Bac M2 2012, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2012 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul $a={\log }_{3}2$. Arătați că ${\log }_{3}6=1+a$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(0,1)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m-3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x+1)-{\log }_2(x+3)=-1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\{1,2,3,\dots ,30\}$, acesta să fie divizibil cu $7$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(4,-1)$. Determinați coordonatele punctului $B$, știind că $O$ este mijlocul segmentului $(AB)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$, știind că $AB=5$, $AC=6$ și $BC=7$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+ay+3z=1\\ 4x+a^{2}y+9z=1\end{array},\text{ unde }a\in \mathbb{R}\text{ și se noteaza˘ cu }A\text{ matricea sistemului.}$$

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-a^2+5a-6$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale numărului $a$ pentru care matricea $A$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Pentru $a=1$, rezolvați sistemul.

Exercițiul 8 (15 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se consideră polinomul $f=m{X}^5+nX$, cu $m,n\in {\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 puncte) Determinați $n\in {\mathbb{Z}}_5$ pentru care $f\left(\hat{1}\right)=m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=\hat{1}$ și $n=\hat{4}$, determinați rădăcinile din ${\mathbb{Z}}_5$ ale polinomului $f$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă $f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{2}\right)$, atunci $f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)\cdot \ln x}{x^2-x-1}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\cdot \sqrt{x+1}$.

a) (5 puncte) Determinați primitivele funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\sqrt{x+1}\cdot f(x)dx$.

c) (5 puncte) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=e^{-x}\cdot f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=2$ și $x=3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2012 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $1+2+1+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi.

Cum $6=3\cdot 2$, logaritmul produsului este suma logaritmilor: $${\log }_{3}6={\log }_{3}3+{\log }_{3}2\text{(2 p)}.$$ Cum ${\log }_{3}3=1$ și ${\log }_{3}2=a$: $$1+{\log }_{3}2=1+\mathbf{a}\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: ${\log }_{3}2\approx 0,63093$, iar ${\log }_{3}6\approx 1,63093$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{3}6={\log }_{3}3\cdot {\log }_{3}2=a$, confundând logaritmul produsului cu produsul logaritmilor; sau ${\log }_{3}6=2{\log }_{3}3=2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, punct pe grafic.

Un punct aparține graficului exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$A(0,1)\in G_f⟺f(0)=1\text{(2 p)}.$$ Calculând valoarea în $0$: $$f(0)=0-0+m-3=m-3\text{(2 p)},$$ deci $m-3=1$, adică $$\mathbf{m}=4\text{(1 p)}.$$

(Control: pentru $m=4$, $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, iar $f(0)=1$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $f(0)=0$, ca la intersecția graficului cu axa $Ox$, și iese $m=3$; pentru $m=3$, $f(0)=0\ne 1$. Inversarea coordonatelor, $f(1)=0$, dă aici întâmplător tot $m=4$, dar condiția scrisă e greșită.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Diferența a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului, iar $-1={\log }_2{2}^{-1}$: $${\log }_2\frac{x+1}{x+3}=-1⟺\frac{x+1}{x+3}=2^{-1}\text{(3 p)}.$$ Din $2(x+1)=x+3$ rezultă $2x+2=x+3$, deci $$\mathbf{x}=1\text{(1 p)}.$$ Verificarea condițiilor de existență: $x+1=2>0$ și $x+3=4>0$, deci $x=1$ convine (1 p).

(Control: ${\log }_{2}2-{\log }_{2}4=1-2=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{x+1}{x+3}=-2$ sau $=2$, citind greșit $2^{-1}$; sau se sare verificarea condițiilor — aici soluția convine, dar verificarea este un rând separat al baremului.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Probabilitatea unui eveniment este $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Numerele divizibile cu $7$ din mulțime sunt $7$, $14$, $21$, $28$ $⟹$ $4$ cazuri favorabile (2 p). Mulțimea are $30$ de elemente $⟹$ $30$ de cazuri posibile (1 p). $$p=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără și $35$, care nu este în mulțime, sau se uită $28$; ori se lasă rezultatul nesimplificat — $\frac{4}{30}$ este corect, dar forma ireductibilă este $\frac{2}{15}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor; folosite invers, ele dau celălalt capăt: $$O\text{ este mijlocul segmentului }(AB)⟺x_B=2x_O-x_A⟺x_B=-4\text{(3 p)},$$ $$y_B=2y_O-y_A⟺{\mathbf{y}}_{\mathbf{B}}=1\text{(2 p)},$$ adică $B(-4,1)$.

