Pătratul și proprietățile lui

Când te uiți la o tablă de șah, la faianța din baie, la ecranul unui telefon în modul „pătrat" al camerei sau la casetele unui rebus, vezi peste tot aceeași figură perfect echilibrată: pătratul. Este poate cel mai cunoscut patrulater din lume, tocmai pentru că este cel mai „ordonat" dintre toate — are laturile egale și colțurile drepte în același timp. În această lecție vei descoperi de ce pătratul este, matematic vorbind, și dreptunghi, și romb, ce proprietăți speciale au diagonalele lui și cum se așază pătratul în „familia" patrulaterelor pe care ai studiat-o până acum. Este ultima piesă din puzzle-ul paralelogramelor particulare, iar după ce o înțelegi, vei privi orice figură geometrică cu ochi de expert.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești pătratul ca dreptunghi cu două laturi consecutive congruente și, echivalent, ca romb cu un unghi drept.
• Vei ști să explici de ce pătratul este în același timp dreptunghi și romb și să enumeri toate proprietățile lui.
• Vei ști să aplici proprietățile diagonalelor pătratului (congruente, perpendiculare, se înjumătățesc, sunt bisectoare) în calcule de lungimi și unghiuri.
• Vei ști să stabilești relațiile de incluziune dintre pătrat, dreptunghi, romb și paralelogram.
• Vei ști să recunoști condițiile suficiente ca un patrulater să fie pătrat în configurații geometrice date.

Hai să descoperim împreună

De unde pornim: ce știm deja despre familia paralelogramelor

Înainte de a ajunge la pătrat, hai să ne reamintim pe scurt drumul parcurs. Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele; el are laturile opuse congruente, unghiurile opuse congruente și diagonalele care se înjumătățesc (vezi Paralelogramul: definiție și proprietăți).

Apoi ai întâlnit două paralelograme „speciale":

• Dreptunghiul — un paralelogram cu un unghi drept. Consecință: are toate unghiurile drepte și diagonalele congruente.
• Rombul — un paralelogram cu două laturi consecutive congruente. Consecință: are toate laturile congruente, iar diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor.

Acum vine întrebarea firească: ce se întâmplă dacă o figură are, în același timp, și proprietatea specială a dreptunghiului, și pe cea a rombului? Răspunsul este exact figura din această lecție.

Definiția pătratului

Există două moduri echivalente de a defini pătratul, în funcție de „ce părinte" alegem. Ambele duc la aceeași figură.

Definiție (varianta 1). Se numește pătrat un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente.

Definiție (varianta 2, echivalentă). Se numește pătrat un romb care are un unghi drept.

De ce sunt cele două definiții echivalente? Să le analizăm pe rând, ca să înțelegi mecanismul, nu doar să memorezi.

Prima definiție pornește de la un dreptunghi. Dreptunghiul are deja toate cele patru unghiuri drepte. Dacă îi cerem în plus ca două laturi vecine (consecutive) să fie egale, atunci — deoarece la orice paralelogram laturile opuse sunt egale — toate cele patru laturi devin egale. Deci obținem o figură cu toate unghiurile drepte (moștenite de la dreptunghi) și toate laturile egale (obținute din condiția nouă).

A doua definiție pornește de la un romb. Rombul are deja toate laturile egale. Dacă îi cerem în plus ca un unghi să fie drept, atunci — deoarece la orice paralelogram unghiurile opuse sunt egale și unghiurile alăturate sunt suplementare — toate cele patru unghiuri devin drepte. Deci obținem o figură cu toate laturile egale (moștenite de la romb) și toate unghiurile drepte (obținute din condiția nouă).

Observi? Ambele drumuri ajung în același loc: o figură cu toate laturile congruente ȘI toate unghiurile drepte. Aceasta este esența pătratului.

Concluzie fundamentală. Pătratul este patrulaterul care are toate cele patru laturi congruente și toate cele patru unghiuri drepte (fiecare de $90°$).

Pătratul este în același timp dreptunghi și romb

Iată ideea-cheie a acestei lecții, cea care îi dă pătratului caracterul lui special.

• Pentru că are toate unghiurile drepte, pătratul respectă definiția dreptunghiului. Deci orice pătrat este un dreptunghi.
• Pentru că are toate laturile congruente, pătratul respectă definiția rombului. Deci orice pătrat este un romb.

