Condiții ca un patrulater să fie paralelogram

Imaginează-ți că lucrezi la un atelier de tâmplărie și tai patru scânduri pentru a face rama unui tablou. Cum te asiguri, fără să măsori fiecare unghi cu raportorul, că rama iese cu adevărat un paralelogram și nu o formă strâmbă? Trucul dulgherilor este simplu: dacă laturile opuse sunt egale două câte două, rama este automat paralelogram. Exact aceasta este ideea din spatele condițiilor ca un patrulater să fie paralelogram, tema pe care o studiem astăzi. Vom învăța cinci „teste" rapide prin care putem decide dacă un patrulater este paralelogram, fără să verificăm chiar toate proprietățile lui.

Până acum ai învățat ce este un paralelogram și ce proprietăți are el (vezi lecțiile Paralelogramul: definiție și proprietăți și Paralelogramul: proprietatea diagonalelor). În lecția de față mergem în sens invers: pornim de la un patrulater despre care nu știm încă nimic și căutăm dovezi că el chiar este paralelogram. Aceste dovezi se numesc criterii sau condiții suficiente, iar ele sunt, de fapt, reciprocele proprietăților paralelogramului.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele cinci criterii prin care un patrulater convex este paralelogram.
• Vei ști să faci diferența dintre o proprietate (paralelogramul are…) și un criteriu (dacă un patrulater are…, atunci este paralelogram).
• Vei ști să alegi criteriul potrivit în funcție de datele problemei și să demonstrezi pas cu pas că un patrulater este paralelogram.
• Vei ști să aplici criteriile în configurații geometrice: triunghiuri congruente, mijloace de segmente, drepte paralele.
• Vei ști să eviți greșelile clasice, mai ales „capcana" celui de-al patrulea criteriu, unde condiția trebuie pusă pe aceeași pereche de laturi.

Hai să descoperim împreună

1. Diferența dintre „proprietate" și „criteriu"

Să fim foarte atenți la logică, pentru că aici stă toată frumusețea lecției.

O proprietate a paralelogramului sună așa:

Dacă $ABCD$ este paralelogram, atunci laturile opuse sunt congruente.

Aici pornim de la certitudinea că avem un paralelogram și deducem o consecință. Este ca și cum ai spune: „Dacă animalul este pisică, atunci are patru labe."

Un criteriu (sau condiție suficientă) merge în sens invers, este reciproca:

Dacă într-un patrulater $ABCD$ laturile opuse sunt congruente, atunci $ABCD$ este paralelogram.

Aici nu știm de la început că avem paralelogram; îl demonstrăm pornind de la o informație despre laturi. Este ca și cum ai spune: „Dacă animalul are patru labe, atunci este pisică." Atenție! În exemplul cu animalele, reciproca este falsă (și câinele are patru labe). În geometrie însă trebuie să fim precauți: nu orice reciprocă este adevărată. De aceea fiecare criteriu de mai jos trebuie enunțat exact și, ideal, demonstrat.

Reține ideea centrală: criteriile sunt reciprocele proprietăților. La lecțiile trecute am mers de la paralelogram la proprietăți; acum mergem de la proprietăți înapoi la paralelogram.

2. Reamintim definiția paralelogramului

Ca să demonstrăm că ceva este paralelogram, trebuie să știm foarte clar ce înseamnă cuvântul. Definiția pe care ne bazăm este:

Definiție. Un patrulater convex se numește paralelogram dacă are laturile opuse paralele două câte două.

Adică, în patrulaterul $ABCD$, avem $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$. Aceasta este condiția „de bază", Criteriul 1, și rezultă direct din definiție: dacă reușim să arătăm că ambele perechi de laturi opuse sunt paralele, gata, avem paralelogram. Nimic de demonstrat suplimentar.

Toate celelalte patru criterii sunt „scurtături": ele ne permit să tragem concluzia de paralelogram fără să verificăm direct paralelismul, ci verificând altceva (laturi egale, unghiuri egale, diagonale care se înjumătățesc).

