Bac M2 2011, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2011 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numerele întregi $x$ care verifică relația $-1\le \frac{x+1}{3}<1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-2x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2-\sqrt{2-x}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați $\frac{P_5}{C_5^2+A_6^2}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$ și $B(-1,0)$. Scrieți ecuația dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați perimetrul triunghiului $MNP$ știind că $MN=2$, $MP=3$ și $m(\sphericalangle NMP)=120^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

b) (5 puncte) Calculați $A^2-2A+I_2$.

c) (5 puncte) Determinați matricele $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $X^2=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+12$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x=19$.

c) (5 puncte) Știind că legea „$\ast$" este asociativă, calculați $\sqrt[3]{1}\ast \sqrt[3]{2}\ast \dots \ast \sqrt[3]{2011}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $f^{\prime }(x)-f(x)=x-1$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ spre $-\infty$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^e\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=1$ și $x=2$.

c) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul modelului are, la cele mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+1+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — inecuație dublă în $\mathbb{Z}$.

Se înmulțesc toți membrii cu $3>0$, deci sensul inegalităților se păstrează: $$-1\le \frac{x+1}{3}<1⟺-3\le x+1<3\text{(2 p)}.$$ Se scade $1$ din toți membrii: $$-4\le x<2\text{(2 p)}.$$ Dintre numerele reale din $[-4,2)$ se păstrează doar cele întregi: $$x\in \mathbb{Z}⟹\mathbf{x}\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}\text{(1 p)}.$$

(Control la capete: pentru $x=-4$, $\frac{-3}{3}=-1$ — inegalitatea nestrictă permite egalitatea; pentru $x=2$, $\frac{3}{3}=1$ — inegalitatea strictă nu o permite. Unde se greșește de obicei: se include $2$ sau se exclude $-4$, citind greșit care dintre inegalități este strictă.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Punctul de intersecție are aceeași ordonată pe ambele grafice: $$f(x)=g(x)⟹2x-1=x^2-2x+3\text{(1 p)}.$$ Aducând totul într-un membru: $$x^2-4x+4=0⟹x=2\text{(2 p)},$$ iar $f(2)=3$, deci $$\text{punctul de intersecție este }\mathbf{A}(2,3)\text{(2 p)}.$$

(Ecuația $x^2-4x+4=(x-2{)}^2=0$ are o singură rădăcină, deci dreapta este tangentă la parabolă și există un singur punct comun. Control: $g(2)=4-4+3=3=f(2)$. Unde se greșește de obicei: se dă ca răspuns doar $x=2$, fără ordonată — enunțul cere coordonatele punctului.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se izolează radicalul: $$\sqrt{2-x}=2-x\text{(1 p)}.$$ Radicalul există doar pentru argument nenegativ: $$\text{condiție: }2-x\ge 0⟹x\in (-\infty ,2]\text{(1 p)}.$$ Cu această condiție, ambii membri sunt nenegativi, iar ridicarea la pătrat este o echivalență: $$\text{ecuația data˘ este echivalenta˘ cu }2-x=4-4x+x^2⟺x^2-3x+2=0\text{(2 p)},$$ cu rădăcinile $1$ și $2$, amândouă în $(-\infty ,2]$: $$\mathbf{x}\in \{1,2\}\text{(1 p)}.$$

(Verificare: $2-\sqrt{1}=1$ și $2-\sqrt{0}=2$. Un drum mai scurt: cu $t=\sqrt{2-x}\ge 0$, ecuația devine $t=t^2$, deci $t\in \{0,1\}$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fără să se izoleze radicalul, scriind ${\left(2-\sqrt{2-x}\right)}^2=4-(2-x)$, fără termenul dublu; iese $x^2=x+2$, cu soluțiile $-1$ și $2$, iar $x=-1$ nu verifică ecuația: $2-\sqrt{3}\ne -1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — permutări, combinări, aranjamente.

Se calculează fiecare număr: $$P_5=5!=120,C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=10,A_6^2=\frac{6!}{4!}=30\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\frac{P_5}{C_5^2+A_6^2}=\frac{120}{40}=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ și $A_6^2=6\cdot 5=30$. Unde se greșește de obicei: se confundă $A_6^2$ cu $C_6^2=15$, iar raportul iese $\frac{120}{25}$, care nici nu este întreg.)

