Bac M2 2011, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2011 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați $x\in \mathbb{R}$ pentru care numerele $x-1$, $x+1$ și $3x-1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-x$. Calculați $f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(10)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-1}=x-3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor ordonate cu $2$ elemente ale unei mulțimi cu $7$ elemente.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculați distanța de la punctul $A(2,3)$ la punctul de intersecție a dreptelor $d_1:2x-y-6=0$ și $d_2:-x+2y-6=0$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $M$ al triunghiului $MNP$, știind că $MN=4$, $MP=5$ și $NP=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\end{array}\right)$ și $X(a)=I_2+aA$, unde $a\in \mathbb{Z}$.

a) (5 puncte) Calculați $A^2-3A$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $X(a)\cdot X(b)=X(a+b+3ab)$, oricare ar fi $a,b\in \mathbb{Z}$.

c) (5 puncte) Arătați că $X(a)$ este matrice inversabilă, oricare ar fi $a\in \mathbb{Z}$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Polinomul $f=X^3+2X^2-5X+m$, cu $m\in \mathbb{R}$ are rădăcinile $x_1$, $x_2$ și $x_3$.

a) (5 puncte) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

b) (5 puncte) Determinați $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru care $x_1+x_2+x_3=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

c) (5 puncte) Arătați că determinantul $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_2& x_3& x_1\\ x_3& x_1& x_2\end{array}\right|$ este număr natural, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) (5 puncte) Arătați că $f(x)>0$, oricare ar fi $x\in [1,+\infty )$.

c) (5 puncte) Arătați că graficul funcției $f$ nu admite asimptotă spre $+\infty$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+10}$.

a) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei $Ox$, a graficului funcției $g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă $F$ a funcției $f$ este crescătoare pe mulțimea $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{-10}^{10}f(x)dx=2{\int }_0^{10}f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2011 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+2+1+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalte două: $$2(x+1)=x-1+3x-1\text{(3 p)}.$$ Desfăcând, $2x+2=4x-2$, deci $$2x=4⟹\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $x=2$ numerele sunt $1$, $3$, $5$, cu rația $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția pentru progresie geometrică, $(x+1{)}^2=(x-1)(3x-1)$; sau se pune ca termen din mijloc $3x-1$, deși ordinea din enunț este $x-1$, $x+1$, $3x-1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, un factor nul.

Printre factorii produsului se află și $f(5)$, iar $$f(5)=5-5=0\text{(3 p)}.$$ Un produs cu un factor nul este nul: $$f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(10)=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează pe rând $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)\cdot \dots \cdot (-5)$, sărind în grabă peste factorul $f(5)$, și se obține $-14400$. Înainte de orice înmulțire lungă se caută un factor nul.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Radicalul există pentru $x-1\ge 0$, iar membrul drept, fiind egal cu un radical, trebuie să fie nenegativ. Condiții: $$\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}⟹x\in [3,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Ridicând la pătrat: $$x-1=(x-3{)}^2⟹x^2-7x+10=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile ecuației de gradul al doilea sunt $$x=2\text{ sau }x=5\text{(1 p)}.$$ Cum $2\notin [3,+\infty )$, rămâne $$\mathbf{x}=5\text{(1 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{5-1}=2=5-3$, iar pentru $x=2$ se obține $\sqrt{1}=1\ne -1$ — soluție străină, apărută la ridicarea la pătrat. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții, uitând condiția $x-3\ge 0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, aranjamente.

O submulțime ordonată cu $2$ elemente este un aranjament de $7$ elemente luate câte $2$, deci numărul lor este $$A_7^2\text{(2 p)}.$$ Calculând: $$A_7^2=\frac{7!}{5!}=7\cdot 6=42\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără submulțimile neordonate, $C_7^2=21$ — la „ordonate" contează ordinea, deci fiecare pereche se numără de două ori; sau se scrie $7^2=49$, admițând și perechi cu același element de două ori.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, intersecția dreptelor și distanța.

Punctul de intersecție verifică ecuațiile ambelor drepte: $$\{\begin{array}{l}2x-y-6=0\\ -x+2y-6=0\end{array}⟹x=y=6\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $A(2,3)$ la punctul $(6,6)$ este $$d=\sqrt{(6-2{)}^2+(6-3{)}^2}\text{(2 p)},$$ $$d=5\text{(1 p)}.$$

(Rezolvarea sistemului: din prima ecuație $y=2x-6$; înlocuind, $-x+4x-12-6=0$, deci $x=6$ și $y=6$. Control: $2\cdot 6-6-6=0$ și $-6+12-6=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează distanța de la $A$ la una dintre drepte, cu formula distanței de la punct la dreaptă, în loc de distanța până la punctul de intersecție.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, teorema cosinusului.

