Valoarea unei funcții într-un punct. Imaginea unei funcții

Imaginează-ți un automat de sucuri: introduci un cod, apeși butonul și primești exact produsul potrivit codului. O funcție se comportă la fel — îi „dai" un număr, ea îl prelucrează după o regulă și îți „întoarce" un singur rezultat. În lecția aceasta învățăm cum calculăm ce ne întoarce funcția pentru un anumit număr (adică valoarea funcției într-un punct), cum aflăm numărul introdus atunci când știm rezultatul, și cum strângem laolaltă toate rezultatele posibile într-o mulțime numită imaginea funcției. Sunt deprinderi care apar constant la Evaluarea Națională, așa că merită stăpânite temeinic.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi valoarea $f (a)$ a unei funcții într-un punct dat, înlocuind corect în formulă.
Vei ști să determini argumentul (numărul introdus) atunci când cunoști valoarea funcției, rezolvând ecuația $f (x) = valoare$ .
Vei ști să afli imaginea unei funcții definite pe o mulțime finită, adică mulțimea $Im f$ a tuturor valorilor.
Vei ști să faci diferența între argument (ce introduci) și valoare (ce primești), fără a le confunda.
Vei ști să verifici dacă un număr aparține imaginii unei funcții.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim ce este o funcție

Din lecțiile anterioare știi deja că o funcție $f : A \to B$ este o regulă (o lege de corespondență) prin care fiecărui element din mulțimea $A$ (numită domeniu) i se asociază un singur element din mulțimea $B$ (numită codomeniu). Dacă vrei să reiei aceste noțiuni, revezi lecțiile Noțiunea de funcție. Dependențe funcționale și Domeniul, codomeniul și legea de corespondență a unei funcții.

Notația $f : A \to B$ , $f (x) = \dots$ ne spune trei lucruri: din ce mulțime luăm numerele ( $A$ ), în ce mulțime aterizează rezultatele ( $B$ ) și după ce formulă se face prelucrarea. Litera $x$ din $f (x)$ se numește argument sau variabilă, iar $x$ este doar un „loc gol" în care vom pune numere concrete.

2. Valoarea unei funcții într-un punct: ce înseamnă $f (a)$

Când spunem valoarea funcției în punctul $a$ , notată $f (a)$ , ne referim la numărul pe care îl obținem înlocuind peste tot pe $x$ cu $a$ în formula funcției. Cuvântul „punct" nu înseamnă aici un punct desenat pe o hartă, ci pur și simplu un număr din domeniu în care evaluăm funcția.

Regula de aur este simplă și mereu aceeași:

Ca să calculezi $f (a)$ , scrii formula, pui $a$ în locul lui $x$ (cu paranteze!) și efectuezi calculele.

Să luăm funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Vrem $f (3)$ :

$f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7.$

Deci valoarea funcției în punctul $3$ este $7$ . Spunem că imaginea lui $3$ prin funcția $f$ este $7$ , sau că lui $3$ îi corespunde $7$ .

Hai să calculăm mai multe valori ale aceleiași funcții, ca să prinzi mecanismul:

$f (0) = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$ ;
$f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ ;
$f (5) = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$ ;
$f (- 2) = 2 \cdot (- 2) + 1 = - 4 + 1 = - 3$ .

Observă cât de importante sunt parantezele la numerele negative. Dacă scrii $f (- 2) = 2 \cdot - 2 + 1$ fără paranteze, riști să greșești semnul. Regula: numărul negativ intră mereu în paranteză când îl înlocuiești în formulă.

3. Atenție la formule cu puteri și fracții

Formula unei funcții poate conține și pătrate sau fracții. Aici parantezele devin și mai importante.