3. Instrumentul nostru principal: triunghiurile congruente

Aproape toate demonstrațiile de astăzi se sprijină pe un truc: tragem o diagonală, care împarte patrulaterul în două triunghiuri, arătăm că cele două triunghiuri sunt congruente, apoi folosim consecințe. Reamintește-ți criteriile de congruență a triunghiurilor din clasa a VI-a: LUL (latură-unghi-latură), ULU (unghi-latură-unghi) și LLL (latură-latură-latură).

De asemenea, ne va fi de mare folos următoarea legătură dintre paralelism și unghiuri: dacă două drepte sunt tăiate de o secantă și formează unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele (și reciproc). Diagonala unui patrulater joacă exact rolul acelei secante.

4. Criteriul laturilor opuse congruente (Criteriul 2)

Criteriul 2. Dacă într-un patrulater convex laturile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

Adică: dacă $AB=CD$ și $BC=AD$, atunci $ABCD$ este paralelogram.

Să-l demonstrăm. Trasăm diagonala $AC$.

Comparăm triunghiurile $ABC$ și $CDA$:

• $AB=CD$ (ipoteză);
• $BC=DA$ (ipoteză);
• $AC=CA$ (latură comună).

Din criteriul LLL rezultă $△ABC\equiv △CDA$. De aici obținem egalități de unghiuri: $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ și $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$.

Dar $\widehat{BAC}$ și $\widehat{DCA}$ sunt unghiuri alterne interne formate de dreptele $AB$ și $CD$ cu secanta $AC$. Fiind congruente, rezultă $AB\parallel CD$. Analog, din $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ rezultă $BC\parallel AD$. Ambele perechi de laturi opuse sunt paralele, deci, conform definiției, $ABCD$ este paralelogram. $■$

5. Criteriul unghiurilor opuse congruente (Criteriul 3)

Criteriul 3. Dacă într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

Adică: dacă $\hat{A}=\hat{C}$ și $\hat{B}=\hat{D}$, atunci $ABCD$ este paralelogram.

Ideea demonstrației. Știm din lecția Patrulaterul convex. Suma unghiurilor că suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$: $$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°.$$

Notăm $\hat{A}=\hat{C}=x$ și $\hat{B}=\hat{D}=y$. Atunci: $$x+y+x+y=360°⟹2x+2y=360°⟹x+y=180°.$$

Aceasta înseamnă $\hat{A}+\hat{B}=180°$. Dar $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei $AB$, formate cu dreptele $AD$ și $BC$. Fiind suplementare, rezultă $AD\parallel BC$. La fel, $\hat{B}+\hat{C}=180°$ ne dă $AB\parallel CD$. Cele două perechi de laturi opuse fiind paralele, $ABCD$ este paralelogram. $■$

6. Criteriul diagonalelor care se înjumătățesc (Criteriul 4)

Acesta este poate cel mai des folosit criteriu în probleme, pentru că apare natural ori de câte ori se vorbește despre mijlocul unui segment.

Criteriul 4. Dacă diagonalele unui patrulater convex se înjumătățesc (adică se intersectează în mijlocul fiecăreia), atunci patrulaterul este paralelogram.

Adică: dacă diagonalele $AC$ și $BD$ se taie în punctul $O$ astfel încât $OA=OC$ și $OB=OD$, atunci $ABCD$ este paralelogram.

Să-l demonstrăm. Fie $O$ punctul de intersecție al diagonalelor.

Comparăm triunghiurile $AOB$ și $COD$:

• $OA=OC$ (ipoteză);
• $OB=OD$ (ipoteză);
• $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (unghiuri opuse la vârf).

Din criteriul LUL rezultă $△AOB\equiv △COD$. Prin urmare $AB=CD$ și $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$. Ultima egalitate ne dă unghiuri alterne interne congruente pentru dreptele $AB$ și $CD$ cu secanta $AC$, deci $AB\parallel CD$.

Am obținut astfel că laturile $AB$ și $CD$ sunt paralele și congruente. Aceasta este exact ipoteza următorului criteriu (Criteriul 5), din care va rezulta imediat că $ABCD$ este paralelogram. Alternativ, refăcând raționamentul cu triunghiurile $BOC$ și $DOA$, obținem și $BC\parallel AD$, deci concluzia rezultă direct din definiție. $■$

7. Criteriul „două laturi opuse paralele și congruente" (Criteriul 5)

Iată vedeta lecției, criteriul preferat în multe demonstrații pentru că cere cel mai puțin de verificat.

