Bac M2 2010, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2010 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_3=5$ și $a_5=11$. Calculați suma primilor șapte termeni ai progresiei.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$, $g(x)=x+3$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2-1}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați $a\cdot b$ știind că $a+b=150$ și numărul $a$ reprezintă $25\%$ din numărul $b$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care punctele $A(2,3)$, $B(4,5)$ și $C\left(m+1,m^2\right)$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos x$, știind că $\sin x=\frac{1}{3}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru $m\in \mathbb{R}$ se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}mx+y=-1\\ x+y+z=3\\ x+y+mz=0\end{array}$, unde $x,y,z\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

b) (5 puncte) Rezolvați sistemul pentru $m=0$.

c) (5 puncte) Verificați dacă sistemul este incompatibil pentru $m=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$.

a) (5 puncte) Demonstrați că legea „$\ast$" este asociativă.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y\in (4,+\infty )$, oricare ar fi $x,y\in (4,+\infty )$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2010$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$.

b) (5 puncte) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A(2,5)$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ și $g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2)$.

a) (5 puncte) Demonstrați că funcția $g$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{4}f(x)dx$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{e^2}{2}^{g(x)}\cdot f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2010 are, la mai multe cerințe, câte trei, patru sau cinci rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau cinci rânduri de câte 1 p la asociativitate); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Cu $a_n=a_1+(n-1)r$, cele două informații devin un sistem: $$\{\begin{array}{l}{a}_1+2r=5\\ a_1+4r=11\end{array}⟹a_1=-1,r=3\text{(3 p)}.$$ Atunci al șaptelea termen și suma primilor șapte termeni sunt $$a_7=a_1+6r=17,S_7=\frac{(a_1+a_7)\cdot 7}{2}=\frac{16\cdot 7}{2}=56\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $-1,2,5,8,11,14,17$, cu suma $56$. Un drum mai scurt: la o progresie aritmetică cu un număr impar de termeni, suma este numărul de termeni înmulțit cu termenul din mijloc, $S_7=7a_4=7\cdot 8=56$, iar $a_4=\frac{a_3+a_5}{2}=8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_3=a_1+3r$, cu un $r$ în plus; sau se împarte diferența $11-5$ la $1$ în loc de $2$, iar rația iese $6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, intersecția a două grafice.

Punctul de intersecție are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci $$f(x)=g(x)⟹2x-1=x+3\text{(2 p)}.$$ Rezultă $$x=4\text{ și }y=g(4)=7\text{(2 p)},$$ adică punctul de intersecție este $$\mathbf{A}(4,7)\text{(1 p)}.$$

(Control: $f(4)=8-1=7$ și $g(4)=4+3=7$. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea la $x=4$ — cerința cere coordonatele punctului, deci și ordonata; sau se scrie punctul $(7,4)$, cu coordonatele inversate.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea.

Radicalul de ordinul al treilea există pentru orice număr real, deci nu sunt condiții de existență; se ridică la cub ambii membri: $$x^2-1=8\text{(3 p)}.$$ Atunci $x^2=9$, deci $$\mathbf{x}=\pm 3\text{(2 p)}.$$

(Verificare: pentru $x=3$ și pentru $x=-3$, $x^2-1=8$ și $\sqrt[3]{8}=2$; amândouă soluțiile convin. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat, ca la radicalul de ordinul al doilea, și iese $x^2-1=4$; sau se păstrează doar $x=3$, uitând că $x^2=9$ are două soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

„$a$ reprezintă $25\%$ din $b$" înseamnă $a=\frac{25}{100}\cdot b=\frac{b}{4}$; înlocuind în sumă, $$a+b=150⟹\frac{b}{4}+b=150⟹b=120\text{(3 p)}.$$ Atunci $$a=30\text{(1 p)},$$ $$a\cdot b=3600\text{(1 p)}.$$

(Control: $30+120=150$ și $25\%$ din $120$ este $30$. Unde se greșește de obicei: se scrie $b=25\%\cdot a$, adică procentul luat din numărul greșit — atunci $a=120$, $b=30$, iar produsul iese tot $3600$, din noroc, dar relația scrisă este greșită, iar $a$ și $b$ ies inversate.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, puncte coliniare.

