Bac M2 2012, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2012 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Ordonați crescător numerele $\sqrt{12}$, $2\sqrt{2}$ și $3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvați sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_2(x+1)$ și $g:\mathbb{R}\to (-1,+\infty )$, $g(x)=2^x-1$. Calculați $f(g(1))$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi este egal cu $10$. Determinați numărul elementelor mulțimii.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(5,1)$, $B(3,5)$. Calculați lungimea medianei din vârful $O$ în triunghiul $OAB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $MNP$ cu $MP=6$, $\sin N=\frac{3}{5}$ și $\sin P=\frac{4}{5}$. Calculați lungimea laturii $(MN)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}mx-2y+z=1\\ 2x-my-3z=3\\ x-y+2z=4\end{array},\text{ unde }m\in \mathbb{R}.$$

a) (5 puncte) Arătați că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei sistemului este egală cu $2$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea sistemului are determinantul diferit de zero.

c) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $y_1^2=x_1\cdot z_1$, unde $(x_1,y_1,z_1)$ este soluția sistemului.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2+mX+1$, unde $m\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Pentru $m=0$, calculați restul împărțirii polinomului $f$ la $X-1$.

b) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$, pentru orice număr real $m$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{10x}{{\left(x^2+2\right)}^2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{3}$, pentru orice $x\in [0,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{1}{4026}\le I_{2012}\le \frac{1}{2013}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2012 are, la mai multe cerințe, câte trei rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$) sau un rând „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — compararea radicalilor.

Numerele sunt pozitive, deci se compară pătratele lor. Cum ${\left(\sqrt{12}\right)}^2=12>9=3^2$: $$\sqrt{12}>3\text{(2 p)}.$$ Cum ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8<9=3^2$: $$2\sqrt{2}<3\text{(2 p)}.$$ Ordinea crescătoare este $$2\sqrt{2}<3<\sqrt{12}\text{(1 p)}.$$

(Control: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}\approx 2,83$ și $\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3,46$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 4=16$, ridicând la pătrat și numărul de sub radical, și iese $2\sqrt{2}>\sqrt{12}>3$, adică ordinea greșită $3<\sqrt{12}<2\sqrt{2}$; sau se ia $\sqrt{12}=6$ (jumătatea lui $12$) și $\sqrt{8}=4$, de unde $3<2\sqrt{2}<\sqrt{12}$ — tot o ordine greșită.)

Exercițiul 2. (5 p) — sistemul sumă–produs.

Cunoscând suma și produsul a două numere, ele sunt soluțiile unei ecuații de gradul al doilea (relațiile lui Viète): $$x\text{ și }y\text{ sunt soluțiile ecuației }{t}^2-5t+6=0\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $25-24=1$, deci $$t_1=2,t_2=3\text{(2 p)}.$$ Fiecare dintre cele două numere poate fi $x$, deci $$\mathbf{S}=\{(2,3),(3,2)\}\text{(1 p)}.$$

(Control: $2+3=5$ și $2\cdot 3=6$. Un drum la fel de bun: $y=5-x$, deci $x(5-x)=6$, adică $x^2-5x+6=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația $t^2+5t+6=0$, cu semnul sumei neschimbat, și ies $-2$ și $-3$; sau se dă o singură pereche, deși sistemul are două soluții ordonate.)

Exercițiul 3. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează întâi funcția interioară: $$g(1)=2^1-1=1\text{(2 p)}.$$ Apoi funcția exterioară, în valoarea obținută: $$f(g(1))=f(1)={\log }_2(1+1)={\log }_{2}2=1\text{(3 p)}.$$

