Bac M2 2012, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2012 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_1=5$ și $r=2$. Calculați suma primilor $5$ termeni ai progresiei.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x^2-(m+1)x+m=0$ are soluții reale egale.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^{x+1}-1$ cu axele $Ox$ și respectiv $Oy$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați $2C_4^2-3A_4^1$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră vectorii $\overrightarrow{v_1}=2\vec{i}+a\vec{j}$ și $\overrightarrow{v_2}=(a+3)\vec{i}+2\vec{j}$, unde $a\in \mathbb{R}$. Determinați numărul $a>0$ pentru care vectorii $\overrightarrow{v_1}$ și $\overrightarrow{v_2}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Aria triunghiului $MNP$ este egală cu $16$, iar $MN=NP=8$. Calculați $\sin N$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A_n(n-1,n+2)$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) (5 puncte) Determinați ecuația dreptei $A_1{A}_2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că punctele $A_m$, $A_n$, $A_p$ sunt coliniare, oricare ar fi $m,n,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ notăm $M_p=\left\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid A_n{A}_p\le 2\right\}$. Determinați elementele mulțimii $M_{2011}$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+(m-3)X^2-17X+(2m+7)$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Pentru $m=4$ determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X-3$.

b) (5 puncte) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X-1$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $27^x+9^x-17\cdot 3^x+15=0$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{-4}{x^2+1},& x\le 0\\ x-4,& x>0\end{array}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este continuă în punctul $x_0=0$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{16-x^2}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A(-1,-2)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f_m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_m(x)=3m^2{x}^2+6mx+9$, unde $m\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Determinați mulțimea primitivelor funcției $f_0$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f_1$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\frac{f_2(x)-9}{x}\cdot e^{x}dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul modelului are, la multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $1+2+2$ sau $2+1+1+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică, suma primilor termeni.

Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice este $S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)\cdot n}{2}$; pentru $n=5$: $$S_5=\frac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}\text{(3 p)}.$$ Cu $a_1=5$ și $r=2$: $S_5=\frac{(10+8)\cdot 5}{2}=\frac{90}{2}$, deci $${\mathbf{S}}_5=45\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $5,7,9,11,13$, iar suma lor este $45$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2a_1+5r$ în loc de $2a_1+4r$ — în formulă apare $n-1$, nu $n$ — și iese $50$.)

Exercițiul 2. (5 p) — ecuația de gradul al doilea cu soluții egale.

O ecuație de gradul al doilea are soluții reale egale exact când discriminantul ei este nul: $$\Delta =0\text{(1 p)}.$$ Cu $a=1$, $b=-(m+1)$, $c=m$: $\Delta =(m+1{)}^2-4m$, adică $$m^2+2m+1-4m=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $m^2-2m+1=0$, adică $(m-1{)}^2=0$, deci $$\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=1$ ecuația este $x^2-2x+1=0$, adică $(x-1{)}^2=0$, cu soluția dublă $x=1$. Unde se greșește de obicei: se cere $\Delta >0$ — aceea este condiția pentru soluții reale DIFERITE; sau se scrie $\Delta =(m+1{)}^2+4m$, cu semnul lui $c$ greșit.)

Exercițiul 3. (5 p) — intersecția graficului unei funcții exponențiale cu axele.

Punctele graficului de pe axa $Ox$ au ordonata $0$: $$G_f\cap Ox:f(x)=0⟹x=-1\text{(2 p)},$$ pentru că $2^{x+1}=1=2^0$ înseamnă $x+1=0$. Punctul este $$\mathbf{A}(-1,0)\text{(1 p)}.$$ Punctul graficului de pe axa $Oy$ are abscisa $0$: $$G_f\cap Oy:f(0)=1\text{(1 p)},$$ pentru că $f(0)=2^1-1=1$. Punctul este $$\mathbf{B}(0,1)\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile axelor — pe $Ox$ se anulează $y$, nu $x$; sau se scrie $f(0)=2^0-1=0$, uitând că exponentul este $x+1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări și aranjamente.

$$C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6\text{(2 p)},$$ $$A_4^1=\frac{4!}{3!}=4\text{(2 p)},$$ $$2C_4^2-3A_4^1=12-12=0\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se confundă $C_4^2$ cu $A_4^2=12$ și iese $24-12=12$; sau se scrie $A_4^1=1$, ca la $C_4^0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Doi vectori sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{2}{a+3}=\frac{a}{2}\text{(2 p)}.$$ Produsul mezilor egal cu produsul extremilor: $a(a+3)=4$, deci $$a^2+3a-4=0⟹a=1\text{ sau }a=-4\text{(2 p)}.$$ Enunțul cere numărul pozitiv: $$a>0⟹\mathbf{a}=1\text{(1 p)}.$$

(Control: pentru $a=1$, $\overrightarrow{v_1}=2\vec{i}+\vec{j}$ și $\overrightarrow{v_2}=4\vec{i}+2\vec{j}=2\overrightarrow{v_1}$. Pentru $a=-4$ vectorii sunt tot coliniari, $\overrightarrow{v_1}=2\vec{i}-4\vec{j}$ și $\overrightarrow{v_2}=-\vec{i}+2\vec{j}$, dar valoarea este negativă și nu convine. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția „pe cruce", $\frac{2}{2}=\frac{a}{a+3}$, care nu exprimă coliniaritatea.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria triunghiului cu sinusul unghiului.

