiecărui $x$ din $A$ îi asociem elementul $f(x)$ din $B$. Ea poate fi dată printr-o formulă ($f(x)=2x+1$), printr-un tabel sau printr-o diagramă cu săgeți.

O analogie utilă: gândește-te la un automat de cafea.

• Domeniul = butoanele pe care le poți apăsa (espresso, cappuccino, ciocolată caldă). Doar acestea sunt intrări permise.
• Codomeniul = toate băuturile pe care automatul le-ar putea, în principiu, produce.
• Legea de corespondență = programul intern: „dacă apeși butonul X, primești băutura Y". Fiecare buton dă o singură băutură — exact cerința unei funcții.

Cum recunoaștem domeniul și codomeniul dintr-o diagramă

Când funcția e dată printr-o diagramă cu săgeți, avem două „ovale": ovalul din stânga și ovalul din dreapta.

• Ovalul de unde pleacă săgețile este domeniul $A$.
• Ovalul unde ajung săgețile este codomeniul $B$.
• Săgețile înseși descriu legea de corespondență: fiecare săgeată spune „acest $x$ merge în acest $f(x)$".

Verifică rapid că e într-adevăr funcție: din fiecare element al domeniului $A$ trebuie să plece exact o săgeată. În diagrama de mai sus, din $1$, din $2$ și din $3$ pleacă fiecare câte o singură săgeată — deci este funcție. Observă și că elementul $0$ din $B$ nu primește nicio săgeată: este permis! Codomeniul are voie să conțină elemente „neatinse".

Cum recunoaștem domeniul și codomeniul dintr-un tabel

Când funcția e dată printr-un tabel de valori, avem de obicei două linii (sau două coloane):

• Linia de sus ($x$) conține domeniul: aici $A=\{5,10,15,20\}$.
• Linia de jos ($f(x)$) conține valorile obținute. Codomeniul trebuie să conțină cel puțin aceste valori; de multe ori problema îl precizează separat (de exemplu $B=\mathbb{R}$ sau $B=\mathbb{N}$).
• Legea de corespondență o „ghicim" căutând regula comună. Aici: $12=2\cdot 5+2$, $22=2\cdot 10+2$, $32=2\cdot 15+2$, $42=2\cdot 20+2$. Deci $f(x)=2x+2$.

Ai grijă la o subtilitate: dintr-un tabel finit putem doar propune o lege; regula trebuie să se potrivească pentru toate perechile din tabel. Dacă se potrivește la toate, o acceptăm.

Cum recunoaștem domeniul și codomeniul dintr-o formulă

Cel mai des, la clasa a VIII-a, funcția e dată direct prin notația completă, de exemplu:

$$f:\{-1,0,1,2\}\to \mathbb{R},f(x)=3x-5.$$

Aici totul e „scris pe față":

• Domeniul este $A=\{-1,0,1,2\}$ — mulțimea din stânga săgeții.
• Codomeniul este $B=\mathbb{R}$ — mulțimea din dreapta săgeții.
• Legea de corespondență este $f(x)=3x-5$.

De reținut: domeniul și codomeniul se citesc din notația $f:A\to B$, iar legea din partea $f(x)=\dots$. Nu confunda cele două mulțimi: prima (înainte de săgeată) este mereu domeniul, a doua (după săgeată) este mereu codomeniul.

De ce contează codomeniul, dacă avem deja legea?

O întrebare firească: dacă știm regula, de ce mai precizăm codomeniul? Pentru că aceeași lege pe același domeniu, dar cu codomenii diferite, dă funcții descrise diferit. Codomeniul face parte din „identitatea" funcției. La examen, o funcție se consideră complet precizată doar când sunt date toate cele trei elemente. De aceea vei vedea aproape mereu scris explicit ceva de forma $f:A\to B$, nu doar $f(x)=\dots$.

De asemenea, codomeniul ne spune „ce fel de rezultate" așteptăm. Dacă scriem $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, spunem că și intrările și ieșirile sunt numere naturale — un cadru util pentru probleme cu numărători (număr de bilete, de zile, de pixeli).