Criteriul 5. Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt în același timp paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Adică: dacă $AB\parallel CD$ și $AB=CD$, atunci $ABCD$ este paralelogram.

Să-l demonstrăm. Trasăm diagonala $AC$.

Fiindcă $AB\parallel CD$, unghiurile alterne interne față de secanta $AC$ sunt congruente: $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$.

Comparăm triunghiurile $ABC$ și $CDA$:

• $AB=CD$ (ipoteză);
• $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (alterne interne, din paralelism);
• $AC=CA$ (latură comună).

Din criteriul LUL rezultă $△ABC\equiv △CDA$. Deci $BC=DA$ și $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$. Ultima egalitate arată că $BC\parallel AD$ (alterne interne). Avem acum $AB\parallel CD$ (din ipoteză) și $BC\parallel AD$, deci $ABCD$ este paralelogram. $■$

Atenție uriașă la acest criteriu! Condiția de paralelism și cea de congruență trebuie să se refere la aceeași pereche de laturi opuse. Dacă spui doar „două laturi opuse egale și alte două laturi opuse paralele", concluzia nu mai este garantată — poți obține un trapez isoscel, care nu este paralelogram. Vom reveni la această capcană la secțiunea de greșeli frecvente.

8. Tabelul recapitulativ al criteriilor

Pentru a demonstra că un patrulater convex $ABCD$ este paralelogram, îți este suficient oricare dintre următoarele:

9. Cum alegi criteriul potrivit

Alegerea criteriului depinde de ce date îți oferă problema. Un mic ghid:

• Dacă în ipoteză apar mijloace de segmente care se intersectează → gândește-te la Criteriul 4 (diagonalele se înjumătățesc).
• Dacă problema îți dă o pereche de laturi paralele și te ajută să arăți că sunt și egale (sau invers) → Criteriul 5.
• Dacă poți demonstra ușor triunghiuri congruente care îți dau laturi egale → Criteriul 2.
• Dacă lucrezi mult cu măsuri de unghiuri → Criteriul 3.
• Dacă ai deja paralelisme dovedite din alte teoreme → Criteriul 1.

Regula de aur: alege criteriul care cere cel mai puțin de demonstrat pornind de la datele tale. Foarte des, Criteriul 5 câștigă tocmai fiindcă are o singură pereche de verificat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea Criteriului 4 (mijloc de segmente)

Enunț. Fie $O$ mijlocul segmentului $AC$. Prin $O$ trasăm o dreaptă pe care fixăm punctele $B$ și $D$ astfel încât $O$ să fie și mijlocul lui $BD$. Arată că $ABCD$ este paralelogram.

Rezolvare.

• Ipoteză: $O$ este mijlocul lui $AC$ și mijlocul lui $BD$, adică $OA=OC$ și $OB=OD$.
• Concluzie: $ABCD$ este paralelogram.

Segmentele $AC$ și $BD$ sunt tocmai diagonalele patrulaterului $ABCD$, iar ele se intersectează în $O$. Din ipoteză, $O$ este mijlocul ambelor, deci diagonalele se înjumătățesc. Conform Criteriului 4, $ABCD$ este paralelogram. $■$

Observă cât de scurtă a fost demonstrația: datele erau exact „pe formatul" criteriului.

Exemplul 2 — Aplicarea Criteriului 5

Enunț. În patrulaterul convex $MNPQ$ se știe că $MN\parallel QP$ și $MN=QP=6$ cm. Demonstrează că $MNPQ$ este paralelogram și află lungimea laturii $NP$ dacă $MQ=4,5$ cm.

Rezolvare.

Latura $MN$ și latura $QP$ sunt laturi opuse în patrulaterul $MNPQ$ (le desenăm în ordinea $M,N,P,Q$). Din ipoteză, ele sunt și paralele, și congruente ($MN=QP=6$ cm). Sunt exact condițiile Criteriului 5, deci $MNPQ$ este paralelogram.

Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente (proprietate), deci $NP=MQ=4,5$ cm. $■$

Exemplul 3 — Aplicarea Criteriului 3 (unghiuri)

Enunț. În patrulaterul convex $ABCD$ avem $\hat{A}=70°$ și $\hat{C}=70°$, iar $\hat{B}=110°$. Arată că $ABCD$ este paralelogram.

Rezolvare.

Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360°$: $$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°.$$ Înlocuim: $$70°+110°+70°+\hat{D}=360°⟹250°+\hat{D}=360°⟹\hat{D}=110°.$$

Acum comparăm unghiurile opuse: $\hat{A}=\hat{C}=70°$ și $\hat{B}=\hat{D}=110°$. Ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente, deci, conform Criteriului 3, $ABCD$ este paralelogram. $■$

Exemplul 4 — Aplicarea Criteriului 2 prin triunghiuri congruente

Enunț. Fie triunghiul $ABD$. Construim punctul $C$ astfel încât $BC=AD$ și $DC=AB$, iar $C$ este de partea opusă lui $A$ față de dreapta $BD$. Arată că $ABCD$ este paralelogram.

Rezolvare.

Prin construcție, în patrulaterul $ABCD$ avem:

• $AB=DC$;
• $AD=BC$.

Adică laturile opuse sunt congruente două câte două ($AB$ opusă lui $DC$, $AD$ opusă lui $BC$). Conform Criteriului 2, $ABCD$ este paralelogram. $■$

Dacă vrei o justificare completă a criteriului, trasezi diagonala $BD$ și arăți $△ABD\equiv △CDB$ (LLL: $AB=CD$, $AD=CB$, $BD$ comună), de unde rezultă paralelismele — exact demonstrația de la secțiunea 4.

Exemplul 5 — Combinație de criterii într-o configurație

Enunț. Fie paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$ (intersecția diagonalelor). Pe diagonala $AC$ luăm punctele $M$ și $N$ astfel încât $AM=CN$, cu $M$ între $A$ și $O$, iar $N$ între $O$ și $C$. Arată că $MBND$ este paralelogram.

Rezolvare.

• Ipoteză: $ABCD$ paralelogram cu diagonalele intersectate în $O$; $AM=CN$.
• Concluzie: $MBND$ este paralelogram.

Deoarece $ABCD$ este paralelogram, diagonalele lui se înjumătățesc (proprietate cunoscută), deci $OA=OC$ și $OB=OD$.

Vom arăta că diagonalele patrulaterului $MBND$ se înjumătățesc în $O$. Diagonalele lui $MBND$ sunt $MN$ și $BD$.

Pentru $BD$: știm deja $OB=OD$, deci $O$ este mijlocul lui $BD$. ✔

Pentru $MN$: calculăm $OM$ și $ON$. $$OM=OA-AM,ON=OC-CN.$$ Dar $OA=OC$ și $AM=CN$ (ipoteză), deci $OM=ON$. Așadar $O$ este mijlocul lui $MN$. ✔

Diagonalele $MN$ și $BD$ ale patrulaterului $MBND$ se intersectează în $O$, care este mijlocul ambelor. Conform Criteriului 4, $MBND$ este paralelogram. $■$

Exemplul 6 — Justificare cu adevărat/fals

Enunț. Un elev spune: „Dacă un patrulater are două laturi opuse egale și celelalte două laturi opuse paralele, atunci este sigur paralelogram." Are dreptate? Justifică.

Rezolvare.

Afirmația este falsă. Contraexemplul îl dă trapezul isoscel: la un trapez isoscel, laturile neparalele (picioarele) sunt egale, iar bazele sunt paralele. Avem deci o pereche de laturi opuse egale (picioarele) și cealaltă pereche de laturi opuse paralelă (bazele), dar figura nu este paralelogram.

Ca să fie paralelogram prin Criteriul 5, condițiile de paralelism ȘI egalitate trebuie puse pe aceeași pereche de laturi, nu pe perechi diferite. $■$

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; sunt gradate de la ușor la greu. Pentru cele de geometrie, fă întâi un desen clar.

1. Completează: „Criteriile prin care demonstrăm că un patrulater este paralelogram sunt, de fapt, ……… proprietăților paralelogramului."