Exemplu cu pătrat. Fie $g (x) = x^{2} - 3 x$ . Calculăm $g (- 4)$ :

$g (- 4) = (- 4)^{2} - 3 \cdot (- 4) = 16 - (- 12) = 16 + 12 = 28.$

Reține: $(- 4)^{2} = 16$ (pozitiv!), deoarece un număr negativ ridicat la o putere pară dă rezultat pozitiv. Fără paranteză, $- 4^{2}$ ar însemna $- (4^{2}) = - 16$ , ceea ce e greșit în acest context.

Exemplu cu fracție. Fie $h (x) = \frac{x + 6}{x - 1}$ , definită pe $R ∖ {1}$ (deoarece numitorul se anulează pentru $x = 1$ ). Calculăm $h (3)$ :

$h (3) = \frac{3 + 6}{3 - 1} = \frac{9}{2} = 4, 5.$

Dacă vrei să reamintești când o fracție are sens (condiții de existență), revezi Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență.

4. Diferența dintre argument și valoare — nu le confunda!

Aceasta este confuzia numărul unu la clasa a VIII-a, așa că o subliniem:

Argumentul este numărul pe care îl introducem (îl punem în locul lui $x$ ). El este din domeniu.
Valoarea este numărul pe care funcția ni-l întoarce (rezultatul). Ea este din codomeniu.

La automatul de sucuri: codul apăsat = argumentul, iar produsul primit = valoarea. Nu poți primi produsul înainte să apeși codul, la fel cum nu poți vorbi despre $f (a)$ fără să ai mai întâi argumentul $a$ .

5. Problema inversă: aflarea argumentului când știm valoarea

Până acum am mers „înainte": aveam argumentul și căutam valoarea. Uneori ni se cere invers: se cunoaște valoarea funcției și trebuie să găsim argumentul care o produce. Cu alte cuvinte, ni se dă un număr $v$ și ni se cere să găsim toate valorile lui $x$ pentru care $f (x) = v$ .

Aceasta se transformă într-o ecuație! Rezolvăm ecuația $f (x) = v$ cu metodele deja învățate.

Exemplu. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ , pentru ce valoare a lui $x$ avem $f (x) = 15$ ?

Scriem ecuația: $2 x + 1 = 15.$ Scădem $1$ din ambii membri: $2 x = 14$ . Împărțim la $2$ : $x = 7$ .

Deci $f (7) = 15$ . Verificăm: $2 \cdot 7 + 1 = 15$ . Corect.

Uneori ecuația $f (x) = v$ poate fi de gradul al II-lea. Atunci o rezolvăm prin descompunere în factori / produs nul (așa cum ai învățat), nu cu alte metode.

Exemplu. Pentru $g (x) = x^{2} - 3 x$ , pentru ce valori ale lui $x$ avem $g (x) = 0$ ?

$x^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x = 3.$

Aici vezi ceva interesant: valoarea $0$ se obține din două argumente diferite ( $x = 0$ și $x = 3$ ). Acest lucru este perfect permis pentru o funcție — o valoare poate proveni din mai multe argumente. Ce nu este permis este invers: un argument să ducă la două valori. (Revezi la nevoie Ecuații de forma $a x^{2} + b x = 0$ . Rezolvare prin factor comun.)

Atenție: uneori ecuația $f (x) = v$ nu are soluție. Asta înseamnă că valoarea $v$ nu se atinge niciodată, deci $v$ nu face parte din imaginea funcției. Ținem minte ideea, o folosim imediat.

6. Imaginea unei funcții: mulțimea tuturor valorilor

Am ajuns la a doua noțiune-cheie a lecției. Dacă adunăm laolaltă toate valorile pe care le poate lua o funcție (adică toate „ieșirile" $f (x)$ când $x$ parcurge întreg domeniul), obținem o mulțime numită imaginea funcției.

Definiție. Fie $f : A \to B$ o funcție. Imaginea funcției $f$ este mulțimea tuturor valorilor sale: $Im f = {f (x) ∣ x \in A} = {y \in B ∣ exist \overset{a}{˘} x \in A astfel \overset{ı}{ˆ} nc \overset{a}{ˆ} t f (x) = y} .$

Se notează $Im f$ (de la „imagine") sau $f (A)$ . Este întotdeauna o submulțime a codomeniului: $Im f \subseteq B$ . Uneori imaginea este chiar tot codomeniul, alteori este doar o parte din el.

