Bac M2 2011, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2011 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_2=6$ și $a_3=5$. Calculați $a_6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați soluțiile întregi ale inecuației $2x^2-x-3\le 0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+2)-{\log }_3(x-4)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu 5%, prețul unui produs crește cu 12 lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$ și $B(5,0)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $[AB]$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$, știind că $BC=9$ și $m(\sphericalangle BAC)=120^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră determinantul $D(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& y\\ 1& x+1& y+1\end{array}\right|$, unde $x,y\in \mathbb{Z}$.

a) (5 puncte) Calculați $D(-1,1)$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in \mathbb{Z}$ pentru care $D(x,2010)=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $D(x,y)\cdot D(x,-y)=D\left(x^2,y^2\right)$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{Z}$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2xy-6x-6y+21$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=2(x-3)(y-3)+3$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că legea „$\ast$" este asociativă.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast \dots \ast 2011$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x^2+x+3^x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(0)$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Arătați că $a^3+a^2+a-b^3-b^2-b\le 3^b-3^a$, oricare ar fi numerele reale $a$, $b$ cu $a\le b$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră funcția $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=x^n{e}^x$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\frac{f_1(x)}{e^x}dx$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{f}_1(x)dx$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{f}_n\left(x^2\right)dx\ge \frac{1}{2n+1}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2011 are, la mai multe cerințe, câte trei rânduri punctate (de exemplu $1+2+2$ sau $2+2+1$, cu un rând de „finalizare"); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența a doi termeni consecutivi: $$\{\begin{array}{l}{a}_2=6\\ a_3=5\end{array}⟹r=a_3-a_2=-1\text{(2 p)}.$$ De la $a_3$ la $a_6$ sunt trei pași de rație: $$a_6=a_3+3r=5-3=2\text{(3 p)}.$$

(Control: termenii sunt $a_1=7$, $a_2=6$, $a_3=5$, $a_4=4$, $a_5=3$, $a_6=2$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $a_2-a_3=1$, cu semnul schimbat, și iese $a_6=8$; sau se scrie $a_6=a_1+6r$ în loc de $a_1+5r$.)

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație de gradul al doilea, soluții întregi.

Trinomul $2x^2-x-3$ are rădăcinile $-1$ și $\frac{3}{2}$ și este negativ între ele (coeficientul lui $x^2$ este pozitiv): $$2x^2-x-3\le 0⟺x\in \left[-1,\frac{3}{2}\right]\text{(3 p)}.$$ Numerele întregi din acest interval sunt $$x\in \mathbb{Z}⟹{\mathbf{x}}_1=-1,{\mathbf{x}}_2=0,{\mathbf{x}}_3=1\text{(2 p)}.$$

(Rădăcinile: $\Delta =1+24=25$, $x=\frac{1\pm 5}{4}$, adică $-1$ și $\frac{3}{2}$. Control: $2\cdot 1-1-3=-2\le 0$, dar $2\cdot 4-2-3=3>0$, deci $2$ nu este soluție. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu intervalul, deși se cer doar soluțiile întregi; sau se uită capătul $-1$, care este soluție pentru că inegalitatea este nestrictă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii există pentru argumente strict pozitive: $$\{\begin{array}{l}x+2>0\\ x-4>0\end{array}⟹x\in (4,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Diferența de logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului: $${\log }_3\frac{x+2}{x-4}=1⟹\frac{x+2}{x-4}=3\text{(2 p)}.$$ De aici $x+2=3x-12$, deci $$\mathbf{x}=7\in (4,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Verificare: ${\log }_{3}9-{\log }_{3}3=2-1=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie diferența logaritmilor ca ${\log }_3(x+2):{\log }_3(x-4)$; sau se ia $\frac{x+2}{x-4}=1$, uitând că ${\log }_{3}u=1$ înseamnă $u=3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Se notează cu $x$ prețul inițial. Creșterea de $12$ lei reprezintă $5\%$ din prețul inițial: $$\frac{5}{100}\cdot x=12\text{(3 p)}.$$ De aici $$x=\frac{12\cdot 100}{5}=240\text{ lei}\text{(2 p)}.$$

(Control: $5\%$ din $240$ înseamnă $12$ lei, iar prețul după scumpire este $252$ de lei. Unde se greșește de obicei: se calculează $5\%$ din $12$, adică $0,6$ lei; sau se ia $12$ lei drept prețul după scumpire.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mediatoarea unui segment.