Ecuația dreptei $AB$, prin cele două puncte date: $$AB:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{2}⟹x-y+1=0\text{(2 p)}.$$ Punctele sunt coliniare exact când $C$ se află pe dreapta $AB$: $(m+1)-m^2+1=0$, adică $$C\in AB⟹m^2-m-2=0\text{(1 p)},$$ cu rădăcinile $$\mathbf{m}=-1\text{ sau }\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=-1$, $C(0,1)$, iar $0-1+1=0$; pentru $m=2$, $C(3,4)$, iar $3-4+1=0$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiesc coordonatele lui $C$ inversate, $m^2$ ca abscisă; sau se păstrează doar rădăcina pozitivă.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, formula fundamentală.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: ${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, deci $${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1⟹\cos x=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\text{(3 p)}.$$ Unghiul este în primul cadran, unde cosinusul este pozitiv: $$x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)⟹\cos x=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{(2 p)}.$$

(Control: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos x=1-\sin x=\frac{2}{3}$, adică formula fundamentală fără pătrate; sau se lasă semnul $\pm$ fără să se folosească intervalul dat.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei: $$\det (A)=\left|\begin{array}{ccc}m& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right|\text{(1 p)},$$ iar cu regula lui Sarrus, $\det (A)=m\cdot 1\cdot m+1\cdot 1\cdot 1+0-0-m\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot m$, adică $$\det (A)={\mathbf{m}}^2+1-2m\text{(4 p)}.$$

(Forma restrânsă: $\det (A)=(m-1{)}^2$, nulă doar pentru $m=1$ — exact valoarea de la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se pierde un produs din regula lui Sarrus, de obicei $1\cdot 1\cdot 1$ de pe a doua paralelă, și iese $m^2-2m$.)

b) (5 p) Pentru $m=0$ sistemul devine $$\{\begin{array}{l}y=-1\\ x+y+z=3\\ x+y=0\end{array}\text{(2 p)}.$$ Din prima ecuație $y=-1$, din a treia $x=1$, iar din a doua $z=3$: $$\mathbf{x}=1,\mathbf{y}=-1,\mathbf{z}=3\text{(3 p)}.$$

(Control în sistemul inițial, cu $m=0$: $0\cdot 1+(-1)=-1$, $1-1+3=3$, $1-1+0\cdot 3=0$. Pentru $m=0$ determinantul este $1\ne 0$, deci sistemul are soluție unică. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m=0$ doar în prima ecuație și se uită coeficientul $mz$ din a treia.)

c) (5 p) Pentru $m=1$ sistemul devine $$\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x+y+z=3\\ x+y+z=0\end{array}\text{(2 p)}.$$ Ultimele două ecuații au același membru stâng și membri drepți diferiți: $$\text{sca˘zaˆnd ultimele doua˘ ecuații se obține }0=3⟹\text{sistemul este }\mathbf{incompatibil}\text{(3 p)}.$$

(Răspunsul la întrebarea „verificați dacă" este deci „da". Observație: $\det (A)=0$ pentru $m=1$ nu ajunge singur — un sistem cu determinantul nul poate fi și compatibil nedeterminat; incompatibilitatea se dovedește prin contradicția $0=3$. Unde se greșește de obicei: se conchide „incompatibil" doar din $\det (A)=0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se calculează $(x\ast y)\ast z$, înlocuind $x\ast y$ în formula legii: $$(x\ast y)\ast z=(x\ast y-4)(z-4)+4=\text{(1 p)}$$ $$=((x-4)(y-4)+4-4)(z-4)+4=\text{(1 p)}$$ $$=(x-4)(y-4)(z-4)+4=\text{(1 p)}$$ $$=(x-4)((y-4)(z-4)+4-4)+4=\text{(1 p)}$$ $$=(x-4)(y\ast z-4)+4=x\ast (y\ast z)\text{(1 p)},$$ pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$, deci legea „$\ast$" este asociativă.

(Rândul din mijloc, $(x-4)(y-4)(z-4)+4$, este simetric în $x$, $y$, $z$: de aici se vede de ce cele două grupări dau același rezultat. Unde se greșește de obicei: se verifică asociativitatea pe câteva numere — un exemplu nu demonstrează o proprietate valabilă „pentru orice".)

b) (5 p) Pentru $x,y\in (4,+\infty )$: $$x>4\Rightarrow x-4>0,y>4\Rightarrow y-4>0⟹(x-4)(y-4)>0\text{(3 p)},$$ deci $$x\ast y=(x-4)(y-4)+4>4,\forall x,y>4\text{(2 p)},$$ adică $x\ast y\in (4,+\infty )$.