Fii atent la o subtilitate: codomeniul $B$ este mulțimea în care „au voie" să cadă rezultatele, dar imaginea $Im f$ conține doar rezultatele care chiar apar. Analogia: la un concurs, codomeniul e „toate locurile din sală" (unde ar putea sta cineva), iar imaginea e „locurile chiar ocupate".

7. Determinarea imaginii pentru o funcție definită pe o mulțime finită

La clasa a VIII-a ne concentrăm pe cazul cel mai clar: funcția e definită pe o mulțime finită (adică domeniul are un număr mic, numărat, de elemente). Atunci găsirea imaginii este directă:

Metodă (domeniu finit):

Calculezi $f (x)$ pentru fiecare element $x$ din domeniu.

Strângi toate valorile obținute într-o mulțime.

Dacă o valoare apare de mai multe ori, o scrii o singură dată (într-o mulțime nu se repetă elementele).

De obicei scrii elementele în ordine crescătoare, pentru claritate.

Exemplu complet. Fie $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = 3 x - 2$ . Determinăm $Im f$ .

Calculăm valoarea pentru fiecare argument:

$x$	$f (x) = 3 x - 2$	valoare
$- 1$	$3 \cdot (- 1) - 2$	$- 5$
$0$	$3 \cdot 0 - 2$	$- 2$
$1$	$3 \cdot 1 - 2$	$1$
$2$	$3 \cdot 2 - 2$	$4$

Adunăm valorile: $Im f = {- 5, - 2, 1, 4}$ .

Exemplu cu valori care se repetă. Fie $g : {- 2, - 1, 1, 2} \to R$ , $g (x) = x^{2}$ . Atunci:

$g (- 2) = 4$ , $g (- 1) = 1$ , $g (1) = 1$ , $g (2) = 4$ .

Valorile obținute sunt $4, 1, 1, 4$ . În mulțime le scriem fără repetare: $Im g = {1, 4} .$

Vezi din nou că argumente diferite pot da aceeași valoare (aici $- 1$ și $1$ dau ambele $1$ , iar $- 2$ și $2$ dau ambele $4$ ). De aceea imaginea are doar $2$ elemente, deși domeniul are $4$ .

8. Cum verificăm dacă un număr aparține imaginii

Ca să răspunzi la întrebarea „aparține numărul $v$ imaginii lui $f$ ?", ai două căi:

Dacă domeniul e finit: compari $v$ cu lista valorilor calculate. Dacă apare, atunci $v \in Im f$ ; dacă nu, atunci $v \in / Im f$ .
Dacă vrei metoda generală: rezolvi ecuația $f (x) = v$ . Dacă are cel puțin o soluție în domeniu, atunci $v \in Im f$ ; dacă nu are nicio soluție, atunci $v \in / Im f$ .

Exemplu. Pentru $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = 3 x - 2$ de mai sus, avem $Im f = {- 5, - 2, 1, 4}$ . Atunci:

$1 \in Im f$ (apare în listă, e $f (1)$ );
$7 \in / Im f$ (nu apare; ecuația $3 x - 2 = 7$ dă $x = 3$ , dar $3$ nu e în domeniul ${- 1, 0, 1, 2}$ , deci valoarea $7$ nu se atinge).

Reține cu atenție al doilea caz: chiar dacă ecuația are soluție, dacă acea soluție nu este în domeniu, valoarea nu face parte din imagine.