Se notează cu $M$ mijlocul lui $[AB]$ și cu $d$ mediatoarea segmentului $[AB]$. Mijlocul are coordonatele mediile coordonatelor capetelor: $$M(3,2)\text{(1 p)}.$$ Panta lui $AB$ și panta perpendicularei pe ea: $$m_{AB}=\frac{0-4}{5-1}=-1⟹m_d=1\text{(2 p)}.$$ Dreapta prin $M$ cu panta $1$: $$d:y-2=1\cdot (x-3)⟹\mathbf{d}:\mathbf{y}=\mathbf{x}-1\text{(2 p)}.$$

(Control: $M(3,2)$ verifică $2=3-1$; punctele $A$ și $B$ sunt egal depărtate de orice punct al dreptei, de exemplu de $P(1,0)$: $PA=4$, $PB=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie dreapta $AB$, cu panta $-1$, în loc de perpendiculara pe ea; sau dreapta perpendiculară dusă prin $A$, nu prin mijloc.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, raza cercului circumscris.

Din teorema sinusurilor, latura $BC$ este opusă unghiului $A$: $$\frac{BC}{\sin A}=2R⟹R=\frac{BC}{2\sin A}\text{(2 p)}.$$ Sinusul unghiului de $120^{\circ }$: $$\sin A=\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind, $R=\frac{9}{\sqrt{3}}$, adică $$\mathbf{R}=3\sqrt{3}\text{(1 p)}.$$

(Raționalizarea: $\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\approx 5,196$. Unde se greșește de obicei: se ia $\sin 120^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ sau $\frac{1}{2}$ — sinusul unui unghi obtuz este pozitiv și egal cu sinusul suplementului; sau se uită factorul $2$ și iese $6\sqrt{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — determinant de ordinul al treilea cu parametri.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=-1$ și $y=1$: $$D(-1,1)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=-2\text{(3 p)}.$$

(Regula lui Sarrus: $1\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 0-1\cdot (-1)\cdot 1-1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 1\cdot 0=-2+1+0+1-2-0=-2$. Unde se greșește de obicei: se inversează valorile, $x=1$ și $y=-1$, și se calculează de fapt $D(1,-1)=2$; sau în colțul din dreapta jos se scrie $1$ în loc de $y+1=2$, și determinantul iese $0$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y=2010$: $$D(x,2010)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& 2010\\ 1& x+1& 2011\end{array}\right|=\text{(1 p)}$$ $$=x-2010\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț: $$x-2010=1⟹\mathbf{x}=2011\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$

(Calculul cel mai scurt: se scade linia a doua din linia a treia; se obține linia $(0,1,1)$, iar valoarea determinantului nu se schimbă. Dezvoltând apoi după prima coloană, sau prin regula lui Sarrus, rezultatul general este $D(x,y)=x-y$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x-2010=1\Rightarrow x=2009$, cu semnul schimbat la trecerea în celălalt membru.)

c) (5 p) Valoarea generală a determinantului: $$D(x,y)=x-y\text{(2 p)}.$$ Aplicată în cele două puncte cerute: $$D(x,-y)=x+y\text{ și }D\left(x^2,y^2\right)=x^2-y^2\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $D(x,y)\cdot D(x,-y)=(x-y)(x+y)=x^2-y^2=D\left(x^2,y^2\right)$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{Z}$ (1 p).

(Justificarea lui $D(x,y)=x-y$: după scăderea liniei a doua din a treia, $D(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& y\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1\cdot (x-y)-1\cdot (1-0)+1\cdot (1-0)=x-y$. Control: $D(-1,1)=-2$ și $D(x,2010)=x-2010$, ca la subpunctele anterioare. Unde se greșește de obicei: se scrie $D(x,-y)=x-y$, uitând să se înlocuiască $y$ cu $-y$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu element absorbant.

a) (5 p) Se grupează termenii ca să apară factorul $y-3$: $$x\ast y=2xy-6x-6y+21=2x(y-3)-6(y-3)+3=\text{(3 p)}$$ $$=(y-3)(2x-6)+3=2(x-3)(y-3)+3\text{(2 p)}.$$

(Verificarea desfăcând: $2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3=2xy-6x-6y+21$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-6y+21=-6(y-3)$, uitând că $-6\cdot (-3)=18$, nu $21$ — restul de $3$ rămâne separat.)

b) (5 p) Se folosește forma de la a) pentru fiecare grupare: $$(x\ast y)\ast z=2(x\ast y-3)(z-3)+3=4(x-3)(y-3)(z-3)+3\text{(2 p)},$$ $$x\ast (y\ast z)=2(x-3)(y\ast z-3)+3=4(x-3)(y-3)(z-3)+3\text{(2 p)}.$$ Finalizare: cele două expresii coincid, deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, oricare ar fi $x,y,z\in \mathbb{R}$, adică legea este asociativă (1 p).