Cu alte cuvinte, pătratul este „doi într-unul": are simultan toate proprietățile dreptunghiului și toate proprietățile rombului. Nu trebuie să memorezi o listă lungă și nouă de proprietăți — trebuie doar să reții că pătratul le are pe toate cele ale dreptunghiului plus toate cele ale rombului.

Poți face o analogie simplă. Imaginează-ți categoriile de sportivi: cine face triatlon este și înotător, și ciclist, și alergător. Nu e „ceva pe lângă" — chiar are toate cele trei calități în același timp. La fel, pătratul „bifează" simultan cerințele dreptunghiului și ale rombului.

Toate proprietățile pătratului, adunate la un loc

Să facem inventarul complet. Fie pătratul $ABCD$ cu laturile $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ și diagonalele $AC$ și $BD$ care se intersectează în punctul $O$.

Proprietăți moștenite de la paralelogram:

1. Laturile opuse sunt paralele: $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$.
2. Laturile opuse sunt congruente (aici, chiar toate patru sunt egale).
3. Unghiurile opuse sunt congruente (aici, toate sunt de $90°$).
4. Diagonalele se înjumătățesc: $O$ este mijlocul lui $AC$ și mijlocul lui $BD$, deci $OA=OC$ și $OB=OD$.

Proprietăți specifice pătratului (partea „dreptunghi"):

5. Toate cele patru unghiuri sunt drepte: $m(\hat{A})=m(\hat{B})=m(\hat{C})=m(\hat{D})=90°$.
6. Diagonalele sunt congruente: $AC=BD$.

Proprietăți specifice pătratului (partea „romb"):

7. Toate cele patru laturi sunt congruente: $AB=BC=CD=DA$.
8. Diagonalele sunt perpendiculare: $AC\perp BD$.
9. Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor pătratului.

Hai să insistăm pe proprietatea 9, pentru că este cea mai „bogată". Diagonala pătratului pleacă dintr-un colț de $90°$ și îl împarte în două unghiuri egale. Deci fiecare jumătate are:

$$\frac{90°}{2}=45°.$$

Prin urmare, fiecare diagonală a pătratului formează cu laturile unghiuri de $45°$. Acesta este un rezultat pe care îl vei folosi foarte des în probleme.

De ce sunt diagonalele congruente ȘI perpendiculare — o justificare

Nu ne mulțumim doar să enumerăm; hai să înțelegem de ce diagonalele pătratului au aceste două proprietăți în același timp, lucru care nu se întâmplă la niciun alt paralelogram.

De ce sunt congruente ($AC=BD$)? Pentru că pătratul este dreptunghi, iar la dreptunghi diagonalele sunt egale. Justificarea de fond: triunghiurile $ABC$ și $BAD$ au $AB$ comună, $BC=AD$ (laturi ale pătratului) și unghiurile $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90°$. Fiind triunghiuri dreptunghice cu catetele respectiv egale, ele sunt congruente (cazul C.C. sau L.U.L.), deci ipotenuzele lor sunt egale: $AC=BD$.

De ce sunt perpendiculare ($AC\perp BD$)? Pentru că pătratul este romb, iar la romb diagonalele sunt perpendiculare. Justificarea de fond: în triunghiul $ABD$ (sau folosind $O$), laturile $AB=AD$ fac ca triunghiul $ABD$ să fie isoscel; diagonala din vârful $A$ cade pe mijlocul lui $BD$ (deoarece diagonalele se înjumătățesc), iar în triunghiul isoscel mediana din vârf este și înălțime, deci $AO\perp BD$, adică $AC\perp BD$.

Punând cele două rezultate laolaltă, obținem imaginea completă: în punctul $O$ se întâlnesc patru segmente egale ($OA=OB=OC=OD$, pentru că diagonalele sunt și egale, și înjumătățite) care formează între ele unghiuri de $90°$. Practic, $O$ este egal depărtat de toate cele patru vârfuri — este centrul pătratului.

Un mic bonus de înțelegere: cele patru triunghiuri în care diagonalele împart pătratul ($OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$) sunt triunghiuri dreptunghice isoscele congruente. Sunt dreptunghice (unghiul din $O$ este de $90°$), isoscele ($OA=OB$ etc.) și au fiecare unghiurile de la bază de $45°$. Această observație te ajută enorm în probleme.

