Bac M2 2010, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2010 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=3$ și $a_3=7$. Calculați suma primilor $10$ termeni ai progresiei.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numerele reale $m$ pentru care punctul $A(m,-1)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(2x+3)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale unei mulțimi care are $5$ elemente.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,-2)$, $B(1,2)$ și $C(2,-1)$. Calculați distanța de la punctul $C$ la mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ are $AB=8$, $AC=8$ și $m(\sphericalangle BAC)=30^{\circ }$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right),I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ și funcția $f:{\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, $f(X)=X^2-3X+I_3$, unde $X^2=X\cdot X$.

a) (5 puncte) Calculați $\det (I_3+B)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $f(A)=I_3+B$.

c) (5 puncte) Arătați că $(f(A){)}^3=I_3+3B+3B^2$, unde $(f(A){)}^3=f(A)\cdot f(A)\cdot f(A)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție $x\ast y=x+y-3$ și $x\circ y=(x-3)(y-3)+3$.

a) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația $x\circ x=x\ast x$.

b) (5 puncte) Determinați numărul întreg $a$ care are proprietatea că $x\circ a=3$, oricare ar fi numărul întreg $x$.

c) (5 puncte) Rezolvați sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x\ast (y+1)=4\\ (x-y)\circ 1=5\end{array}$, unde $x,y\in \mathbb{Z}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+\frac{3}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{2-x^2}$.

a) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$, a graficului funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x^2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul modelului are, la mai multe cerințe, câte trei rânduri punctate (de exemplu $2+1+2$) sau un rând „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Din $a_3=a_1+2r$, cu $a_1=3$ și $a_3=7$: $$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ a_3=7\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ r=2\end{array}\text{(2 p)}.$$ Termenul al zecelea: $$a_{10}=a_1+9r=3+18=21\text{(1 p)}.$$ Suma primilor zece termeni: $$S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=\frac{24\cdot 10}{2}=120\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $3,5,7,\dots ,21$, zece numere impare consecutive de la $3$ la $21$; suma lor este $(1+3+\dots +21)-1=11^2-1=120$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $r=4$, adică $a_3-a_1$, uitând că între $a_1$ și $a_3$ sunt doi pași; sau se scrie $a_{10}=a_1+10r$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul funcției de gradul al doilea.

Un punct aparține graficului exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$A(m,-1)\in G_f⟺f(m)=-1⟺m^2-3m+1=-1\text{(3 p)}.$$ Ecuația $m^2-3m+2=0$ are rădăcinile $$\mathbf{m}=2\text{ sau }\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(1)=1-3+1=-1$ și $f(2)=4-6+1=-1$. Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $f(-1)=m$, adică $m=5$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv: $$2x+3>0⟹x\in \left(-\frac{3}{2},\infty \right)\text{(1 p)}.$$ Din definiția logaritmului, ${\log }_5(2x+3)=2$ înseamnă $2x+3=5^2$: $$2x+3=25⟹\mathbf{x}=11\in \left(-\frac{3}{2},\infty \right)\text{(4 p)}.$$

(Control: ${\log }_5(22+3)={\log }_{5}25=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2x+3=2^5=32$, inversând baza cu rezultatul; sau $2x+3=10$, ca și cum logaritmul ar fi „baza ori rezultatul".)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

Numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale unei mulțimi cu $5$ elemente este numărul de combinări $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\text{(3 p)},$$ adică $$C_5^3=\frac{5\cdot 4}{2}=10\text{(2 p)}.$$

(Control: $C_5^3=C_5^2$; perechile care rămân în afara submulțimii se numără ușor: $\{1,2\},\{1,3\},\dots ,\{4,5\}$ — zece. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_5^3=60$, ca și cum ordinea elementelor dintr-o submulțime ar conta.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța.

Fie $M$ mijlocul segmentului $AB$; coordonatele lui sunt mediile coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{-1+1}{2},\frac{-2+2}{2}\right)⟹M(0,0)\text{(2 p)}.$$ Scrierea formulei distanței dintre două puncte: $$CM=\sqrt{(x_M-x_C{)}^2+(y_M-y_C{)}^2}\text{(1 p)},$$ de unde $$CM=\sqrt{(0-2{)}^2+(0+1{)}^2}=\sqrt{5}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează distanța de la $C$ la unul dintre capete, de exemplu $CB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$; sau se uită radicalul și se scrie $CM=5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria triunghiului cu sinusul unghiului.