(De unde vine factorul $4$: $x\ast y-3=2(x-3)(y-3)$, iar înmulțit cu $2(z-3)$ dă $4(x-3)(y-3)(z-3)$. Unde se greșește de obicei: se verifică asociativitatea pe câteva numere — un exemplu nu demonstrează o proprietate valabilă „oricare ar fi".)

c) (5 p) Numărul $3$ este element absorbant: din forma de la a), un factor $3-3=0$ anulează produsul: $$x\ast 3=3\ast x=3,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Legea fiind asociativă, se grupează factorii din jurul lui $3$: $$1\ast 2\ast \dots \ast 2011=(1\ast 2)\ast 3\ast (4\ast \dots \ast 2011)=3\text{(2 p)}.$$

(Nu trebuie calculat nimic din șirul lung: oricât ar fi $1\ast 2$, compus cu $3$ dă $3$, iar $3$ compus cu orice dă tot $3$. Control: $1\ast 2=2\cdot (-2)\cdot (-1)+3=7$, iar $7\ast 3=2\cdot 4\cdot 0+3=3$. Unde se greșește de obicei: se tratează $3$ ca element neutru și iese un rezultat care depinde de ceilalți factori; sau nu se observă că $3$ se află printre factori.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată cu exponențială, monotonie, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; $(3^x{)}^{\prime }=3^x\ln 3$: $$f^{\prime }(x)=3x^2+2x+1+3^x\ln 3\text{(3 p)}.$$ În $x=0$: $$f^{\prime }(0)=0+0+1+3^0\ln 3=1+\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $1+\ln 3\approx 2,0986$. Unde se greșește de obicei: se derivează $3^x$ ca pe o putere, $x\cdot 3^{x-1}$; sau se scrie $(3^x{)}^{\prime }=3^x$, uitând factorul $\ln 3$, și iese $f^{\prime }(0)=2$.)

b) (5 p) Se scrie partea polinomială a derivatei ca sumă de pătrate: $$f^{\prime }(x)=3x^2+2x+1+3^x\ln 3=2x^2+(x+1{)}^2+3^x\ln 3>0,\text{oricare ar fi }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Derivata strict pozitivă pe $\mathbb{R}$ dă $$f\text{ este cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(De ce suma este strict pozitivă: $2x^2\ge 0$, $(x+1{)}^2\ge 0$, iar $3^x\ln 3>0$, pentru că $3^x>0$ și $\ln 3>0$. Altfel: trinomul $3x^2+2x+1$ are $\Delta =4-12<0$, deci este pozitiv. Unde se greșește de obicei: se afirmă „$f^{\prime }(x)>0$" fără nicio justificare, sau se verifică semnul derivatei doar în câteva puncte.)

c) (5 p) Din subpunctul b): $$f\text{ cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{ și }a\le b⟹f(a)\le f(b)\text{(3 p)}.$$ Scrisă explicit, inegalitatea este $$a^3+a^2+a+3^a\le b^3+b^2+b+3^b\text{(1 p)},$$ iar prin trecerea termenilor dintr-un membru în altul, $$a^3+a^2+a-b^3-b^2-b\le 3^b-3^a\text{(1 p)}.$$

(Inegalitatea din enunț este chiar $f(a)\le f(b)$, rescrisă: se trec $b^3+b^2+b$ în membrul stâng și $3^a$ în membrul drept. Control: pentru $a=0$, $b=1$, membrul stâng este $-3$, iar cel drept $2$. Unde se greșește de obicei: se încearcă o demonstrație separată, prin factorizarea lui $a^3-b^3$, în loc să se folosească monotonia de la b).)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f_n(x)=x^n{e}^x$.

a) (5 p) Pentru $n=1$, $f_1(x)=x{e}^x$, iar exponențiala se simplifică: $${\int }_0^1\frac{f_1(x)}{e^x}dx={\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $f_1(x)=e^x$, confundând indicele cu exponentul lui $x$; sau se scrie primitiva lui $x$ ca $x^2$, fără numitorul $2$.)

b) (5 p) Integrare prin părți, cu $u=x$ și $v^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^{1}x\cdot e^{x}dx=x\cdot e^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=\text{(2 p)}$$ $$=e-e^x{|}_0^1=\text{(2 p)}$$ $$=1\text{(1 p)}.$$

(Detaliul: $e^x{|}_0^1=e-1$, deci $e-(e-1)=1$. Control: o primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, iar $(x-1)e^x{|}_0^1=0-(-1)=1$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $e^0=1$ la evaluarea lui $e^x$ între $0$ și $1$, și iese $0$.)

c) (5 p) Se scrie funcția compusă: $${\int }_0^1{f}_n\left(x^2\right)dx={\int }_0^1{x}^{2n}{e}^{x^2}dx\text{(1 p)}.$$ Pe $[0,1]$, $x^2\ge 0$, deci exponențiala este cel puțin $1$, iar $x^{2n}\ge 0$: $$e^{x^2}\ge 1⟹{\int }_0^1{x}^{2n}{e}^{x^2}dx\ge {\int }_0^1{x}^{2n}dx\text{(2 p)}.$$ Ultima integrală se calculează direct: $${\int }_0^1{x}^{2n}dx=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}{|}_0^1=\frac{1}{2n+1}\text{(2 p)}.$$