9. Legătura cu situații reale

Funcțiile descriu dependențe din viața de zi cu zi. Să spunem că un abonament la o sală de sport costă o taxă fixă de $50$ lei pe lună plus $8$ lei pentru fiecare antrenament cu antrenor personal. Costul lunar în funcție de numărul $x$ de antrenamente cu antrenor este: $C (x) = 8 x + 50.$

„Cât plătesc dacă fac $6$ antrenamente?" → calculezi valoarea: $C (6) = 8 \cdot 6 + 50 = 98$ lei.
„Câte antrenamente am făcut dacă am plătit $114$ lei?" → afli argumentul: $8 x + 50 = 114 \Rightarrow 8 x = 64 \Rightarrow x = 8$ .
„Ce sume pot plăti într-o lună în care fac între $0$ și $4$ antrenamente?" → imaginea pe domeniul ${0, 1, 2, 3, 4}$ : ${50, 58, 66, 74, 82}$ .

Vezi cum toate cele trei tipuri de întrebări din lecție apar natural într-o singură situație practică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul mai multor valori (inclusiv argument negativ)

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 4$ . Calculează $f (2)$ , $f (- 1)$ și $f (0)$ .

Rezolvare. $f (2) = - 3 \cdot 2 + 4 = - 6 + 4 = - 2.$ $f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 4 = 3 + 4 = 7.$ $f (0) = - 3 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4.$

Observă parantezele la $f (- 1)$ : $- 3 \cdot (- 1) = + 3$ . Un semn greșit aici schimbă complet rezultatul.

Exemplul 2 — Valoare pentru o funcție cu pătrat

Fie $g : R \to R$ , $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ . Calculează $g (4)$ și $g (- 2)$ .

Rezolvare. $g (4) = 4^{2} - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2.$ $g (- 2) = (- 2)^{2} - 5 \cdot (- 2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20.$

La $g (- 2)$ am folosit $(- 2)^{2} = 4$ și $- 5 \cdot (- 2) = + 10$ . Atenție la ambele semne.

Exemplul 3 — Aflarea argumentului (ecuație de gradul I)

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 3$ . Determină numărul real $a$ pentru care $f (a) = 12$ .

Rezolvare. Scriem condiția ca ecuație: $5 a - 3 = 12.$ Adăugăm $3$ : $5 a = 15$ . Împărțim la $5$ : $a = 3$ .

Verificare: $f (3) = 5 \cdot 3 - 3 = 12$ . Corect. Deci $a = 3$ .

Exemplul 4 — Aflarea argumentului (ecuație de gradul II, prin factor comun)

Fie $g : R \to R$ , $g (x) = x^{2} + 2 x$ . Determină toate valorile lui $x$ pentru care $g (x) = 0$ .

Rezolvare. $x^{2} + 2 x = 0 \Rightarrow x (x + 2) = 0.$ Un produs este nul dacă și numai dacă unul dintre factori este nul: $x = 0 sau x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2.$ Deci $g (x) = 0$ pentru $x \in {- 2, 0}$ . Ambele argumente conduc la aceeași valoare $0$ .

Exemplul 5 — Imaginea unei funcții pe domeniu finit

Fie $f : {- 3, - 1, 0, 2, 4} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 1}{2}$ . Determină $Im f$ .

Rezolvare. Calculăm valoarea în fiecare punct:

$x$	$f (x) = \frac{x + 1}{2}$	valoare
$- 3$	$\frac{- 3 + 1}{2} = \frac{- 2}{2}$	$- 1$
$- 1$	$\frac{- 1 + 1}{2} = \frac{0}{2}$	$0$
$0$	$\frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$	$0, 5$
$2$	$\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$	$1, 5$
$4$	$\frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$	$2, 5$

Toate valorile sunt distincte, deci: $Im f = {- 1, 0, 0, 5, 1, 5, 2, 5} .$

Exemplul 6 — Imagine cu valori care se repetă + apartenență

Fie $g : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $g (x) = x^{2} - 1$ . a) Determină $Im g$ . b) Stabilește dacă $2 \in Im g$ și dacă $- 1 \in Im g$ .

