Bac M2 2010, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2010 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați $x\in \mathbb{Z}$ pentru care $-1\le \frac{x+1}{3}\le 1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați funcția de gradul al doilea al cărei grafic conține punctele $A(0,0)$, $B(2,2)$, $C(-1,2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x+3)-{\log }_{2}x=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un element $n$ din mulțimea $\{1,2,3,4\}$ acesta să verifice inegalitatea $2^n\ge n^2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(1,-1)$, $O(0,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $AB=6$ și $m(\sphericalangle ACB)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$, unde $A^{-1}$ este inversa matricei $A$.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația $A\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right)$, $X\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Fie polinomul $f\in {\mathbb{Z}}_3[X]$, $f=X^3+\hat{2}{X}^2$ și mulțimea $G=\left\{g=a{X}^3+b{X}^2+cX+d|a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}_3\right\}$.

a) (5 puncte) Calculați $f\left(\hat{1}\right)$.

b) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul elementelor mulțimii $G$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{1+x}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{x}{x+1}$, oricare ar fi $x\in [0,1]$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe $[0,1]$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{2}{e}\le \frac{1}{f(x)}\le 1$, oricare ar fi $x\in [0,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^2+3},& \text{pentru }x\ge 1\\ 2x,& \text{pentru }x<1\end{array}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{\sqrt{6}}x\cdot f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2010 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+1+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — dublă inegalitate, soluții întregi.

Se înmulțește dubla inegalitate cu $3>0$, fără schimbarea sensului: $$-1\le \frac{x+1}{3}\le 1\Rightarrow -3\le x+1\le 3\text{(2 p)}.$$ Scăzând $1$ din toți membrii: $$-4\le x\le 2\Rightarrow x\in [-4,2]\text{(2 p)}.$$ Dintre acestea se păstrează numerele întregi: $$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow \mathbf{x}\in \{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}\text{(1 p)}.$$

(Control la capete: pentru $x=-4$, $\frac{-3}{3}=-1$; pentru $x=2$, $\frac{3}{3}=1$ — ambele capete sunt incluse, pentru că inegalitățile sunt nestricte. Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar fracția cu $3$, nu și capetele, și iese $-1\le x+1\le 1$; sau se lasă răspunsul ca interval, deși se cer numere întregi.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea prin trei puncte.

Funcția căutată are forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$; fiecare punct al graficului dă o ecuație: $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=a{x}^2+bx+c:\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ f(2)=2\\ f(-1)=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=0\\ 4a+2b+c=2\\ a-b+c=2\end{array}\text{(3 p)}.$$ Cu $c=0$: $2a+b=1$ și $a-b=2$, de unde $3a=3$: $$\{\begin{array}{l}c=0\\ a=1\\ b=-1\end{array}\Rightarrow \mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^2-\mathbf{x}\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(0)=0$, $f(2)=4-2=2$, $f(-1)=1+1=2$. Unde se greșește de obicei: la $f(-1)$ se scrie $-a-b+c$, uitând că $(-1{)}^2=1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii există doar pentru argumente strict pozitive: $$\text{condiții: }\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x>0\end{array}\Rightarrow x\in (0,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Diferența de logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului: $${\log }_2\frac{x+3}{x}=2\text{(2 p)}.$$ Atunci $\frac{x+3}{x}=2^2=4$, adică $x+3=4x$, deci $$\mathbf{x}=1\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Verificare: ${\log }_{2}4-{\log }_{2}1=2-0=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2(x+3)-{\log }_{2}x={\log }_{2}3$, „simplificând" $x$; sau $\frac{x+3}{x}=2$, uitând că logaritmul egal cu $2$ înseamnă argumentul egal cu $2^2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Formula probabilității clasice: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Se alege un element din $\{1,2,3,4\}$: $$\text{cazurile posibile sunt }4\text{(1 p)}.$$ Se verifică fiecare element: $2^1=2\ge 1$, $2^2=4\ge 4$, $2^3=8<9$, $2^4=16\ge 16$; convin $1$, $2$ și $4$: $$\text{cazurile favorabile sunt }3\text{(2 p)},$$ $$p=\frac{3}{4}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia inegalitatea strictă și se elimină $n=2$ și $n=4$, unde are loc egalitatea — semnul este $\ge$; sau se presupune că inegalitatea $2^n\ge n^2$ „devine adevărată de la un loc încolo" și se verifică doar $n=4$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, relație vectorială.