(Control: mijlocul lui $(AB)$ este $\left(\frac{4-4}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=(0,0)$. $B$ este simetricul lui $A$ față de origine: se schimbă semnul ambelor coordonate. Unde se greșește de obicei: se schimbă semnul doar la o coordonată, $B(-4,-1)$; sau se calculează mijlocul lui $(OA)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Latura $BC$ se opune unghiului $A$: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A\text{(3 p)}.$$ Înlocuind: $49=25+36-60\cos A$, deci $60\cos A=12$ și $$\cos \mathbf{A}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(Control: $\cos A>0$, deci unghiul $A$ este ascuțit — plauzibil, pentru că $B{C}^2=49<61=A{B}^2+A{C}^2$. Unde se greșește de obicei: se pune în stânga altă latură, de exemplu $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos A$ — aceea este formula pentru unghiul $C$.)

Exercițiul 7. (15 p) — sistem liniar și matricea lui.

a) (5 p) Matricea sistemului are pe linii coeficienții ecuațiilor: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& a& 3\\ 4& a^2& 9\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=9a+12+2a^2-4a-3a^2-18=-a^2+5a-6\text{(3 p)}.$$

(Detaliul lui Sarrus: diagonalele principale dau $1\cdot a\cdot 9+1\cdot 3\cdot 4+1\cdot 2\cdot a^2=9a+12+2a^2$, iar cele secundare $1\cdot a\cdot 4+1\cdot 3\cdot a^2+1\cdot 2\cdot 9=4a+3a^2+18$. Control: pentru $a=0$, $\det A=12-18=-6$. Unde se greșește de obicei: se scrie matricea cu coloana a doua $1$, $a$, $a$, uitând pătratul din a treia ecuație.)

b) (5 p) O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $$A\text{ este inversabila˘}⟺\det A\ne 0\text{(2 p)}.$$ Ecuația $\det A=0$: $$-a^2+5a-6=0⟹a_1=2,a_2=3\text{(2 p)}.$$ Deci $$\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{2,3\}\text{(1 p)}.$$

(Control: $-4+10-6=0$ și $-9+15-6=0$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $a\in \{2,3\}$ — acestea sunt tocmai valorile pentru care matricea NU este inversabilă.)

c) (5 p) Pentru $a=1$ sistemul devine $$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+y+3z=1\\ 4x+y+9z=1\end{array}\text{(2 p)}.$$ Determinantul este $-1+5-6=-2\ne 0$, deci soluția este unică. Scăzând prima ecuație din a doua: $x+2z=0$; scăzând a doua din a treia: $2x+6z=0$, adică $x+3z=0$. De aici $z=0$, $x=0$ și $y=1$: $$\mathbf{x}=0,\mathbf{y}=1,\mathbf{z}=0\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $0+1+0=1$ în toate cele trei ecuații. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $a=1$ și în $a^2$ ca $2$, adică se scrie $4x+2y+9z=1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 p) Cum ${\hat{1}}^5=\hat{1}$: $$f\left(\hat{1}\right)=m+n\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $$m+n=m⟺\mathbf{n}=\hat{0}\text{(3 p)}.$$

(În ${\mathbb{Z}}_5$ se poate scădea $m$ din ambii membri, ca la numere. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(\hat{1}\right)=m\cdot n$ sau se răspunde $n=m$.)

b) (5 p) Pentru $m=\hat{1}$ și $n=\hat{4}$: $$f=X^5+\hat{4}X\text{(1 p)}.$$ Se încearcă toate cele cinci elemente ale lui ${\mathbb{Z}}_5$; pentru fiecare $k$, $k^5=k$, deci $f(k)=k+\hat{4}k=\hat{5}k=\hat{0}$: $$f\left(\hat{0}\right)=f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{2}\right)=f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)=\hat{0}\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile polinomului $f$ sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}$ și $\hat{4}$ (1 p).