Rezolvare. a) Calculăm:

$g (- 2) = (- 2)^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$ ;
$g (- 1) = (- 1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$ ;
$g (0) = 0^{2} - 1 = - 1$ ;
$g (1) = 1^{2} - 1 = 0$ ;
$g (2) = 2^{2} - 1 = 3$ .

Valorile: $3, 0, - 1, 0, 3$ . Fără repetare, în ordine crescătoare: $Im g = {- 1, 0, 3} .$

b) $2 \in / Im g$ , pentru că $2$ nu apare printre valori. $- 1 \in Im g$ , pentru că $- 1 = g (0)$ .

Exemplul 7 — Determinarea unui parametru din formulă (item tip Evaluare Națională)

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x + 1$ , unde $a$ este un număr real. Se știe că $f (2) = 7$ . Determină $a$ , apoi calculează $f (- 1)$ .

Rezolvare. Din $f (2) = 7$ : $a \cdot 2 + 1 = 7 \Rightarrow 2 a = 6 \Rightarrow a = 3.$ Deci funcția este $f (x) = 3 x + 1$ . Atunci: $f (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 1 = - 3 + 1 = - 2.$

Să exersăm

1. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 5$ . Calculează $f (0)$ , $f (3)$ și $f (- 2)$ .

2. Fie $g : R \to R$ , $g (x) = - 2 x + 7$ . Calculează $g (1)$ , $g (- 3)$ și $g (0, 5)$ .

3. Fie $h : R \to R$ , $h (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Calculează $h (2)$ , $h (0)$ și $h (- 3)$ .

4. Fie $f (x) = \frac{x - 2}{x + 3}$ , definită pe $R ∖ {- 3}$ . Calculează $f (2)$ , $f (- 1)$ și $f (7)$ .

5. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x - 1$ . Determină numărul real $a$ pentru care $f (a) = 23$ .

6. Fie $g : R \to R$ , $g (x) = - 3 x + 8$ . Pentru ce valoare a lui $x$ avem $g (x) = - 7$ ?

7. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 9$ . Determină toate valorile lui $x$ pentru care $f (x) = 0$ . (Indicație: folosește diferența de pătrate.)

8. Fie $g : R \to R$ , $g (x) = x^{2} - 6 x$ . Determină toate valorile lui $x$ pentru care $g (x) = 0$ .

9. Fie $f : {- 2, 0, 1, 3} \to R$ , $f (x) = 2 x + 3$ . Determină $Im f$ .

10. Fie $g : {- 3, - 1, 1, 3} \to R$ , $g (x) = x^{2}$ . Determină $Im g$ .

11. Fie $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ . Determină $Im f$ . (Vei observa că unele valori se repetă.)

12. Fie $f : {- 4, - 2, 0, 2, 4} \to R$ , $f (x) = \frac{x}{2} + 1$ . Determină $Im f$ .

13. Adevărat sau fals, cu justificare: pentru funcția de la exercițiul 9, avem $9 \in Im f$ .

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $f (a) = f (b)$ , atunci obligatoriu $a = b$ ."

15. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x - 4$ . Se știe că $f (3) = 5$ . Determină $a$ și apoi calculează $f (- 2)$ .

16. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + b$ . Se știe că $f (- 1) = 6$ . Determină $b$ și apoi rezolvă ecuația $f (x) = 0$ .

17. (Aplicație) O firmă de curierat percepe un cost de livrare dat de $C (x) = 12 + 0, 5 x$ (lei), unde $x$ este numărul de kilometri. a) Cât costă o livrare la $20$ km? b) Pentru ce distanță costul este $30$ lei? c) Determină imaginea funcției $C$ pe domeniul ${0, 10, 20, 30}$ km.

18. (Item tip Evaluare Națională) Fie $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2$ . a) Calculează $f (- 2)$ și $f (2)$ . b) Determină $Im f$ . c) Câte elemente are $Im f$ ? Explică de ce numărul de elemente al imaginii este mai mic decât numărul de elemente al domeniului.

