Moduri de a descrie o funcție: diagrame, tabele și formule

Imaginează-ți că vrei să le explici prietenilor cum se calculează costul unei convorbiri sau câte puncte primești pentru fiecare nivel dintr-un joc. Aceeași regulă poate fi spusă în trei „limbi" diferite: printr-un desen cu săgeți, printr-un tabel ordonat sau printr-o formulă scurtă. Toate trei descriu aceeași funcție — doar felul în care o arătăm este diferit. În lecția de față înveți exact aceste trei moduri de a descrie o funcție și, mai important, cum treci ușor de la unul la altul. Este o deprindere pe care o vei folosi la fiecare lecție despre funcții și la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să descrii o funcție pe o mulțime finită prin diagramă cu săgeți, prin tabel de valori sau printr-o formulă.
Vei ști să completezi tabelul de valori al unei funcții date printr-o formulă, calculând corect fiecare valoare.
Vei ști să treci de la o formă de reprezentare la alta: diagramă ↔ tabel ↔ formulă.
Vei ști să verifici dacă o diagramă, un tabel sau o corespondență chiar reprezintă o funcție.
Vei ști să redactezi aceste transformări ordonat, așa cum se cere la examen.

Hai să descoperim împreună

Un scurt memento: ce este o funcție

În lecția precedentă, Noțiunea de funcție. Dependențe funcționale, ai învățat că o funcție definită pe o mulțime $A$ cu valori într-o mulțime $B$ este o regulă care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$ . Notăm $f : A \to B$ și citim „ $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$ ".

Cele două cuvinte-cheie de care depinde totul sunt fiecărui și exact un:

fiecărui — nu are voie să rămână niciun element din $A$ „fără pereche";
exact un — un element din $A$ nu poate avea două valori diferite în $B$ (nu are voie să „plece" cu două săgeți).

Mulțimea $A$ se numește domeniul de definiție, iar $B$ se numește codomeniul funcției. Vom aprofunda aceste denumiri în lecția Domeniul, codomeniul și legea de corespondență. Deocamdată reținem doar atât: pornim de la $A$ , ajungem în $B$ , iar legătura o face regula $f$ .

Marea întrebare a lecției de astăzi este: cum arătăm concret această regulă? Răspunsul: în trei moduri.

Modul 1 — Diagrama cu săgeți

Când mulțimile $A$ și $B$ au puține elemente (sunt finite și mici), cel mai intuitiv mod de a arăta o funcție este diagrama cu săgeți. Desenăm două „ovale": în stânga punem toate elementele domeniului $A$ , în dreapta toate elementele codomeniului $B$ . Apoi, de la fiecare element din $A$ , tragem o săgeată către elementul din $B$ care îi corespunde.

Să luăm un exemplu concret. Fie $A = {1, 2, 3}$ și $B = {a, b, c, d}$ , iar funcția $f$ dată de: $1$ merge în $b$ , $2$ merge în $d$ , $3$ merge în $b$ .

Ce observăm citind diagrama?

Din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată — deci regula este bine definită.
Toate elementele lui $A$ au săgeată — niciunul nu a fost uitat.
Este permis ca două elemente diferite din $A$ să ajungă în același element din $B$ : aici $1$ și $3$ ajung amândouă în $b$ . Asta nu strică nimic; funcția pornește din $A$ , iar condiția „exact un" se referă la ce pleacă, nu la ce sosește.
Este permis ca unele elemente din $B$ să nu primească nicio săgeată: aici $a$ și $c$ rămân nefolosite. Și asta e în regulă — codomeniul poate fi „mai mare" decât e nevoie.

Când NU avem o funcție? Fii atent la două capcane pe care le vezi imediat pe diagramă:

Dacă dintr-un element al lui $A$ pleacă două săgeți (spre valori diferite), nu e funcție — acel element ar avea două valori.
Dacă un element al lui $A$ nu are nicio săgeată, atunci nu e funcție — acel element a rămas fără valoare.

Reține analogia: fiecare element din $A$ este ca un elev care trebuie să primească o singură notă. Un elev nu poate avea în același timp și 8 și 10 la aceeași lucrare, și niciun elev nu poate rămâne necorectat. Dar mai mulți elevi pot lua aceeași notă, iar unele note (de exemplu 3) pot să nu fie luate de nimeni.