Exercițiul 5. (5 p) — ecuația dreptei prin două puncte.

Ecuația dreptei prin $A(2,3)$ și $B(-1,0)$: $$\frac{y-3}{0-3}=\frac{x-2}{-1-2}\text{(3 p)},$$ adică $y-3=x-2$, deci $$\text{ecuația dreptei }AB:\mathbf{y}=\mathbf{x}+1\text{(2 p)}.$$

(Control: $3=2+1$ și $0=-1+1$, deci ambele puncte sunt pe dreaptă. Unde se greșește de obicei: se inversează la un numitor ordinea, $\frac{y-3}{3-0}=\frac{x-2}{-1-2}$, și iese panta $-1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Prin aplicarea teoremei cosinusului în triunghiul $MNP$ se obține $$N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2MN\cdot MP\cdot \cos \left(\sphericalangle NMP\right)\text{(2 p)}.$$ Cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$: $$N{P}^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=19⟹NP=\sqrt{19}\text{(2 p)}.$$ Perimetrul: $$\text{perimetrul este egal cu }2+3+\sqrt{19}=5+\sqrt{19}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos 120^{\circ }=\frac{1}{2}$ și iese $N{P}^2=7$; unghiul este obtuz, deci latura opusă lui este cea mai lungă. Control: $\sqrt{19}\approx 4,36>3$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se scrie determinantul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)},$$ $$\det A=1\cdot 1-2\cdot 0=1-0=1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele pe linii, $1\cdot 2-0\cdot 1=2$, în loc de diagonale; sau se ia $2\cdot 0-1\cdot 1=-1$, cu produsele în ordine inversă.)

b) (5 p) Pătratul matricei: $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește în expresie: $$A^2-2A+I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ $$A^2-2A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(1 p)}.$$

(Altă privire: $A^2-2A+I_2=(A-I_2{)}^2$, iar $A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ are pătratul nul. Aici și ridicarea la pătrat a fiecărui element ar da, întâmplător, tot $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$; înmulțirea matricelor se face însă linie cu coloană. Unde se greșește de obicei: $I_2$ se adună ca și cum ar avea $1$ pe toate pozițiile și iese $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ în loc de $O_2$; sau se înmulțește cu $2$ doar prima linie a lui $A$ și iese $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Se caută $X$ cu elemente necunoscute: $$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟹X^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Egalând cu $A$ element cu element: $$X^2=A⟺\{\begin{array}{l}{a}^2+bc=1\\ b(a+d)=2\\ c(a+d)=0\\ d^2+bc=1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^2+bc=1\\ a=d\\ ab=1\\ c=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ a=d\\ ab=1\\ c=0\end{array}\text{(3 p)}.$$ Pentru $a=1$: $b=1$, $d=1$; pentru $a=-1$: $b=-1$, $d=-1$. Se obțin soluțiile $$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& -1\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$

(Justificarea echivalențelor, pe care baremul le scrie direct: din $b(a+d)=2$ rezultă $a+d\ne 0$, deci din $c(a+d)=0$ rezultă $c=0$; atunci $a^2=d^2=1$, iar $a+d\ne 0$ exclude $d=-a$, deci $a=d$; în sfârșit, $b\cdot 2a=2$ dă $ab=1$. Control: ${\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se găsește doar matricea cu $a=1$ și se uită că $a^2=1$ are și soluția $a=-1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se desface membrul drept: $$(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3\text{(3 p)},$$ $$xy-3x-3y+12=x\ast y,\forall x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se desface $(x-3)(y-3)$ ca $xy-3x-3y-9$, cu semnul produsului $(-3)(-3)$ greșit.)

b) (5 p) Cu forma de la a): $$x\ast x=19⟹(x-3{)}^2+3=19\text{(2 p)},$$ $$(x-3{)}^2=16⟹x-3=\pm 4⟹\mathbf{x}\in \{-1,7\}\text{(3 p)}.$$