(Pe rând: ${\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2}$, iar $\hat{2}+\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}$; ${\hat{3}}^5=\widehat{243}=\hat{3}$, iar $\hat{3}+\widehat{12}=\hat{3}+\hat{2}=\hat{0}$; ${\hat{4}}^5=\widehat{1024}=\hat{4}$, iar $\hat{4}+\widehat{16}=\hat{4}+\hat{1}=\hat{0}$. Atenție la o nuanță: $f$ nu este polinomul nul (are coeficienții $\hat{1}$ și $\hat{4}$), deși se anulează în toate elementele lui ${\mathbb{Z}}_5$ — funcția polinomială asociată este nulă, polinomul nu. Unde se greșește de obicei: se încearcă doar $\hat{0}$ și $\hat{1}$ și se oprește căutarea; sau se crede că un polinom de gradul al cincilea „nu poate" avea atâtea rădăcini — în ${\mathbb{Z}}_5$ are exact cinci.)

c) (5 p) Pentru orice $k\in {\mathbb{Z}}_5$, $k^5=k$, deci $f(k)=mk+nk=k(m+n)$. În particular $$f\left(\hat{1}\right)=m+n,f\left(\hat{2}\right)=\hat{2}(m+n)\text{(1 p)}.$$ Din ipoteză: $$f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{2}\right)⟹m+n=\hat{0}\text{(2 p)}.$$ Atunci $$f\left(\hat{3}\right)=\hat{3}(m+n)=\hat{0},f\left(\hat{4}\right)=\hat{4}(m+n)=\hat{0}⟹f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)\text{(2 p)}.$$

(Din $m+n=\hat{2}(m+n)$ rezultă, scăzând, $\hat{0}=m+n$. Valorile $f\left(\hat{2}\right)=\widehat{32}m+\hat{2}n=\hat{2}m+\hat{2}n$ se obțin reducând $32$ modulo $5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(\hat{2}\right)=\widehat{32}m+\hat{2}n$ și se lasă așa, fără reducere, iar egalitatea cu $f\left(\hat{1}\right)$ nu mai duce nicăieri.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și asimptotă oblică.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x+1)-\left(x^2-x-1\right)}{(x+1{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2x^2+x-1-x^2+x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{{\mathbf{x}}^2+2x}{(\mathbf{x}+1{)}^2},x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită paranteza la al doilea termen și se scrie $-x^2-x-1$ în loc de $-x^2+x+1$, adică semnul minus se aplică doar primului termen.)

b) (5 p) Cum $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x+1}$, factorul $x^2-x-1$ se simplifică (pentru $x$ mare el nu se anulează): $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)\cdot \ln x}{x^2-x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x+1}=\text{(2 p)}$$ Limita este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$; cu regula lui l'Hôpital: $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x+1}=1$, crezând că logaritmul crește „cam cât" $x$ — el crește mult mai încet. Control numeric: pentru $x=10^6$, $\frac{\ln x}{x+1}\approx 0,0000138$.)

c) (5 p) Panta asimptotei: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-x-1}{x^2+x}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+1}=-2\text{(2 p)}.$$ Deci $$\mathbf{y}=\mathbf{x}-2\text{ este ecuația asimptotei oblice spre }+\infty \text{(1 p)}.$$

(Calculul lui $n$: $\frac{x^2-x-1}{x+1}-x=\frac{x^2-x-1-x^2-x}{x+1}=\frac{-2x-1}{x+1}$. Control prin împărțire: $x^2-x-1=(x+1)(x-2)+1$, deci $f(x)=x-2+\frac{1}{x+1}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, care este $+\infty$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive, integrare prin părți și arie.

a) (5 p) Radicalul se simplifică: $$g(x)=\frac{e^x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=e^x\text{(2 p)}.$$ Primitivele lui $g$ sunt $$\int g(x)dx={\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}+\mathcal{C}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se dă o singură primitivă, $e^x$, fără constantă — cerința cere TOATE primitivele; sau se scrie $\frac{e^{x+1}}{x+1}$, ca la o putere.)

b) (5 p) Produsul a doi radicali egali dă argumentul: $${\int }_1^2\sqrt{x+1}\cdot f(x)dx={\int }_1^2(x+1)\cdot e^{x}dx=\text{(1 p)}$$ Prin părți, cu $(x+1{)}^{\prime }=1$ și ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$: $$=(x+1)e^x{|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{x}dx=\text{(3 p)}$$ $$=3e^2-2e-\left(e^2-e\right)=2{\mathbf{e}}^2-\mathbf{e}\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $2e^2-e\approx 12,05983$. Un control pe primitivă: ${\left(x{e}^x\right)}^{\prime }=(x+1)e^x$, deci integrala este $x{e}^x{|}_1^2=2e^2-e$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}=(x+1{)}^2$; sau, la integrarea prin părți, se uită minusul din fața lui ${\int }_1^2{e}^{x}dx$ și iese $4e^2-3e$.)