(Observație: $f(g(x))={\log }_2\left(2^x-1+1\right)={\log }_2{2}^x=x$ pentru orice $x$ real — cele două funcții sunt inverse una alteia, deci $f(g(1))=1$ fără niciun calcul. Tot din acest motiv, și ordinea inversă, $g(f(1))=2^1-1=1$, ar da același număr — dar numai pentru că funcțiile sunt inverse; în general $f\circ g\ne g\circ f$. Unde se greșește de obicei: se scrie $g(1)=2-1=1$ și apoi $f(1)={\log }_{2}1=0$, uitând de „$+1$" din argument; sau se calculează corect $g(1)=1$, dar apoi se scrie $f(1)={\log }_2(1+1)={\log }_{2}2=2$, confundând logaritmul cu baza lui; iese $2$ în loc de $1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^2$: $$C_n^2=10\text{(2 p)}.$$ Cum $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, ecuația devine $n(n-1)=20$, cu $n$ natural, $n\ge 2$, deci $$\mathbf{n}=5\text{(3 p)}.$$

(Control: $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$. Ecuația $n^2-n-20=0$ mai are rădăcina $n=-4$, care nu este număr natural. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_n^2=n(n-1)=10$, care nu are soluție naturală — într-o submulțime ordinea elementelor nu contează.)

Exercițiul 5. (5 p) — mediana, în reperul cartezian.

Mediana din vârful $O$ unește $O$ cu mijlocul laturii opuse, $(AB)$. Fie $M$ mijlocul segmentului $(AB)$: $$M\left(\frac{5+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)⟹M(4,3)\text{(2 p)}.$$ Lungimea medianei este distanța de la $O$ la $M$: $$OM=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează lungimea laturii $AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$ în loc de lungimea medianei; sau se ia mijlocul lui $(OA)$ sau $(OB)$, adică mediana din alt vârf.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Latura $(MN)$ se opune unghiului $P$, iar latura $(MP)$ se opune unghiului $N$. Teorema sinusurilor dă: $$\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind: $\frac{MN}{\frac{4}{5}}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10$, deci $$MN=10\cdot \frac{4}{5}=8\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se împerechează latura cu sinusul unui unghi alăturat, $\frac{MN}{\sin N}=\frac{MP}{\sin P}$, și iese $MN=6\cdot \frac{3}{4}=4,5$. Latura și unghiul dintr-un raport stau față în față: $MN$ nu conține litera $P$.)

Exercițiul 7. (15 p) — sistem liniar cu parametru.

Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}m& -2& 1\\ 2& -m& -3\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$.

a) (5 p) Pe diagonala principală stau coeficientul lui $x$ din prima ecuație, al lui $y$ din a doua și al lui $z$ din a treia. Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei este $$m+(-m)+2\text{(3 p)}.$$ Finalizare: $m-m+2=2$ (2 p), oricare ar fi $m$.

(Unde se greșește de obicei: se ia coeficientul lui $y$ din a doua ecuație cu semnul schimbat, $m$ în loc de $-m$, și suma iese $2m+2$; sau se adună elementele de pe diagonala secundară.)

b) (5 p) Cu regula lui Sarrus, $$\det A=-2m^2+6-2+m-3m+8=-2m^2-2m+12,\text{ unde }A\text{ este matricea sistemului}\text{(3 p)}.$$ Determinantul se anulează când $m^2+m-6=0$, adică pentru $m=-3$ sau $m=2$. Deci determinantul este diferit de zero exact pentru $$\mathbf{m}\in \mathbb{R}\setminus \{-3,2\}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul lui Sarrus: diagonalele principale dau $m\cdot (-m)\cdot 2+(-2)\cdot (-3)\cdot 1+1\cdot 2\cdot (-1)=-2m^2+6-2$, iar cele secundare $1\cdot (-m)\cdot 1+m\cdot (-3)\cdot (-1)+(-2)\cdot 2\cdot 2=-m+3m-8$; diferența este $-2m^2+4-2m+8=-2m^2-2m+12$. Control: pentru $m=0$, determinantul este $12$. Unde se greșește de obicei: se răspunde „$m\in \{-3,2\}$" — acestea sunt valorile pentru care determinantul ESTE zero, iar cerința le exclude.)

c) (5 p) Pentru $m=1$ sistemul devine $\{\begin{array}{l}x-2y+z=1\\ 2x-y-3z=3\\ x-y+2z=4\end{array}$, cu determinantul $-2-2+12=8\ne 0$, deci cu soluție unică. Scăzând prima ecuație din a treia: $y+z=3$; din prima și a doua (eliminând $x$): $3y-5z=1$. De aici $z=1$, $y=2$ și $x=1+4-1=4$: $$\text{pentru }m=1⟹x_1=4,y_1=2,z_1=1\text{(4 p)}.$$ Finalizare: $y_1^2=2^2=4$ și $x_1\cdot z_1=4\cdot 1=4$, deci ${\mathbf{y}}_1^2={\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{z}}_1$ (1 p).