Un mic avertisment despre „domeniul maxim"

Uneori vei întâlni în cărți sau la ore o funcție dată doar prin lege, de pildă $f(x)=\frac{1}{x-3}$, fără să se scrie mulțimea de plecare. În acest caz se subînțelege domeniul maxim de definiție: toate numerele reale pentru care expresia are sens. Aici numitorul trebuie să fie diferit de zero, deci $x-3\ne 0$, adică $x\ne 3$; domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Această idee o cunoști deja de la Fracții algebrice. Condiții de existență. Totuși, la clasa a VIII-a domeniul este aproape întotdeauna precizat explicit în enunț, deci nu trebuie să-l „inventezi" — doar să-l citești corect. Reține totuși principiul: nu putem împărți la zero, iar (când apar) expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule.

Recapitulare vizuală a limbajului

Ca să vorbești „limba examenului", folosește constant termenii potriviți:

• „Domeniul de definiție al funcției este…" (mulțimea de plecare, notată $D_f$ sau dată ca $A$).
• „Codomeniul funcției este…" (mulțimea de sosire, $B$).
• „Legea de corespondență a funcției este $f(x)=\dots$" sau „funcția asociază fiecărui $x$ valoarea $f(x)=\dots$".

Corectitudinea limbajului aduce puncte la Evaluarea Națională, iar folosirea lui greșită (de exemplu, a numi codomeniul „domeniu") poate duce la pierderea unor puncte, chiar dacă calculul e corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea celor trei elemente dintr-o formulă

Enunț. Se dă funcția $f:\{-2,-1,0,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-1$. Precizează domeniul, codomeniul și legea de corespondență.

Rezolvare. Citim direct din notație:

• Domeniul (mulțimea de plecare): $D_f=\{-2,-1,0,3\}$.
• Codomeniul (mulțimea de sosire): $\mathbb{R}$.
• Legea de corespondență: $f(x)=4x-1$.

Toate cele trei elemente au fost identificate direct din scrierea funcției. Nu trebuie făcut niciun calcul — doar citit cu atenție ce este înainte de săgeată, ce este după săgeată și care este regula.

Exemplul 2 — Descoperirea legii dintr-un tabel

Enunț. O funcție $g$ este descrisă de tabelul de mai jos. Găsește domeniul, o lege de corespondență posibilă și scrie complet funcția, știind că valorile ei sunt numere reale.

Rezolvare.

• Domeniul se citește din prima linie: $D_g=\{0,1,2,3\}$.
• Căutăm regula. Observăm că, atunci când $x$ crește cu $1$, valoarea $g(x)$ crește cu $3$ ($-4\to -1\to 2\to 5$). Această creștere constantă sugerează o lege de forma $g(x)=3x+b$.
• Aflăm $b$ folosind o valoare din tabel. Pentru $x=0$: $g(0)=3\cdot 0+b=b=-4$, deci $b=-4$.
• Propunem $g(x)=3x-4$ și verificăm la toate:
  • $x=1$: $3\cdot 1-4=-1$ ✓
  • $x=2$: $3\cdot 2-4=2$ ✓
  • $x=3$: $3\cdot 3-4=5$ ✓

Toate se potrivesc. Funcția completă: $g:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x-4$.

Exemplul 3 — Diagramă cu săgeți

Enunț. Funcția $h$ este dată de diagrama de mai jos. Precizează domeniul, codomeniul și legea de corespondență.

Rezolvare.

• Domeniul (de unde pleacă săgețile): $A=\{1,4,9\}$.
• Codomeniul (unde ajung săgețile): $B=\{1,2,3,5\}$.
• Legea: fiecare element din $A$ merge în rădăcina lui pătrată: $1\to 1$, $4\to 2$, $9\to 3$. Deci $h(x)=\sqrt{x}$.

Observație: elementul $5\in B$ nu primește săgeată. Este perfect corect — codomeniul poate conține elemente pe care legea nu le atinge. Important este doar ca fiecare element din domeniu să aibă exact o săgeată, ceea ce se respectă aici.

Exemplul 4 — Aceeași lege, codomenii diferite

Enunț. Comparăm două funcții cu aceeași lege: $f:\{1,2,3\}\to \mathbb{N}$, $f(x)=2x$ și $p:\{1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $p(x)=2x$. Ce au comun și prin ce diferă?