Modul 2 — Tabelul de valori

Diagrama este frumoasă, dar devine încâlcită când sunt multe elemente. Atunci folosim tabelul de valori. Este pur și simplu un tabel cu două linii (sau două coloane): pe prima punem elementele domeniului, iar pe a doua valoarea funcției pentru fiecare.

Pentru aceeași funcție de mai sus ( $1 \to b$ , $2 \to d$ , $3 \to b$ ), tabelul arată așa:

$x$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$b$	$d$	$b$

Se citește pe coloane: sub $x = 1$ scrie $b$ , deci $f (1) = b$ ; sub $x = 2$ scrie $d$ , deci $f (2) = d$ ; sub $x = 3$ scrie $b$ , deci $f (3) = b$ . Simplu și clar.

Tabelul are câteva reguli importante:

Pe linia lui $x$ apar toate elementele domeniului, fiecare o singură dată.
Sub fiecare $x$ trebuie să fie completată o singură valoare (nu o lăsăm goală, nu punem două).
Ordinea coloanelor nu schimbă funcția, dar de obicei scriem valorile lui $x$ crescător, ca să citim ușor.

Tabelul este preferat mai ales când valorile sunt numere și vrem să le comparăm sau să le folosim într-un calcul. Îl vei revedea la funcția liniară, unde tabelul de valori te ajută să desenezi graficul — vezi lecțiile Graficul unei funcții și Reprezentarea grafică a funcției liniare.

Modul 3 — Formula (legea de corespondență)

A treia „limbă" este cea mai puternică și mai scurtă: formula, numită și lege de corespondență. În loc să desenăm săgeți sau să completăm un tabel, scriem o expresie care spune, pentru un $x$ oarecare, cum se calculează $f (x)$ .

De exemplu: $f : {1, 2, 3, 4} \to R, f (x) = 2 x + 1.$

Aici nu mai enumerăm valorile una câte una; dăm regula de calcul. Ca să afli valoarea într-un punct, înlocuiești $x$ cu numărul respectiv:

$f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ ;
$f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ ;
$f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ ;
$f (4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ .

Observă cât de eficientă este formula: o singură expresie, $f (x) = 2 x + 1$ , „ascunde" toate cele patru valori. Cu cât domeniul are mai multe elemente, cu atât formula este mai avantajoasă față de tabel sau diagramă.

Atenție la un detaliu care se cere mereu la examen: o funcție este descrisă complet doar când precizezi toate trei: domeniul, codomeniul și formula. A scrie doar „ $f (x) = 2 x + 1$ " este incomplet; corect este $f : A \to B$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Formula spune cum calculezi, dar domeniul spune pentru care $x$ are voie să fie calculată.

Trecerea de la o descriere la alta

Acum vine partea cea mai importantă a lecției. Cele trei moduri descriu aceeași funcție, deci trebuie să știi să treci de la oricare la oricare. Sunt șase „drumuri" posibile, dar în practică le grupăm astfel.

A) Din formulă în tabel (și în diagramă). Este cel mai frecvent la clasa a VIII-a. Ai formula și domeniul; calculezi $f (x)$ pentru fiecare element și completezi tabelul. Din tabel, dacă vrei, desenezi diagrama.

Exemplu: $f : {0, 1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 1$ . Completăm tabelul calculând pe rând:

$f (0) = 0^{2} - 1 = - 1$ ;
$f (1) = 1^{2} - 1 = 0$ ;
$f (2) = 2^{2} - 1 = 3$ ;
$f (3) = 3^{2} - 1 = 8$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

B) Din tabel (sau diagramă) în formulă. Aici trebuie să ghicești regula care leagă fiecare $x$ de $f (x)$ . Te uiți cum se schimbă valorile și cauți un tipar. La clasa a VIII-a, regula căutată este de obicei una simplă, de tip $f (x) = a x + b$ .

Exemplu: presupunem că avem tabelul

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$7$	$9$	$11$

Cum descoperim formula? Observăm că, atunci când $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ crește cu $2$ . Deci regula conține $2 x$ . Verificăm: pentru $x = 1$ am avea $2 \cdot 1 = 2$ , dar noi vrem $5$ ; diferența este $5 - 2 = 3$ . Bănuim $f (x) = 2 x + 3$ . Verificăm pe toate valorile, nu doar pe una: $f (2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$ ✓, $f (3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$ ✓, $f (4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ ✓. Formula este $f (x) = 2 x + 3$ .

