Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică

Când deschizi o aplicație de mers pe jos și vezi cum crește numărul de pași de-a lungul zilei, sau când urmărești pe telefon cum evoluează temperatura oră de oră, privești de fapt graficul unei funcții. Fiecare punct de pe curbă îți spune două lucruri deodată: „la ce oră” și „cât”. În lecția aceasta vei învăța cum se naște un grafic dintr-o simplă tabelă de perechi de numere și cum să-l așezi corect în sistemul de axe. Este o abilitate esențială la Evaluarea Națională, unde citirea și trasarea graficelor apar aproape în fiecare an.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii graficul unei funcții ca mulțimea perechilor ordonate $(x, f (x))$ .
Vei ști să transformi fiecare pereche într-un punct și să faci reprezentarea geometrică a graficului în sistemul de axe.
Vei ști să trasezi graficul unei funcții definite pe o mulțime finită (un „nor” de puncte).
Vei ști să verifici, prin calcul, dacă un punct aparține graficului unei funcții.
Vei ști să folosești un limbaj matematic corect când descrii o dependență funcțională.

Hai să descoperim împreună

1. De la funcție la perechi de numere

Îți amintești din lecțiile anterioare că o funcție $f : A \to B$ este o regulă care asociază fiecărui element $x$ din mulțimea $A$ (domeniul) un singur element $f (x)$ din mulțimea $B$ (codomeniul). Numărul $f (x)$ se numește valoarea funcției în punctul $x$ sau imaginea lui $x$ .

Ideea centrală a lecției este simplă: pentru fiecare $x$ din domeniu, funcția produce o pereche de numere:

$(x, f (x)) .$

Primul număr, $x$ , se numește abscisă (spune „unde” pe orizontală). Al doilea număr, $f (x)$ , se numește ordonată (spune „cât” pe verticală). Ordinea contează: $(2, 5)$ nu este același lucru cu $(5, 2)$ . De aceea le numim perechi ordonate.

Hai să luăm un exemplu concret. Fie funcția $f : {1, 2, 3, 4} \to R$ , definită prin $f (x) = 2 x + 1$ . Calculăm valoarea în fiecare punct din domeniu:

$f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
$f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
$f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
$f (4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$

Obținem patru perechi ordonate: $(1, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 7)$ , $(4, 9)$ . Un mod foarte comod de a aduna aceste valori este tabelul de valori:

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	3	5	7	9

Fiecare coloană a tabelului este, de fapt, o pereche $(x, f (x))$ .

2. Definiția graficului unei funcții

Acum putem da definiția precisă, cea pe care trebuie să o scrii îngrijit la examen.

Definiție. Fie funcția $f : A \to B$ . Se numește graficul funcției $f$ mulțimea tuturor perechilor ordonate de forma $(x, f (x))$ , cu $x$ parcurgând întregul domeniu $A$ . Se notează: $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A} .$

Cu alte cuvinte, graficul nu este un desen, ci o mulțime de perechi de numere. Desenul apare abia când reprezentăm geometric aceste perechi. Este o distincție pe care mulți elevi o ratează: graficul este obiectul matematic (mulțimea), iar reprezentarea geometrică este imaginea lui în plan.

Pentru funcția noastră de mai sus, graficul este:

$G_{f} = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)} .$

Observă că mulțimea are exact atâtea perechi câte elemente are domeniul: patru elemente în domeniu $\Rightarrow$ patru perechi în grafic.

3. De la o pereche la un punct în plan

Aici intervine sistemul de axe ortogonale $x O y$ , pe care l-ai studiat în lecția despre sistemul de axe și coordonatele unui punct în plan. Îți reamintesc pe scurt:

Axa orizontală $O x$ se numește axa absciselor.
Axa verticală $O y$ se numește axa ordonatelor.
Punctul $O$ unde se întâlnesc axele este originea, cu coordonatele $(0, 0)$ .