Rezolvare.

• Domeniul este același pentru ambele: $\{1,2,3\}$.
• Legea de corespondență este aceeași: „dublul lui $x$", adică $2x$. Valorile efective sunt tot $2,4,6$ în ambele cazuri.
• Diferă codomeniul: la $f$ este $\mathbb{N}$, la $p$ este $\mathbb{R}$.

Concluzie: două funcții sunt considerate complet descrise abia când cunoaștem toate cele trei elemente. Chiar dacă produc aceleași valori, ele sunt prezentate cu codomenii diferite, deci descrieri diferite. Acest exemplu arată de ce nu putem ignora codomeniul.

Exemplul 5 — Domeniul unei funcții dată printr-o expresie (citire + condiție)

Enunț. Se consideră $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$, unde $D$ este domeniul maxim de definiție. Determină $D$ și precizează codomeniul.

Rezolvare. Legea conține o fracție algebrică. Punem condiția de existență: numitorul să fie nenul. $$x-2\ne 0⟺x\ne 2.$$ Deci nu putem introduce $x=2$. Domeniul maxim este $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Codomeniul este $\mathbb{R}$, așa cum a fost precizat în notație. Legea rămâne $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$.

Reține: la clasa a VIII-a, când se cere „domeniul maxim", verificăm dacă legea impune restricții (numitor nenul, cantitate de sub radical nenegativă). Dacă legea e un polinom (de pildă $f(x)=5x-3$), nu există nicio restricție și domeniul maxim este $\mathbb{R}$.

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională

Enunț. Fie funcția $f:\{-3,-1,0,2,4\}\to \mathbb{Z}$, $f(x)=1-2x$. a) Câte elemente are domeniul de definiție? b) Scrie codomeniul funcției. c) Enunță legea de corespondență și calculează $f(-3)$.

Rezolvare. a) Domeniul este $\{-3,-1,0,2,4\}$, care are 5 elemente. b) Codomeniul este $\mathbb{Z}$ (mulțimea numerelor întregi), citit după săgeată. c) Legea de corespondență: fiecărui $x$ i se asociază $f(x)=1-2x$. Calculăm valoarea în $x=-3$: $$f(-3)=1-2\cdot (-3)=1+6=7.$$ Așadar $f(-3)=7$.

Observă cum, la un item de examen, răspunsurile se dau scurt, dar cu limbaj corect: „domeniul are 5 elemente", „codomeniul este $\mathbb{Z}$", „legea este $f(x)=1-2x$".

Să exersăm

1. Se dă $f:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x$. Precizează domeniul, codomeniul și legea de corespondență.

2. Pentru funcția $g:\{-2,-1,0,1,2\}\to \mathbb{Z}$, $g(x)=x-4$, scrie: a) câte elemente are domeniul; b) codomeniul.

3. Completează spațiile: în notația $f:A\to B$, mulțimea $A$ se numește ____ , iar mulțimea $B$ se numește ____ .

4. O funcție este descrisă de tabelul:

Găsește domeniul și o lege de corespondență posibilă (verific-o la toate valorile).

5. Adevărat sau fals, cu justificare: „Codomeniul unei funcții este întotdeauna egal cu mulțimea valorilor pe care le ia efectiv funcția."

6. Se dă diagrama: ovalul stâng $A=\{2,3,5\}$, ovalul drept $B=\{4,9,10,25\}$, cu săgețile $2\to 4$, $3\to 9$, $5\to 25$. Precizează domeniul, codomeniul și legea de corespondență. Ce observi despre elementul $10$?

7. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x+5}$.

8. Se consideră $f:\{-1,0,1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Alcătuiește tabelul de valori al funcției.

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-o diagramă care reprezintă o funcție, poate exista un element al domeniului din care nu pleacă nicio săgeată."

10. O funcție $h:\{10,20,30\}\to \mathbb{R}$ are tabelul:

Găsește legea de corespondență de forma $h(x)=ax+b$.

11. Item tip Evaluare Națională. Fie $f:\{-4,-2,0,2,4\}\to \mathbb{Z}$, $f(x)=\frac{x}{2}+3$. a) Arată că toate valorile funcției sunt numere întregi. b) Precizează domeniul și codomeniul. c) Calculează $f(-4)+f(4)$.