Trucul „cât crește $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ " îți dă coeficientul lui $x$ ; apoi găsești termenul liber înlocuind o valoare cunoscută.

C) Între diagramă și tabel. Este cea mai ușoară trecere, pentru că nu presupune niciun calcul: citești pur și simplu perechile. Fiecărei săgeți din diagramă îi corespunde o coloană în tabel și invers.

Cum verifici că o descriere este corectă

Indiferent de forma în care primești funcția, verifică mereu cele două condiții de bază:

Fiecare element al domeniului apare și are o valoare (nimeni nu lipsește).
Niciun element al domeniului nu are două valori diferite.

Pe diagramă: din fiecare punct-stânga pleacă exact o săgeată. În tabel: fiecare $x$ apare o singură dată și are o singură căsuță completată dedesubt. La formulă: te asiguri că expresia are sens (se poate calcula) pentru fiecare $x$ din domeniu — de exemplu, o formulă cu numitor n-ar avea voie să dea împărțire la zero pentru vreun $x$ din domeniu.

Reține: aceste trei moduri nu sunt trei funcții diferite, ci trei fotografii ale aceleiași funcții din unghiuri diferite. La examen ți se poate cere oricare dintre ele, așa că exersează-le pe toate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din formulă în tabel

Enunț. Fie $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . Alcătuiește tabelul de valori.

Rezolvare. Înlocuim, pe rând, fiecare element al domeniului:

$f (- 2) = 3 \cdot (- 2) - 4 = - 6 - 4 = - 10$ ;
$f (- 1) = 3 \cdot (- 1) - 4 = - 3 - 4 = - 7$ ;
$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 = - 4$ ;
$f (1) = 3 \cdot 1 - 4 = - 1$ ;
$f (2) = 3 \cdot 2 - 4 = 2$ .

Completăm tabelul:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 10$	$- 7$	$- 4$	$- 1$	$2$

Observă tiparul: când $x$ crește cu $1$ , $f (x)$ crește cu $3$ (coeficientul lui $x$ ). Este o verificare rapidă că nu ai greșit calculele.

Exemplul 2 — Din tabel în formulă

Enunț. O funcție $g$ este dată prin tabelul de mai jos. Găsește o formulă de tipul $g (x) = a x + b$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$6$	$2$	$- 2$	$- 6$

Rezolvare. Când $x$ crește cu $1$ , valoarea scade cu $4$ (de la $6$ la $2$ , de la $2$ la $- 2$ etc.). Deci coeficientul lui $x$ este $- 4$ , adică formula conține $- 4 x$ .

Pentru termenul liber $b$ , folosim o valoare cunoscută. Cel mai comod este $x = 0$ : avem $g (0) = 6$ , iar $- 4 \cdot 0 + b = b$ , deci $b = 6$ .

Formula bănuită este $g (x) = - 4 x + 6$ . Verificăm pe toate valorile:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = 2$ ✓;
$g (2) = - 4 \cdot 2 + 6 = - 2$ ✓;
$g (3) = - 4 \cdot 3 + 6 = - 6$ ✓.

Toate se potrivesc, deci $g (x) = - 4 x + 6$ .

Exemplul 3 — Din diagramă în tabel și verificare

Enunț. O funcție $h : {a, b, c, d} \to {1, 2, 3}$ este dată prin diagrama: $a \to 2$ , $b \to 1$ , $c \to 3$ , $d \to 1$ . Scrie tabelul de valori. Este $h$ o funcție? Justifică.

Rezolvare. Citim săgețile și le trecem în tabel:

$x$	$a$	$b$	$c$	$d$
$h (x)$	$2$	$1$	$3$	$1$

Da, $h$ este funcție: fiecare element al domeniului ${a, b, c, d}$ are exact o valoare (nimeni nu lipsește, nimeni nu are două valori). Faptul că $b$ și $d$ au aceeași valoare, $1$ , este permis — condiția se referă la ce pleacă din domeniu, nu la ce sosește în codomeniu. Aici toate valorile codomeniului sunt folosite, dar chiar dacă una ar fi rămas nefolosită, $h$ tot ar fi fost funcție.