(Unde se greșește de obicei: se scrie $x\ast y>4\cdot 4+4$, înmulțind inegalitățile $x>4$ și $y>4$ în loc de $x-4>0$ și $y-4>0$ — rezultatul „mai tare" este fals, de exemplu $4,5\ast 4,5=4,25$.)

c) (5 p) Numărul $4$ „absoarbe" orice element: $$x\ast 4=4\ast x=4,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)},$$ pentru că $x\ast 4=(x-4)\cdot 0+4=4$. Legea este asociativă (subpunctul a), deci termenii se pot grupa oricum, iar $4$ apare în lanț: $$1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2010=(1\ast 2\ast 3)\ast 4\ast (5\ast \dots \ast 2010)=4\text{(3 p)}.$$

(Asociativitatea de la a) este cea care permite gruparea; fără ea, scrierea fără paranteze nici n-ar avea sens. Unde se greșește de obicei: se încearcă o formulă generală pentru $1\ast 2\ast \dots \ast n$ și se pierde timp; sau se citește „$\ast$" ca înmulțire și se ajunge la $2010!$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și asimptotă verticală.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen: $${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x,{\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{x^2}\text{(2 p)},$$ deci $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{{\mathbf{x}}^2},x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{x^2}$, fără minus, sau ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=2$, ca și cum $\frac{2}{x}$ ar fi $2x$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $2$ este $$y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)\text{(2 p)}.$$ Se calculează valorile: $$f(2)=4+1=5\text{ și }{f}^{\prime }(2)=4-\frac{2}{4}=\frac{7}{2}\text{(2 p)},$$ deci $y-5=\frac{7}{2}(x-2)$, adică $$\mathbf{y}=\frac{7}{2}\mathbf{x}-2\text{(1 p)}.$$

(Control: pentru $x=2$, $\frac{7}{2}\cdot 2-2=5$, deci tangenta trece prin $A(2,5)$. Unde se greșește de obicei: se folosește $f^{\prime }(x)$ în loc de $f^{\prime }(2)$ ca pantă, iar „ecuația tangentei" iese o curbă.)

c) (5 p) Singurul punct în care $f$ nu este definită este $0$; se calculează limitele laterale: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\left(x^2+\frac{2}{x}\right)=-\infty \text{ sau }\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(x^2+\frac{2}{x}\right)=+\infty \text{(4 p)},$$ deci $$\text{dreapta }\mathbf{x}=0\text{ este asimptota˘ verticala˘ la graficul funcției}\text{(1 p)}.$$

(Ajunge o singură limită laterală infinită; baremul le dă pe amândouă, cu „sau". Unde se greșește de obicei: se scrie $y=0$ — aceea ar fi o asimptotă orizontală, iar funcția nici nu o are, pentru că $x^2\to +\infty$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive și integrale definite.

a) (5 p) O funcție $g$ este primitivă a lui $f$ dacă este derivabilă și $g^{\prime }=f$. Mai întâi, $$g\text{ este derivabila˘ pe }(0,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Derivând produsul $2\sqrt{x}\cdot (\ln x-2)$: $$g^{\prime }(x)={\left(2\sqrt{x}(\ln x-2)\right)}^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{x}}(\ln x-2)+2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{\ln x-2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=f(x),\forall x\in (0,+\infty )\text{(1 p)}.$$

(Am folosit $\frac{2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar al doilea factor, $2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}$, uitând regula produsului.)

b) (5 p) Cum $g$ este o primitivă a lui $f$, se aplică formula Leibniz–Newton: $${\int }_1^{4}f(x)dx=g(x){|}_1^4=\text{(1 p)}$$ $$=2\sqrt{x}(\ln x-2){|}_1^4=\text{(2 p)}$$ $$=4(\ln 4-2)-2(0-2)=8\ln 2-8+4=8\ln 2-4\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $8\ln 2-4\approx 1,5452$, iar integrala calculată numeric dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: $g(1)=2(\ln 1-2)=-4$, nu $0$ — se uită că $-2$ rămâne în paranteză; sau $\ln 4$ se scrie $4\ln 2$ în loc de $2\ln 2$.)