c) (5 p) Exponențialele se simplifică: $$h(x)=e^{-x}\cdot e^x\sqrt{x+1}=\sqrt{x+1}\text{(1 p)}.$$ Funcția $h$ este pozitivă, deci aria este integrala ei, fără modul: $$\mathcal{S}={\int }_2^3|h(x)|dx={\int }_2^3\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}{|}_2^3=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2}{3}\left(4\cdot 2-3\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\left(8-3\sqrt{3}\right)\text{(1 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{2}{3}\left(8-3\sqrt{3}\right)\approx 1,86923$, între $\sqrt{3}\approx 1,73$ și $2$, valorile lui $h$ în capete — plauzibil pentru un interval de lungime $1$. În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $\sqrt{x+1}$ se scrie $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ — aceea este derivata.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea august-septembrie 2012 a examenului de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2012 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: logaritmul unui produs, ${\log }_{3}6={\log }_{3}3+{\log }_{3}2$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: un punct de pe grafic dă o ecuație în parametru — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: diferența de logaritmi, trecerea la ecuația algebrică și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea multiplilor lui $7$ până la $30$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: simetricul unui punct față de origine, prin mijlocul segmentului — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinantul matricei unui sistem, inversabilitatea ei și rezolvarea sistemului pentru o valoare a parametrului — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame peste ${\mathbb{Z}}_5$: valorile polinomului în elementele lui ${\mathbb{Z}}_5$ și rădăcinile lui — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, o limită la $+\infty$ și asimptota oblică — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: mulțimea primitivelor, integrarea prin părți și aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2012. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, fiecare cu o formulă de bază: logaritmul produsului, valoarea funcției în $0$, diferența de logaritmi, multiplii lui $7$, mijlocul unui segment folosit invers și teorema cosinusului. Subiectul al II-lea pune un sistem liniar a cărui matrice are coloana a doua $1$, $a$, $a^2$ — determinantul se anulează exact pentru $a=2$ și $a=3$ — și un polinom de forma $m{X}^5+nX$, cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$, în care totul se sprijină pe faptul că $k^5=k$ pentru orice $k\in {\mathbb{Z}}_5$: de aceea $f\left(\hat{k}\right)=\hat{k}(m+n)$. Subiectul al III-lea cere derivata unui cât, o limită în care $f(x)$ se simplifică cu numitorul și asimptota oblică, apoi trei integrale pe aceeași funcție $e^x\sqrt{x+1}$, în care radicalul se simplifică sau se ridică la pătrat înainte de integrare.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame (aici cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, clase de resturi, $2e^2-e$ și $\frac{2}{3}\left(8-3\sqrt{3}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția găsită fără verificarea condițiilor de existență; la cerința 7, subpunctul b), valorile pentru care matricea NU este inversabilă date drept răspuns; la cerința 8, calcule în ${\mathbb{Z}}_5$ lăsate cu numere mai mari decât $4$, fără reducere modulo $5$; la cerința 10, subpunctul a), o singură primitivă, fără constanta $\mathcal{C}$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$, ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$, ${\log }_{a}a=1$. Grafic: $A(x_0,y_0)\in G_f⟺f(x_0)=y_0$. Mijlocul segmentului: $x_O=\frac{x_A+x_B}{2}$, deci $x_B=2x_O-x_A$. Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$.
• Matrice și sisteme: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Polinoame peste ${\mathbb{Z}}_5$: în ${\mathbb{Z}}_5$ se calculează cu resturi la împărțirea prin $5$; pentru orice $k\in {\mathbb{Z}}_5$, $k^5=k$ (de exemplu ${\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2}$).
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; $\int \sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+\mathcal{C}$; aria dintre graficul lui $h\ge 0$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, polinomul din ${\mathbb{Z}}_5[X]$ de la cerința $8$, funcția rațională de la cerința $9$ și funcția $f(x)=e^x\sqrt{x+1}$ de la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerințele $2$ și $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea sistemului la cerința $7$; litera $B$ este punctul căutat la cerința $5$ și alt vârf al triunghiului la cerința $6$; litera $a$ este numărul ${\log }_{3}2$ la cerința $1$ și parametrul sistemului la cerința $7$. Fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$ sunt clasele de resturi modulo $5$, iar $m$ și $n$ sunt elemente din ${\mathbb{Z}}_5$, nu numere reale (la cerința $2$, $m$ era un număr real); la cerința $9$, $m$ și $n$ sunt panta și ordonata la origine ale asimptotei oblice.
• La cerința $10$, $A$ din barem este aria suprafeței; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".