Exemplul 4 — Recunoașterea unei corespondențe care NU este funcție

Enunț. Se dă corespondența $t$ pe $A = {1, 2, 3}$ cu valori în $B = {5, 6, 7, 8}$ : $1 \to 5$ , $1 \to 7$ , $2 \to 6$ , $3 \to 8$ . Este $t$ o funcție? Explică.

Rezolvare. Nu este funcție. Elementul $1$ are două valori diferite: $5$ și $7$ . Regula unei funcții cere ca fiecărui element al domeniului să-i corespundă exact un element în codomeniu. Aici, dacă cineva ne întreabă „cât este $t (1)$ ?", nu putem răspunde unic — este și $5$ , și $7$ . Din acest motiv, corespondența nu îndeplinește definiția funcției.

Pe diagramă, greșeala s-ar vedea imediat: din punctul $1$ ar pleca două săgeți. Reține regula practică: două săgeți dintr-un singur element de domeniu = nu e funcție.

Exemplul 5 — Formulă cu paranteze; atenție la calcul

Enunț. Fie $f : {- 1, 0, 2, 3} \to R$ , $f (x) = (x - 1)^{2} + 2$ . Completează tabelul de valori.

Rezolvare. Calculăm cu grijă, respectând ordinea operațiilor (mai întâi paranteza, apoi ridicarea la pătrat, apoi adunarea):

$f (- 1) = (- 1 - 1)^{2} + 2 = (- 2)^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ ;
$f (0) = (0 - 1)^{2} + 2 = (- 1)^{2} + 2 = 1 + 2 = 3$ ;
$f (2) = (2 - 1)^{2} + 2 = 1^{2} + 2 = 1 + 2 = 3$ ;
$f (3) = (3 - 1)^{2} + 2 = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ .

$x$	$- 1$	$0$	$2$	$3$
$f (x)$	$6$	$3$	$3$	$6$

Observă că $(- 2)^{2} = 4$ , nu $- 4$ : pătratul unui număr negativ este pozitiv. Este una dintre cele mai frecvente greșeli la completarea tabelelor.

Exemplul 6 — Problemă aplicată: din situație reală la toate trei descrierile

Enunț. Un abonament de internet mobil costă $15$ lei pe lună (taxă fixă), plus $2$ lei pentru fiecare gigabyte de trafic peste plan. Fie $C (x)$ costul lunar (în lei) când depășești planul cu $x$ gigabytes, pentru $x \in {0, 1, 2, 3, 4}$ . a) Scrie formula funcției $C$ . b) Alcătuiește tabelul de valori. c) Câți lei plătești dacă depășești cu $3$ GB?

Rezolvare.

a) Costul are o parte fixă, $15$ lei, și o parte variabilă, $2$ lei pentru fiecare GB, adică $2 x$ . Deci $C : {0, 1, 2, 3, 4} \to R, C (x) = 2 x + 15.$

b) Calculăm valorile:

$C (0) = 2 \cdot 0 + 15 = 15$ ;
$C (1) = 2 \cdot 1 + 15 = 17$ ;
$C (2) = 2 \cdot 2 + 15 = 19$ ;
$C (3) = 2 \cdot 3 + 15 = 21$ ;
$C (4) = 2 \cdot 4 + 15 = 23$ .

$x$ (GB)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$C (x)$ (lei)	$15$	$17$	$19$	$21$	$23$

c) Pentru $3$ GB peste plan citim din tabel (sau din formulă): $C (3) = 21$ lei.

Aceasta este puterea funcțiilor: o singură formulă, $C (x) = 2 x + 15$ , descrie tot comportamentul costului, iar tabelul îl face ușor de citit dintr-o privire.

Să exersăm

Fie $f : {1, 2, 3, 4} \to R$ , $f (x) = 5 x - 2$ . Alcătuiește tabelul de valori.
Fie $g : {- 3, - 1, 0, 2} \to R$ , $g (x) = - 2 x + 1$ . Alcătuiește tabelul de valori.
Calculează $f (0)$ , $f (1)$ și $f (- 2)$ pentru $f (x) = x^{2} + x$ , definită pe ${- 2, 0, 1}$ .
O funcție $h$ este dată prin tabelul de mai jos. Găsește o formulă de forma $h (x) = a x + b$ .