12. Se dă funcția $f(x)=\frac{x-3}{x^2-9}$ (fără domeniu precizat). Determină domeniul maxim de definiție.

13. Completează: pentru funcția $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, $f(x)=x+1$, domeniul este ____ , codomeniul este ____ , iar legea este ____ .

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Funcțiile $f:\{1,2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x$ și $g:\{1,2\}\to \mathbb{N}$, $g(x)=3x$ au aceeași descriere completă."

15. Un magazin online închiriază trotinete electrice. Costul, în lei, pentru $x$ ore de folosire este dat de $f:\{1,2,3,4,5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x+5$ (5 lei taxă de deblocare, 8 lei pe oră). a) Ce reprezintă domeniul în această situație? b) Cât costă 3 ore? c) Care este legea de corespondență și ce înseamnă ea în context?

16. Găsește o lege de corespondență de forma $f(x)=ax+b$ pentru funcția cu tabelul:

17. Se dă $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{7}{2x-6}$. Determină domeniul maxim $D$ și scrie-l ca diferență de mulțimi.

18. Provocare. Se știe că o funcție $f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb{R}$ are legea $f(x)=ax+b$ și că $f(1)=1$, $f(3)=7$. Determină $a$ și $b$, apoi scrie complet funcția și calculează $f(2)$ și $f(4)$.

Răspunsuri și explicații

1. Domeniul: $\{0,1,2,3\}$; codomeniul: $\mathbb{R}$; legea: $f(x)=5x$. (Toate se citesc direct din notație.)

2. a) Domeniul $\{-2,-1,0,1,2\}$ are 5 elemente. b) Codomeniul este $\mathbb{Z}$.

3. $A$ se numește domeniu (de definiție / mulțime de plecare); $B$ se numește codomeniu (mulțime de sosire).

4. Domeniul: $\{1,2,3,4\}$. Valorile cresc cu $2$ când $x$ crește cu $1$, deci $f(x)=2x+b$; din $f(1)=3$ rezultă $2+b=3$, deci $b=1$. Lege: $f(x)=2x+1$. Verificare: $f(2)=5$ ✓, $f(3)=7$ ✓, $f(4)=9$ ✓.

5. Fals. Codomeniul este mulțimea de sosire, aleasă în notație; el poate conține și elemente pe care funcția nu le atinge. Mulțimea valorilor efectiv luate se numește imaginea funcției și este inclusă în codomeniu, dar nu neapărat egală cu el. (Exemplu: $f:\{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, are codomeniul $\mathbb{R}$, dar ia o singură valoare, $1$.)

6. Domeniul: $\{2,3,5\}$; codomeniul: $\{4,9,10,25\}$; legea: $f(x)=x^2$ (pătratul). Elementul $10$ nu primește nicio săgeată — este permis, fiindcă un element al codomeniului nu trebuie neapărat atins.

7. Condiția de existență: $x+5\ne 0⟺x\ne -5$. Domeniul maxim: $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$.

8. $f(-1)=(-1{)}^2+1=2$; $f(0)=0+1=1$; $f(1)=1+1=2$. Tabel:

9. Fals. Prin definiția funcției, din fiecare element al domeniului trebuie să plece exact o săgeată. Dacă un element al domeniului nu are săgeată, corespondența nu este funcție. (Confuzia obișnuită e cu codomeniul: acolo au voie să existe elemente fără săgeată.)

10. Valorile cresc cu $5$ când $x$ crește cu $10$, deci panta este $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$: $h(x)=\frac{1}{2}x+b$. Din $h(10)=7$: $\frac{1}{2}\cdot 10+b=5+b=7$, deci $b=2$. Lege: $h(x)=\frac{1}{2}x+2$. Verificare: $h(20)=10+2=12$ ✓, $h(30)=15+2=17$ ✓.

11. a) $f(-4)=\frac{-4}{2}+3=-2+3=1$; $f(-2)=-1+3=2$; $f(0)=3$; $f(2)=1+3=4$; $f(4)=2+3=5$. Toate ($1,2,3,4,5$) sunt întregi ✓. b) Domeniul: $\{-4,-2,0,2,4\}$; codomeniul: $\mathbb{Z}$. c) $f(-4)+f(4)=1+5=6$.