Relația de incluziune între patrulatere

Acum putem așeza ordonat întreaga „familie". Fiecare figură din listă este un caz particular al celei dinainte, adică are toate proprietățile ei plus ceva în plus.

$$\text{pa˘trat}\subset \text{dreptunghi}\subset \text{paralelogram}\subset \text{patrulater convex}$$

$$\text{pa˘trat}\subset \text{romb}\subset \text{paralelogram}\subset \text{patrulater convex}$$

Citește semnul $\subset$ ca „este inclus în" sau „este un caz particular de". Deci:

• Orice pătrat este dreptunghi, dar nu orice dreptunghi este pătrat.
• Orice pătrat este romb, dar nu orice romb este pătrat.
• Orice dreptunghi și orice romb sunt paralelograme, dar nu orice paralelogram este dreptunghi sau romb.

Pătratul se află la intersecția dreptunghiurilor cu romburile: este singura figură care este și una, și alta. De aceea îl desenăm în zona comună a celor două mulțimi.

O propoziție utilă, pe care o poți spune cu voce tare ca s-o reții: „Un pătrat este un dreptunghi cu laturile egale și, totodată, un romb cu unghiurile drepte."

Condiții suficiente ca un patrulater să fie pătrat

În probleme, deseori nu ți se spune direct „figura este pătrat"; trebuie s-o demonstrezi tu. Iată câteva condiții suficiente — dacă dovedești una dintre ele, ai dreptul să tragi concluzia că patrulaterul este pătrat. Ideea generală este: pornești de la o figură cunoscută și adaugi „ingredientul lipsă".

Pornind de la un dreptunghi, este suficient să arăți una dintre:

• două laturi consecutive sunt congruente; sau
• diagonalele sunt perpendiculare; sau
• o diagonală este bisectoarea unui unghi.

Pornind de la un romb, este suficient să arăți una dintre:

• un unghi este drept; sau
• diagonalele sunt congruente.

Pornind de la un paralelogram, este suficient să arăți că are simultan o proprietate „de dreptunghi" și una „de romb", de exemplu:

• un unghi drept și două laturi consecutive congruente; sau
• diagonalele congruente și perpendiculare; sau
• diagonalele congruente și una este bisectoarea unui unghi.

Pornind direct de la un patrulater, condiția clasică este: patrulater cu toate laturile congruente și toate unghiurile drepte (sau, echivalent, un patrulater cu toate laturile egale și un unghi drept).

De reținut mecanismul: „dreptunghi + trăsătură de romb = pătrat" și „romb + trăsătură de dreptunghi = pătrat". Pătratul apare mereu când combini calitatea unghiurilor (drepte) cu calitatea laturilor (egale).

Un calcul care apare des: diagonala pătratului

Chiar dacă formula completă a diagonalei o vei deduce riguros abia la teorema lui Pitagora, merită să vezi de pe acum de ce diagonala este mai mare decât latura. Într-un pătrat de latură $\ell$, diagonala împreună cu două laturi formează un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $\ell$. Diagonala (ipotenuza) este atunci

$$d=\ell \sqrt{2}.$$

Cu radicalii pe care i-ai studiat în prima parte a anului (vezi Scoaterea factorilor de sub radical), poți calcula, de exemplu, diagonala unui pătrat de latură $5$ cm: $d=5\sqrt{2}$ cm $\approx 7,07$ cm. Reține doar rezultatul deocamdată — demonstrația vine la relațiile metrice. Îl folosim în câteva exemple, ca să vezi legătura dintre teme.

Perimetrul și aria pătratului

Fiindcă pătratul are toate laturile egale cu $\ell$, calculul mărimilor lui este cel mai simplu dintre toate patrulaterele.

• Perimetrul este suma celor patru laturi egale: $$P=\ell +\ell +\ell +\ell =4\ell .$$
• Aria este produsul a două laturi vecine (lungime $\times$ lățime), dar cum ele sunt egale, obținem pătratul laturii: $$A=\ell \cdot \ell ={\ell }^2.$$

De exemplu, un pătrat cu latura de $6$ cm are perimetrul $P=4\cdot 6=24$ cm și aria $A=6^2=36$ cm². Fii atent la unitatea de măsură: perimetrul se măsoară în centimetri (cm), iar aria în centimetri pătrați (cm²). Este o greșeală frecventă să le confunzi.