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$

$h (x)$ $4$ $7$ $10$ $13$
O funcție $p$ este dată prin tabel. Găsește formula de forma $p (x) = a x + b$ .

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$

$p (x)$ $10$ $8$ $6$ $4$
Se dă funcția $f : {a, b, c} \to {1, 2, 3, 4}$ prin diagramă: $a \to 3$ , $b \to 3$ , $c \to 1$ . Scrie tabelul de valori și spune care valori din codomeniu nu sunt folosite.
Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-o funcție, două elemente diferite ale domeniului nu au voie să aibă aceeași valoare."
Adevărat sau fals, cu justificare: „Corespondența $1 \to 4$ , $2 \to 5$ , $2 \to 6$ , $3 \to 7$ pe ${1, 2, 3}$ este funcție."
Fie $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Completează tabelul de valori.
Se dă corespondența pe $A = {1, 2, 3, 4}$ : $1 \to 2$ , $2 \to 4$ , $4 \to 8$ . Este funcție? Justifică.
Un taxi percepe o taxă de pornire de $7$ lei, plus $3$ lei pe kilometru. Notează cu $x$ numărul de kilometri, $x \in {0, 1, 2, 3, 5}$ , și cu $P (x)$ prețul cursei. a) Scrie formula lui $P$ . b) Alcătuiește tabelul de valori. c) Cât plătești pentru o cursă de $5$ km?
Găsește formula $f (x) = a x + b$ știind că tabelul funcției este:

$x$ $2$ $4$ $6$ $8$

$f (x)$ $5$ $9$ $13$ $17$

(Indiciu: aici $x$ crește cu $2$ , nu cu $1$ .)
Fie $f : {0, 1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 6}{2}$ . Completează tabelul de valori.
Item tip Evaluare Națională. Se consideră funcția $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = - 3 x + 5$ . a) Calculează $f (- 1) + f (2)$ . b) Determină $x$ din domeniu pentru care $f (x) = 5$ .
O funcție $f : {1, 2, 3, 4, 5} \to R$ asociază fiecărui număr restul împărțirii lui la $3$ . Scrie tabelul de valori al funcției.
Item tip Evaluare Națională. Fie $f : {- 2, 1, 3} \to R$ , $f (x) = x^{2} + a$ , unde $a$ este un număr real. Știind că $f (1) = 4$ , determină $a$ și apoi completează tabelul de valori.
Desenează (descrie) diagrama cu săgeți pentru funcția din exercițiul 1.
Provocare. O funcție $f$ pe ${1, 2, 3, 4}$ verifică: $f (1) = 3$ , iar de la un element la următorul valoarea crește constant cu $2$ (adică $f (2) = f (1) + 2$ ș.a.m.d.). Scrie tabelul de valori și găsește o formulă $f (x) = a x + b$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$h (x)$	$4$	$7$	$10$	$13$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p (x)$	$10$	$8$	$6$	$4$

$x$	$2$	$4$	$6$	$8$
$f (x)$	$5$	$9$	$13$	$17$

Răspunsuri și explicații

$f (1) = 3$ , $f (2) = 8$ , $f (3) = 13$ , $f (4) = 18$ .

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$

$f (x)$ $3$ $8$ $13$ $18$
$g (- 3) = - 2 \cdot (- 3) + 1 = 7$ ; $g (- 1) = 3$ ; $g (0) = 1$ ; $g (2) = - 3$ .

$x$ $- 3$ $- 1$ $0$ $2$

$g (x)$ $7$ $3$ $1$ $- 3$
$f (0) = 0^{2} + 0 = 0$ ; $f (1) = 1 + 1 = 2$ ; $f (- 2) = (- 2)^{2} + (- 2) = 4 - 2 = 2$ .
Când $x$ crește cu $1$ , $h (x)$ crește cu $3$ , deci coeficientul este $3$ . Din $h (0) = 4$ rezultă $b = 4$ . Formula: $h (x) = 3 x + 4$ . Verificare: $h (1) = 7$ ✓, $h (2) = 10$ ✓, $h (3) = 13$ ✓.
$p (x)$ scade cu $2$ când $x$ crește cu $1$ , deci coeficientul este $- 2$ . Din $p (1) = 10$ : $- 2 \cdot 1 + b = 10 \Rightarrow b = 12$ . Formula: $p (x) = - 2 x + 12$ . Verificare: $p (2) = 8$ ✓, $p (3) = 6$ ✓, $p (4) = 4$ ✓.
Tabelul:

