Bac M2 2012, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2012 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2^{-1}+2^{-2}=0,75$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\frac{2}{x-3}<0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+2}=x+2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de $900$ lei cu o dobândă de $p\%$ pe an. Calculați $p$, știind că, după un an, în depozit suma este de $1008$ lei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$ și $A(2,3)$. Determinați coordonatele punctului $B$, știind că $A$ este mijlocul segmentului $(OB)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați măsura $x$ a unui unghi ascuțit, știind că $\frac{\sin x+4\cos x}{\cos x}=5$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$H(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \ln x\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\text{ cu }x\in (0,+\infty ).$$

a) (5 puncte) Arătați că $\det (H(x))=1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>0$, astfel încât $H(x)\cdot H(a)=H(x)$, pentru orice $x>0$.

c) (5 puncte) Calculați determinantul matricei $H(1)+H(2)+\dots +H(2012)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

În $\mathbb{R}[X]$ se consideră polinomul $f=X^3+3X^2-3X-1$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$.

a) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ se divide cu $X-1$.

b) (5 puncte) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

c) (5 puncte) Verificați dacă $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=13$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $(4,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x{e}^x-e^x+2012$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{e}f(\ln x)dx$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2012 are, la mai multe cerințe, câte trei rânduri punctate (de exemplu $1+2+2$) sau un rând „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — puteri cu exponent negativ.

O putere cu exponent negativ este inversul puterii cu exponent pozitiv: $$2^{-1}+2^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul comun $4$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0,75\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $2^{-1}=-2$ și $2^{-2}=-4$, adică exponentul negativ e tratat ca semn al rezultatului; sau $2^{-2}=-\frac{1}{4}$. Exponentul negativ nu schimbă semnul, ci „răstoarnă" fracția.)

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație cu fracție.

Numărătorul $2$ este pozitiv, deci fracția este negativă exact când numitorul este negativ: $$\frac{2}{x-3}<0⟺x-3<0\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $$\mathbf{x}\in (-\infty ,3)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se „înmulțește" inecuația cu $x-3$ fără să se știe semnul lui, și se obține $2<0$, adică o contradicție; sau se scrie intervalul închis la $3$, deși în $x=3$ fracția nici nu există. Control: pentru $x=0$ fracția este $-\frac{2}{3}<0$, pentru $x=4$ este $2>0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Radicalul de ordinul al doilea există doar pentru argument nenegativ. Condiție: $$x+2\ge 0⟹x\ge -2\text{(1 p)}.$$ Membrul drept, $x+2$, este atunci și el nenegativ, deci se poate ridica la pătrat: $$x+2=x^2+4x+4\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $x^2+3x+2=0$, cu rădăcinile $${\mathbf{x}}_1=-2\text{ și }{\mathbf{x}}_2=-1\text{(2 p)},$$ amândouă mai mari sau egale cu $-2$, deci amândouă convin.

(Verificare: $\sqrt{0}=0$ și $\sqrt{1}=1=-1+2$. Un drum mai scurt: cu $t=\sqrt{x+2}\ge 0$, ecuația devine $t=t^2$, deci $t=0$ sau $t=1$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat doar membrul stâng, ca și cum ecuația ar fi $x+2=x+2$; sau se desface $(x+2{)}^2$ ca $x^2+4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente, dobânda pe un an.

Dobânda este diferența dintre suma de la sfârșitul anului și suma depusă: $$D=1008\text{ lei}-900\text{ lei}=108\text{ lei}\text{(1 p)}.$$ Dobânda reprezintă $p\%$ din suma depusă: $$\frac{p}{100}\cdot 900=108\text{(2 p)},$$ adică $9p=108$, de unde $$\mathbf{p}=12\text{(2 p)}.$$

(Control: $12\%$ din $900$ lei este $108$ lei, iar $900+108=1008$. Unde se greșește de obicei: se calculează procentul din suma finală, $\frac{108}{1008}$, și iese aproximativ $10,7$; procentul de dobândă se raportează la suma depusă.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: $$x_A=\frac{x_O+x_B}{2}\text{și}{y}_A=\frac{y_O+y_B}{2}\text{(3 p)}.$$ Cu $O(0,0)$ și $A(2,3)$: $2=\frac{x_B}{2}$ și $3=\frac{y_B}{2}$, deci $${\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}=4\text{ și }{\mathbf{y}}_{\mathbf{B}}=6\text{(2 p)},$$ adică $B(4,6)$.