Regula de aur a legăturii dintre funcții și geometrie este aceasta:

Fiecărei perechi $(x, f (x))$ din grafic îi corespunde exact un punct $M (x, f (x))$ în plan, având abscisa $x$ și ordonata $f (x)$ .

Deci reprezentarea geometrică a graficului înseamnă să transformăm fiecare pereche într-un punct și să marcăm toate aceste puncte în sistemul de axe. Pentru $G_{f} = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}$ marcăm patru puncte:

$A (1, 3)$ : mergem 1 unitate la dreapta pe $O x$ , apoi 3 unități în sus.
$B (2, 5)$ : 2 la dreapta, 5 în sus.
$C (3, 7)$ : 3 la dreapta, 7 în sus.
$D (4, 9)$ : 4 la dreapta, 9 în sus.

4. Graficul unei funcții definite pe o mulțime finită

Când domeniul $A$ are un număr finit de elemente (de exemplu ${1, 2, 3, 4}$ ), reprezentarea geometrică a graficului este pur și simplu un set de puncte izolate — un „nor” de puncte. Nu unim punctele printr-o linie, pentru că între ele funcția nu este definită. De pildă, funcția noastră nu are nicio valoare pentru $x = 2, 5$ , deci nu are ce să apară acolo.

Aceasta este o greșeală foarte des întâlnită: elevii unesc automat punctele. Reține: unim printr-o linie doar dacă domeniul este un interval de numere reale; pentru o mulțime finită, graficul rămâne o colecție de puncte separate.

5. Reprezentarea geometrică a unor funcții numerice

Uneori domeniul unei funcții este o mulțime numerică ceva mai bogată, dar tot finită, iar valorile pot fi și negative. Procedeul rămâne identic: calculăm tabelul de valori, formăm perechile, marcăm punctele.

Fie $g : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $g (x) = x^{2} - 1$ . Calculăm:

$g (- 2) = (- 2)^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$
$g (- 1) = (- 1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$g (0) = 0^{2} - 1 = - 1$
$g (1) = 1^{2} - 1 = 0$
$g (2) = 2^{2} - 1 = 3$

Tabelul de valori:

$x$	−2	−1	0	1	2
$g (x)$	3	0	−1	0	3

Graficul este mulțimea:

$G_{g} = {(- 2, 3), (- 1, 0), (0, - 1), (1, 0), (2, 3)} .$

Marcăm cele cinci puncte. Observă că punctele $(- 1, 0)$ și $(1, 0)$ stau chiar pe axa $O x$ (ordonata lor este $0$ ), iar punctul $(0, - 1)$ stă sub axa $O x$ (ordonata negativă). Vezi cum semnul valorii $f (x)$ îți spune imediat dacă punctul e deasupra axei $O x$ (valoare pozitivă), pe axă (valoare $0$ ) sau dedesubt (valoare negativă).

Atenție: chiar dacă punctele par să sugereze o curbă frumoasă, domeniul este finit, deci nu trasăm nicio linie continuă. Marcăm doar cele cinci puncte.

6. Cum verifici dacă un punct aparține graficului

Aceasta este întrebarea-vedetă la Evaluarea Națională: „Arată că punctul $P (a, b)$ aparține graficului funcției $f$ .” sau „Verifică dacă punctul $Q$ se află pe graficul funcției.”

Regula este cristal-clară și pornește direct din definiție. Un punct $P (a, b)$ aparține graficului $G_{f}$ dacă și numai dacă perechea $(a, b)$ este de forma $(x, f (x))$ , adică:

Punctul $P (a, b)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $a$ este în domeniu ȘI $f (a) = b$ .

Cu alte cuvinte: iei abscisa punctului, o introduci în legea funcției, calculezi, iar rezultatul trebuie să fie exact ordonata punctului. Dacă cele două numere coincid, punctul aparține graficului; dacă nu, nu aparține. Scriem $P \in G_{f}$ sau $P \in / G_{f}$ .