c) (5 p) Cum $f=g^{\prime }$, integrandul este de forma $2^u\cdot u^{\prime }$, cu $u=g(x)$, care are primitiva $\frac{2^u}{\ln 2}$: $$g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2)\text{ și }{g}^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}⟹{\int }_1^{e^2}{2}^{g(x)}{g}^{\prime }(x)dx=\frac{2^{g(x)}}{\ln 2}{|}_1^{e^2}=\text{(3 p)}$$ Cu $g\left(e^2\right)=2e(2-2)=0$ și $g(1)=-4$: $$=\frac{2^0-2^{-4}}{\ln 2}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\ln 2}=\frac{15}{16\ln 2}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{15}{16\ln 2}\approx 1,3525$, iar integrala calculată numeric dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $2^u$ ca $2^u\ln 2$ — la derivare apare $\ln 2$, deci la integrare se împarte la el; sau se ia $g(1)=0$, uitând că $\ln 1-2=-2$, și iese $\frac{2^0-2^0}{\ln 2}=0$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2010 a examenului de bacalaureat — Varianta 10, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii, și — în 2010 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de rezervă din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul general și suma primilor $n$ termeni — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: punctul de intersecție a două grafice — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: radical de ordinul al treilea, ridicarea la cub — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Procente: $25\%$ dintr-un număr și un sistem de două ecuații — clasa a IX-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei prin două puncte și coliniaritatea — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și semnul cosinusului în primul cadran — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant de ordinul al treilea cu parametru, rezolvarea unui sistem, sistem incompatibil — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: asociativitatea, partea stabilă și elementul absorbant — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei, asimptota verticală — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: verificarea unei primitive, formula Leibniz–Newton și schimbarea de variabilă $u=g(x)$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din iunie-iulie 2010. Subiectul I are șase cerințe scurte, fiecare cu o singură idee: formula termenului general la progresie, egalarea a două funcții, ridicarea la cub, procentul transformat în fracție, dreapta prin două puncte și formula fundamentală a trigonometriei. Subiectul al II-lea pune o matrice cu parametru legată de un sistem liniar — determinantul este un pătrat perfect, $(m-1{)}^2$, iar pentru $m=1$ sistemul se strică vizibil, prin două ecuații cu același membru stâng și membri drepți diferiți — și o lege de compoziție scrisă deja în forma „produs de paranteze plus constantă", din care vin, aproape fără calcul, asociativitatea, partea stabilă și elementul absorbant $4$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 lanțul clasic derivată → tangentă → asimptotă verticală, iar la problema 2 o primitivă dată care se folosește de două ori: la b) prin Leibniz–Newton, la c) ca schimbare de variabilă ascunsă în $2^{g(x)}\cdot g^{\prime }(x)$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, un radical simplu, fracții și expresii cu $\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind punctajul obținut la 10.
• Greșeli de redactare de evitat: semnul cosinusului ales fără să se spună în ce cadran este unghiul; sistemul declarat incompatibil fără o contradicție scrisă; calculul lanțului $1\ast 2\ast \dots \ast 2010$ fără să se spună de ce se pot grupa termenii; asimptota verticală scrisă fără calculul unei limite laterale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$. Radicalul de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=v⟺u=v^3$, fără condiții de existență. Procente: $p\%$ din $b$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot b$. Dreapta prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$: $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$; în primul cadran, $\cos x>0$.
• Matrice și sisteme: regula lui Sarrus pentru determinantul de ordinul al treilea; un sistem în care două ecuații au același membru stâng și membri drepți diferiți este incompatibil.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ este asociativă, iar $a$ este element absorbant: $x\ast a=a\ast x=a$.
• Derivate: ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; tangenta în $(x_0,f(x_0))$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dreapta $x=x_0$ este asimptotă verticală dacă o limită laterală în $x_0$ este infinită.
• Integrale: ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=G(x){|}_a^b$ când $G$ este o primitivă a lui $f$; ${\left(\frac{2^u}{\ln 2}\right)}^{\prime }=2^u\cdot u^{\prime }$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=2x-1$ la cerința $2$, $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ la cerința $10$; la fel, $g$ este $g(x)=x+3$ la cerința $2$ și $g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2)$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este un punct la cerințele $5$ și $9$ (cu alte coordonate de fiecare dată) și o matrice la cerința $7$. Litera $m$ este parametrul real de la cerința $5$ și, separat, parametrul matricei de la cerința $7$.
• La cerința $8$, $\ast$ este legea de compoziție din enunț, nu înmulțirea numerelor: $1\ast 2=(1-4)(2-4)+4=10$, nu $2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".