În reper, $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}$ și $\overrightarrow{OB}=\vec{i}-\vec{j}$, deci $$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=4\vec{i}+\vec{i}-\vec{j}=5\vec{i}-\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Cum $\overrightarrow{OC}=x_C\vec{i}+y_C\vec{j}$, coordonatele lui $C$ sunt $$\mathbf{C}(5,-1)\text{(2 p)}.$$

(Control pe coordonate: $2\cdot (2,0)+(1,-1)=(5,-1)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ și vectorul $\overrightarrow{OB}$, și iese $(6,-2)$; sau se adună doar $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$, și iese $(3,-1)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, raza cercului circumscris.

Din teorema sinusurilor, latura $AB$ se opune unghiului $C$: $$\text{din teorema sinusurilor }\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin C}\text{(3 p)}.$$ Cu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$R=\frac{6}{2\cdot \frac{1}{2}}=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din $2R$ și iese $R=12$; sau se folosește $\cos 30^{\circ }$ în loc de $\sin 30^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea, inversa și o ecuație matriceală.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei: $$\det (A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\text{(3 p)}.$$ Matricea este triunghiulară (deasupra diagonalei principale are numai zerouri), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală: $$\text{calculul determinantului: }\det (A)=1\text{(2 p)}.$$

(Cu regula lui Sarrus: singurul produs nenul este $1\cdot 1\cdot 1$ de pe diagonala principală. Unde se greșește de obicei: se include elementul $1$ din colțul de jos într-un produs de pe diagonala secundară, deși acel produs conține un zero.)

b) (5 p) Se înmulțește $A$ cu matricea propusă, în ambele ordini: $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Deci $${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$

(Baremul oficial scrie „sau" între cele două produse, dar le punctează pe fiecare separat; le-am păstrat pe amândouă. Pentru matrice pătratice, oricare dintre cele două produse egal cu $I_3$ ajunge ca să arate că matricea este inversa. Unde se greșește de obicei: se inversează doar semnul elementului din colț fără nicio verificare — răspunsul „da" trebuie justificat printr-un produs.)

c) (5 p) Matricea $A$ este inversabilă ($\det (A)=1\ne 0$), deci se înmulțește ecuația la stânga cu $A^{-1}$: $$\text{prin ıˆnmulțire cu }{A}^{-1}\text{ la staˆnga se obține }X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Control: $A\cdot X$ are pe ultima linie $1\cdot (1,1,1)+1\cdot (2,2,2)=(3,3,3)$, iar primele două linii rămân $(1,1,1)$ și $(2,2,2)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește la dreapta, $X=B\cdot A^{-1}$ — înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar din $A\cdot X=B$ rezultă $X=A^{-1}\cdot B$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=\hat{1}$: $$f\left(\hat{1}\right)={\hat{1}}^3+\hat{2}\cdot {\hat{1}}^2=\text{(2 p)}$$ $$=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}\text{(3 p)}.$$

(În ${\mathbb{Z}}_3$, $1+2=3$ are restul $0$ la împărțirea prin $3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}$ — în ${\mathbb{Z}}_3$ nu există $\hat{3}$ ca element distinct, el este $\hat{0}$.)

b) (5 p) Se dă factor comun $X^2$: $$f=X^2\left(X+\hat{2}\right)\text{(2 p)}.$$ Factorul $X^2$ se anulează în $\hat{0}$ (de două ori), iar $X+\hat{2}$ se anulează în $-\hat{2}=\hat{1}$: $$\text{ra˘da˘cinile lui }f\text{ sunt }\hat{0},\hat{0}\text{ și }\hat{1}\text{(3 p)}.$$

(Control, element cu element: $f\left(\hat{0}\right)=\hat{0}$, $f\left(\hat{1}\right)=\hat{0}$ (subpunctul a), $f\left(\hat{2}\right)={\hat{2}}^3+\hat{2}\cdot {\hat{2}}^2=\hat{2}+\hat{2}=\hat{1}\ne \hat{0}$ (pentru că $8$ are restul $2$ la împărțirea prin $3$). Ca mulțime, rădăcinile sunt $\hat{0}$ și $\hat{1}$; $\hat{0}$ este rădăcină dublă. Unde se greșește de obicei: din $X+\hat{2}=\hat{0}$ se scrie $X=-\hat{2}$ și se trece $\hat{2}$ la rădăcini — în ${\mathbb{Z}}_3$, $-\hat{2}=\hat{1}$.)

