Bac M2 2010, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2010 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați ${\log }_2\frac{1}{8}+\sqrt[3]{27}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2-3^{x^2-1}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră vectorii $\overrightarrow{v_1}=2\vec{i}-\vec{j}$ și $\overrightarrow{v_2}=\vec{i}+3\vec{j}$. Determinați coordonatele vectorului $\vec{w}=2\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Un triunghi dreptunghic are catetele $AB=3$, $AC=4$. Determinați lungimea înălțimii duse din $A$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $A^2-A$.

b) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A$.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2010& 2010\\ 2009& 2010\end{array}\right)$, $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinoamele $f,g\in {\mathbb{Z}}_3[X]$, $f=X^2+X$, $g=X^2+\hat{2}X+a$, cu $a\in {\mathbb{Z}}_3$.

a) (5 puncte) Calculați $f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)$.

b) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{2}\right)=g\left(\hat{0}\right)+g\left(\hat{1}\right)+g\left(\hat{2}\right)$, pentru oricare $a\in {\mathbb{Z}}_3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\cdot e^x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $[-2,0]$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $0\le f(x)+f\left(x^2\right)\le \frac{e^2+1}{e}$, oricare ar fi $x\in [-1,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx$.

b) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{e}f(x)\cdot \ln xdx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2010 are, la multe cerințe, câte trei rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$), iar la volumul de la cerința $10$ chiar patru; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritm și radical de ordinul al treilea.

$\frac{1}{8}=2^{-3}$, deci $${\log }_2\frac{1}{8}={\log }_2{2}^{-3}=-3\text{(2 p)}.$$ $27=3^3$, deci $$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $${\log }_2\frac{1}{8}+\sqrt[3]{27}=-3+3=0\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2\frac{1}{8}=3$, uitând că logaritmul unui număr subunitar în bază supraunitară este negativ; sau $\sqrt[3]{27}=9$, confundând cu $\sqrt{81}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — vârful parabolei.

Cu $a=1$, $b=-2$, $c=3$: $$x_V=-\frac{b}{2a}=1\text{(2 p)},$$ iar $\Delta =b^2-4ac=4-12=-8$, deci $$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=2\text{(2 p)}.$$ Vârful parabolei este $\mathbf{V}(1,2)$ (1 p).

(Control: $f(1)=1-2+3=2$; ordonata vârfului este chiar valoarea funcției în abscisa vârfului. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_V=\frac{b}{2a}=-1$, fără minus; sau $y_V=\frac{\Delta }{4a}=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se izolează puterea: $$3^{x^2-1}=1\text{(1 p)}.$$ Cum $1=3^0$, iar funcția exponențială este injectivă: $$x^2-1=0\text{(2 p)},$$ de unde $$\mathbf{x}\in \{-1,1\}\text{(2 p)}.$$

(Control: $2-3^0=1$ pentru ambele valori. Unde se greșește de obicei: din $3^{x^2-1}=1$ se scrie $x^2-1=1$, ca și cum exponentul ar trebui să fie $1$; sau se păstrează doar soluția pozitivă $x=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — aranjamente.

Un număr de trei cifre distincte este o alegere ORDONATĂ a trei elemente distincte din $\{1,2,3,4\}$ (ordinea cifrelor contează): $$A_4^3=\frac{4!}{1!}\text{(2 p)},$$ $$A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24\text{(3 p)}.$$

(Mulțimea nu conține cifra $0$, deci nu există numere care încep cu zero de exclus. Unde se greșește de obicei: se folosesc combinările, $C_4^3=4$, uitând că $123$ și $321$ sunt numere diferite; sau se numără și numerele cu cifre repetate, $4^3=64$.)

Exercițiul 5. (5 p) — operații cu vectori.

Se înlocuiesc vectorii: $$\vec{w}=2\left(2\vec{i}-\vec{j}\right)-\left(\vec{i}+3\vec{j}\right)\text{(2 p)},$$ $$\vec{w}=4\vec{i}-2\vec{j}-\vec{i}-3\vec{j}=3\vec{i}-5\vec{j}⟹\vec{\mathbf{w}}(3,-5)\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade doar primul termen al lui $\overrightarrow{v_2}$ și iese $3\vec{i}+\vec{j}$; sau se înmulțește cu $2$ doar $2\vec{i}$ și iese $3\vec{i}-4\vec{j}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — înălțimea din unghiul drept.