(Verificarea soluției în toate cele trei ecuații: $4-4+1=1$, $8-2-3=3$, $4-2+2=4$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m=1$ doar în prima ecuație și se pierde termenul $-my$ din a doua, scrisă $2x-3z=3$; atunci iese $x=\frac{10}{3}$, $y=\frac{16}{9}$, $z=\frac{11}{9}$, pentru care $y^2=\frac{256}{81}\ne \frac{330}{81}=x\cdot z$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=0$ termenii cu $m$ dispar: $$\text{pentru }m=0⟹f=X^3+1\text{(2 p)}.$$ După teorema restului, restul împărțirii la $X-1$ este valoarea polinomului în $1$: $$\text{restul este egal cu }f(1)=1+1=2\text{(3 p)}.$$

(Control prin împărțire: $X^3+1=(X-1)\left(X^2+X+1\right)+2$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)=0$ — rădăcina lui $X-1$ este $1$, nu $-1$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea polinomului în $-1$: $$f(-1)=-1+m-m+1=0\text{(3 p)},$$ pentru orice număr real $m$. După teorema lui Bézout, $$X+1\mid f\text{(2 p)},$$ adică polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$, pentru orice $m$ real.

(Semnele: $(-1{)}^3=-1$, $m(-1{)}^2=m$, $m\cdot (-1)=-m$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^2=-1$ și iese $f(-1)=-2m$, care nu e zero; sau se verifică divizibilitatea doar pentru o valoare a lui $m$, deși cerința spune „pentru orice număr real $m$".)

c) (5 p) Împărțind $f$ la $X+1$ (de exemplu cu schema lui Horner pe coeficienții $1$, $m$, $m$, $1$): $$f=(X+1)\left(X^2+(m-1)X+1\right)\text{(2 p)}.$$ Rădăcina $-1$ este reală, deci $f$ are trei rădăcini reale exact când factorul de gradul al doilea are două rădăcini reale, adică discriminantul lui este nenegativ: $$f\text{ are trei ra˘da˘cini reale}⟺X^2+(m-1)X+1\text{ are doua˘ ra˘da˘cini reale}⟺m^2-2m-3\ge 0\text{(2 p)}.$$ Trinomul $m^2-2m-3$ are rădăcinile $-1$ și $3$ și este nenegativ în afara lor: $$\mathbf{m}\in (-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )\text{(1 p)}.$$

(Discriminantul: $(m-1{)}^2-4=m^2-2m-3$. Rădăcinile se numără cu multiplicitatea lor — de aceea baremul scrie „$\ge 0$", nu „$>0$": pentru $m=3$, $f=(X+1{)}^3$, cu rădăcina $-1$ triplă, iar pentru $m=-1$, $f=(X+1)(X-1{)}^2$, cu rădăcinile $-1$, $1$, $1$; în ambele cazuri toate cele trei rădăcini sunt reale. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $\Delta \ge 0$ direct pe polinomul de gradul al treilea, ca și cum ar fi de gradul al doilea; sau se răspunde cu intervalul dintre rădăcini, $[-1,3]$, unde trinomul este negativ.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și o dublă inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)={\left(\frac{2x^2-1}{x^2+2}\right)}^{\prime }=\frac{4x\left(x^2+2\right)-2x\left(2x^2-1\right)}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{4x^3+8x-4x^3+2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{10x}{{\left(x^2+2\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $-10x$; sau semnul minus din fața lui $2x\left(2x^2-1\right)$ se aplică doar primului termen al parantezei, și iese $6x$ în loc de $10x$.)