Exemplu de raționament. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 2$ . Verificăm dacă $P (4, 10)$ aparține graficului.

Calculăm $f (4) = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$ . Deoarece $f (4) = 10$ și ordonata lui $P$ este tot $10$ , rezultă că $P (4, 10) \in G_{f}$ .

Verificăm și punctul $Q (1, 5)$ . Calculăm $f (1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ . Deoarece $f (1) = 1 \neq = 5$ , punctul $Q (1, 5) \in / G_{f}$ .

Reține modelul de redactare pentru examen: calculez $f (abscisa)$ , apoi compar cu ordonata, apoi trag concluzia cu simbolul $\in$ sau $\in /$ . Trei pași curați aduc punctajul întreg.

7. Un truc: aflarea unui parametru din condiția de apartenență

O variantă mai grea, dar tot des întâlnită la examen, este: „Se știe că punctul $P (2, 7)$ aparține graficului funcției $f (x) = m x + 1$ . Află $m$ .” Aici folosim aceeași condiție, dar acum necunoscuta este parametrul.

Din $P \in G_{f}$ rezultă $f (2) = 7$ . Scriem legea: $f (2) = m \cdot 2 + 1 = 2 m + 1$ . Punem condiția $2 m + 1 = 7$ , de unde $2 m = 6$ , deci $m = 3$ . Am aflat parametrul folosind chiar definiția apartenenței la grafic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea graficului ca mulțime de perechi. Fie $f : {0, 1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = 5 - x$ . Scrie graficul funcției.

Rezolvare. Calculăm valorile: $f (0) = 5 - 0 = 5$ ; $f (1) = 5 - 1 = 4$ ; $f (2) = 5 - 2 = 3$ ; $f (3) = 5 - 3 = 2$ . Formăm perechile și scriem graficul: $G_{f} = {(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2)} .$ Graficul are patru perechi, exact cât are domeniul.

Exemplul 2 — Reprezentarea geometrică pas cu pas. Reprezintă geometric graficul funcției $h : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $h (x) = 2 x$ .

Rezolvare. Tabel de valori:

$x$	−1	0	1	2
$h (x)$	−2	0	2	4

Graficul: $G_{h} = {(- 1, - 2), (0, 0), (1, 2), (2, 4)}$ . Marcăm cele patru puncte în sistemul de axe: $(- 1, - 2)$ (stânga-jos), $(0, 0)$ chiar în origine, $(1, 2)$ și $(2, 4)$ (dreapta-sus). Deoarece domeniul este finit, lăsăm punctele izolate, fără să le unim.

Exemplul 3 — Verificarea apartenenței unui punct (funcție cu pătrat). Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Verifică dacă punctele $A (3, 3)$ și $B (- 1, 2)$ aparțin graficului.

Rezolvare. Pentru $A (3, 3)$ : calculăm $f (3) = 3^{2} - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$ . Cum $f (3) = 3 =$ ordonata lui $A$ , avem $A (3, 3) \in G_{f}$ . Pentru $B (- 1, 2)$ : calculăm $f (- 1) = (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) = 1 + 2 = 3$ . Cum $f (- 1) = 3 \neq = 2$ , rezultă $B (- 1, 2) \in / G_{f}$ .

Exemplul 4 — Aflarea unei coordonate lipsă. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 5$ . Se știe că punctul $C (t, 1)$ aparține graficului. Află $t$ .

Rezolvare. Din $C \in G_{f}$ avem $f (t) = 1$ , adică $- 2 t + 5 = 1$ . Rezolvăm: $- 2 t = 1 - 5 = - 4$ , deci $t = 2$ . Așadar $C (2, 1)$ . Verificare: $f (2) = - 2 \cdot 2 + 5 = - 4 + 5 = 1$ . ✔

Exemplul 5 — Aflarea unui parametru din grafic. Punctul $D (- 2, 9)$ aparține graficului funcției $f (x) = a x - 1$ . Determină numărul real $a$ .