$x$ $a$ $b$ $c$

$f (x)$ $3$ $3$ $1$

Valorile din codomeniu nefolosite sunt $2$ și $4$ (nicio săgeată nu ajunge la ele). Acest lucru este permis; $f$ rămâne funcție.
Fals. Este perfect permis ca două elemente diferite ale domeniului să aibă aceeași valoare (de exemplu în Exemplul 3, $h (b) = h (d) = 1$ ). Condiția interzisă este ca un singur element să aibă două valori, nu ca două elemente să împartă o valoare.
Fals. Elementul $2$ apare cu două valori diferite, $5$ și $6$ , deci nu putem spune unic cât este „valoarea lui $2$ ". Corespondența nu respectă definiția funcției.
$f (- 2) = 4 + 4 = 8$ ; $f (- 1) = 1 + 2 = 3$ ; $f (0) = 0$ ; $f (1) = 1 - 2 = - 1$ ; $f (2) = 4 - 4 = 0$ .

$x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

$f (x)$ $8$ $3$ $0$ $- 1$ $0$
Nu este funcție. Elementul $3$ din domeniul $A = {1, 2, 3, 4}$ nu are nicio valoare (nu apare nicio corespondență pentru el). Definiția cere ca fiecare element al domeniului să aibă o valoare, iar aici $3$ a fost uitat.
a) $P (x) = 3 x + 7$ . b) $P (0) = 7$ , $P (1) = 10$ , $P (2) = 13$ , $P (3) = 16$ , $P (5) = 22$ .

$x$ (km) $0$ $1$ $2$ $3$ $5$

$P (x)$ (lei) $7$ $10$ $13$ $16$ $22$

c) $P (5) = 3 \cdot 5 + 7 = 22$ lei.
Aici $x$ crește cu $2$ , iar $f (x)$ crește cu $4$ . Coeficientul este $\frac{4}{2} = 2$ , deci formula conține $2 x$ . Din $f (2) = 5$ : $2 \cdot 2 + b = 5 \Rightarrow b = 1$ . Formula: $f (x) = 2 x + 1$ . Verificare: $f (4) = 9$ ✓, $f (6) = 13$ ✓, $f (8) = 17$ ✓.
$f (0) = \frac{6}{2} = 3$ ; $f (1) = \frac{7}{2} = 3, 5$ ; $f (2) = \frac{8}{2} = 4$ ; $f (3) = \frac{9}{2} = 4, 5$ .

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$

$f (x)$ $3$ $3, 5$ $4$ $4, 5$
a) $f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 5 = 3 + 5 = 8$ ; $f (2) = - 3 \cdot 2 + 5 = - 6 + 5 = - 1$ . Suma: $8 + (- 1) = 7$ . b) $f (x) = 5$ înseamnă $- 3 x + 5 = 5 \Rightarrow - 3 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Cum $0$ este în domeniu, răspunsul este $x = 0$ .
Resturile împărțirii la $3$ : $1$ dă rest $1$ ; $2$ dă rest $2$ ; $3$ dă rest $0$ ; $4$ dă rest $1$ ; $5$ dă rest $2$ .

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$

$f (x)$ $1$ $2$ $0$ $1$ $2$
Din $f (1) = 4$ : $1^{2} + a = 4 \Rightarrow 1 + a = 4 \Rightarrow a = 3$ . Deci $f (x) = x^{2} + 3$ . $f (- 2) = 4 + 3 = 7$ ; $f (1) = 1 + 3 = 4$ ; $f (3) = 9 + 3 = 12$ .

$x$ $- 2$ $1$ $3$

$f (x)$ $7$ $4$ $12$
Diagrama funcției $f (x) = 5 x - 2$ pe ${1, 2, 3, 4}$ : în ovalul din stânga punem $1, 2, 3, 4$ ; în ovalul din dreapta punem valorile $3, 8, 13, 18$ ; săgeți: $1 \to 3$ , $2 \to 8$ , $3 \to 13$ , $4 \to 18$ .