Ipotenuza, cu teorema lui Pitagora: $$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{(2 p)}.$$ Aria triunghiului se scrie în două feluri, $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot h}{2}$, deci $$h=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{12}{5}\text{(3 p)}.$$

(Control: $h=2,4$, mai mică decât ambele catete, cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se ia înălțimea egală cu o catetă, $3$ sau $4$ — catetele sunt înălțimile duse din $B$ și din $C$, nu din $A$; sau se calculează $\frac{AB\cdot AC}{2}=6$, adică aria.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea, inversa și o ecuație matriceală.

a) (5 p) Pătratul matricei, linie cu coloană: $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ $$A^2-A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={\mathbf{I}}_2\text{(2 p)}.$$

(Observație: $A^2-A=I_2$ înseamnă $A(A-I_2)=I_2$, deci chiar de aici $A^{-1}=A-I_2$ — același rezultat ca la b). Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element și iese $A^2=A$, deci $A^2-A=O_2$.)

b) (5 p) Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă: $$\det (A)=1\cdot 0-1\cdot 1=-1\ne 0⟹\exists A^{-1}\text{(1 p)}.$$ Matricea adjunctă: $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{\ast }=-A^{\ast }$: $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Control: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+1\cdot 1& 1\cdot 1+1\cdot (-1)\\ 1\cdot 0+0\cdot 1& 1\cdot 1+0\cdot (-1)\end{array}\right)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $\det A=-1$ și se dă $A^{\ast }$ drept inversă.)

c) (5 p) Prin înmulțire la stânga cu $A^{-1}$ se obține $X=A^{-1}\cdot \left(\begin{array}{cc}2010& 2010\\ 2009& 2010\end{array}\right)$: $$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2010& 2010\\ 2009& 2010\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ $$X=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 2010+1\cdot 2009& 0\cdot 2010+1\cdot 2010\\ 2010-2009& 2010-2010\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ $$X=\left(\begin{array}{cc}2009& 2010\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$

(Control: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2009+1& 2010+0\\ 2009& 2010\end{array}\right)$, adică exact matricea din enunț. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $A^{-1}$ la DREAPTA, $X=B\cdot A^{-1}$, ceea ce ar rezolva ecuația $X\cdot A=B$; înmulțirea matricelor nu este comutativă.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinoame cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$.

a) (5 p) Se calculează valorile: $$f\left(\hat{0}\right)=\hat{0}\text{(2 p)},$$ $$f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}\text{(2 p)},$$ deci $f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)=\hat{2}$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}$, uitând unul dintre termeni; sau se lucrează cu numere întregi și se răspunde $2$ fără căciulă — în ${\mathbb{Z}}_3$ rezultatul este clasa $\hat{2}$.)

b) (5 p) Se încearcă toate cele trei elemente ale lui ${\mathbb{Z}}_3$: $$f\left(\hat{0}\right)=\hat{0},f\left(\hat{1}\right)=\hat{2},f\left(\hat{2}\right)=\hat{4}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile lui $f$ sunt $\hat{0}$ și $\hat{2}$ (2 p).

(Altfel: $f=X(X+\hat{1})$, iar $X+\hat{1}=\hat{0}$ pentru $X=\hat{2}$, pentru că $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ca peste $\mathbb{R}$ și se dau rădăcinile $0$ și $-1$, fără să se scrie $-\hat{1}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.)

c) (5 p) Valorile lui $g$: $$g\left(\hat{0}\right)=a,g\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+\hat{2}+a=a,g\left(\hat{2}\right)=\hat{4}+\hat{4}+a=\hat{2}+a\text{(2 p)},$$ deci $$g\left(\hat{0}\right)+g\left(\hat{1}\right)+g\left(\hat{2}\right)=a+a+\hat{2}+a=\hat{3}a+\hat{2}=\hat{2}\text{(2 p)}.$$ Din b), $f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{2}\right)=\hat{0}+\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}$, deci $$f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{2}\right)=g\left(\hat{0}\right)+g\left(\hat{1}\right)+g\left(\hat{2}\right)=\hat{2},\forall a\in {\mathbb{Z}}_3\text{(1 p)}.$$