2. Enunță toate cele cinci criterii de recunoaștere a paralelogramului, folosind un patrulater $ABCD$.

3. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă într-un patrulater diagonalele sunt egale, atunci el este paralelogram."

4. În patrulaterul convex $ABCD$ avem $\hat{A}=55°$, $\hat{B}=125°$, $\hat{C}=55°$. Calculează $\hat{D}$ și stabilește dacă $ABCD$ este paralelogram.

5. Într-un patrulater $EFGH$, diagonalele $EG$ și $FH$ se taie în $O$ cu $OE=OG=3$ cm și $OF=OH=5$ cm. Este $EFGH$ paralelogram? Ce criteriu folosești?

6. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă un patrulater are o pereche de laturi opuse paralele și congruente, atunci este paralelogram."

7. În patrulaterul convex $KLMN$ se știe că $KL=MN=7$ cm și $LM=KN=4$ cm. Arată că $KLMN$ este paralelogram și calculează perimetrul lui.

8. Fie $O$ mijlocul segmentului $PR$. Ducem prin $O$ segmentul $SQ$ astfel încât $O$ să fie mijlocul lui $SQ$. Ce fel de patrulater este $PQRS$? Justifică.

9. În patrulaterul convex $ABCD$ avem $AB\parallel CD$ și $AB=CD=9$ cm, iar $BC=6$ cm. Află lungimea laturii $AD$.

10. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă într-un patrulater unghiurile alăturate $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt suplementare, atunci patrulaterul este paralelogram."

11. În patrulaterul convex $ABCD$, unghiurile satisfac $\hat{A}=2x$, $\hat{C}=x+40°$ și $\hat{A}=\hat{C}$. Află $x$ și arată că, dacă în plus $\hat{B}=\hat{D}$, atunci $ABCD$ este paralelogram.

12. Fie triunghiul $ABC$ și $M$ mijlocul laturii $BC$. Prelungim segmentul $AM$ dincolo de $M$ până în punctul $D$ astfel încât $MD=MA$. Arată că $ABDC$ este paralelogram.

13. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, pe diagonala $BD$ se iau punctele $P$ și $Q$ cu $BP=DQ$, $P$ între $B$ și $O$, $Q$ între $O$ și $D$. Arată că $APCQ$ este paralelogram.

14. Fie patrulaterul convex $ABCD$ în care $AB\parallel CD$. Se știe că triunghiurile $ABD$ și $CDB$ au aceeași arie. Explică de ce rezultă $AB=CD$ și deduce că $ABCD$ este paralelogram. (Indicație: fiindcă $AB\parallel CD$, distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este aceeași peste tot; alege $AB$, respectiv $CD$, drept baze ale celor două triunghiuri.)

15. Construcție. Desenează un segment $AC$ de $8$ cm și marchează mijlocul lui $O$. Prin $O$ trasează un al doilea segment $BD$ de $6$ cm astfel încât $O$ să fie mijlocul lui. Unește $A,B,C,D$ în ordine. Ce patrulater ai obținut? Măsoară $AB$ și $CD$ și verifică egalitatea.

16. În patrulaterul $ABCD$, $\hat{A}=3x-10°$ și $\hat{C}=2x+30°$ sunt unghiuri opuse. Pentru ce valoare a lui $x$ ar putea $ABCD$ să fie paralelogram (din condiția $\hat{A}=\hat{C}$)? Cât măsoară atunci $\hat{A}$?

17. Adevărat sau fals (justifică): „Un patrulater în care o diagonală îl împarte în două triunghiuri congruente este obligatoriu paralelogram."

18. Problemă de sinteză. În patrulaterul convex $ABCD$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$. Se știe că $AN\parallel MC$ și $AN=MC$. Arată că $AMCN$ este paralelogram, apoi deduce că $AM\parallel NC$, adică $AB\parallel CD$.

Răspunsuri și explicații

1. Reciprocele. Fiecare criteriu este reciproca unei proprietăți a paralelogramului.

2. Criteriile pentru $ABCD$: (1) $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$; (2) $AB=CD$ și $BC=AD$; (3) $\hat{A}=\hat{C}$ și $\hat{B}=\hat{D}$; (4) diagonalele se înjumătățesc ($OA=OC$, $OB=OD$); (5) o pereche de laturi opuse paralelă și congruentă (ex. $AB\parallel CD$ și $AB=CD$).