(Control: mijlocul lui $(OB)$ cu $B(4,6)$ este $\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul lui $(OA)$, $\left(1,\frac{3}{2}\right)$, în loc să se găsească celălalt capăt.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, unghi ascuțit.

Pentru un unghi ascuțit, $\cos x>0$, deci se poate înmulți cu $\cos x$: $$\sin x+4\cos x=5\cos x\text{(1 p)}.$$ Scăzând $4\cos x$ din ambii membri: $$\sin x=\cos x\text{(2 p)}.$$ Singurul unghi ascuțit cu sinusul egal cu cosinusul (adică $\mathrm{tg}x=1$) este $$\mathbf{x}=45^{\circ }\text{(2 p)}.$$

(Control: $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1+4=5$. Un drum mai scurt: fracția se scrie $\mathrm{tg}x+4=5$, deci $\mathrm{tg}x=1$. Unde se greșește de obicei: se simplifică „$\cos x$" de sus cu cel de jos și rămâne $\sin x+4=5$, adică $\sin x=1$ și $x=90^{\circ }$ — care nu este nici măcar unghi ascuțit.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu logaritm.

a) (5 p) Matricea este triunghiulară (sub diagonala principală are numai zerouri); cu regula lui Sarrus, $$\det (H(x))=1+0+0-0-0-0\text{(4 p)},$$ deci $\det (H(x))=1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (1 p).

(Singurul produs nenul din regula lui Sarrus este cel de pe diagonala principală, $1\cdot 1\cdot 1$; elementul $\ln x$ apare numai în produse care conțin un zero. Unde se greșește de obicei: se include $\ln x$ într-unul dintre produse și rezultatul iese $1-\ln x$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$H(x)\cdot H(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \ln a+\ln x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $H(x)\cdot H(a)=H(x)$ se reduce la $\ln a+\ln x=\ln x$, pentru orice $x>0$, deci $$\ln a=0⟹\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Observație: $\ln a+\ln x=\ln (ax)$, deci $H(x)\cdot H(a)=H(ax)$ — produsul se citește pe parametru. Atunci $H(ax)=H(x)$ înseamnă $ax=x$, adică tot $a=1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții, ca la adunare, și iese $\ln a\cdot \ln x$ în colț.)

c) (5 p) La adunare, elementele de pe diagonală se adună de $2012$ ori câte $1$, iar colțurile cu logaritm se adună între ele: $$H(1)+H(2)+\dots +H(2012)=\left(\begin{array}{ccc}2012& 0& 0\\ 0& 2012& \ln (2012!)\\ 0& 0& 2012\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ pentru că $\ln 1+\ln 2+\dots +\ln 2012=\ln (1\cdot 2\cdot \dots \cdot 2012)=\ln (2012!)$. Matricea este tot triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală: $$\left|\begin{array}{ccc}2012& 0& 0\\ 0& 2012& \ln (2012!)\\ 0& 0& 2012\end{array}\right|=2012^3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie suma ca $H(1+2+\dots +2012)$ — adunarea matricelor nu se citește pe parametru, doar înmulțirea; sau se ia determinantul sumei egal cu suma determinanților, adică $2012$. Valoarea lui $\ln (2012!)$ nu trebuie calculată: ea nu intră în determinant.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea.

a) (5 p) Se calculează valoarea polinomului în $1$: $$f(1)=1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1-1=0\text{(3 p)}.$$ După teorema lui Bézout, $f(1)=0⟹X-1\mid f$ (2 p), adică polinomul $f$ se divide cu $X-1$.

(Control prin împărțire: $X^3+3X^2-3X-1=(X-1)\left(X^2+4X+1\right)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)$ în loc de $f(1)$ — rădăcina lui $X-1$ este $1$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=X^3+3X^2-3X-1$ dau, pe rând, $$x_1+x_2+x_3=-3\text{(1 p)},$$ $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-3\text{(1 p)},$$ iar suma pătratelor se scrie cu pătratul sumei: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-3{)}^2-2\cdot (-3)=9+6=15\text{(3 p)}.$$