Aici ${\ell }^2$ înseamnă pur și simplu $\ell \cdot \ell$ (latura înmulțită cu ea însăși), nu o formulă complicată — este aceeași putere pe care ai folosit-o la radicali.

Simetria pătratului

Pătratul este figura cu cea mai bogată simetrie dintre patrulatere. Are patru axe de simetrie:

• cele două mediatoare ale laturilor (dreptele care trec prin mijloacele a două laturi opuse), pe care le are și dreptunghiul;
• cele două diagonale ($AC$ și $BD$), pe care le are și rombul.

Dacă îndoi un pătrat de hârtie de-a lungul oricăreia dintre aceste patru drepte, cele două jumătăți se suprapun perfect. În plus, pătratul are un centru de simetrie în punctul $O$ (intersecția diagonalelor): pentru fiecare punct al figurii există un „geamăn" diametral opus față de $O$. Această simetrie deosebită explică de ce pătratul ne pare cea mai „echilibrată" figură și de ce apare atât de des în artă, arhitectură și design.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul dintre o diagonală și o latură

Enunț. În pătratul $ABCD$ se trasează diagonala $AC$. Cât măsoară unghiul $\widehat{BAC}$?

Rezolvare. Diagonala unui pătrat este bisectoarea unghiului din care pleacă (proprietatea 9). Ea pleacă din vârful $A$, unde unghiul $\widehat{DAB}=90°$, și îl împarte în două unghiuri egale:

$$m(\widehat{BAC})=m(\widehat{DAC})=\frac{90°}{2}=45°.$$

Răspuns: $m(\widehat{BAC})=45°$.

Exemplul 2 — Unghiul dintre diagonale

Enunț. Diagonalele pătratului $MNPQ$ se intersectează în $O$. Cât măsoară unghiul $\widehat{MON}$?

Rezolvare. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare (proprietatea 8). Perpendicularitatea înseamnă că unghiul dintre ele este drept:

$$m(\widehat{MON})=90°.$$

Răspuns: $90°$. (Toate cele patru unghiuri formate în $O$ sunt de $90°$.)

Exemplul 3 — Lungimea diagonalelor și a semisegmentelor

Enunț. În pătratul $ABCD$, diagonala $AC$ are lungimea de $12$ cm. Aflați lungimea diagonalei $BD$ și lungimile segmentelor $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, unde $O$ este intersecția diagonalelor.

Rezolvare. Pasul 1. Diagonalele pătratului sunt congruente (proprietatea 6), deci $BD=AC=12$ cm.

Pasul 2. Diagonalele se înjumătățesc (proprietatea 4), deci $O$ este mijlocul fiecărei diagonale: $$OA=OC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm},OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}.$$

Răspuns: $BD=12$ cm, iar $OA=OB=OC=OD=6$ cm. (Toate patru sunt egale — o proprietate specifică pătratului.)

Exemplul 4 — Perimetrul pătratului cunoscând o latură

Enunț. Un pătrat are latura de $9,5$ cm. Calculați perimetrul lui.

Rezolvare. Pătratul are toate laturile egale, deci perimetrul este de patru ori latura:

$$P=4\cdot \ell =4\cdot 9,5=38\text{ cm}.$$

Răspuns: $P=38$ cm.

Exemplul 5 — Recunoașterea unui pătrat (condiție suficientă)

Enunț. Se știe că patrulaterul $EFGH$ este un romb și că diagonala $EG$ este congruentă cu diagonala $FH$. Arătați că $EFGH$ este pătrat.

Rezolvare. Pasul 1. $EFGH$ este romb, deci este paralelogram cu toate laturile congruente și cu diagonalele perpendiculare.

Pasul 2. Ni se dă în plus că diagonalele sunt congruente: $EG=FH$. Dar diagonalele congruente sunt caracteristica dreptunghiului. Prin urmare, paralelogramul $EFGH$ este și dreptunghi.