(Control: $(-1)\ast (-1)=1+3+3+12=19$ și $7\ast 7=49-21-21+12=19$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x-3=4$, adică doar $x=7$.)

c) (5 p) Numărul $3$ „absoarbe" orice număr: $$x\ast 3=3\ast x=3,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)},$$ pentru că $(x-3)\cdot 0+3=3$. Printre factori apare $\sqrt[3]{27}=3$; legea fiind asociativă, se grupează: $$\sqrt[3]{1}\ast \sqrt[3]{2}\ast \dots \ast \sqrt[3]{2011}=\left(\sqrt[3]{1}\ast \dots \ast \sqrt[3]{26}\right)\ast 3\ast \left(\sqrt[3]{28}\ast \sqrt[3]{29}\ast \dots \ast \sqrt[3]{2011}\right)\text{(2 p)},$$ $$\sqrt[3]{1}\ast \sqrt[3]{2}\ast \dots \ast \sqrt[3]{2011}=3\text{(1 p)}.$$

(Cele două paranteze sunt niște numere reale, oricare ar fi ele, iar $u\ast 3\ast v=3\ast v=3$. Unde se greșește de obicei: se ia $\sqrt[3]{1}=1$ drept elementul care „absoarbe", ca $0$ la înmulțirea obișnuită, și se răspunde $1$ — dar $x\ast 1=-2x+9$, deci $1$ nu are această proprietate; la această lege, elementul care „absoarbe" este $3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, asimptotă oblică.

a) (5 p) Derivata: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x-x\right)}^{\prime }=e^x-1\text{(3 p)}.$$ Diferența cerută: $$f^{\prime }(x)-f(x)=\left(e^x-1\right)-\left(e^x-x\right)=\mathbf{x}-1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: la scăderea parantezei $\left(e^x-x\right)$ nu se schimbă semnul lui $x$ și iese $-x-1$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $0$: $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\text{(2 p)}.$$ Valorile: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=0\text{(2 p)},$$ deci $$\text{ecuația tangentei este }\mathbf{y}=1\text{(1 p)}.$$

(Tangenta este orizontală, pentru că $f^{\prime }(0)=e^0-1=0$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(0)=0$, uitând că $e^0=1$.)

c) (5 p) Panta: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-x}{x}=-1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine, cu $m=-1$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0\text{(2 p)},$$ deci $$\text{ecuația asimptotei este }\mathbf{y}=-\mathbf{x}\text{(1 p)}.$$

(Pentru $x\to -\infty$, $e^x\to 0$, deci $\frac{e^x-x}{x}=\frac{e^x}{x}-1\to 0-1=-1$. Spre $+\infty$ funcția nu are asimptotă oblică, pentru că $\frac{e^x}{x}\to +\infty$. Unde se greșește de obicei: la $n$ se scrie $\lim (f(x)-x)$, uitând că $m=-1$, iar $f(x)-mx=f(x)+x$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, arie, volum de rotație.

a) (5 p) Termenul $\frac{1}{x+1}$ se reduce: $${\int }_1^e\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx={\int }_1^e\frac{1}{x}dx\text{(2 p)},$$ $${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^e\text{(2 p)},$$ $$\ln e-\ln 1=1\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $\frac{1}{x}$ ca $-\frac{1}{x^2}$, confundând primitiva cu derivata.)

b) (5 p) Pe $[1,2]$ funcția este pozitivă, deci modulul dispare: $$\mathcal{S}={\int }_1^2|f(x)|dx={\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)dx\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{S}=(\ln x+\ln (x+1)){|}_1^2\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{S}=(\ln 2+\ln 3)-(\ln 1+\ln 2)=\ln 3\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $\ln 3\approx 1,0986$. În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită $\ln 1=0$ și $\ln 2$ de la capătul de jos, și iese $\ln 6$.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx\text{(1 p)}.$$ Pătratul sumei: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{2}{x(x+1)}\right)dx\text{(1 p)}.$$ Cu $\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}$, o primitivă a integrandului este $-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+2\ln \frac{x}{x+1}$: $$\mathcal{V}=\pi \left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+2\ln \frac{x}{x+1}\right){|}_1^2\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{2}{3}+2\ln \frac{4}{3}\right)\text{(1 p)}.$$