Răspunsuri și explicații

1. $f (0) = 4 \cdot 0 - 5 = - 5$ ; $f (3) = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$ ; $f (- 2) = 4 \cdot (- 2) - 5 = - 8 - 5 = - 13$ .

2. $g (1) = - 2 \cdot 1 + 7 = 5$ ; $g (- 3) = - 2 \cdot (- 3) + 7 = 6 + 7 = 13$ ; $g (0, 5) = - 2 \cdot 0, 5 + 7 = - 1 + 7 = 6$ .

3. $h (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = - 3$ ; $h (0) = 0 - 0 + 1 = 1$ ; $h (- 3) = (- 3)^{2} - 4 \cdot (- 3) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22$ .

4. $f (2) = \frac{2 - 2}{2 + 3} = \frac{0}{5} = 0$ ; $f (- 1) = \frac{- 1 - 2}{- 1 + 3} = \frac{- 3}{2} = - 1, 5$ ; $f (7) = \frac{7 - 2}{7 + 3} = \frac{5}{10} = 0, 5$ .

5. $6 a - 1 = 23 \Rightarrow 6 a = 24 \Rightarrow a = 4$ . Verificare: $6 \cdot 4 - 1 = 23$ . Corect.

6. $- 3 x + 8 = - 7 \Rightarrow - 3 x = - 15 \Rightarrow x = 5$ . Verificare: $- 3 \cdot 5 + 8 = - 7$ . Corect.

7. $x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 3$ sau $x = - 3$ . Deci $x \in {- 3, 3}$ .

8. $x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 6$ . Deci $x \in {0, 6}$ .

9. $f (- 2) = 2 \cdot (- 2) + 3 = - 1$ ; $f (0) = 3$ ; $f (1) = 5$ ; $f (3) = 9$ . Deci $Im f = {- 1, 3, 5, 9}$ .

10. $g (- 3) = 9$ ; $g (- 1) = 1$ ; $g (1) = 1$ ; $g (3) = 9$ . Fără repetare: $Im g = {1, 9}$ .

11. $f (- 1) = (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ ; $f (0) = 1$ ; $f (1) = 1 - 2 + 1 = 0$ ; $f (2) = 4 - 4 + 1 = 1$ . Valorile: $4, 1, 0, 1$ . Fără repetare: $Im f = {0, 1, 4}$ .

12. $f (- 4) = \frac{- 4}{2} + 1 = - 2 + 1 = - 1$ ; $f (- 2) = - 1 + 1 = 0$ ; $f (0) = 0 + 1 = 1$ ; $f (2) = 1 + 1 = 2$ ; $f (4) = 2 + 1 = 3$ . Deci $Im f = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ .

13. Adevărat. Din exercițiul 9, $Im f = {- 1, 3, 5, 9}$ , iar $9$ aparține imaginii, deoarece $9 = f (3) = 2 \cdot 3 + 3$ . Ecuația $2 x + 3 = 9$ dă $x = 3$ , care este în domeniul ${- 2, 0, 1, 3}$ , deci valoarea $9$ chiar se atinge.

14. Fals. Contraexemplu: pentru $f (x) = x^{2}$ avem $f (- 3) = f (3) = 9$ , deci $f (a) = f (b)$ fără ca $a = b$ . Argumente diferite pot avea aceeași valoare; o funcție interzice doar invers (un argument cu două valori).

15. $f (3) = 5 \Rightarrow 3 a - 4 = 5 \Rightarrow 3 a = 9 \Rightarrow a = 3$ . Deci $f (x) = 3 x - 4$ și $f (- 2) = 3 \cdot (- 2) - 4 = - 6 - 4 = - 10$ .

16. $f (- 1) = 6 \Rightarrow 2 \cdot (- 1) + b = 6 \Rightarrow - 2 + b = 6 \Rightarrow b = 8$ . Deci $f (x) = 2 x + 8$ și $f (x) = 0 \Rightarrow 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = - 4$ .