Unghiul $M$ este cuprins între laturile $MN$ și $MP$, iar latura opusă lui este $NP$: $$\cos M=\frac{M{N}^2+M{P}^2-N{P}^2}{2\cdot MN\cdot MP}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind: $$\cos M=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade pătratul unei laturi alăturate unghiului, nu al laturii opuse — de exemplu $\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}$, care este $\cos N$; sau se uită factorul $2$ de la numitor și iese $\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea de forma $I_2+aA$.

a) (5 p) Se înmulțește $A$ cu ea însăși, linie cu coloană: $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -6& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Apoi $$3A=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -6& 6\end{array}\right)\text{(1 p)},$$ $$A^2-3A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{O}}_2\text{(1 p)}.$$

(Primul element al lui $A^2$: $1\cdot 1+(-1)\cdot (-2)=3$. Relația $A^2=3A$ este cheia întregii probleme. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 4\end{array}\right)$ — puterea unei matrice nu se face pe elemente.)

b) (5 p) Se desface produsul ca la numere, păstrând ordinea factorilor: $$X(a)\cdot X(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+bA+aA+ab{A}^2\text{(2 p)}.$$ Din subpunctul a), $A^2=3A$: $$=I_2+aA+bA+3abA\text{(1 p)},$$ $$=I_2+(a+b+3ab)A=\mathbf{X}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+3ab)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $abA$ în loc de $ab{A}^2$, uitând că $aA\cdot bA=ab{A}^2$; atunci iese $X(a+b+ab)$. Matricele $I_2$ și $A$ comută, deci desfacerea parantezelor nu ridică probleme de ordine.)

c) (5 p) Se scrie matricea explicit: $$X(a)=I_2+aA=\left(\begin{array}{cc}1+a& -a\\ -2a& 1+2a\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $$X(a)\text{ matrice inversabila˘}⟺\det X(a)\ne 0\text{(1 p)}.$$ Determinantul este $(1+a)(1+2a)-2a^2=1+3a$, deci $$1+3a\ne 0⟹a\ne -\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$ Deoarece $-\frac{1}{3}\notin \mathbb{Z}$, $X(a)$ este matrice inversabilă oricare ar fi $a\in \mathbb{Z}$ (1 p).

(Calculul determinantului: $(1+a)(1+2a)-(-a)(-2a)=1+3a+2a^2-2a^2=1+3a$. Control: $X(0)=I_2$, cu determinantul $1$. Unde se greșește de obicei: se adună $I_2$ greșit, doar pe primul element al diagonalei, $X(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& -a\\ -2a& 2a\end{array}\right)$; determinantul iese $2a$ și se ajunge la concluzia falsă că $X(0)$ nu ar fi inversabilă, deși $X(0)=I_2$. Tot greșit este să se oprească rezolvarea la $a\ne -\frac{1}{3}$, fără să se spună că acest număr nu este întreg.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=X^3+2X^2-5X+m$ dau $$x_1+x_2+x_3=-2\text{ și }{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-5\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor se scrie cu pătratul sumei: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\text{(2 p)},$$ $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=4+10=14\text{(1 p)}.$$

(Suma pătratelor nu depinde de $m$: parametrul intră doar în produsul rădăcinilor. Control pentru $m=0$: rădăcinile sunt $0$ și $-1\pm \sqrt{6}$, cu pătratele $0$ și $7\mp 2\sqrt{6}$, suma $14$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=5$, cu semnul schimbat, și iese $4-10=-6$ în loc de $14$. Semnul greșit la suma rădăcinilor, $2$ în loc de $-2$, nu se vede aici, pentru că pătratul ei este tot $4$, dar relația scrisă rămâne greșită.)

b) (5 p) Produsul rădăcinilor este $$x_1{x}_2{x}_3=-m\text{(1 p)}.$$ Suma inverselor se aduce la numitor comun: $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{-5}{-m}=\frac{5}{m}\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $-2=\frac{5}{m}$, deci $$x_1+x_2+x_3=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}⟺\mathbf{m}=-\frac{5}{2}\text{(2 p)}.$$