🖼️ [Imagine: oval stânga cu 1, 2, 3, 4; oval dreapta cu 3, 8, 13, 18; câte o săgeată de la fiecare număr din stânga către valoarea sa]
Valorile cresc din $2$ în $2$ , plecând de la $f (1) = 3$ : $f (1) = 3$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 7$ , $f (4) = 9$ .

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$

$f (x)$ $3$ $5$ $7$ $9$

Coeficientul este $2$ (creșterea cu $1$ a lui $x$ dă creștere cu $2$ ). Din $f (1) = 3$ : $2 \cdot 1 + b = 3 \Rightarrow b = 1$ . Formula: $f (x) = 2 x + 1$ .

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$8$	$13$	$18$

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$
$g (x)$	$7$	$3$	$1$	$- 3$

$x$	$a$	$b$	$c$
$f (x)$	$3$	$3$	$1$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$

$x$ (km)	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$
$P (x)$ (lei)	$7$	$10$	$13$	$16$	$22$

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$3$	$3, 5$	$4$	$4, 5$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$1$	$2$	$0$	$1$	$2$

$x$	$- 2$	$1$	$3$
$f (x)$	$7$	$4$	$12$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$5$	$7$	$9$

De reținut

O funcție $f : A \to B$ pe o mulțime finită poate fi descrisă în trei moduri: prin diagramă cu săgeți, prin tabel de valori sau printr-o formulă (lege de corespondență). Toate descriu aceeași funcție.
Diagrama: din fiecare element al domeniului pleacă exact o săgeată. Tabelul: fiecare $x$ apare o dată, cu o singură valoare dedesubt. Formula: dă regula $f (x)$ ; o funcție e completă doar cu domeniu, codomeniu și formulă.
Din formulă în tabel: înlocuiești $x$ cu fiecare element și calculezi $f (x)$ .
Din tabel în formulă (tip $f (x) = a x + b$ ): coeficientul $a$ = cât crește $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ ; termenul $b$ se află înlocuind o valoare cunoscută. Verifici pe toate perechile.
Este permis ca două elemente diferite ale domeniului să aibă aceeași valoare și ca unele elemente ale codomeniului să rămână nefolosite; nu este permis ca un element al domeniului să aibă două valori sau să lipsească.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre „ce pleacă" și „ce sosește". Mulți cred că nu au voie două elemente cu aceeași valoare. Fals: condiția „exact un" se referă la valoarea fiecărui $x$ , nu la unicitatea valorilor din codomeniu. Două intrări pot împărți aceeași ieșire.
Greșeli de semn la ridicarea la pătrat. $(- 3)^{2} = 9$ , nu $- 9$ . Când formula are $x^{2}$ și înlocuiești un număr negativ, pune-l în paranteză și ridică apoi la pătrat.
Verificarea formulei pe o singură pereche. Când deduci $f (x) = a x + b$ dintr-un tabel, nu te opri după ce se potrivește prima valoare; verifică toate coloanele. O formulă corectă trebuie să funcționeze peste tot.
Uitarea domeniului. A scrie doar „ $f (x) = 2 x + 1$ " este incomplet la examen. Precizează întotdeauna $f : A \to B$ înainte de formulă — regula de calcul are sens doar pe domeniul dat.

Aplică acasă

Prețuri la un magazin. Alege un produs care se vinde la bucată (de exemplu un suc care costă $4$ lei bucata) și scrie funcția $C (x)$ = costul pentru $x$ bucăți, cu $x \in {1, 2, 3, 4, 5}$ . Scrie formula, apoi tabelul de valori și, dacă vrei, diagrama cu săgeți. Compară valoarea din tabel cu ce plătești real la casă.
Timp de încărcare. Un telefon se încarcă cu aproximativ $20%$ la fiecare $15$ minute, pornind de la $10%$ . Notează cu $x$ numărul de intervale de $15$ minute ( $x \in {0, 1, 2, 3, 4}$ ) și scrie funcția care dă procentul de baterie. Alcătuiește tabelul și verifică observând telefonul tău.
Din tabel la regulă. Notează pe o săptămână câți pași faci în fiecare zi (sau alt set de $5$ numere) și pune-le într-un tabel cu $x =$ ziua și $f (x) =$ numărul. Este aceasta o funcție? De ce da? Poți găsi o formulă simplă? (Cel mai probabil nu — și e o ocazie bună să înțelegi că nu orice funcție are o formulă, dar orice funcție finită are un tabel.)