12. Numitorul: $x^2-9=0⟺x^2=9⟺x\in \{-3,3\}$ (folosind diferența de pătrate $x^2-9=(x-3)(x+3)$). Aceste valori se exclud. Domeniul maxim: $\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$.

13. Domeniul: $\mathbb{N}$; codomeniul: $\mathbb{N}$; legea: $f(x)=x+1$ (succesorul numărului $x$).

14. Fals. Domeniul ($\{1,2\}$) și legea ($3x$) coincid, dar codomeniile diferă: $\mathbb{R}$ pentru $f$ și $\mathbb{N}$ pentru $g$. Deoarece codomeniul face parte din descrierea funcției, cele două nu au aceeași descriere completă.

15. a) Domeniul $\{1,2,3,4,5\}$ reprezintă numărul de ore de închiriere posibile (de la 1 la 5 ore). b) $f(3)=8\cdot 3+5=24+5=29$ lei. c) Legea $f(x)=8x+5$ înseamnă „costul total = 8 lei pentru fiecare oră, plus taxa fixă de deblocare de 5 lei".

16. Valorile scad cu $2$ când $x$ crește cu $1$, deci panta este $-2$: $f(x)=-2x+b$. Din $f(0)=4$: $b=4$. Lege: $f(x)=-2x+4$. Verificare: $f(-1)=2+4=6$ ✓, $f(1)=-2+4=2$ ✓, $f(2)=-4+4=0$ ✓.

17. Condiția: $2x-6\ne 0⟺2x\ne 6⟺x\ne 3$. Domeniul maxim: $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

18. Din $f(1)=a+b=1$ și $f(3)=3a+b=7$. Scădem prima ecuație din a doua: $2a=6$, deci $a=3$. Atunci $b=1-a=1-3=-2$. Funcția: $f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Calculăm: $f(2)=6-2=4$; $f(4)=12-2=10$.

De reținut

• Orice funcție are trei elemente: domeniul (mulțimea de plecare $A$), codomeniul (mulțimea de sosire $B$) și legea de corespondență (regula $f(x)$).
• În notația $f:A\to B,f(x)=\dots$: mulțimea înainte de săgeată este domeniul, mulțimea după săgeată este codomeniul, iar partea $f(x)=\dots$ este legea.
• Într-o diagramă, domeniul e ovalul de unde pleacă săgețile, codomeniul e ovalul unde ajung; din fiecare element al domeniului pleacă exact o săgeată.
• Într-un tabel, linia lui $x$ dă domeniul; legea o găsești căutând regula comună tuturor perechilor și verificând-o pe toate.
• Când domeniul nu e precizat, se ia domeniul maxim: excludem valorile care anulează un numitor (nu împărțim la zero) și cele care ar face negativă o cantitate de sub radical.

Greșeli frecvente

• Confuzia domeniu ↔ codomeniu. Mereu: mulțimea de dinaintea săgeții = domeniu, cea de după = codomeniu. Un truc: săgeata „arată" spre codomeniu (sosire).
• Crezi că orice element din codomeniu trebuie atins de o săgeată. Nu! Codomeniul are voie să conțină elemente „neatinse". Condiția strictă este doar asupra domeniului: fiecare element de acolo trebuie să aibă exact un corespondent.
• Propui o lege dintr-un tabel fără s-o verifici la toate valorile. O regulă e validă doar dacă se potrivește la fiecare pereche din tabel. Verifică întotdeauna toate liniile, nu doar prima.
• Uiți codomeniul când „descrii complet" funcția. La examen, o funcție se scrie cu toate cele trei elemente. Răspunsul „$f(x)=2x$" este incomplet fără domeniu și codomeniu.

Aplică acasă

• Prețul unei convorbiri. Un abonament are cost fix 15 lei pe lună plus 0,20 lei pe minut de convorbire suplimentar. Scrie o funcție $f:\{0,10,20,30\}\to \mathbb{R}$ care dă costul total pentru $x$ minute suplimentare, precizează domeniul, codomeniul și legea, apoi calculează costul pentru 20 de minute.
• Etichete cu prețuri. Alege 4 produse din bucătărie și fă un tabel cu numărul de bucăți ($x$) și prețul total ($f(x)$) la un preț unitar fix. Descoperă legea de corespondență și verific-o pe toate rândurile.
• Vânător de restricții. Scrie trei legi cu fracții (de exemplu $\frac{1}{x-4}$, $\frac{x}{x+7}$, $\frac{5}{2x-1}$) și determină pentru fiecare domeniul maxim de definiție, exersând condiția „numitor nenul".