Aria unui triunghi, cu două laturi și unghiul dintre ele: $$\text{Aria }△ABC=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}\text{(2 p)},$$ iar cu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$\text{Aria }△ABC=\frac{8\cdot 8\cdot \frac{1}{2}}{2}=16\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ în loc de sinus și iese $16\sqrt{3}$; sau se uită împărțirea la $2$ și iese $32$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea, $f(A)=I_3+B$.

a) (5 p) Se adună matricele element cu element: $$I_3+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Matricea este triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală: $\det (I_3+B)=1$ (3 p).

(Cu regula lui Sarrus: singurul produs nenul este $1\cdot 1\cdot 1$; toate celelalte conțin un zero de sub diagonală. Unde se greșește de obicei: se adună doar diagonala și iese $3$.)

b) (5 p) Se calculează pătratul lui $A$, linie cu coloană: $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}9& 6& 7\\ 0& 9& 6\\ 0& 0& 9\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Apoi $$f(A)=A^2-3A+I_3\text{(1 p)},$$ $$f(A)=\left(\begin{array}{ccc}9-9+1& 6-3& 7-3\\ 0& 9-9+1& 6-3\\ 0& 0& 9-9+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3+B\text{(2 p)}.$$

(Controlul elementului din colț: linia întâi a lui $A$, $(3,1,1)$, ori coloana a treia, $(1,1,3)$, dă $3+1+3=7$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, ca și cum $A^2$ ar avea pe poziții $9,1,1,\dots$.)

c) (5 p) Matricele $I_3$ și $B$ comută ($I_{3}B=B{I}_3=B$), deci se poate folosi binomul lui Newton: $$(f(A){)}^3=(I_3+B{)}^3=I_3+3B+3B^2+B^3\text{(2 p)}.$$ Se calculează puterile lui $B$: $B^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 9\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, iar $$B^3=O_3\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $(f(A){)}^3=I_3+3B+3B^2+O_3=I_3+3B+3B^2$ (1 p).

(Binomul lui Newton pentru matrice cere ca ele să comute — altfel $(X+Y{)}^2=X^2+XY+YX+Y^2$, nu $X^2+2XY+Y^2$. Aici una dintre ele este $I_3$, care comută cu orice matrice. Unde se greșește de obicei: se scrie $(I_3+B{)}^3=I_3+B^3$, uitând termenii din mijloc.)

Exercițiul 8. (15 p) — două legi de compoziție pe $\mathbb{Z}$.

a) (5 p) Se calculează ambele membre: $x\circ x=(x-3{)}^2+3$ și $x\ast x=2x-3$. Ecuația devine $(x-3{)}^2+3=2x-3$, adică $$(x-3{)}^2-2(x-3)=0\text{(2 p)}.$$ Se dă factor comun $x-3$: $$(x-3)(x-5)=0\text{(1 p)},$$ de unde $$\mathbf{x}=3\text{ sau }\mathbf{x}=5\text{(2 p)},$$ amândouă numere întregi.

(Control: $3\circ 3=0+3=3$ și $3\ast 3=3$; $5\circ 5=4+3=7$ și $5\ast 5=7$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $(x-3{)}^2=2(x-3)$ la $x-3$ și se pierde soluția $x=3$.)

b) (5 p) Se scrie condiția cu definiția legii: $$(x-3)(a-3)+3=3,\text{ oricare ar fi }x\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$ Rămâne $(x-3)(a-3)=0$ pentru orice $x$ întreg; luând $x\ne 3$, factorul $x-3$ nu e nul, deci $a-3=0$: $$\mathbf{a}=3\in \mathbb{Z}\text{(3 p)}.$$

(Numărul $3$ „absoarbe" orice $x$ la legea $\circ$: $x\circ 3=3$. Unde se greșește de obicei: se confundă cu elementul neutru, cerând $x\circ a=x$, ceea ce dă $a=4$.)