(Inegalitatea dintre integranzi se păstrează prin integrare: $x^{2n}{e}^{x^2}\ge x^{2n}$ pe $[0,1]$, pentru că $x^{2n}\ge 0$ și $e^{x^2}\ge 1$. Control numeric pentru $n=1$: ${\int }_0^1{x}^2{e}^{x^2}dx\approx 0,6278\ge \frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f_n\left(x^2\right)=x^{2n}{e}^x$, înlocuind variabila doar în primul factor; sau se afirmă minorarea fără inegalitatea $e^{x^2}\ge 1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea august-septembrie 2011 a examenului de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2011 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni consecutivi și un termen oarecare — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Inecuații de gradul al doilea: semnul trinomului și soluțiile întregi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: condițiile de existență, diferența de logaritmi, verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Procente: o scumpire cu $p\%$ dată prin creșterea absolută a prețului — clasa a IX-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, pante perpendiculare, ecuația mediatoarei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Determinanți: un determinant de ordinul al treilea care se reduce la $x-y$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „produs de paranteze", asociativitatea și un element absorbant — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata cu $3^x$, monotonia și o inegalitate între valori ale funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală directă, integrarea prin părți și minorarea unei integrale — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2011. Subiectul I are șase cerințe de rutină; singura cu „capcană" este cerința 2, unde se cer doar soluțiile întregi ale inecuației, nu intervalul. Subiectul al II-lea pune un determinant cu parametri care, după o scădere de linii, se reduce la $x-y$ — de aici ies toate trei subpunctele — și o lege de compoziție scrisă ca $2(x-3)(y-3)+3$, la care $3$ este element absorbant: compunerea lungă $1\ast 2\ast \dots \ast 2011$ se termină fără niciun calcul, pentru că $3$ se află printre factori. Subiectul al III-lea cere o derivată cu $3^x$, monotonia printr-o scriere ca sumă de pătrate și o inegalitate care este chiar $f(a)\le f(b)$, rescrisă; apoi trei integrale cu $f_n(x)=x^n{e}^x$, ultima fiind o minorare, $e^{x^2}\ge 1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $3\sqrt{3}$ și $1+\ln 3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2 se dă intervalul în loc de lista soluțiilor întregi; ecuația logaritmică rezolvată fără condiții de existență; asociativitatea „arătată" pe câteva numere; monotonia afirmată fără semnul derivatei pe tot $\mathbb{R}$; minorarea integralei fără inegalitatea dintre integranzi.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $r=a_{k+1}-a_k$, $a_n=a_k+(n-k)r$. Logaritmi: ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$. Procente: $p\%$ din $x$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot x$. Mediatoarea lui $[AB]$ trece prin mijlocul segmentului și are panta $m_d=-\frac{1}{m_{AB}}$. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=2R$.
• Determinanți: scăzând o linie din alta, valoarea determinantului nu se schimbă; un determinant cu o linie de zerouri (în afara unui element) se dezvoltă după acea linie.
• Legi de compoziție: dacă $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$, atunci $x\ast a=a\ast x=a$ ($a$ este element absorbant), iar legea este asociativă.
• Derivate: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$; o funcție cu derivata strict pozitivă pe $\mathbb{R}$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$; dacă $f$ este crescătoare și $a\le b$, atunci $f(a)\le f(b)$.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; dacă $f(x)\ge g(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește funcția $f(x)=x^3+x^2+x+3^x$ de la cerința $9$, iar la cerința $10$ apare familia $f_n(x)=x^n{e}^x$, cu $f_1(x)=x{e}^x$. În $f_n\left(x^2\right)$ variabila se înlocuiește cu $x^2$: $f_n\left(x^2\right)={\left(x^2\right)}^n{e}^{x^2}=x^{2n}{e}^{x^2}$.
• La cerința $9$, termenul $3^x$ este o exponențială (baza $3$, exponentul $x$), nu produsul $3x$; la subpunctul c), $3^b-3^a$ este diferența a două puteri ale lui $3$.
• Literele $A$ și $B$ denumesc la cerința $5$ punctele $A(1,4)$ și $B(5,0)$ din reper, iar la cerința $6$ vârfurile unui triunghi $ABC$ fără legătură cu ele; tot la cerința $6$, $A$ din $\sin A$ este unghiul $\sphericalangle BAC$.
• La cerința $8$, „$\ast$" este legea de compoziție din enunț, nu înmulțirea obișnuită; în $1\ast 2\ast \dots \ast 2011$ legea se aplică de la stânga la dreapta, dar, fiind asociativă, factorii se pot grupa oricum.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".