Pasul 3. Figura este simultan romb (din ipoteză) și dreptunghi (din pasul 2). O figură care este și romb, și dreptunghi este un pătrat.

Concluzie: $EFGH$ este pătrat. (Am folosit condiția: romb + diagonale congruente = pătrat.)

Exemplul 6 — Un triunghi din interiorul pătratului

Enunț. În pătratul $ABCD$ cu diagonalele intersectate în $O$, considerăm triunghiul $AOB$. Ce fel de triunghi este și cât măsoară unghiurile lui?

Rezolvare. Pasul 1. $OA=OB$ (jumătăți de diagonale egale), deci triunghiul $AOB$ este isoscel.

Pasul 2. Unghiul din $O$ este $m(\widehat{AOB})=90°$ (diagonale perpendiculare), deci triunghiul este și dreptunghic.

Pasul 3. Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$. Cele două unghiuri de la bază sunt egale (triunghi isoscel) și însumează $180°-90°=90°$, deci fiecare are

$$\frac{90°}{2}=45°.$$

Răspuns: $AOB$ este triunghi dreptunghic isoscel, cu unghiurile de $90°$, $45°$ și $45°$. (La fel sunt și $BOC$, $COD$, $DOA$.)

Exemplul 7 — Perimetrul și aria din latură

Enunț. Un pătrat are latura de $8$ cm. Calculați perimetrul și aria lui.

Rezolvare. Pasul 1. Perimetrul este de patru ori latura: $$P=4\cdot \ell =4\cdot 8=32\text{ cm}.$$

Pasul 2. Aria este latura la pătrat: $$A={\ell }^2=8^2=64{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: $P=32$ cm și $A=64$ cm². (Observă unitățile diferite: cm pentru perimetru, cm² pentru arie.)

Exemplul 8 — Latura din arie

Enunț. Un pătrat are aria de $49$ cm². Cât este latura lui și cât este perimetrul?

Rezolvare. Pasul 1. Din $A={\ell }^2$ obținem ${\ell }^2=49$, deci $\ell =\sqrt{49}=7$ cm (latura este o lungime pozitivă).

Pasul 2. Perimetrul este $P=4\cdot \ell =4\cdot 7=28$ cm.

Răspuns: $\ell =7$ cm și $P=28$ cm.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine, de la ușor la greu. La geometrie, fă întâi un desen — te ajută enorm.

1. Completează: pătratul este un dreptunghi care are ......... , și este un romb care are ......... .

2. Câte laturi congruente are un pătrat? Dar câte unghiuri drepte?

3. Cât măsoară fiecare unghi al unui pătrat?

4. Adevărat sau fals (motivează): „Orice pătrat este un dreptunghi."

5. Adevărat sau fals (motivează): „Orice dreptunghi este un pătrat."

6. Adevărat sau fals (motivează): „Diagonalele pătratului sunt perpendiculare și congruente în același timp."

7. Un pătrat are latura de $7$ cm. Calculează perimetrul lui.

8. Perimetrul unui pătrat este $48$ cm. Cât este latura lui?

9. În pătratul $ABCD$ se trasează diagonala $BD$. Cât măsoară unghiul $\widehat{ADB}$?

10. Diagonalele pătratului $KLMN$ se intersectează în $O$, iar $KM=10$ cm. Află $LN$, apoi $OK$, $OL$, $OM$, $ON$.

11. În pătratul $ABCD$ cu centrul $O$, precizează ce fel de triunghi este $BOC$ și cât măsoară unghiurile lui.

12. Ordonează crescător, după „cât de multe condiții impun", figurile: paralelogram, pătrat, patrulater convex, dreptunghi. Scrie și lanțul de incluziuni cu semnul $\subset$.

13. Un romb are un unghi de $90°$. Ce fel de figură este, de fapt? Justifică.

14. Un dreptunghi are diagonalele perpendiculare. Arată că este pătrat.

15. Adevărat sau fals (motivează): „Există un paralelogram care este și dreptunghi, și romb, dar nu este pătrat."

16. În pătratul $ABCD$, diagonala $AC$ face cu latura $AB$ un unghi. Cât măsoară acest unghi și de ce?

17. Se dă patrulaterul $PQRS$ cu $PQ=QR=RS=SP$ (toate laturile egale) și $m(\hat{P})=90°$. Ce fel de patrulater este? Justifică folosind o condiție suficientă.