(Condiția $m\ne 0$ din enunț garantează că nicio rădăcină nu este $0$, deci inversele există. Control numeric: pentru $m=-\frac{5}{2}$, rădăcinile sunt aproximativ $1,73$, $-0,44$ și $-3,29$, iar suma inverselor iese, ca și suma rădăcinilor, $-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=m$, fără semnul minus, și iese $m=\frac{5}{2}$.)

c) (5 p) Determinantul circulant se calculează cu regula lui Sarrus și se grupează: $$\Delta =(x_1+x_2+x_3)\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1-x_1^2-x_2^2-x_3^2\right)\text{(3 p)}.$$ Cu valorile de la subpunctul a): $$\Delta =-2\cdot (-5-14)=38\in \mathbb{N}\text{(2 p)}.$$

(Regula lui Sarrus dă $\Delta =3x_1{x}_2{x}_3-x_1^3-x_2^3-x_3^3$, iar $x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1{x}_2{x}_3$ se descompune ca $(x_1+x_2+x_3)\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1{x}_2-x_2{x}_3-x_3{x}_1\right)$. Rezultatul $38$ nu depinde de $m$ — controlat pe patru valori ale parametrului. Unde se greșește de obicei: se schimbă semnul parantezei a doua și iese $-38$, care nu este număr natural.)

Exercițiul 9. (15 p) — limita raportului incremental, semn și asimptote.

a) (5 p) Limita din enunț este derivata funcției în $2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)\text{(2 p)}.$$ Derivata este $$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x^2}\text{(2 p)},$$ deci $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}={\mathbf{e}}^2+\frac{1}{4}\text{(1 p)}.$$

(Derivata lui $-\frac{1}{x}$ este $+\frac{1}{x^2}$: minusul din fața fracției și minusul din derivata lui $\frac{1}{x}$ se anulează. Unde se greșește de obicei: se scrie $f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x^2}$ și iese $e^2-\frac{1}{4}$.)

b) (5 p) Derivata este strict pozitivă pe tot domeniul: $$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{x^2}>0,\forall x\in [1,+\infty )⟹f\text{ cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Valoarea cea mai mică este deci cea din capătul $1$: $$f(1)=e-1>0⟹f(x)>0,\forall x\in [1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Pentru orice $x\ge 1$, $f(x)\ge f(1)=e-1\approx 1,72>0$. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $e^x>\frac{1}{x}$ pentru câteva valori; sau se afirmă monotonia fără să se spună unde este funcția cea mai mică.)

c) (5 p) Spre $+\infty$, $e^x\to +\infty$ și $\frac{1}{x}\to 0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ⟹\text{graficul nu admite asimptota˘ orizontala˘}\text{(2 p)}.$$ Pentru asimptota oblică se calculează panta: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty ⟹\text{graficul nu admite asimptota˘ oblica˘}\text{(3 p)}.$$

(Justificarea pantei: $\frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x^2}$, iar exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui $x$, deci $\frac{e^x}{x}\to +\infty$. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea după asimptota orizontală — o limită infinită exclude doar asimptota orizontală, nu și pe cea oblică.)

Exercițiul 10. (15 p) — volum de rotație, monotonia primitivelor, funcție pară.

a) (5 p) Cu $g(x)=f(x)=\sqrt{x^2+10}$, pătratul funcției scapă de radical: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^3\left(x^2+10\right)dx\text{(2 p)}.$$ Integrând: $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{x^3}{3}+10x\right){|}_0^3=39\pi \text{(3 p)}.$$

(Calculul: $\frac{27}{3}+30=9+30=39$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\sqrt{x^2+10}$ în loc de pătratul lui; sau se uită factorul $\pi$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

b) (5 p) Orice primitivă are derivata egală cu funcția: $$F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Funcția este strict pozitivă, fiind un radical dintr-un număr cel puțin egal cu $10$: $$f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}⟹F\text{ este cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Nu e nevoie de formula primitivei: monotonia se citește din semnul derivatei, iar derivata oricărei primitive este chiar $f$. Unde se greșește de obicei: se încearcă găsirea unei formule pentru $F$ și rezolvarea se împotmolește; sau se demonstrează că $f$ este crescătoare, ceea ce nici nu este adevărat pe $(-\infty ,0]$.)