Rezolvare. Din $D \in G_{f}$ rezultă $f (- 2) = 9$ . Scriem: $a \cdot (- 2) - 1 = 9$ , adică $- 2 a - 1 = 9$ , deci $- 2 a = 10$ , de unde $a = - 5$ . Verificare: cu $a = - 5$ , $f (- 2) = - 5 \cdot (- 2) - 1 = 10 - 1 = 9$ . ✔

Exemplul 6 — Item combinat, tip Evaluare Națională. Fie $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x + 3$ . a) Scrie graficul funcției. b) Câte puncte are reprezentarea geometrică a graficului? c) Arată că punctul $E (1, 4)$ aparține graficului, iar punctul $F (2, 6)$ nu aparține.

Rezolvare. a) $f (- 2) = 1$ , $f (- 1) = 2$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 5$ , deci $G_{f} = {(- 2, 1), (- 1, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 5)} .$ b) Domeniul are $5$ elemente, deci graficul are $5$ perechi $\Rightarrow$ 5 puncte în reprezentarea geometrică. c) $f (1) = 1 + 3 = 4 =$ ordonata lui $E \Rightarrow E \in G_{f}$ . Pentru $F (2, 6)$ : $f (2) = 2 + 3 = 5 \neq = 6 \Rightarrow F \in / G_{f}$ .

Să exersăm

Fie $f : {1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = x + 4$ . Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi.
Fie $g : {0, 1, 2, 3, 4} \to R$ , $g (x) = 2 x - 3$ . Alcătuiește tabelul de valori și scrie $G_{g}$ .
Câte puncte are reprezentarea geometrică a graficului unei funcții al cărei domeniu este ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ?
Verifică dacă punctul $P (5, 12)$ aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 2$ .
Verifică dacă punctul $Q (- 3, 7)$ aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - x + 4$ .
Reprezintă geometric graficul funcției $h : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $h (x) = - x$ . (Marchează punctele în sistemul de axe.)
Adevărat sau fals, cu motivare: „Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții definite pe o mulțime finită este întotdeauna o linie continuă.”
Se știe că punctul $A (3, m)$ aparține graficului funcției $f (x) = 4 x - 5$ . Află $m$ .
Punctul $B (t, 0)$ aparține graficului funcției $f (x) = 3 x - 12$ . Află $t$ . (Aceasta este abscisa punctului în care graficul întâlnește axa $O x$ .)
Punctul $C (2, 11)$ aparține graficului funcției $f (x) = a x + 3$ . Determină numărul real $a$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ . Verifică dacă punctele $M (- 2, 5)$ și $N (3, 8)$ aparțin graficului.
Adevărat sau fals, cu motivare: „Perechea $(4, 1)$ și perechea $(1, 4)$ reprezintă același punct în plan.”
Fie $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = 3 x - 1$ . Scrie graficul, apoi precizează care dintre punctele graficului au ordonata negativă.
Item tip Evaluare Națională. Fie $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = - 2 x + 1$ . a) Scrie graficul funcției. b) Determină câte puncte sunt situate deasupra axei $O x$ . c) Arată că punctul $D (- 1, 3)$ aparține graficului.
Punctele $E (1, 2)$ și $F (3, 8)$ aparțin graficului funcției $f (x) = a x + b$ . Determină numerele reale $a$ și $b$ . (Indicație: obții un sistem cu două condiții.)
Raționament. Explică de ce o funcție nu poate avea în graficul său două perechi diferite cu aceeași abscisă, de exemplu $(2, 5)$ și $(2, 7)$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣ - 2$ (unde $∣ x ∣$ este modulul lui $x$ ). Verifică dacă punctele $G (- 4, 2)$ și $H (1, 1)$ aparțin graficului.
Problemă aplicată. Un abonament la sală costă o taxă fixă de $50$ lei plus $10$ lei pentru fiecare ședință. Costul total după $x$ ședințe este dat de funcția $C (x) = 10 x + 50$ , cu $x \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ . a) Scrie graficul funcției. b) Cât costă $3$ ședințe? c) Punctul $(4, 90)$ aparține graficului? Ce înseamnă el în context?