Pentru părinți și profesori

Această lecție este una de „traducere": elevul trebuie să înțeleagă că diagrama, tabelul și formula sunt trei reprezentări ale aceleiași funcții, nu trei lucruri diferite. Este o idee-cheie pentru toată unitatea de funcții și pentru funcția liniară care urmează.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i să treacă un exemplu prin toate trei formele, cu voce tare: „scrie formula, apoi tabelul, apoi descrie diagrama".
Puneți-i întrebarea de verificare: „De ce corespondența $1 \to 4$ , $1 \to 5$ nu este funcție?" Răspunsul corect („pentru că $1$ ar avea două valori") arată că a prins esența.
Verificați dacă distinge corect ce e permis: două intrări cu aceeași ieșire (permis) versus o intrare cu două ieșiri (interzis). Aceasta este confuzia cea mai frecventă.
La deducerea formulei $f (x) = a x + b$ din tabel, întrebați: „Cât crește $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ ?" Este metoda pe care trebuie să o automatizeze.

La Evaluarea Națională, aceste deprinderi apar în subiectul al II-lea și al III-lea: completarea unui tabel de valori, calculul lui $f$ într-un punct, deducerea unei funcții din date și, foarte des, folosirea tabelului pentru a reprezenta grafic o funcție liniară. Redactarea ordonată (scrierea calculului $f (a) = \dots$ ) aduce puncte de barem, deci merită exersată de pe acum.

Întrebări frecvente

Câte moduri de a descrie o funcție învățăm la clasa a VIII-a? Trei moduri principale: diagrama cu săgeți, tabelul de valori și formula (legea de corespondență). Toate descriu aceeași funcție; alegem forma cea mai potrivită situației. Mai târziu adăugăm și graficul, ca reprezentare geometrică.

Cum completez tabelul de valori al unei funcții date prin formulă? Iei fiecare element din domeniu, îl înlocuiești în locul lui $x$ în formulă și calculezi rezultatul. Scrii valoarea obținută pe linia lui $f (x)$ , sub $x$ -ul respectiv. Repeți pentru toate elementele domeniului.

Cum aflu formula unei funcții pornind de la un tabel? La clasa a VIII-a cauți de obicei o formulă de tipul $f (x) = a x + b$ . Coeficientul $a$ este cu cât crește (sau scade) $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ ; termenul $b$ îl afli înlocuind o valoare cunoscută, ideal $x = 0$ . La final verifici formula pe toate perechile din tabel.

Este permis ca două elemente diferite să aibă aceeași valoare? Da, este perfect permis. Definiția funcției interzice doar ca un singur element al domeniului să aibă două valori. Mai multe intrări pot ajunge în aceeași ieșire — de exemplu, mai mulți elevi pot lua aceeași notă.

Cum recunosc pe o diagramă că nu am o funcție? Cauți două situații: fie un element din domeniu din care pleacă două săgeți (are două valori), fie un element din domeniu care nu are nicio săgeată (nu are valoare). Oricare dintre ele înseamnă că nu este funcție.

Trebuie neapărat să scriu domeniul și codomeniul, sau ajunge formula? Trebuie să le scrii. O funcție este descrisă complet doar prin $f : A \to B$ , $f (x) = \dots$ . Formula spune cum se calculează, dar domeniul spune pentru ce valori ale lui $x$ ; fără el, descrierea este incompletă și pierzi puncte la examen.

Orice funcție are o formulă? Nu. Orice funcție pe o mulțime finită poate fi dată prin tabel sau prin diagramă, dar nu toate au o formulă simplă. De exemplu, o funcție care asociază fiecărui elev culoarea preferată nu se poate scrie printr-o formulă matematică — dar tabelul o descrie perfect.

Care mod de descriere este cel mai bun? Depinde de situație. Diagrama e cea mai intuitivă când sunt puține elemente; tabelul e cel mai practic pentru numere pe care vrei să le compari sau să le folosești într-un grafic; formula e cea mai scurtă și puternică atunci când există o regulă de calcul clară.