17. a) $C (20) = 12 + 0, 5 \cdot 20 = 12 + 10 = 22$ lei. b) $12 + 0, 5 x = 30 \Rightarrow 0, 5 x = 18 \Rightarrow x = 36$ km. c) $C (0) = 12$ ; $C (10) = 17$ ; $C (20) = 22$ ; $C (30) = 27$ . Deci $Im C = {12, 17, 22, 27}$ (lei).

18. a) $f (- 2) = (- 2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$ ; $f (2) = 2^{2} - 2 = 2$ . b) $f (- 1) = 1 - 2 = - 1$ ; $f (0) = - 2$ ; $f (1) = - 1$ . Valorile: $f (- 2) = 2$ , $f (- 1) = - 1$ , $f (0) = - 2$ , $f (1) = - 1$ , $f (2) = 2$ , adică $2, - 1, - 2, - 1, 2$ . Fără repetare: $Im f = {- 2, - 1, 2}$ . c) Imaginea are $3$ elemente, iar domeniul are $5$ . Numărul e mai mic pentru că valori egale provin din argumente diferite: $f (- 2) = f (2) = 2$ și $f (- 1) = f (1) = - 1$ , deci aceste valori se numără o singură dată.

De reținut

Valoarea într-un punct: $f (a)$ se obține înlocuind $x$ cu $a$ în formulă (mereu cu paranteze la numere negative) și efectuând calculele.
Argument vs. valoare: argumentul este numărul introdus (din domeniu), valoarea este numărul întors (din codomeniu). Nu le confunda.
Problema inversă: ca să afli argumentul când știi valoarea $v$ , rezolvi ecuația $f (x) = v$ (de gradul I, ori de gradul II prin descompunere/produs nul).
Imaginea funcției: $Im f = {f (x) ∣ x \in A} \subseteq B$ . Pe domeniu finit: calculezi toate valorile și le strângi într-o mulțime, fără repetare.
Apartenență la imagine: $v \in Im f$ dacă ecuația $f (x) = v$ are soluție în domeniu; altfel $v \in / Im f$ .

Greșeli frecvente

Semnul greșit la numere negative. Scrii $f (- 2)$ fără paranteze și obții $- 2^{2} = - 4$ în loc de $(- 2)^{2} = 4$ . Cum eviți: pune întotdeauna numărul înlocuit în paranteză.
Confuzia argument ↔ valoare. Se cere argumentul, iar tu dai valoarea (sau invers). Cum eviți: întreabă-te „mi se dă intrarea și caut ieșirea (calculez $f (a)$ ), sau mi se dă ieșirea și caut intrarea (rezolv ecuația $f (x) = v$ )?".
Repetarea elementelor în imagine. Scrii $Im f = {1, 1, 4, 4}$ . Într-o mulțime elementele nu se repetă: corect e ${1, 4}$ .
Confuzia codomeniu ↔ imagine. Crezi că imaginea este întotdeauna tot codomeniul $B$ . De fapt $Im f$ conține doar valorile atinse și poate fi o parte strictă din $B$ .