(Control pe rădăcini: $f=(X-1)\left(X^2+4X+1\right)$, deci rădăcinile sunt $1$ și $-2\pm \sqrt{3}$; pătratele lor sunt $1$ și $7\mp 4\sqrt{3}$, cu suma $1+14=15$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=3$, cu semnul schimbat, și iese $9-6=3$; sau se uită factorul $2$ din formulă și iese $9+3=12$. Semnul greșit la suma rădăcinilor, $3$ în loc de $-3$, nu se vede în rezultat, pentru că suma se ridică la pătrat, dar pasul punctat separat în barem rămâne greșit.)

c) (5 p) Polinomul este monic, deci se descompune după rădăcinile lui, iar valoarea în $2$ este chiar produsul cerut: $$f=X^3+3X^2-3X-1=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)⟹f(2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)\text{(3 p)}.$$ Calculând direct, $f(2)=8+12-6-1=13$, deci $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=13$ — egalitatea este adevărată (2 p).

(Alt drum: se desface produsul cu relațiile lui Viète — merge, dar e lung și plin de semne: $8-4\cdot (-3)+2\cdot (-3)-1=13$, cu $x_1{x}_2{x}_3=1$. Drumul prin $f(2)$ ocolește tot calculul. Unde se greșește de obicei: produsul se confundă cu $f(-2)=-8+12+6-1=9$, și se răspunde că egalitatea este falsă.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie și asimptotă verticală.

a) (5 p) Limita din enunț este chiar derivata funcției în $4$. Se calculează întâi derivata: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x},x>0\text{(2 p)}.$$ Funcția $f$ este derivabilă în $x=4$, deci $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=f^{\prime }(4)\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\cdot 2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=2\sqrt{x}$ și iese $f^{\prime }(4)=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$, și iese $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.)

b) (5 p) Aducând derivata la același numitor: $$f\text{ este derivabila˘ pe }(0,+\infty )\text{ și }{f}^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}\text{(2 p)}.$$ Pentru $x>4$ avem $\sqrt{x}>2$ și $2x>0$, deci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (4,+\infty )$ $⟹$ funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $(4,+\infty )$ (3 p).

(Verificarea numitorului comun: $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}}{2x}-\frac{2}{2x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}$. Unde se greșește de obicei: la numitorul comun se inversează ordinea termenilor și se scrie $f^{\prime }(x)=\frac{2-\sqrt{x}}{2x}$, de unde ar ieși că $f$ este descrescătoare pe $(4,+\infty )$. Două valori, de exemplu $f(9)>f(4)$, nu ajung pentru monotonie: se justifică prin semnul derivatei pe tot intervalul.)

c) (5 p) Domeniul este $(0,+\infty )$, deci singurul candidat la asimptotă verticală este dreapta $x=0$; se calculează limita la dreapta lui $0$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(\sqrt{x}-\ln x\right)=+\infty \text{(3 p)},$$ pentru că $\sqrt{x}\to 0$, iar $\ln x\to -\infty$. Prin urmare $$\mathbf{x}=0\text{ este ecuația asimptotei verticale la graficul funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $y=0$ — aceasta ar fi o asimptotă orizontală; sau se răspunde că graficul nu are asimptotă verticală, pentru că $f$ este continuă pe tot domeniul ei — capătul $0$ al domeniului se caută tocmai pentru că nu aparține domeniului. Control numeric: $f(0,001)\approx 0,0316+6,9078\approx 6,94$ și crește fără margine când $x$ se apropie de $0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive, integrare prin părți și volum de rotație.

a) (5 p) O funcție $F$ este primitivă a lui $f$ dacă este derivabilă și $F^{\prime }=f$. Derivând produsul $x{e}^x$: $$F\text{ este derivabila˘ și }{F}^{\prime }(x)=x{e}^x+e^x-e^x,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)},$$ deci $F^{\prime }(x)=x{e}^x$, adică ${\mathbf{F}}^{\prime }=\mathbf{f}$ (2 p).

