Într-un trapez isoscel $$ABCD$$ cu $$AB \parallel CD$$, care laturi sunt neapărat congruente?

Laturile neparalele $$AD$$ și $$BC$$

Într-un trapez isoscel $$RSTU$$, cu $$RS \parallel TU$$, ce se poate spune despre diagonalele $$RT$$ și $$SU$$?

Sunt congruente: $$RT \equiv SU$$

Se înjumătățesc reciproc la intersecție

Ce proprietăți are trapezul isoscel?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Proprietățile trapezului isoscel

Laturile laterale au aceeași lungime, iar de aici ies trei consecințe. Unghiurile de la aceeași bază sunt egale între ele, diagonalele au aceeași lungime, iar figura se îndoaie peste ea însăși după mediatoarea bazelor, singura ei axă. Regula merge și invers, fiindcă un trapez cu unghiurile de la o bază egale, ori cu diagonalele egale, este isoscel. La un unghi de $7 0^{\circ}$ la baza mare, cel de la baza mică are $11 0^{\circ}$ .

Un trapez isoscel este un trapez (patrulater cu exact o pereche de laturi paralele) la care laturile neparalele sunt congruente: $A D \equiv B C$ . Această egalitate face figura simetrică față de o axă verticală (mediatoarea comună a bazelor) și aduce trei proprietăți importante: unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente ( $A \equiv B$ , $C \equiv D$ ); diagonalele sunt congruente ( $A C \equiv B D$ ); și există o singură axă de simetrie. Reține și sensul invers: dacă un trapez are unghiuri egale la o bază sau diagonale egale, atunci el este isoscel.

Exemplu. Dacă $A = 7 0^{\circ}$ (la baza mare), atunci $B = 7 0^{\circ}$ , iar $D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ și $C = 11 0^{\circ}$ .

Capcană: egale sunt doar unghiurile de la aceeași bază. Unghiurile de la baze diferite ( $A$ și $D$ ) nu sunt egale, ci suplementare — suma lor este $18 0^{\circ}$ , pentru că bazele sunt paralele.

De reținut

laturile laterale sunt congruente: $A D \equiv B C$
unghiurile de la aceeași bază sunt congruente
diagonalele sunt congruente, iar figura are o axă de simetrie

Greșeala tipică

Se cred egale unghiurile de la baze diferite, deși ele se completează până la $18 0^{\circ}$ . Egale sunt doar cele două unghiuri așezate pe aceeași bază.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un trapez isoscel $A B C D$ cu $A B ∥ C D$ , care laturi sunt neapărat congruente?
- a) Bazele $A B$ și $C D$
- b) Laturile neparalele $A D$ și $B C$
- c) O bază și o diagonală
- d) Nicio pereche de laturi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Laturile neparalele $A D$ și $B C$

Definiția trapezului isoscel cere ca laturile neparalele să fie congruente ( $A D \equiv B C$ ). Dacă bazele ar fi egale, figura ar deveni paralelogram, nu trapez.
Câte axe de simetrie are un trapez isoscel?
- a) Niciuna
- b) Exact una
- c) Exact două
- d) Patru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Exact una

Trapezul isoscel are o singură axă de simetrie: mediatoarea comună a celor două baze, perpendiculară pe ele. (Dreptunghiul are două, pătratul are patru.)
Într-un trapez isoscel $R S T U$ , cu $R S ∥ T U$ , ce se poate spune despre diagonalele $R T$ și $S U$ ?
- a) Sunt congruente: $R T \equiv S U$
- b) Sunt perpendiculare
- c) Se înjumătățesc reciproc la intersecție
- d) Una este dublul celeilalte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt congruente: $R T \equiv S U$

O proprietate esențială a trapezului isoscel este congruența diagonalelor: $R T \equiv S U$ . (Înjumătățirea reciprocă la intersecție este specifică paralelogramului, nu trapezului isoscel.)

Întrebări conexe

Cum aflu înălțimea unui trapez isoscel din laturi?

Cobori perpendiculare din capetele bazei mici pe cea mare și obții două triunghiuri dreptunghice congruente. Cateta lor orizontală este jumătate din diferența bazelor. Pentru baze de $14$ și $8$ cm și latura laterală $5$ cm, cateta este $3$ cm, deci înălțimea iese $4$ cm.

Ce arie are un trapez isoscel cu bazele și latura date?

Afli întâi înălțimea, apoi aplici formula obișnuită. Cu baze de $14$ și $8$ cm și înălțimea $4$ cm obții $\frac{( 14 + 8 ) \cdot 4}{2} = 44$ cm². Latura laterală nu intră direct în formulă, ci doar te ajută să găsești înălțimea.

Ce triunghiuri congruente apar în trapezul isoscel?

Cele două triunghiuri tăiate de perpendicularele coborâte din baza mică sunt congruente, având ipotenuzele egale și înălțimile la fel. Mai sunt congruente și triunghiurile formate de o bază cu cele două diagonale. Din aceste egalități se demonstrează că diagonalele au aceeași lungime.

Poate trapezul isoscel să aibă un unghi drept?

Nu, decât dacă încetează să mai fie trapez. Un unghi drept ar aduce încă unul la fel de la aceeași bază, iar vecinii lor s-ar completa tot cu $9 0^{\circ}$ . Figura ar deveni dreptunghi, cu amândouă perechile de laturi paralele, deci nu ar mai fi trapez.

Ce se întâmplă cu diagonalele când se intersectează?

Punctul lor de întâlnire stă pe axa de simetrie, la fel ca mijloacele celor două baze. Diagonalele nu se înjumătățesc, dar fiecare este tăiată în același fel de cealaltă, deci bucățile corespunzătoare ies egale două câte două.

Unde apare trapezul isoscel la Evaluarea Națională?

Apare la cerințe de calculat înălțimea, aria sau perimetrul, pornind de la baze și de la latura laterală. Alteori se cere demonstrarea faptului că un trapez este isoscel, folosind unghiurile sau diagonalele. Se combină des cu teorema lui Pitagora în triunghiurile de la capete.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile trapezului isoscel · trapez isoscel · diagonalele trapezului isoscel · unghiurile trapezului isoscel · formule la trapezul isoscel