c) (5 p) Se înlocuiesc legile în sistem: $x\ast (y+1)=x+y+1-3$ și $(x-y)\circ 1=(x-y-3)(1-3)+3$, deci $$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ (x-y-3)(-2)=2\end{array}\text{(3 p)}.$$ A doua ecuație dă $x-y-3=-1$, adică $x-y=2$; adunând cu prima, $2x=8$: $$\{\begin{array}{l}\mathbf{x}=4\\ \mathbf{y}=2\end{array}\text{(2 p)}.$$

(Control: $4\ast 3=4+3-3=4$ și $2\circ 1=(-1)(-2)+3=5$. Unde se greșește de obicei: la prima ecuație se uită „$+1$" din $y+1$ și iese $x+y=7$; la a doua se scrie $1-3=2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, derivata ca limită, monotonie.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2\text{(2 p)},$$ $${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{3}{x^2}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=\frac{3}{x^2}$, fără minus; sau ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\ln x$, confundând derivata cu primitiva.)

b) (5 p) Limita din enunț este chiar definiția derivatei în $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)\text{(3 p)},$$ iar $$f^{\prime }(1)=3-3=0\text{(2 p)}.$$

(Control fără derivată: $f(x)-f(1)=x^3-1+\frac{3}{x}-3=(x-1)\left(x^2+x+1-\frac{3}{x}\right)$, iar paranteza tinde la $3-3=0$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=1$ și se ajunge la $\frac{0}{0}$, apoi se răspunde „nu există".)

c) (5 p) Se caută zerourile derivatei: $f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^4-1\right)}{x^2}$, deci $$f^{\prime }(x)=0⟺x_1=1,x_2=-1\text{(1 p)}.$$ Numitorul $x^2$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^4-1$: pozitiv pentru $|x|>1$, negativ pentru $0<|x|<1$. Din tabelul de variație rezultă: $$f\text{ cresca˘toare pe }(-\infty ,-1]\text{ și pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}$$ $$\text{și }f\text{ descresca˘toare pe }[-1,0)\text{ și pe }(0,1]\text{(2 p)}.$$

(Punctul $0$ nu este în domeniu, deci intervalul de descreștere se rupe în două: nu se scrie „descrescătoare pe $[-1,1]$". Unde se greșește de obicei: se uită rădăcina $x=-1$, pentru că $x^4=1$ se rezolvă doar ca $x=1$; sau se inversează sensurile pe intervale. Control: $f^{\prime }(2)=12-\frac{3}{4}>0$, $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}-12<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — volum de rotație, substituție, limită cu integrală.

a) (5 p) Volumul corpului de rotație: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1{x}^2\left(2-x^2\right)dx\text{(1 p)}.$$ O primitivă a lui $2x^2-x^4$ este $\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{5}$: $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right){|}_0^1\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{7\pi }{15}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{7\pi }{15}\approx 1,466$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul și se integrează $f$, nu $f^2$; sau se ridică la pătrat greșit, $f^2(x)=x^2(2-x^2{)}^2$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

b) (5 p) Cu substituția $t=2-x^2$, $dt=-2xdx$; pentru $x=0$ avem $t=2$, iar pentru $x=1$ avem $t=1$: $${\int }_0^{1}x\sqrt{2-x^2}dx=-\frac{1}{2}{\int }_2^1\sqrt{t}dt\text{(3 p)}.$$ Schimbând ordinea capetelor și integrând $\sqrt{t}=t^{1/2}$: $$-\frac{1}{2}{\int }_2^1\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_1^2=\frac{t\sqrt{t}}{3}{|}_1^2=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\approx 0,6095$. Unde se greșește de obicei: se păstrează capetele $0$ și $1$ după schimbarea variabilei; sau se uită factorul $-\frac{1}{2}$ din $xdx=-\frac{1}{2}dt$.)

c) (5 p) Cu aceeași substituție, pe $[0,x]$: $${\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{\left(2-x^2\right)\sqrt{2-x^2}}{3}\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\to 0$, numărătorul și numitorul tind amândoi la $0$; cu regula lui l'Hospital (derivata numărătorului este $f(x)=x\sqrt{2-x^2}$): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{\left(2-x^2\right)\sqrt{2-x^2}}{3}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{2-x^2}}{3}\cdot (-2x)}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$