3. Fals. Diagonalele egale nu garantează paralelogram (contraexemplu: trapezul isoscel are diagonale egale, dar nu e paralelogram). Diagonalele egale, împreună cu proprietatea de a se înjumătăți, ar da un dreptunghi — dar simpla egalitate nu e suficientă.

4. $\hat{D}=360°-(55°+125°+55°)=360°-235°=125°$. Verificăm unghiurile opuse: $\hat{A}=\hat{C}=55°$ și $\hat{B}=\hat{D}=125°$. Da, $ABCD$ este paralelogram (Criteriul 3).

5. Da, este paralelogram. Diagonalele $EG$ și $FH$ se intersectează în $O$, mijlocul ambelor ($OE=OG$ și $OF=OH$). Se aplică Criteriul 4 (diagonalele se înjumătățesc).

6. Adevărat. Este chiar Criteriul 5: o pereche de laturi opuse simultan paralele și congruente asigură că patrulaterul e paralelogram.

7. $KL$ este opusă lui $MN$ ($=7$ cm) și $LM$ opusă lui $KN$ ($=4$ cm), deci laturile opuse sunt congruente → Criteriul 2, paralelogram. Perimetrul: $P=2(7+4)=22$ cm.

8. $PQRS$ este paralelogram. Diagonalele lui sunt $PR$ și $QS$, iar $O$ este mijlocul ambelor, deci se înjumătățesc (Criteriul 4).

9. $AB\parallel CD$ și $AB=CD=9$ cm → Criteriul 5 → paralelogram. Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci $AD=BC=6$ cm.

10. Fals. Faptul că $\hat{A}+\hat{B}=180°$ arată doar că $AD\parallel BC$ (o singură pereche de laturi paralele). Asta poate fi un trapez, nu neapărat paralelogram. Ar mai fi nevoie de o a doua condiție (ex. și $\hat{B}+\hat{C}=180°$).

11. Din $\hat{A}=\hat{C}$: $2x=x+40°⟹x=40°$. Atunci $\hat{A}=\hat{C}=80°$. Dacă în plus $\hat{B}=\hat{D}$, ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente → Criteriul 3 → paralelogram. (Într-adevăr, $\hat{B}+\hat{D}=360°-160°=200°$, deci $\hat{B}=\hat{D}=100°$.)

12. Diagonalele patrulaterului $ABDC$ sunt $AD$ și $BC$. Ele se taie în $M$. Din ipoteză, $M$ este mijlocul lui $BC$ ($MB=MC$) și mijlocul lui $AD$ ($MA=MD$). Diagonalele se înjumătățesc → Criteriul 4 → $ABDC$ este paralelogram. (Aceasta e, de altfel, ideea din spatele liniei mijlocii în triunghi.)

13. Diagonalele lui $APCQ$ sunt $AC$ și $PQ$, intersectate în $O$. Deoarece $ABCD$ e paralelogram, $OA=OC$ și $OB=OD$. Calculăm $OP=OB-BP$ și $OQ=OD-DQ$; cum $OB=OD$ și $BP=DQ$, rezultă $OP=OQ$, deci $O$ e mijlocul lui $PQ$. De asemenea $O$ e mijlocul lui $AC$. Diagonalele se înjumătățesc → Criteriul 4 → $APCQ$ paralelogram.

14. Fiindcă $AB\parallel CD$, distanța $h$ dintre dreptele $AB$ și $CD$ este constantă. În triunghiul $ABD$, alegem baza $AB$; înălțimea din $D$ este chiar $h$ (căci $D$ se află pe dreapta $CD$), deci aria este $\frac{AB\cdot h}{2}$. La fel, în triunghiul $CDB$, cu baza $CD$, înălțimea din $B$ este tot $h$, deci aria este $\frac{CD\cdot h}{2}$. Din egalitatea ariilor rezultă $\frac{AB\cdot h}{2}=\frac{CD\cdot h}{2}$, adică $AB=CD$. Atunci $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ → Criteriul 5 → paralelogram.