Răspunsuri și explicații

$f (1) = 5$ , $f (2) = 6$ , $f (3) = 7 \Rightarrow G_{f} = {(1, 5), (2, 6), (3, 7)}$ .
Tabel: $g (0) = - 3$ , $g (1) = - 1$ , $g (2) = 1$ , $g (3) = 3$ , $g (4) = 5$ . Deci $G_{g} = {(0, - 3), (1, - 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5)}$ .
Domeniul are $7$ elemente $\Rightarrow$ 7 puncte (fiecare element dă exact o pereche, deci un punct).
$f (5) = 2 \cdot 5 + 2 = 12$ . Cum $f (5) = 12 =$ ordonata, $P (5, 12) \in G_{f}$ . Aparține.
$f (- 3) = - (- 3) + 4 = 3 + 4 = 7$ . Cum $f (- 3) = 7 =$ ordonata, $Q (- 3, 7) \in G_{f}$ . Aparține.
Tabel: $h (- 2) = 2$ , $h (- 1) = 1$ , $h (0) = 0$ , $h (1) = - 1$ , $h (2) = - 2$ . Graficul $G_{h} = {(- 2, 2), (- 1, 1), (0, 0), (1, - 1), (2, - 2)}$ ; se marchează cinci puncte izolate (fără linie), coborând de la stânga-sus spre dreapta-jos, trecând prin origine.

sistem de axe xOy cu punctele (−2,2), (−1,1), (0,0), (1,−1), (2,−2) marcate, dispuse pe o direcție descendentă, fără a fi unite.

Fals. Când domeniul este finit, reprezentarea geometrică este un set de puncte izolate; nu se trasează o linie continuă, pentru că funcția nu este definită între valorile domeniului.
$m = f (3) = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$ . Deci $m = 7$ .
Din $B \in G_{f}$ : $f (t) = 0 \Rightarrow 3 t - 12 = 0 \Rightarrow 3 t = 12 \Rightarrow t = 4$ .
Din $C \in G_{f}$ : $f (2) = 11 \Rightarrow 2 a + 3 = 11 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ .
$f (- 2) = (- 2)^{2} + 1 = 5 =$ ordonata lui $M \Rightarrow M (- 2, 5) \in G_{f}$ . $f (3) = 3^{2} + 1 = 10 \neq = 8 \Rightarrow N (3, 8) \in / G_{f}$ .
Fals. Perechile sunt ordonate: $(4, 1)$ are abscisa $4$ și ordonata $1$ , iar $(1, 4)$ are abscisa $1$ și ordonata $4$ . Sunt puncte diferite în plan.
$f (- 1) = - 4$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 5$ . $G_{f} = {(- 1, - 4), (0, - 1), (1, 2), (2, 5)}$ . Ordonată negativă au punctele $(- 1, - 4)$ și $(0, - 1)$ .
a) $f (- 2) = 5$ , $f (- 1) = 3$ , $f (0) = 1$ , $f (1) = - 1$ , $f (2) = - 3$ , deci $G_{f} = {(- 2, 5), (- 1, 3), (0, 1), (1, - 1), (2, - 3)}$ . b) Deasupra axei $O x$ sunt punctele cu ordonată pozitivă: $(- 2, 5)$ , $(- 1, 3)$ , $(0, 1)$ — deci 3 puncte. c) $f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 1 = 2 + 1 = 3 =$ ordonata lui $D \Rightarrow D (- 1, 3) \in G_{f}$ .
Din $E \in G_{f}$ : $a \cdot 1 + b = 2 \Rightarrow a + b = 2$ . Din $F \in G_{f}$ : $a \cdot 3 + b = 8 \Rightarrow 3 a + b = 8$ . Scădem prima ecuație din a doua: $2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ , apoi $b = 2 - 3 = - 1$ . Deci $a = 3$ , $b = - 1$ (funcția este $f (x) = 3 x - 1$ ).
Prin definiția funcției, fiecărui $x$ din domeniu i se asociază un singur $f (x)$ . Dacă în grafic ar apărea $(2, 5)$ și $(2, 7)$ , ar însemna că lui $x = 2$ i-ar corespunde două valori diferite ( $5$ și $7$ ), ceea ce contrazice definiția funcției. Deci acest lucru este imposibil.
$f (- 4) = ∣ - 4∣ - 2 = 4 - 2 = 2 =$ ordonata lui $G \Rightarrow G (- 4, 2) \in G_{f}$ . $f (1) = ∣1∣ - 2 = 1 - 2 = - 1 \neq = 1 \Rightarrow H (1, 1) \in / G_{f}$ .
a) $C (0) = 50$ , $C (1) = 60$ , $C (2) = 70$ , $C (3) = 80$ , $C (4) = 90$ , $C (5) = 100$ , deci $G_{C} = {(0, 50), (1, 60), (2, 70), (3, 80), (4, 90), (5, 100)}$ . b) $C (3) = 10 \cdot 3 + 50 = 80$ lei. c) $C (4) = 10 \cdot 4 + 50 = 90$ , deci $(4, 90) \in G_{C}$ ; înseamnă că după $4$ ședințe costul total este de $90$ lei.