c) (5 p) Se împarte intervalul în două: $${\int }_{-10}^{10}f(x)dx={\int }_{-10}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{10}f(x)dx\text{(2 p)}.$$ În prima integrală se face schimbarea de variabilă $x=-t$, $dx=-dt$; funcția este pară, $f(-t)=\sqrt{t^2+10}=f(t)$: $$={\int }_{10}^0(-f(t))dt+{\int }_0^{10}f(x)dx\text{(2 p)},$$ iar prima integrală, cu capetele inversate, este ${\int }_0^{10}f(t)dt$, deci $$=2{\int }_0^{10}f(x)dx\text{(1 p)}.$$

(Numele variabilei de integrare nu contează: ${\int }_0^{10}f(t)dt={\int }_0^{10}f(x)dx$. Control numeric: ambii membri sunt aproximativ $123,566$. Unde se greșește de obicei: se schimbă variabila fără să se schimbe capetele integralei, sau se uită minusul din $dx=-dt$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea iunie-iulie 2011 a examenului de bacalaureat — Varianta 5, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2011 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un factor nul anulează tot produsul — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: condițiile de existență, ridicarea la pătrat, eliminarea soluției străine — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: submulțimile ordonate sunt aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: intersecția a două drepte și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: puteri, produsul $X(a)\cdot X(b)$ și inversabilitatea prin determinant — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: relațiile lui Viète și un determinant circulant cu rădăcinile — clasele a XI-a și a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: limita raportului incremental, monotonia și asimptotele spre $+\infty$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: volumul unui corp de rotație, monotonia unei primitive și integrala unei funcții pare pe un interval simetric — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2011. Subiectul I are șase cerințe scurte, dintre care două cu o „capcană" de atenție: produsul $f(0)\cdot f(1)\cdot \dots \cdot f(10)$ conține factorul $f(5)=0$, iar ecuația $\sqrt{x-1}=x-3$ are o soluție străină, eliminată de condiția $x\ge 3$. Subiectul al II-lea pune o matrice de forma $I_2+aA$, la care totul se sprijină pe relația $A^2=3A$ de la subpunctul a), apoi un polinom de gradul al treilea cu parametru la care suma pătratelor rădăcinilor și un determinant circulant cu rădăcinile nu depind de parametru. Subiectul al III-lea cere o limită a raportului incremental, semnul unei funcții din monotonie și absența asimptotelor spre $+\infty$, apoi un volum de rotație, monotonia oricărei primitive și proprietatea integralei unei funcții pare pe un interval simetric.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $e^2+\frac{1}{4}$ și $39\pi$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind punctajul obținut la 10.
• Greșeli de redactare de evitat: ecuația irațională rezolvată fără condiții, cu ambele soluții păstrate; inversabilitatea afirmată fără să se arate că determinantul nu se anulează pentru niciun $a$ întreg; semnul funcției afirmat fără monotonie și fără valoarea din capătul intervalului; asimptota oblică exclusă fără limita lui $\frac{f(x)}{x}$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $2b=a+c$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu condițiile $u\ge 0$, $v\ge 0$. Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Teorema cosinusului: $\cos M=\frac{M{N}^2+M{P}^2-N{P}^2}{2\cdot MN\cdot MP}$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; la matricele de forma $I_2+aA$ cu $A^2=kA$, produsul rămâne de aceeași formă.
• Polinoame: pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète sunt $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$; ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ cere ca $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ să fie un număr real nenul.
• Integrale: volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; o primitivă $F$ a lui $f$ are $F^{\prime }=f$; pentru o funcție pară, ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=5-x$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+2X^2-5X+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=e^x-\frac{1}{x}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\sqrt{x^2+10}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, ${\mathbb{R}}^{\ast }$ înseamnă mulțimea numerelor reale nenule, iar $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului; la cerința $4$, „submulțimi ordonate cu $2$ elemente" înseamnă perechi ordonate de elemente distincte, adică aranjamente.
• La cerința $10$, subpunctul a), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $g(g(x))$. Tot la cerința $10$, $F$ este o primitivă oarecare a lui $f$.
• Litera $A$ este punctul $A(2,3)$ la cerința $5$ și matricea $A$ la cerința $7$, iar $A_7^2$ de la cerința $4$ este simbolul aranjamentelor. Litera $X$ este matricea $X(a)$ la cerința $7$ și nedeterminata polinomului $f$ la cerința $8$. La cerința $5$, $d_1$ și $d_2$ sunt drepte, iar $d$ din barem este distanța cerută; la cerința $8$, $\Delta$ este determinantul din enunț, iar la cerința $3$, în ghidaj, $\Delta$ este discriminantul ecuației $x^2-7x+10=0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".