(Cheia: în ${\mathbb{Z}}_3$, $a+a+a=\hat{3}a=\hat{0}$, deci parametrul dispare din sumă. Unde se greșește de obicei: se încearcă pe rând $a=\hat{0},\hat{1},\hat{2}$ fără să se observe simplificarea — merge, dar e de trei ori mai lung; sau se scrie $g\left(\hat{2}\right)=\hat{8}+a$ și nu se reduce $\hat{8}=\hat{2}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie, dublă inegalitate.

a) (5 p) Cu regula produsului: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2{e}^x\right)}^{\prime }\text{(2 p)},$$ $$f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=\left(2x+x^2\right)e^x\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar $x^2$ și se scrie $f^{\prime }(x)=2x{e}^x$; sau se derivează doar $e^x$ și iese $f^{\prime }(x)=x^2{e}^x$.)

b) (5 p) $f^{\prime }(x)=x(x+2)e^x$, cu $e^x>0$; pentru $x\in [-2,0]$ avem $x\le 0$ și $x+2\ge 0$, deci $$f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in [-2,0]\text{(2 p)},$$ de unde $f$ descrescătoare pe $[-2,0]$ (3 p).

(Derivata se anulează doar la capete, în $-2$ și în $0$; în interior este strict negativă. Unde se greșește de obicei: se verifică semnul derivatei într-un singur punct, de exemplu $f^{\prime }(-1)<0$, și se trage concluzia pe tot intervalul fără justificare.)

c) (5 p) Din b), $f$ este descrescătoare pe $[-1,0]\subset [-2,0]$, deci pentru $x\in [-1,0]$: $$f(0)\le f(x)\le f(-1)\text{(1 p)}.$$ Pentru $x\ge 0$, $f^{\prime }(x)=x(x+2)e^x\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,1]$; iar pentru $x\in [-1,0]$ avem $x^2\in [0,1]$, deci $$f(0)\le f\left(x^2\right)\le f(1)\text{(2 p)}.$$ Cu $f(0)=0$, $f(-1)=\frac{1}{e}$ și $f(1)=e$, prin adunarea celor două relații se obține $$0\le f(x)+f\left(x^2\right)\le \frac{1}{e}+e=\frac{e^2+1}{e},\forall x\in [-1,0]\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se folosește pentru $f\left(x^2\right)$ tot monotonia de pe $[-1,0]$, deși $x^2$ stă în $[0,1]$, unde $f$ crește; sau se scrie $f(-1)=-\frac{1}{e}$, uitând că $(-1{)}^2=1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale pe funcția $x+\frac{1}{x}$.

a) (5 p) Termenul $\frac{1}{x}$ se reduce: $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx={\int }_1^{3}xdx\text{(2 p)},$$ $${\int }_1^{3}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3\text{(2 p)},$$ $$\frac{x^2}{2}{|}_1^3=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x$ ca $x^2$ și iese $8$; sau se uită capătul de jos și iese $\frac{9}{2}$.)

b) (5 p) Volumul corpului de rotație: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx\text{(1 p)}.$$ $g^2(x)={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)dx\text{(1 p)}.$$ O primitivă este $\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}$: $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}\right){|}_1^2\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{V}=\pi \left[\left(\frac{8}{3}+4-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}+2-1\right)\right]=\frac{29\pi }{6}\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{29\pi }{6}\approx 15,184$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fără termenul dublu, $x^2+\frac{1}{x^2}$, și iese $\frac{17\pi }{6}$; sau primitiva lui $\frac{1}{x^2}$ se scrie $\frac{1}{x}$, fără minus. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