b) (5 p) Se calculează limita spre $+\infty$, împărțind la puterea cea mai mare: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-1}{x^2+2}=2\text{(3 p)}.$$ Limita este un număr real, deci $$\text{ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției }f\text{ spre }+\infty \text{ este }\mathbf{y}=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $x=2$ — aceasta ar fi o dreaptă verticală; sau se ia raportul termenilor liberi, $-\frac{1}{2}$, care este valoarea în $0$, nu limita la infinit.)

c) (5 p) Pe $[0,1]$, $x\ge 0$, iar numitorul ${\left(x^2+2\right)}^2$ este pozitiv, deci $$f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in [0,1]⟹f\text{ este cresca˘toare pe intervalul }[0,1]\text{(2 p)}.$$ O funcție crescătoare pe $[0,1]$ ia cea mai mică valoare în $0$ și cea mai mare în $1$: $$0\le x\le 1⟹f(0)\le f(x)\le f(1)⟹-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{3},\text{ oricare ar fi }x\in [0,1]\text{(3 p)}.$$

(Valorile: $f(0)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ și $f(1)=\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se uită numitorul la $f(0)$ și se scrie $f(0)=-1$, de unde „$-1\le f(x)\le \frac{1}{3}$" — o margine de jos mai slabă, care nu mai demonstrează $f(x)\ge -\frac{1}{2}$; sau se verifică inegalitatea doar în capete, fără monotonie — valorile din capete nu spun nimic despre punctele din interior dacă funcția nu este monotonă.)

Exercițiul 10. (15 p) — un șir de integrale.

a) (5 p) Pentru $n=1$: $$I_1={\int }_0^1\frac{x}{x+1}dx=\text{(2 p)}$$ Numărătorul se scrie $x=(x+1)-1$, deci $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$: $$={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=(x-\ln (x+1)){|}_0^1=1-\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $1-\ln 2\approx 0,3069$. Unde se greșește de obicei: se „simplifică" $\frac{x}{x+1}$ ca $\frac{1}{1}$ sau se integrează ca $\frac{x^2}{2}\cdot \ln (x+1)$, adică se integrează separat numărătorul și numitorul.)

