Cum aflu unghiul a două drepte în spațiu?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Unghiul a două drepte

Dacă dreptele se taie, iei unghiul ascuțit dintre cele patru formate la intersecție; când unul iese obtuz, răspunsul este suplementul lui. Dacă dreptele nu se ating și nici paralele nu sunt, muți una dintre ele: printr-un punct de pe cealaltă duci o paralelă la ea și măsori unghiul dintre dreptele obținute. Rezultatul nu depinde de punctul ales și rămâne mereu între $0^{\circ}$ și $9 0^{\circ}$ .

În spațiu, unghiul a două drepte are mereu o măsură între $0°$ și $90°$ . La drepte concurente, alegi cel mai mic dintre cele patru unghiuri formate (dacă unul e obtuz, iei suplementul lui, care e ascuțit).

La drepte necoplanare (nu se ating, dar nici paralele nu sunt) folosești metoda paralelelor: alegi un punct — de obicei chiar pe una dintre drepte — și duci prin el o paralelă la cealaltă dreaptă. Obții drepte concurente, iar unghiul lor este, prin definiție, unghiul dreptelor inițiale. Nu depinde de punctul ales.

Exemplu: pe cub, caut $∢ (A B, A^{'} C^{'})$ . Cum $A^{'} C^{'} ∥ A C$ , iar $A C$ trece prin $A$ (punct de pe $A B$ ), mut problema în triunghiul $A B C$ — dreptunghic isoscel — deci $∢ (A B, A^{'} C^{'}) = B A C = 45°$ .

Capcană: două drepte pot fi perpendiculare fără să se intersecteze — pe cub, $A B ⊥ C C^{'}$ , deși nu se ating (perpendiculare necoplanare).

De reținut

unghiul a două drepte se ia mereu în $[0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$
la drepte necoplanare se duce o paralelă printr-un punct convenabil
perpendicularitatea în spațiu nu cere ca dreptele să se atingă

Greșeala tipică

Rezultatul este lăsat obtuz, de exemplu $12 0^{\circ}$ , deși unghiul a două drepte nu trece niciodată de $9 0^{\circ}$ . Când iese așa, se scade din $18 0^{\circ}$ și se răspunde cu $6 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Dreptele $a$ și $b$ se intersectează, iar unul dintre unghiurile formate are măsura $106°$ . Cât este unghiul dreptelor $a$ și $b$ ?
- a) $106°$
- b) $74°$
- c) $53°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $74°$

La intersecție se formează două unghiuri de $106°$ (opuse la vârf) și două suplementare lor, de $180° - 106° = 74°$ . Unghiul dreptelor este cel mai mic dintre ele, deci $74°$ .
Pe cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , ce măsură are unghiul dintre dreptele $B C$ și $B^{'} D^{'}$ ?
- a) $30°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45°$

$B^{'} D^{'} ∥ B D$ (diagonalele bazelor sunt paralele), deci $∢ (B C, B^{'} D^{'}) = ∢ (B C, B D) = D B C$ . În pătratul $A B C D$ , diagonala $B D$ face cu latura $B C$ un unghi de $45°$ .
Dreptele $a$ și $b$ se intersectează, iar unul dintre unghiurile formate are măsura $118°$ . Cât este unghiul dreptelor $a$ și $b$ ?
- a) $118°$
- b) $32°$
- c) $62°$
- d) $82°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $62°$

La intersecție se formează unghiuri de $118°$ și suplementarele lor, de $180° - 118° = 62°$ . Unghiul dreptelor este cel mai mic dintre ele, deci $62°$ .

Întrebări conexe

Ce unghi fac două drepte paralele?

Zero grade. Dreptele paralele au aceeași direcție, deci între ele nu se deschide niciun unghi. La fel se răspunde și pentru două drepte care coincid. Valoarea $0^{\circ}$ este capătul de jos al intervalului în care se măsoară unghiul a două drepte.

Cum se numesc dreptele care nu se taie și nu sunt paralele?

Necoplanare, adică drepte care nu încap în același plan; li se mai spune și strâmbe. Într-un cub, muchia de jos a unei fețe și muchia verticală de pe fața opusă sunt un astfel de exemplu. Cu toate acestea, unghiul dintre ele se poate calcula.

Cum calculez tangenta unghiului a două drepte pe un paralelipiped?

Muți una dintre drepte pe o paralelă, ca să obții un triunghi dreptunghic cu laturi cunoscute din dimensiunile corpului. Apoi împarți cateta opusă la cea alăturată. Pe un paralelipiped cu muchiile bazei de $9$ și $12$ , unghiul dintre o latură și diagonala bazei are tangenta $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ .

Ce înseamnă că două drepte sunt perpendiculare în spațiu?

Că unghiul dintre ele are $9 0^{\circ}$ , indiferent dacă se ating sau nu. Pe un cub, muchia de jos a unei fețe și muchia verticală dintr-un colț îndepărtat sunt perpendiculare, deși nu au niciun punct comun. În plan, perpendicularitatea cere obligatoriu intersecție.

Prin ce punct e mai simplu să duc paralela ajutătoare?

Printr-un punct așezat chiar pe una dintre cele două drepte, de preferință un vârf al corpului. Așa muți o singură dreaptă, iar unghiul apare într-un triunghi ale cărui laturi se citesc direct de pe figură. Orice alt punct dă aceeași măsură, dar cu mai mult desen.

Ce unghi fac două muchii opuse ale unui tetraedru regulat?

Exact $9 0^{\circ}$ . Muchiile opuse ale tetraedrului regulat nu se ating, dar sunt perpendiculare: se poate arăta ducând paralele prin mijloacele celorlalte muchii, care formează un pătrat. Este un exemplu curat de perpendicularitate între drepte necoplanare.

Oamenii mai întreabă și: unghiul a două drepte în spațiu · unghiul dreptelor necoplanare · metoda paralelelor la unghiuri · cum aflu unghiul dintre două muchii · drepte perpendiculare care nu se ating