c) (5 p) Un element al lui $G$ este determinat de alegerea coeficienților $a,b,c,d$: $${\mathbb{Z}}_3=\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\right\}\Rightarrow a,b,c,d\text{ pot lua caˆte trei valori fiecare}\text{(3 p)}.$$ Alegerile sunt independente, deci se înmulțesc: $$\text{mulțimea }G\text{ are }{3}^4=81\text{ de elemente}\text{(2 p)}.$$

(Polinoame diferite înseamnă coeficienți diferiți, deci fiecare dintre cele $81$ de alegeri dă alt element al lui $G$; sunt incluse și cele cu $a=\hat{0}$, de grad mai mic. Unde se greșește de obicei: se adună alegerile, $3+3+3+3=12$, în loc să se înmulțească; sau se numără $4^3=64$, cu baza și exponentul inversate.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie și o dublă inegalitate.

a) (5 p) Cu regula câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x{)}^2}=\frac{x\cdot e^x}{(x+1{)}^2}\text{(3 p)},$$ iar împărțind la $f(x)=\frac{e^x}{1+x}>0$: $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{x}{x+1},\forall x\in [0,1]\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $\frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}\cdot \frac{1+x}{e^x}=\frac{x}{x+1}$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{e^x}{1+x}\right)}^{\prime }=\frac{e^x}{1}$, derivând separat numărătorul și numitorul.)

b) (5 p) Pe $[0,1]$, $x\ge 0$, $e^x>0$ și $(x+1{)}^2>0$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x\cdot e^x}{(x+1{)}^2}\ge 0,\forall x\in [0,1]\text{(2 p)},$$ deci $$f\text{ este cresca˘toare pe }[0,1]\text{(3 p)}.$$

(Derivata se anulează doar în $x=0$, deci funcția este chiar strict crescătoare. Unde se greșește de obicei: se afirmă monotonia din $f(0)=1<f(1)=\frac{e}{2}$ — două valori nu arată că funcția crește pe tot intervalul.)

c) (5 p) Funcția este crescătoare, deci pentru $x\in [0,1]$ valorile ei sunt între $f(0)$ și $f(1)$: $$0\le x\le 1\Rightarrow f(0)\le f(x)\le f(1)\Rightarrow \text{(2 p)}$$ Cu $f(0)=1$ și $f(1)=\frac{e}{2}$, iar toate valorile sunt pozitive, trecând la inverse sensul inegalităților se schimbă: $$1\le f(x)\le \frac{e}{2}\Rightarrow \frac{2}{e}\le \frac{1}{f(x)}\le 1,\forall x\in [0,1]\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{2}{e}\approx 0,7358$, iar $\frac{1}{f(0,5)}=\frac{1,5}{e^{0,5}}\approx 0,9098$, între cele două margini. Unde se greșește de obicei: se păstrează sensul inegalităților la trecerea la inverse și iese $1\le \frac{1}{f(x)}\le \frac{2}{e}$, adică o dublă inegalitate imposibilă, pentru că $\frac{2}{e}<1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcție pe ramuri: primitive, volum și integrală.

a) (5 p) Pe fiecare ramură funcția este continuă (un radical dintr-o expresie pozitivă, respectiv o funcție liniară); rămâne punctul de racord $x=1$: $$l_s(1)=l_d(1)=f(1)=2\Rightarrow f\text{ continua˘ ıˆn }1\text{(3 p)},$$ pentru că $\underset{x\nearrow 1}{\lim }2x=2$ și $\sqrt{1+3}=2$. Atunci $$f\text{ continua˘ pe }\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ admite primitive pe }\mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează limita din dreapta cu ramura $2x$ — pentru $x>1$ se folosește ramura $\sqrt{x^2+3}$; sau se afirmă existența primitivelor fără să se verifice continuitatea în $1$.)

b) (5 p) Pe $[1,2]$, $g(x)=\sqrt{x^2+3}$, deci $g^2(x)=x^2+3$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\text{(1 p)}$$ $$=\pi {\int }_1^2\left(x^2+3\right)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+3x\right){|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=\pi \left(\frac{8}{3}+6-\frac{1}{3}-3\right)=\frac{16}{3}\pi \text{(1 p)}.$$

(În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul și se integrează radicalul; sau se folosește ramura $2x$, deși pe $[1,2]$ funcția este $\sqrt{x^2+3}$.)