18. Provocare. În pătratul $ABCD$ cu latura de $6$ cm, calculează lungimea diagonalei $AC$ (lasă rezultatul cu radical, apoi aproximează la două zecimale, știind că $\sqrt{2}\approx 1,41$).

19. Un pătrat are latura de $11$ cm. Calculează perimetrul și aria lui, cu unitățile de măsură corecte.

20. Un pătrat are aria de $81$ cm². Află latura, apoi perimetrul.

21. Câte axe de simetrie are un pătrat? Enumeră-le pe scurt.

Răspunsuri și explicații

1. Pătratul este un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente și este un romb care are un unghi drept. (Cele două definiții echivalente.)

2. Are 4 laturi congruente și 4 unghiuri drepte.

3. Fiecare unghi are $90°$ (toate unghiurile pătratului sunt drepte).

4. Adevărat. Pătratul are toate unghiurile drepte, deci respectă definiția dreptunghiului; orice pătrat este un caz particular de dreptunghi.

5. Fals. Un dreptunghi are unghiurile drepte, dar laturile consecutive nu sunt neapărat egale (de exemplu un dreptunghi de $3\times 5$). Devine pătrat doar dacă are și laturile egale.

6. Adevărat. Pentru că pătratul este și dreptunghi (diagonale congruente), și romb (diagonale perpendiculare), diagonalele lui au ambele proprietăți simultan. Aceasta este trăsătura care deosebește pătratul de dreptunghi și de romb luate separat.

7. $P=4\cdot 7=28$ cm.

8. $\ell =\frac{P}{4}=\frac{48}{4}=12$ cm.

9. Diagonala $BD$ pleacă din $D$ și este bisectoarea unghiului $\widehat{ADC}=90°$, deci $m(\widehat{ADB})=\frac{90°}{2}=45°$.

10. Diagonalele sunt congruente, deci $LN=KM=10$ cm. Ele se înjumătățesc, deci $OK=OL=OM=ON=\frac{10}{2}=5$ cm.

11. $BOC$ este triunghi dreptunghic isoscel: $OB=OC$ (jumătăți de diagonale egale) și $m(\widehat{BOC})=90°$; unghiurile sunt $90°,45°,45°$.

12. Ordinea crescătoare a numărului de condiții: patrulater convex → paralelogram → dreptunghi → pătrat. Lanțul de incluziuni: $\text{pa˘trat}\subset \text{dreptunghi}\subset \text{paralelogram}\subset \text{patrulater convex}$. (La fel de valabil: $\text{pa˘trat}\subset \text{romb}\subset \text{paralelogram}$.)

13. Este un pătrat. Un romb cu un unghi drept este, prin a doua definiție, exact un pătrat (laturile sunt deja egale, iar unghiul drept le face pe toate drepte).

14. Un dreptunghi are toate unghiurile drepte. Dacă în plus diagonalele sunt perpendiculare, atunci figura are trăsătura specifică rombului, deci este și romb. Fiind și dreptunghi, și romb, este pătrat. (Condiție: dreptunghi + diagonale perpendiculare = pătrat.)

15. Fals. Orice paralelogram care este simultan dreptunghi (toate unghiurile drepte) și romb (toate laturile egale) are, prin definiție, toate laturile egale și toate unghiurile drepte — adică este chiar pătrat. Nu poate exista o astfel de figură care să nu fie pătrat.

16. Măsoară $45°$. Diagonala este bisectoarea unghiului drept din $A$, deci îl împarte în două unghiuri de $\frac{90°}{2}=45°$.

17. Este pătrat. Are toate laturile congruente (deci este romb) și un unghi drept; un romb cu un unghi drept este pătrat. (Sau: patrulater cu toate laturile egale și un unghi drept.)

18. $AC=\ell \sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm. Aproximativ: $6\cdot 1,41=8,46$ cm. (Rezultat exact: $6\sqrt{2}$ cm.)

19. Perimetrul: $P=4\cdot 11=44$ cm. Aria: $A=11^2=121$ cm².

20. Din ${\ell }^2=81$ rezultă $\ell =\sqrt{81}=9$ cm, apoi $P=4\cdot 9=36$ cm.

21. Are 4 axe de simetrie: cele două mediatoare ale laturilor (drepte prin mijloacele laturilor opuse) și cele două diagonale. (În plus, are un centru de simetrie în intersecția diagonalelor.)