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează limbajul funcțiilor, esențial pentru toată unitatea și pentru funcția liniară care urmează. Pentru a verifica înțelegerea, cereți elevului să „citească" o funcție dată prin formulă și să numească pe rând cele trei elemente, folosind termenii corecți: „domeniul este…", „codomeniul este…", „legea de corespondență este…". Un semn bun de înțelegere este când elevul distinge clar că aceeași lege poate fi însoțită de codomenii diferite și că un element al codomeniului nu trebuie neapărat atins.

Întrebări utile de pus: „Care mulțime e domeniul și cum îți dai seama?", „Poate un element din codomeniu să rămână fără săgeată? Dar unul din domeniu?", „Cum verifici că legea găsită dintr-un tabel e corectă?". La Evaluarea Națională, aceste noțiuni apar în itemi de tip completare, adevărat/fals și în subpuncte care cer precizarea domeniului, a codomeniului sau calcularea unei valori a funcției; punctajul se acordă și pentru redactarea cu limbaj matematic corect, nu doar pentru rezultatul numeric. Încurajați scrierea completă $f:A\to B,f(x)=\dots$ ori de câte ori se descrie o funcție.

Întrebări frecvente

Ce este domeniul unei funcții la clasa a 8-a? Domeniul (sau domeniul de definiție) este mulțimea de plecare a funcției, adică mulțimea tuturor valorilor pe care le putem introduce în funcție. În notația $f:A\to B$, domeniul este mulțimea $A$, cea scrisă înainte de săgeată.

Care este diferența dintre domeniu și codomeniu? Domeniul este mulțimea de plecare (de unde luăm intrările $x$), iar codomeniul este mulțimea de sosire (unde se află rezultatele $f(x)$). În scrierea $f:A\to B$, $A$ este domeniul și $B$ este codomeniul; săgeata indică sensul de la domeniu spre codomeniu.

Ce înseamnă legea de corespondență a unei funcții? Este regula prin care fiecărui element $x$ din domeniu i se asociază un singur element $f(x)$ din codomeniu. Ea poate fi dată printr-o formulă (de exemplu $f(x)=2x+1$), printr-un tabel de valori sau printr-o diagramă cu săgeți.

Cum aflu domeniul și codomeniul dintr-o formulă precum $f:A\to B$, $f(x)=\dots$? Le citești direct: mulțimea scrisă înainte de săgeată este domeniul, mulțimea de după săgeată este codomeniul, iar partea $f(x)=\dots$ este legea de corespondență. Nu e nevoie de calcule, doar de citire atentă.

Poate un element din codomeniu să nu primească nicio săgeată? Da. Codomeniul are voie să conțină elemente pe care funcția nu le atinge. Condiția obligatorie este doar asupra domeniului: fiecare element al domeniului trebuie să aibă exact un corespondent în codomeniu.

Cum determin domeniul maxim de definiție dacă nu este dat? Cauți restricțiile impuse de lege: numitorii trebuie să fie diferiți de zero (nu împărțim la zero), iar cantitățile de sub radical trebuie să fie mai mari sau egale cu zero. Domeniul maxim este format din toate numerele reale care respectă aceste condiții.

Cele trei elemente ale unei funcții — care sunt? Sunt domeniul (mulțimea de plecare), codomeniul (mulțimea de sosire) și legea de corespondență (regula care leagă fiecare $x$ de valoarea $f(x)$). O funcție este complet descrisă doar când cunoaștem toate trei.

De ce contează codomeniul dacă știu deja legea funcției? Pentru că el face parte din descrierea completă a funcției: aceeași lege pe același domeniu, dar cu codomenii diferite, dă funcții prezentate diferit. La examen, o funcție se consideră corect scrisă doar când sunt precizate toate cele trei elemente.