c) (5 p) Pe $\left[1,\sqrt{6}\right]$, $x\ge 1$, deci $f(x)=\sqrt{x^2+3}$: $${\int }_1^{\sqrt{6}}x\sqrt{x^2+3}dx=\text{(1 p)}$$ Cu schimbarea de variabilă $t=x^2+3$, $dt=2xdx$; pentru $x=1$, $t=4$, iar pentru $x=\sqrt{6}$, $t=9$: $$=\frac{1}{2}{\int }_4^9\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}{|}_4^9=\frac{1}{3}\left(27-8\right)=\frac{19}{3}\text{(4 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{19}{3}\approx 6,3333$, iar integrala calculată numeric dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ din $dt=2xdx$ și iese $\frac{38}{3}$; sau se păstrează limitele $1$ și $\sqrt{6}$ după schimbarea de variabilă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea august-septembrie 2010 a examenului de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii, și — în 2010 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Inecuații: o dublă inegalitate cu fracție, rezolvată în $\mathbb{Z}$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: determinarea coeficienților din trei puncte ale graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: condiții de existență și diferența de logaritmi — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor favorabile pentru inegalitatea $2^n\ge n^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coordonatele unui punct dat printr-o relație vectorială — clasa a IX-a și a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, verificarea inversei și ecuația $A\cdot X=B$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame peste ${\mathbb{Z}}_3$: valoarea într-un punct, rădăcini și numărarea polinoamelor — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, monotonia și o dublă inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: existența primitivelor unei funcții continue, volumul unui corp de rotație și schimbarea de variabilă — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2010. Subiectul I are șase cerințe scurte, dintre care două cer atenție la cuvinte: la cerința 1 soluțiile sunt numere întregi, nu un interval, iar la cerința 4 inegalitatea $2^n\ge n^2$ trebuie verificată pe fiecare element, pentru că $n=3$ este singurul care o strică. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al treilea a cărei inversă este dată și trebuie doar verificată, apoi folosită la o ecuație matriceală, și un polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$, unde totul se calculează cu resturi la împărțirea prin $3$ ($\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$). Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata lui $\frac{e^x}{1+x}$, monotonia și o dublă inegalitate care vine direct din monotonie, iar la problema 2 o funcție definită pe ramuri: continuitatea în punctul de racord (de unde existența primitivelor), un volum de rotație și o integrală cu radical rezolvată prin schimbarea de variabilă $t=x^2+3$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame (aici cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, elemente din ${\mathbb{Z}}_3$, $\frac{16\pi }{3}$ și $\frac{19}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, răspunsul lăsat ca interval, deși se cer numere întregi; la cerința 3, soluția dată fără condițiile de existență; la problema 8, calculele din ${\mathbb{Z}}_3$ scrise fără căciulă, ca și cum ar fi numere obișnuite; la problema 10.a), existența primitivelor afirmată fără continuitatea în punctul $1$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Inecuații: o dublă inegalitate se înmulțește termen cu termen cu un număr pozitiv fără să-și schimbe sensul. Logaritmi: ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$, cu $u,v>0$; ${\log }_{a}w=k⟺w=a^k$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Vectori în reper: $\overrightarrow{OA}=x_A\vec{i}+y_A\vec{j}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Matrice: $B$ este inversa lui $A$ dacă $A\cdot B=I_3$ (pentru matrice pătratice ajunge un singur produs); ecuația $A\cdot X=B$ se rezolvă prin înmulțire la stânga cu $A^{-1}$: $X=A^{-1}\cdot B$.
• ${\mathbb{Z}}_3$: ${\mathbb{Z}}_3=\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\right\}$, cu $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$ și $-\hat{2}=\hat{1}$; un polinom $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ cu $a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}_3$ se alege în $3^4$ feluri.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; o funcție cu derivata pozitivă pe un interval este crescătoare pe acel interval.
• Integrale: o funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval; $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; $\int \sqrt{t}dt=\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea căutată la cerința $2$, polinomul $f=X^3+\hat{2}{X}^2$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{e^x}{1+x}$ de la cerința $9$ și funcția definită pe ramuri de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este un punct la cerințele $2$ și $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice la cerința $7$; tot la cerința $7$, $X$ este matricea necunoscută, iar la cerința $8$, $X$ este nedeterminata polinomului.
• La cerința $8$, căciula arată clasa de resturi: $\hat{2}$ este restul $2$ la împărțirea prin $3$, iar $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. La cerința $10$, subpunctul b), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".