(Calculul capetelor: în $2$, $-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2\ln \frac{2}{3}=-\frac{5}{6}+2\ln \frac{2}{3}$; în $1$, $-1-\frac{1}{2}+2\ln \frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+2\ln \frac{1}{2}$; diferența este $\frac{2}{3}+2\ln \frac{4}{3}$. Control numeric: $\mathcal{V}\approx 3,902$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat suma ca sumă a pătratelor, $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1{)}^2}$, uitând termenul dublu $\frac{2}{x(x+1)}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), proba scrisă la matematică, programa M2, publicat înaintea sesiunilor din 2011 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2011 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Inecuații: o inecuație dublă de gradul întâi, rezolvată în mulțimea numerelor întregi — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcții: punctul de intersecție al graficelor unei funcții de gradul întâi și al unei funcții de gradul al doilea — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: izolarea radicalului, condiția de existență, ridicarea la pătrat — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: permutări, combinări și aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei prin două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului și perimetrul unui triunghi — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, puteri, ecuația matriceală $X^2=A$ rezolvată prin sistem — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, o ecuație cu legea, un calcul lung scurtat de un element care „absoarbe" — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, tangenta într-un punct, asimptota oblică spre $-\infty$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: integrală definită, aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2011. Modelul arată o probă cu două fețe. Subiectul I are cerințe scurte, dar baremul lor are trei sau patru rânduri, câte unul pentru fiecare etapă — condiția de existență la ecuația irațională, trecerea la numere întregi la inecuație. Subiectul al II-lea aduce un subpunct c) cu adevărat de gândire: ecuația matriceală $X^2=A$, rezolvată ca un sistem de patru ecuații cu patru necunoscute, și un „produs" de $2011$ termeni care se reduce la un singur număr, pentru că $\sqrt[3]{27}=3$ „absoarbe" tot. Subiectul al III-lea are o funcție simplă, $e^x-x$, și o funcție cu două fracții, $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$, pe care se cer o integrală, o arie și un volum — iar la volum pătratul sumei scoate la iveală termenul $\frac{2}{x(x+1)}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri". Tot așa, descompunerea în fracții simple a lui $\frac{2}{x(x+1)}$ de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul c), stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, o mulțime finită, o dreaptă, un radical și expresii cu $\ln$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, intervalul $[-4,2)$ dat ca răspuns, fără alegerea numerelor întregi; ecuația irațională rezolvată fără condiția $2-x\ge 0$; la ecuația $X^2=A$, o singură matrice găsită în loc de două; la produsul de la problema a doua, trecerea directă la rezultat fără a arăta că $3$ „absoarbe" orice număr; aria scrisă fără modul sau fără justificarea că funcția este pozitivă.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Inecuații duble: $a\le \frac{u}{3}<b⟺3a\le u<3b$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v$ cere $u\ge 0$ și $v\ge 0$, apoi $u=v^2$. Combinatorică: $P_n=n!$, $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Dreapta prin două puncte: $\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$. Teorema cosinusului: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos \sphericalangle NMP$; $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$; ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)$.
• Legi de compoziție: dacă $x\ast 3=3\ast x=3$ pentru orice $x$, atunci orice „produs" care conține factorul $3$ este egal cu $3$.
• Derivate: tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; asimptota oblică spre $-\infty$: $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$; aria $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$; volumul de rotație $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=2x-1$ de la cerința $2$, $f(x)=e^x-x$ de la cerința $9$ și $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ de la cerința $10$. Litera $g$ denumește două funcții: $g(x)=x^2-2x+3$ la cerința $2$ și $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerința $5$ (și, în barem, punctul de intersecție $A(2,3)$ de la cerința $2$), o matrice la cerința $7$, iar în baremul cerinței $10$ notează aria. Fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită; iar $\sqrt[3]{1}\ast \sqrt[3]{2}\ast \dots \ast \sqrt[3]{2011}$ are sens fără paranteze pentru că legea este asociativă.
• La cerința $10$, $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu $g(g(x))$; iar la cerința $9$, $e$ din $e^x$ este baza logaritmului natural.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".