b) (5 p) Integralele pe același interval se adună sub același semn de integrală: $$I_n+I_{n+1}={\int }_0^1\left(\frac{x^n}{x+1}+\frac{x^{n+1}}{x+1}\right)dx=\text{(2 p)}$$ Numărătorul are factor comun $x^n$: $x^n+x^{n+1}=x^n(x+1)$, care se simplifică cu numitorul: $$={\int }_0^1\frac{x^n(x+1)}{x+1}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{\mathbf{n}+1}\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $n=1$, $I_2=\frac{1}{2}-I_1=\ln 2-\frac{1}{2}$, iar calculul direct, cu $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, dă tot $\ln 2-\frac{1}{2}\approx 0,1931$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x^n$ ca $\frac{x^n}{n}$ și iese $\frac{1}{n}$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [0,1]$ avem $1\le x+1\le 2$, deci $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x+1}\le 1$; înmulțind cu $x^{2012}\ge 0$: $$\frac{x^{2012}}{2}\le \frac{x^{2012}}{x+1}\le \frac{x^{2012}}{1},\text{ pentru orice }x\in [0,1]\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea dintre funcții continue se păstrează prin integrare pe $[0,1]$: $${\int }_0^1\frac{x^{2012}}{2}dx\le {\int }_0^1\frac{x^{2012}}{x+1}dx\le {\int }_0^1{x}^{2012}dx\text{(1 p)}.$$ Cum ${\int }_0^1{x}^{2012}dx=\frac{1}{2013}$, iar jumătatea ei este $\frac{1}{4026}$: $$\frac{1}{4026}\le I_{2012}\le \frac{1}{2013}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $I_{2012}\approx 0,000248$, iar $\frac{1}{4026}\approx 0,000248$ și $\frac{1}{2013}\approx 0,000497$ — valoarea stă foarte aproape de marginea de jos, pentru că $x^{2012}$ este aproape zero peste tot, în afară de o vecinătate a lui $1$, unde $\frac{1}{x+1}\approx \frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: la trecerea la inverse se păstrează sensul și se scrie $1\le \frac{1}{x+1}\le 2$, de unde ar ieși $\frac{1}{2013}\le I_{2012}\le \frac{2}{2013}$, o minorare falsă (corect: din $1\le x+1\le 2$ rezultă $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x+1}\le 1$, cu sensul întors); sau se scrie ${\int }_0^1{x}^{2012}dx=\frac{1}{2012}$ și iese încadrarea $\frac{1}{4024}\le I_{2012}\le \frac{1}{2012}$, alta decât cea cerută.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2012 a examenului de bacalaureat — Varianta 3, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2012 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: compararea numerelor prin pătratele lor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea: sistemul sumă–produs, rezolvat cu relațiile lui Viète — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: o funcție exponențială urmată de una logaritmică — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinări: numărul submulțimilor cu două elemente, $C_n^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: matricea unui sistem, determinantul ei și rezolvarea sistemului pentru o valoare a parametrului — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: restul împărțirii, teorema lui Bézout, descompunerea în factori și discriminantul factorului de gradul al doilea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, monotonia folosită pentru o dublă inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: un șir de integrale — calculul primului termen, o relație între doi termeni vecini și o încadrare prin monotonia integralei — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2012 (varianta de rezervă). Subiectul I are șase cerințe scurte, fiecare cu o singură idee: pătratele radicalilor la ordonare, sistemul sumă–produs ca ecuație de gradul al doilea, o compunere în care $2^x-1$ și ${\log }_2(x+1)$ se anulează una pe alta, $C_n^2=10$, lungimea unei mediane prin mijlocul laturii și teorema sinusurilor. Subiectul al II-lea pune un sistem liniar cu parametru, la care se cer urma matricei, valorile parametrului pentru care determinantul nu este nul și soluția pentru $m=1$, apoi un polinom de gradul al treilea cu parametru care se divide cu $X+1$ pentru orice $m$ — de unde, la c), totul se reduce la discriminantul unui trinom. Subiectul al III-lea cere derivata unui cât, asimptota orizontală și o dublă inegalitate care vine din monotonie, iar la problema 2 un șir de integrale $I_n$, cu relația $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$ și o încadrare a lui $I_{2012}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, o reuniune de intervale și $1-\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, o singură pereche de soluții în loc de amândouă; la problema 8, rădăcinile reale cerute fără factorul $X+1$ scos întâi; monotonia afirmată fără semnul derivatei; la încadrarea integralei, inegalitatea dintre funcții scrisă fără intervalul pe care are loc.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: pentru $a,b\ge 0$, $a<b⟺a^2<b^2$; $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$. Sistemul sumă–produs: dacă $x+y=S$ și $xy=P$, atunci $x$ și $y$ sunt soluțiile ecuației $t^2-St+P=0$. Combinări: $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Mijlocul segmentului: $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$, $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$. Teorema sinusurilor: $\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}=\frac{NP}{\sin M}$.
• Matrice și sisteme: urma unei matrice este suma elementelor de pe diagonala principală; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Polinoame: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$; trinomul $X^2+bX+c$ are rădăcini reale exact când $b^2-4c\ge 0$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, număr real.
• Integrale: $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$; dacă $g\le h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția logaritmică de la cerința $3$, polinomul $f=X^3+m{X}^2+mX+1$ de la cerința $8$ și funcția $f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+2}$ de la cerința $9$. Tot așa, $m$ este parametrul sistemului la cerința $7$ și parametrul polinomului la cerința $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $6$, $M$ este un vârf al triunghiului $MNP$, iar la cerința $5$, $M$ este mijlocul segmentului $(AB)$, notație din barem. Tot așa, $A$ este punctul $A(5,1)$ la cerința $5$ și matricea sistemului la cerința $7$ (notație din barem).
• La cerința $10$, $I_n$ este un număr (o integrală care depinde de $n$), nu matricea unitate; $x^n$ înseamnă puterea a $n$-a a lui $x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".