15. Se obține un paralelogram (diagonalele $AC$ și $BD$ se înjumătățesc în $O$). La măsurare vei constata $AB=CD$, confirmând proprietatea laturilor opuse.

16. Din $\hat{A}=\hat{C}$: $3x-10°=2x+30°⟹x=40°$. Atunci $\hat{A}=3\cdot 40°-10°=110°$. (Egalitatea unghiurilor opuse e o condiție necesară; pentru paralelogram trebuie și $\hat{B}=\hat{D}$.)

17. Fals. O diagonală poate împărți patrulaterul în două triunghiuri congruente și în alte configurații (de pildă un „zmeu"/deltoid, unde diagonala de simetrie dă două triunghiuri congruente, dar figura nu e paralelogram). Congruența trebuie să fie de tipul care produce ambele perechi de laturi opuse egale (triunghiuri congruente prin LLL cu laturile așezate „încrucișat"), nu orice congruență.

18. $AN\parallel MC$ și $AN=MC$ → Criteriul 5 → $AMCN$ (luat în ordinea $A,M,C,N$) este paralelogram. Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci $AM\parallel NC$. Cum $M\in AB$ și $N\in CD$, dreptele $AM$ și $NC$ sunt chiar $AB$ și $DC$, deci $AB\parallel CD$.

De reținut

• Criteriile sunt reciprocele proprietăților paralelogramului: pornim de la o informație și demonstrăm că avem paralelogram.
• Cele cinci condiții suficiente pentru un patrulater convex $ABCD$:
  1. laturi opuse paralele (definiția);
  2. laturi opuse congruente;
  3. unghiuri opuse congruente;
  4. diagonalele se înjumătățesc;
  5. o pereche de laturi opuse paralelă și congruentă.
• Instrumentul de demonstrație preferat: trasezi o diagonală și arăți triunghiuri congruente (LUL, ULU, LLL).
• La Criteriul 5, paralelismul și congruența trebuie să fie pe aceeași pereche de laturi.
• Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360°$ — util mai ales la Criteriul 3.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre proprietate și criteriu. „Paralelogramul are laturile opuse egale" (proprietate) nu este același lucru cu „dacă laturile opuse sunt egale, e paralelogram" (criteriu). Ambele sunt adevărate aici, dar direcția logică e diferită — verifică mereu care este ipoteza și care concluzia.
• Capcana Criteriului 5 pe perechi diferite. A avea o pereche de laturi opuse egale ȘI cealaltă pereche paralelă nu dă paralelogram (poate fi trapez isoscel). Paralelismul și egalitatea trebuie puse pe aceeași pereche de laturi.
• Diagonale egale ≠ paralelogram. Egalitatea diagonalelor nu e criteriu (trapezul isoscel are diagonale egale). Criteriul cu diagonale cere ca ele să se înjumătățească, nu să fie egale.
• O singură pereche de condiții. O singură pereche de laturi paralele, sau o singură pereche de unghiuri suplementare alăturate, dă doar trapez. Pentru paralelogram ai nevoie ca fiecare criteriu să fie îndeplinit complet (ambele perechi, sau condiția dublă „paralel și congruent").

Aplică acasă

1. Rama de tablou (verificarea dulgherului). Ia patru bețe/creioane: două de aceeași lungime și alte două tot de aceeași lungime între ele (dar diferite de prima pereche). Așază-le astfel încât laturile egale să fie opuse și unește capetele. Împinge ușor colțurile: forma se „strâmbă", dar rămâne mereu paralelogram, pentru că laturile opuse rămân congruente (Criteriul 2). Fotografiază două poziții diferite și explică de ce ambele sunt paralelograme.

2. Testul cu diagonalele. Pe o coală, desenează două segmente care se intersectează exact la mijlocul fiecăruia (folosește rigla și marchează mijloacele). Unește capetele în ordine. Măsoară laturile opuse: ar trebui să fie egale. Ai construit un paralelogram folosind Criteriul 4. Încearcă apoi să încalci regula: desenează diagonale care nu se taie la mijloc și observă că patrulaterul obținut nu mai are laturile opuse egale.