De reținut

• Definiție: pătratul este un dreptunghi cu două laturi consecutive congruente sau, echivalent, un romb cu un unghi drept. Rezultatul: toate laturile congruente și toate unghiurile de $90°$.
• Pătratul este simultan dreptunghi și romb, deci are toate proprietățile amândurora. Incluziuni: $\text{pa˘trat}\subset \text{dreptunghi}\subset \text{paralelogram}$ și $\text{pa˘trat}\subset \text{romb}\subset \text{paralelogram}$.
• Diagonalele pătratului sunt: congruente, perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor (fac cu laturile unghiuri de $45°$). Cele patru semisegmente sunt egale: $OA=OB=OC=OD$.
• Condiție suficientă tip: dreptunghi + o trăsătură de romb (laturi consecutive egale / diagonale perpendiculare) = pătrat; romb + o trăsătură de dreptunghi (un unghi drept / diagonale congruente) = pătrat.
• Diagonalele împart pătratul în patru triunghiuri dreptunghice isoscele congruente, cu unghiurile de $90°$, $45°$, $45°$.
• Perimetrul este $P=4\ell$, iar aria este $A={\ell }^2$ (măsurată în unități pătrate). Pătratul are 4 axe de simetrie (două mediatoare ale laturilor și cele două diagonale) și un centru de simetrie în $O$.

Greșeli frecvente

• „Orice dreptunghi este pătrat" / „orice romb este pătrat". Fals în ambele sensuri. Incluziunea merge invers: pătratul este caz particular de dreptunghi și de romb, nu invers. Un dreptunghi devine pătrat doar dacă are laturile egale; un romb devine pătrat doar dacă are un unghi drept.
• Confuzia proprietăților diagonalelor. La dreptunghi diagonalele sunt doar congruente (nu perpendiculare), la romb sunt doar perpendiculare (nu congruente). Numai la pătrat sunt și congruente, și perpendiculare. Nu amesteca cele trei cazuri.
• Unghiul dintre diagonală și latură. Mulți scriu $90°$. Greșit: diagonala face cu latura $45°$ (este bisectoarea colțului de $90°$). Unghiul de $90°$ este cel dintre cele două diagonale, în centrul $O$.
• A confunda „egale între ele" cu „egale cu latura". Faptul că $OA=OB=OC=OD$ nu înseamnă că sunt egale cu latura pătratului. Semisegmentul diagonalei este jumătate din diagonală, nu jumătate din latură.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de pătrate. Timp de o zi, notează cinci obiecte pătrate din jurul tău (o faianță, o casetă de rebus, o notă autoadezivă, o cutie de pizza pătrată, o casetă de pe tabla de șah). Pentru fiecare, verifică cu un colț de coală (care are unghi drept) că are toate colțurile drepte și, cu rigla, că are laturile egale. Notează care obiecte sunt „aproape pătrate" dar de fapt sunt dreptunghiuri.

2. Diagonalele din carton. Decupează un pătrat de carton cu latura de $10$ cm. Trasează ambele diagonale cu rigla. Măsoară-le lungimile — ar trebui să fie egale. Măsoară unghiul din centru cu raportorul — ar trebui să fie $90°$. În final, verifică cu raportorul că diagonala face $45°$ cu o latură. Ai confirmat experimental trei proprietăți!

3. Constructorul de pătrate. Pornind de la un dreptunghi decupat (de exemplu $8\times 12$ cm), taie o fâșie astfel încât să obții un pătrat. Ce lungime trebuie să aibă latura pătratului ca să folosești cât mai mult din carton? Explică unui părinte de ce figura obținută este acum pătrat, folosind condiția „dreptunghi cu laturi consecutive egale".