Aplică acasă

Tariful de taxi. Alege un tarif real (de exemplu: $8$ lei pornire $+ 3, 5$ lei pe kilometru) și scrie funcția costului $C (x) = 3, 5 x + 8$ . Calculează costul pentru $5$ , $10$ și $15$ km (valori într-un punct), apoi află câți kilometri ai parcurs dacă ai plătit o anumită sumă (argument din valoare). Determină imaginea pe domeniul ${0, 5, 10, 15}$ .
Abonament de streaming pe familie. Presupune un cost lunar de $25$ lei plus $10$ lei pentru fiecare ecran suplimentar: $f (x) = 10 x + 25$ . Pentru domeniul „număr de ecrane suplimentare" ${0, 1, 2, 3}$ , scrie toate sumele posibile într-o lună (adică $Im f$ ) și verifică apoi ce sumă corespunde la $2$ ecrane suplimentare.
Micul experiment „ghicește argumentul". Cere unui coleg să aleagă o funcție simplă de forma $f (x) = a x + b$ și să-ți spună doar câteva valori $f (1)$ și $f (2)$ . Din ele, determină $a$ și $b$ (ca la exercițiile 15–16), apoi verifică prezicând $f (5)$ și comparând cu răspunsul lui.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la „regula de corespondență" la calculul efectiv cu funcții — o etapă esențială înainte de graficul funcției și de funcția liniară din capitolele următoare. Elevul trebuie să distingă clar trei operații: (1) calculul valorii $f (a)$ prin înlocuire, (2) aflarea argumentului rezolvând ecuația $f (x) = v$ , (3) construirea imaginii ca mulțime a tuturor valorilor.

Întrebări de verificare utile: „Care este argumentul și care este valoarea în acest exemplu?", „De ce $(- 3)^{2}$ este pozitiv?", „De ce în imagine nu scriem un număr de două ori?", „Poate o valoare să provină din două argumente diferite? Dă un exemplu." Dacă elevul răspunde corect la ultima (da, de exemplu la $x^{2}$ ), înseamnă că a înțeles diferența subtilă dintre funcție și corespondența inversă.

La Evaluarea Națională, aceste deprinderi apar frecvent: itemi în care se cere $f (a)$ pentru o valoare dată, determinarea unui parametru din condiția $f (a) = v$ , sau determinarea imaginii unei funcții definite pe o mulțime finită (adesea în combinație cu tabel de valori sau diagramă). Redactarea îngrijită — cu înlocuirea vizibilă și calculul pas cu pas — aduce punctaj și reduce greșelile de semn.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă valoarea unei funcții într-un punct la clasa a 8-a? Este numărul $f (a)$ pe care funcția îl întoarce când înlocuiești $x$ cu numărul $a$ în formulă. „Punctul" este pur și simplu un număr din domeniu, nu un punct desenat pe hartă.

Cum calculez $f (a)$ pentru o funcție dată? Scrii formula funcției, pui $a$ în locul lui $x$ (cu paranteze dacă $a$ este negativ) și efectuezi calculele. De exemplu, pentru $f (x) = 2 x + 1$ , ai $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .

Care este diferența dintre argument și valoare? Argumentul este numărul pe care îl introduci (din domeniu), iar valoarea este rezultatul pe care funcția ți-l dă (din codomeniu). Îi „dai" un argument și primești o valoare.

Ce este imaginea unei funcții (Im f) la clasa a 8-a? Imaginea $Im f$ este mulțimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcția, adică ${f (x) ∣ x \in A}$ . Este întotdeauna o submulțime a codomeniului și conține doar valorile care chiar se ating.

Cum determin imaginea unei funcții definite pe o mulțime finită? Calculezi $f (x)$ pentru fiecare element al domeniului, apoi strângi toate valorile obținute într-o mulțime, scriind fiecare valoare o singură dată (fără repetare), de obicei în ordine crescătoare.

Care este diferența dintre codomeniu și imagine? Codomeniul este mulțimea în care „au voie" să cadă rezultatele, iar imaginea este mulțimea rezultatelor care apar efectiv. Imaginea este inclusă în codomeniu și poate fi o parte strictă din el.

Cum aflu argumentul $x$ dacă știu valoarea funcției? Rezolvi ecuația $f (x) = valoare$ . Dacă funcția este liniară, obții o ecuație de gradul I; dacă apare $x^{2}$ , o rezolvi prin descompunere în factori și principiul produsului nul.

Poate o valoare să corespundă la două argumente diferite? Da. De exemplu, pentru $f (x) = x^{2}$ , atât $x = - 3$ , cât și $x = 3$ dau valoarea $9$ . Este permis; o funcție interzice doar situația inversă — un argument să ducă la două valori diferite.