3. Vânătoare de paralelograme. Caută în casă sau afară trei obiecte care par paralelograme (gard din zăbrele oblice, mecanism de foarfecă tip „nürnberg", suport de laptop pliabil). Pentru fiecare, scrie ce criteriu ai folosi ca să demonstrezi că e paralelogram și de ce.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este despre logica reciprocei, o abilitate care îi va folosi elevului la toată geometria de gimnaziu și liceu. Cel mai important lucru pe care îl puteți urmări nu este memorarea celor cinci criterii, ci înțelegerea că un criteriu merge invers față de o proprietate.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Care e diferența dintre a spune «paralelogramul are diagonalele care se înjumătățesc» și «dacă diagonalele se înjumătățesc, atunci e paralelogram»?" (Testează înțelegerea direcției logice.)
• „Îmi dai un exemplu de patrulater care are o pereche de laturi paralele, dar nu e paralelogram?" (Răspuns așteptat: trapezul.)
• „De ce nu e suficient să știm doar că două laturi opuse sunt egale?" (Trebuie și a doua pereche, sau paralelism pe aceeași pereche.)

Semne că elevul a înțeles: alege singur criteriul potrivit la o problemă cu „mijloc de segment" (merge spre diagonale), respectiv la una cu „paralel și egal" (merge spre Criteriul 5); și poate produce contraexemplul cu trapezul când i se dă o afirmație falsă. Dacă elevul confundă criteriile, reveniți la desen: trasarea diagonalei și marcarea triunghiurilor congruente clarifică aproape orice blocaj.

Întrebări frecvente

Câte condiții există ca un patrulater să fie paralelogram? Sunt cinci criterii uzuale la clasa a VII-a: laturi opuse paralele (definiția), laturi opuse congruente, unghiuri opuse congruente, diagonale care se înjumătățesc și o pereche de laturi opuse simultan paralelă și congruentă. Oricare dintre ele, singur, este suficient.

Care e diferența dintre proprietățile și criteriile paralelogramului? O proprietate pleacă de la „este paralelogram" și obține o consecință; un criteriu pleacă de la o informație și demonstrează că „este paralelogram". Criteriile sunt exact reciprocele proprietăților învățate în lecțiile anterioare.

Cum demonstrez cel mai simplu că un patrulater este paralelogram? Alege criteriul care se potrivește datelor. Dacă apar mijloace de segmente, folosește criteriul diagonalelor; dacă ai o pereche de laturi paralelă și egală, folosește Criteriul 5; dacă poți dovedi triunghiuri congruente, obții laturi egale și aplici criteriul laturilor.

Este suficient ca două laturi să fie paralele pentru a fi paralelogram? Nu. O singură pereche de laturi paralele dă doar un trapez. Ai nevoie ca ambele perechi de laturi opuse să fie paralele, sau ca aceeași pereche să fie și paralelă, și congruentă.

Dacă diagonalele sunt egale, patrulaterul este paralelogram? Nu neapărat. Trapezul isoscel are diagonalele egale, dar nu este paralelogram. Criteriul cu diagonale cere ca ele să se înjumătățească (să se taie în mijlocul fiecăreia), nu să fie egale.

De ce trapezul isoscel nu e paralelogram, deși are laturi egale și baze paralele? Pentru că egalitatea și paralelismul cad pe perechi diferite de laturi: picioarele sunt egale, dar bazele (cealaltă pereche) sunt paralele. Criteriul 5 cere ca aceeași pereche de laturi opuse să fie și paralelă, și congruentă.

Ce criteriu folosesc când problema îmi dă mijlocul unui segment? Cel mai probabil criteriul diagonalelor care se înjumătățesc (Criteriul 4). Dacă cele două segmente din problemă au același mijloc, ele sunt diagonalele unui paralelogram.

Trebuie să știu demonstrațiile criteriilor pe de rost? Este ideal să înțelegi ideea fiecărei demonstrații (trasezi o diagonală, arăți triunghiuri congruente, deduci paralelisme), pentru că exact acest tipar îl vei folosi la problemele de demonstrație. Enunțurile criteriilor trebuie știute pentru a le putea aplica rapid.