(Drumul mai scurt: numărătorul este o funcție derivabilă, cu derivata $f(x)$ — teorema de derivare a integralei cu limita superioară variabilă —, deci limita este $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sqrt{2-x^2}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2-x^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $x$ din $f$ și se scrie limita $\frac{\sqrt{2}}{2x}$, „infinită"; sau se derivează numitorul ca $x$, nu $2x$, și iese $\sqrt{2}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, publicat înaintea sesiunilor din 2010 ale examenului de bacalaureat, ca să arate elevilor și profesorilor forma probei. Fiind un model, documentul nu poartă număr de variantă — pe el scrie doar „MODEL". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării și Inovării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare în Învățământul Preuniversitar. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii, și — în 2010 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni, termenul general și suma primilor $n$ termeni — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: un punct dat aparține graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: condiția de existență și definiția logaritmului — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu $k$ elemente, $C_n^k$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria triunghiului cu sinusul unghiului dintre două laturi — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, pătratul unei matrice, binomul lui Newton pentru matrice care comută — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: ecuație, element „absorbant", sistem cu două legi — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, derivata ca limită, semnul derivatei și intervalele de monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: volumul unui corp de rotație, integrală prin substituție, limită a unei funcții definite prin integrală — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2010. Modelul arată forma probei: șase cerințe scurte la Subiectul I (progresie, grafic, logaritm, combinări, distanță, arie cu sinus), apoi două probleme de câte trei subpuncte la fiecare dintre celelalte două subiecte. Subiectul al II-lea pune o matrice triunghiulară la care totul se reduce la $A=3I_3+C$, iar $f(A)$ iese $I_3+B$, cu $B^3=O_3$; problema a doua cere două legi de compoziție pe $\mathbb{Z}$ — o ecuație, un element care „absoarbe" orice $x$ și un sistem. Subiectul al III-lea este cel clasic: derivată, limita care e chiar $f^{\prime }(1)$, monotonie, apoi un volum de rotație, o substituție $t=2-x^2$ și o limită cu integrală, rezolvată cu regula lui l'Hospital și teorema de derivare a integralei cu limita superioară variabilă.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt întregi sau expresii scurte cu radicali și cu $\pi$: $\sqrt{5}$, $\frac{7\pi }{15}$, $\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cer rezolvări complete. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice altă formulare sau modalitate de rezolvare corectă a cerințelor primește punctajul corespunzător; nu există punctaje intermediare în afara celor precizate explicit în barem și nici fracțiuni de punct; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: ecuația logaritmică rezolvată fără condiția de existență; formula distanței folosită fără să fie scrisă; binomul lui Newton aplicat unor matrice fără observația că ele comută; intervalele de monotonie afirmate fără tabelul de semn al derivatei; limita cu integrală „calculată" fără să se observe nedeterminarea $\frac{0}{0}$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. Logaritmi: ${\log }_{a}b=c⟺b=a^c$, cu $b>0$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Aria: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$.
• Matrice: dacă $XY=YX$, atunci $(X+Y{)}^3=X^3+3X^{2}Y+3X{Y}^2+Y^3$; determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală.
• Legi de compoziție: o lege se calculează înlocuind literele din definiție; „oricare ar fi $x$" înseamnă o identitate în $x$, deci coeficienții se anulează.
• Derivate: ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$.
• Integrale: volumul corpului de rotație $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; substituția $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$; ${\left({\int }_0^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x)$ pentru $f$ continuă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, funcția de matrice $f(X)=X^2-3X+I_3$ de la cerința $7$ și cele două funcții reale de la cerințele $9$ și $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerința $2$, $A$, $B$, $C$ sunt puncte la cerința $5$ și vârfuri de triunghi la cerința $6$, iar $A$ și $B$ sunt matrice la cerința $7$; $a_1$, $a_3$, $a_{10}$ sunt termenii progresiei de la cerința $1$, iar $a$ este numărul întreg căutat la cerința $8$, subpunctul b). Așa este scris modelul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ nu înseamnă compunerea funcțiilor: este a doua lege de compoziție, $x\circ y=(x-3)(y-3)+3$, alături de prima, $x\ast y=x+y-3$.
• La cerința $7$, $(f(A){)}^3$ este definit chiar în enunț ca produsul $f(A)\cdot f(A)\cdot f(A)$; la cerința $10$, $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $f(f(x))$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".