De reținut

Graficul unei funcții $f : A \to B$ este mulțimea perechilor ordonate: $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A}$ .
Fiecărei perechi $(x, f (x))$ îi corespunde un punct $M (x, f (x))$ în plan: abscisa $x$ , ordonata $f (x)$ .
Dacă domeniul este finit, reprezentarea geometrică este un set de puncte izolate — nu le unești printr-o linie.
Un punct $P (a, b)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f (a) = b$ : introduci abscisa în lege, calculezi și compari cu ordonata.
Semnul lui $f (x)$ îți spune poziția punctului: pozitiv $\Rightarrow$ deasupra lui $O x$ , zero $\Rightarrow$ pe $O x$ , negativ $\Rightarrow$ sub $O x$ .

Greșeli frecvente

Confuzia abscisă–ordonată. La verificarea apartenenței, unii înlocuiesc ordonata în locul abscisei. Reține: în $f (x)$ se pune abscisa (primul număr), iar rezultatul se compară cu ordonata (al doilea număr).
Unirea punctelor la domeniu finit. Când domeniul este o mulțime finită, graficul este un „nor” de puncte, nu o dreaptă. Nu trasa linie între ele.
Inversarea perechii. $(3, 5)$ și $(5, 3)$ sunt puncte diferite. Perechea este ordonată; ordinea contează întotdeauna.
Confundarea graficului cu desenul. Graficul este o mulțime de perechi ( $G_{f}$ ); desenul este doar reprezentarea lui geometrică. La examen, când ți se cere „scrie graficul”, răspunzi cu mulțimea de perechi, nu cu un desen.

Aplică acasă

Consumul de apă. Notează timp de o săptămână câte pahare de apă bei în fiecare zi. Numerotează zilele $1, 2, \dots, 7$ (abscisa) și numărul de pahare (ordonata). Scrie graficul ca mulțime de perechi și marchează punctele pe o foaie cu pătrățele. Este graficul o linie sau un set de puncte? De ce?
Prețul la benzinărie. Dacă $1$ litru de combustibil costă un preț fix $p$ lei, costul pentru $x$ litri este $C (x) = p \cdot x$ . Alege prețul actual, calculează costul pentru $x \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ litri și reprezintă geometric graficul. Verifică prin calcul dacă punctul corespunzător unei plini de $40$ lei aparține graficului.
Vânătoare de puncte. Alege o funcție simplă, de exemplu $f (x) = 2 x - 3$ , și inventează cinci puncte, unele „pe grafic” și altele nu. Provoacă un coleg sau un părinte să ghicească, prin calcul, care aparțin graficului. Corectează împreună.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face puntea dintre algebră (legea funcției) și geometrie (punctele din plan), o legătură esențială pentru întreaga matematică ce urmează. Pentru a verifica înțelegerea, puneți întrebări precum: „Ce este de fapt graficul — un desen sau o mulțime de perechi?”, „Ce pui în lege când verifici dacă un punct aparține graficului, abscisa sau ordonata?”, „De ce nu unim punctele când domeniul e finit?”. Un elev care a înțeles va calcula $f (abscisa)$ și va compara cu ordonata, formulând clar concluzia cu $\in$ sau $\in /$ .