(Constanta $2012$ are derivata $0$, deci nu schimbă nimic. Unde se greșește de obicei: se derivează $x{e}^x$ ca $e^x$, uitând regula produsului, și se ajunge la $F^{\prime }(x)=0$.)

b) (5 p) Se înlocuiește argumentul: $f(\ln x)=\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x$, pentru $x>0$, deci $${\int }_1^{e}f(\ln x)dx={\int }_1^{e}x\ln xdx\text{(1 p)}.$$ Se integrează prin părți, cu ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx\text{(2 p)}.$$ Primul termen dă $\frac{e^2}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{e^2}{2}$, iar al doilea este $\frac{x^2}{4}{|}_1^e$: $${\int }_1^{e}f(\ln x)dx=\frac{e^2}{2}-\frac{x^2}{4}{|}_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{{\mathbf{e}}^2+1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: integrala lui $x\ln x$ pe $[1,e]$, calculată numeric, dă $2,09726$, iar $\frac{e^2+1}{4}\approx 2,09726$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(\ln x)=\ln x\cdot e^x$, înlocuind argumentul doar în primul factor; sau se uită integrala rămasă din formula prin părți și iese $\frac{e^2}{2}$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$, $g(x)=\frac{x{e}^x}{x}=e^x$. Volumul corpului de rotație este $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx\text{(2 p)}.$$ Cum $g^2(x)=e^{2x}$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{e}^{2x}dx=\pi \frac{e^{2x}}{2}{|}_1^2\text{(2 p)},$$ $$\mathcal{V}=\pi \frac{e^4-e^2}{2}=\frac{\pi {\mathbf{e}}^2\left({\mathbf{e}}^2-1\right)}{2}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită pătratul din formula volumului și se calculează $\pi {\int }_1^2{e}^{x}dx=\pi \left(e^2-e\right)$; sau primitiva lui $e^{2x}$ se scrie $e^{2x}$, fără împărțirea la $2$. Control numeric: $\pi \cdot \frac{e^4-e^2}{2}\approx 74,16$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea iunie-iulie 2012 a examenului de bacalaureat — Varianta 5, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2012 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Puteri cu exponent întreg negativ: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ și adunarea fracțiilor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Inecuație cu fracție: semnul unui cât cu numărătorul constant — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: condiția de existență, ridicarea la pătrat, verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Procente: dobânda simplă pe un an — clasa a X-a (matematici financiare). (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coordonatele mijlocului unui segment — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiul ascuțit cu $\sin x=\cos x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice triunghiulare, produsul a două matrice, suma unor matrice și logaritmul unui produs — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: teorema lui Bézout, relațiile lui Viète și descompunerea polinomului după rădăcini — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata ca limită, monotonia din semnul derivatei, asimptota verticală — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: verificarea unei primitive, integrarea prin părți și volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2012. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, de clasa a IX-a și a X-a, dintre care una — dobânda de la cerința 4 — este o problemă de viață de zi cu zi, din matematicile financiare ale programei M2 de atunci, comună cu filiera tehnologică. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al treilea în care apare $\ln x$, iar toate cele trei cerințe se sprijină pe aceeași observație: la înmulțire și la adunare, doar colțul cu logaritm se schimbă — de unde $\ln a+\ln x$ și $\ln (2012!)$. Problema a doua este un polinom de gradul al treilea la care se cer, pe rând, divizibilitatea, suma pătratelor rădăcinilor și valoarea $f(2)$ scrisă ca produs. Subiectul al III-lea cere derivata ca limită, monotonia și o asimptotă verticală pentru $\sqrt{x}-\ln x$, apoi o integrare prin părți deghizată în $f(\ln x)$ și un volum de rotație.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, un interval, $45^{\circ }$ și expresii cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: ecuația irațională rezolvată fără condiția de existență; mulțimea soluțiilor inecuației scrisă ca inegalitate, fără interval; monotonia afirmată fără semnul derivatei; asimptota verticală scrisă fără calculul limitei laterale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Puteri: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu condițiile $u\ge 0$, $v\ge 0$. Procente: $p\%$ din $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$. Mijlocul segmentului $(OB)$: $x_A=\frac{x_O+x_B}{2}$, $y_A=\frac{y_O+y_B}{2}$. Trigonometrie: $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, adică $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }$.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală; $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, deci $\ln 1+\ln 2+\dots +\ln n=\ln (n!)$.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ pentru un polinom monic de gradul al treilea.
• Derivate: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$; ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; o funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este crescătoare pe acel interval.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f=X^3+3X^2-3X-1$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x{e}^x$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este măsura unghiului la cerința $6$, parametrul matricei $H(x)$ la cerința $7$ și variabila obișnuită în rest; la cerința $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului.
• La cerința $10$, subpunctul c), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $g(g(x))$. Tot la cerința $10$, $F$ este o primitivă, iar $2012$ din formula ei este constanta de integrare — orice altă constantă ar fi dat tot o primitivă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".