c) (5 p) Integrala se desparte în două: $${\int }_1^{e}f(x)\cdot \ln xdx={\int }_1^{e}x\cdot \ln xdx+{\int }_1^e\frac{1}{x}\cdot \ln xdx\text{(1 p)}.$$ Prima se calculează prin părți, a doua cu $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$=\left(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right){|}_1^e+\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e\text{(2 p)},$$ $$=\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\frac{{\mathbf{e}}^2+3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{e^2+3}{4}\approx 2,5973$. Unde se greșește de obicei: se uită valoarea în capătul de jos a primei primitive, $-\frac{1}{4}$ (care, scăzută, devine $+\frac{1}{4}$), și iese $\frac{e^2+2}{4}$; sau primitiva lui $\frac{\ln x}{x}$ se scrie ${\ln }^{2}x$, fără împărțirea la $2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea iunie-iulie 2010 a examenului de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii, și — în 2010 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi și radicali: ${\log }_2\frac{1}{8}$ și $\sqrt[3]{27}$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: $3^u=1⟺u=0$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: aranjamente, numere cu cifre distincte — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: operații cu vectori scriși cu versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: teorema lui Pitagora și înălțimea din unghiul drept — clasa a VII-a, recapitulată în clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: pătratul unei matrice, inversa prin matricea adjunctă, o ecuație $A\cdot X=B$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame peste ${\mathbb{Z}}_3$: valori, rădăcini, o egalitate adevărată pentru orice parametru — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, monotonia din semnul derivatei, o dublă inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: integrala definită, volumul unui corp de rotație, integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2010. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, fără capcane de domeniu: un calcul cu logaritm și radical de ordinul al treilea, vârful unei parabole, o ecuație exponențială care se reduce la $x^2-1=0$, numere de trei cifre distincte, o combinație de vectori și înălțimea unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea cere inversa unei matrice de ordinul al doilea și o folosește imediat la ecuația $A\cdot X=B$, apoi un polinom de gradul al doilea peste ${\mathbb{Z}}_3$, la care totul se face prin încercarea celor trei elemente $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$. Subiectul al III-lea leagă monotonia lui $x^2{e}^x$ de o dublă inegalitate în care apar $f(x)$ și $f\left(x^2\right)$, apoi cere trei integrale pe aceeași funcție $x+\frac{1}{x}$: una aproape imediată, un volum de rotație și o integrare prin părți combinată cu o substituție.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt întregi, fracții simple, matrice cu elemente întregi, elemente din ${\mathbb{Z}}_3$ și expresii scurte cu $\pi$ și $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cer rezolvări complete. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: inversa matricei scrisă fără să se arate că determinantul este nenul; ecuația matriceală rezolvată înmulțind cu $A^{-1}$ la dreapta în loc de stânga; calculele din ${\mathbb{Z}}_3$ lăsate nereduse modulo $3$; dubla inegalitate afirmată fără monotonia pe fiecare interval.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_a{a}^k=k$. Vârful parabolei: $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Exponențiale: $a^u=1⟺u=0$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Triunghiul dreptunghic: înălțimea din unghiul drept este $h=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.
• Matrice: pentru $\det A\ne 0$, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{\ast }$; ecuația $A\cdot X=B$ are soluția $X=A^{-1}\cdot B$ (înmulțire la STÂNGA).
• Polinoame peste ${\mathbb{Z}}_3$: $\hat{3}=\hat{0}$, $\hat{4}=\hat{1}$; rădăcinile se caută încercând toate elementele $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval, $f$ este descrescătoare pe acel interval.
• Integrale: volumul corpului de rotație $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; prin părți, $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+\mathcal{C}$; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, polinomul $f=X^2+X$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=x^2\cdot e^x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x+\frac{1}{x}$ de la cerința $10$. Tot așa, $g$ este un polinom la cerința $8$ și o funcție la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$ sunt clasele de resturi modulo $3$, iar $a$ este un element din ${\mathbb{Z}}_3$, nu un număr real; la cerința $7$, $X$ este o matrice necunoscută, iar la cerința $8$ este nedeterminata polinoamelor.
• La cerința $9$, $f\left(x^2\right)$ înseamnă valoarea funcției în punctul $x^2$, nu $(f(x){)}^2$; la cerința $10$, $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".