La Evaluarea Națională, tema apare frecvent în subiectul II sub forme precum: „Arată că punctul $A$ aparține graficului funcției $f$ ”, „Determină numărul real $m$ știind că punctul $B$ aparține graficului” sau „Reprezintă grafic funcția $f$ ”. Se punctează redactarea în pași: calculul valorii, comparația și concluzia. Încurajați-l pe elev să scrie fiecare pas, chiar dacă i se pare evident — la examen fiecare etapă corectă aduce punctaj. Lecția pregătește direct capitolul următor, funcția liniară $f (x) = a x + b$ și graficul ei, unde punctele se vor uni într-o dreaptă, pentru că acolo domeniul devine $R$ .

Întrebări frecvente

Ce este graficul unei funcții la clasa a 8-a? Graficul funcției $f : A \to B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(x, f (x))$ , unde $x$ parcurge domeniul $A$ . Se notează $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A}$ . Nu este un desen, ci o mulțime de perechi de numere; desenul apare la reprezentarea geometrică.

Cum reprezint grafic o funcție definită pe o mulțime finită? Calculezi tabelul de valori, formezi perechile $(x, f (x))$ și marchezi fiecare pereche ca un punct în sistemul de axe. Deoarece domeniul este finit, lași punctele izolate — nu le unești printr-o linie.

Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții? Iei abscisa punctului, o introduci în legea funcției și calculezi. Dacă rezultatul este egal cu ordonata punctului, atunci punctul aparține graficului ( $P \in G_{f}$ ); dacă nu, nu aparține ( $P \in / G_{f}$ ).

Care este diferența dintre abscisă și ordonată? Abscisa este primul număr al perechii $(x, f (x))$ și se măsoară pe axa orizontală $O x$ . Ordonata este al doilea număr, $f (x)$ , și se măsoară pe axa verticală $O y$ . Ordinea în pereche contează întotdeauna.

De ce nu unesc punctele când reprezint graficul unei funcții pe o mulțime finită? Pentru că între valorile din domeniu funcția nu este definită. Dacă domeniul este ${1, 2, 3}$ , funcția nu are nicio valoare pentru $x = 1, 5$ , deci nu are ce punct să apară acolo. Unim punctele doar când domeniul este un interval de numere reale.

Câte puncte are reprezentarea geometrică a graficului? Exact câte elemente are domeniul, dacă acesta este finit. Fiecare element $x$ produce o singură pereche $(x, f (x))$ , deci un singur punct. Un domeniu cu $6$ elemente dă $6$ puncte.

Cum aflu un parametru dacă știu că un punct aparține graficului? Scrii condiția $f (abscisa) = ordonata$ , obținând o ecuație în care necunoscuta este parametrul. Rezolvi ecuația și, de obicei, verifici înlocuind valoarea găsită. Este un tip clasic de item la Evaluarea Națională.

Perechea $(3, 5)$ este același punct cu $(5, 3)$ ? Nu. Sunt puncte diferite, pentru că perechile sunt ordonate: $(3, 5)$ are abscisa $3$ și ordonata $5$ , iar $(5, 3)$ are abscisa $5$ și ordonata $3$ . Le găsești în poziții complet diferite în plan.