Pentru părinți și profesori

Această lecție închide seria paralelogramelor particulare, iar dificultatea ei nu stă în calcule, ci în logica incluziunilor: elevul trebuie să accepte că o figură poate aparține simultan mai multor categorii (pătratul este și dreptunghi, și romb). Este primul contact serios cu ideea de clasificare ierarhică din matematică, foarte utilă mai târziu.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să deseneze un pătrat și să bifeze, una câte una, cele nouă proprietăți din lecție, explicând pentru fiecare dacă vine „de la dreptunghi" sau „de la romb".
• Folosiți obiecte reale (o faianță, o notă autoadezivă) și verificați împreună cu un colț de coală și cu rigla că sunt pătrate.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Este orice pătrat un dreptunghi? Dar orice dreptunghi un pătrat?" (Răspuns corect: da la prima, nu la a doua.)
• „Cu ce unghi taie diagonala latura pătratului?" (Răspuns: $45°$.)
• „Cu ce se deosebesc diagonalele pătratului de cele ale dreptunghiului și de cele ale rombului?" (Răspuns: la pătrat sunt și congruente, și perpendiculare.)

Semne că a înțeles: poate justifica o incluziune (nu doar s-o recite), nu confundă unghiul de $45°$ cu cel de $90°$ și poate demonstra că o figură este pătrat pornind de la un romb sau de la un dreptunghi, folosind o condiție suficientă.

Întrebări frecvente

Ce este un pătrat, pe scurt? Un pătrat este un patrulater care are toate cele patru laturi congruente și toate cele patru unghiuri drepte (de $90°$). Echivalent, este un dreptunghi cu laturile egale sau un romb cu un unghi drept.

De ce se spune că pătratul este și dreptunghi, și romb? Pentru că are toate unghiurile drepte, respectă definiția dreptunghiului, iar pentru că are toate laturile egale, respectă definiția rombului. Îndeplinește ambele definiții în același timp, deci aparține ambelor categorii.

Care sunt proprietățile diagonalelor pătratului? Diagonalele pătratului sunt congruente, perpendiculare, se înjumătățesc reciproc și sunt bisectoarele unghiurilor. În plus, cele patru semisegmente formate sunt egale, iar diagonala face cu fiecare latură un unghi de $45°$.

Cu ce unghi taie diagonala latura pătratului? Cu un unghi de $45°$. Diagonala este bisectoarea unghiului drept din vârf, iar $90°:2=45°$. Nu confunda acest unghi cu cel de $90°$ format între cele două diagonale în centrul pătratului.

Prin ce se deosebește pătratul de dreptunghi și de romb? Dreptunghiul are unghiurile drepte, dar nu neapărat laturile egale; rombul are laturile egale, dar nu neapărat unghiuri drepte. Pătratul le are pe amândouă: și laturile egale, și unghiurile drepte. La diagonale, dreptunghiul le are doar congruente, rombul doar perpendiculare, iar pătratul și congruente, și perpendiculare.

Este orice romb un pătrat? Nu. Un romb are laturile egale, dar unghiurile lui pot fi diferite de $90°$ (de exemplu un romb „turtit" cu unghiuri de $60°$ și $120°$). Rombul devine pătrat numai când capătă un unghi drept.

Cum arăt că un patrulater este pătrat? Alegi o condiție suficientă: dacă e dreptunghi, arăți că are două laturi consecutive congruente sau diagonalele perpendiculare; dacă e romb, arăți că are un unghi drept sau diagonalele congruente. Alternativ, arăți direct că are toate laturile egale și un unghi drept.

Cum calculez diagonala unui pătrat dacă știu latura? Diagonala este $d=\ell \sqrt{2}$, unde $\ell$ este latura. De exemplu, pentru $\ell =4$ cm, diagonala este $4\sqrt{2}\approx 5,66$ cm. Formula se demonstrează riguros mai târziu, cu ajutorul teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel format de o diagonală și două laturi.

Care este formula pentru perimetrul și aria pătratului? Perimetrul este $P=4\ell$ (de patru ori latura), iar aria este $A={\ell }^2$ (latura înmulțită cu ea însăși). De exemplu, un pătrat cu latura de $5$ cm are perimetrul $20$ cm și aria $25$ cm². Ai grijă la unități: perimetrul se măsoară în cm, iar aria în cm².

Câte axe de simetrie are un pătrat? Pătratul are $4$ axe de simetrie: cele două mediatoare ale laturilor (moștenite de la dreptunghi) și cele două diagonale (moștenite de la romb). În plus, are un centru de simetrie în punctul de intersecție al diagonalelor.