Aria unui triunghi este jumătate din produsul a două laturi și al sinusului unghiului dintre ele; unghiul dintre $MN$ și $NP$ este $N$: $$\text{Aria}△MNP=\frac{MN\cdot NP\cdot \sin N}{2}\text{(2 p)}.$$ Cu aria $16$ și $MN=NP=8$: $16=\frac{64\sin N}{2}$, deci $$\sin N=\frac{2\cdot 16}{8\cdot 8}\text{(2 p)},$$ $$\sin \mathbf{N}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ din formula ariei și iese $\sin N=\frac{1}{4}$. Observație: $\sin N=\frac{1}{2}$ nu fixează unghiul — $N$ poate fi $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$ —, dar cerința este doar sinusul.)

Exercițiul 7. (15 p) — puncte în reperul cartezian, coliniaritate prin determinant.

a) (5 p) Pentru $n=1$ și $n=2$, din $A_n(n-1,n+2)$: $$A_1(0,3),A_2(1,4)\text{(2 p)}.$$ Ecuația dreptei prin două puncte se scrie cu determinant: $$A_1{A}_2:\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 0& 3& 1\\ 1& 4& 1\end{array}\right|=0\text{(2 p)}.$$ Dezvoltând, $3x+y\cdot 1+0-3-4x-0=0$, adică $-x+y-3=0$: $${\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2:\mathbf{y}=\mathbf{x}+3\text{(1 p)}.$$

(Control: $A_1(0,3)$ verifică $3=0+3$, iar $A_2(1,4)$ verifică $4=1+3$. Unde se greșește de obicei: se scriu coordonatele $A_1(1,3)$, luând $n$ în loc de $n-1$.)

b) (5 p) Trei puncte sunt coliniare exact când determinantul format cu coordonatele lor este nul. Justificarea faptului că $$\left|\begin{array}{ccc}m-1& m+2& 1\\ n-1& n+2& 1\\ p-1& p+2& 1\end{array}\right|=0\text{(3 p)}:$$ scăzând din coloana a doua prima coloană, coloana a doua devine $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$, adică de trei ori coloana a treia; un determinant cu două coloane proporționale este nul. Prin urmare $$⟹A_m,A_n,A_p\text{ coliniare}\text{(2 p)}.$$

(Altă justificare, fără determinant: $y_n-x_n=(n+2)-(n-1)=3$ pentru orice $n$, deci toate punctele $A_n$ stau pe dreapta $y=x+3$ găsită la a). Unde se greșește de obicei: la dezvoltarea prin regula lui Sarrus se adună un produs care trebuia scăzut, de exemplu $(m-1)(p+2)$; determinantul iese atunci $2(m-1)(p+2)$, nenul pentru $m\ge 2$, și s-ar trage concluzia falsă că punctele nu sunt coliniare. Greșeală de redactare de evitat: verificarea doar pentru trei valori anume, de exemplu $m=1$, $n=2$, $p=3$ — enunțul cere „oricare ar fi".)

c) (5 p) Pentru $p=2011$, condiția din definiția mulțimii este $$A_n{A}_{2011}\le 2\text{(1 p)}.$$ Cu $A_n(n-1,n+2)$ și $A_{2011}(2010,2013)$, diferențele de coordonate sunt amândouă $n-2011$: $$\sqrt{(n-2011{)}^2+(n-2011{)}^2}\le 2\text{(1 p)}.$$ Rezultă $\sqrt{2}\cdot |n-2011|\le 2$, adică $$|n-2011|\le \sqrt{2}\text{(1 p)}.$$ Cum $n$ este natural și $\sqrt{2}\approx 1,41$, diferența $n-2011$ poate fi doar $-1$, $0$ sau $1$: $${\mathbf{M}}_{2011}=\{2010,2011,2012\}\text{(2 p)}.$$

(Control: $A_{2010}{A}_{2011}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\le 2$, iar $A_{2009}{A}_{2011}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}>2$. Unde se greșește de obicei: se uită că $n=2011$ însuși aparține mulțimii — distanța de la un punct la el însuși este $0\le 2$; sau se scrie $|n-2011|\le 2$, uitând factorul $\sqrt{2}$, și iese o mulțime cu cinci elemente.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu parametru și o ecuație exponențială.

a) (5 p) Pentru $m=4$ coeficienții devin $m-3=1$ și $2m+7=15$: $$m=4⟹f=X^3+X^2-17X+15\text{(1 p)}.$$ Împărțind (de exemplu cu schema lui Horner, cu $3$: coeficienții $1,1,-17,15$ devin $1,4,-5$, iar ultimul rest este $0$): $$C=X^2+4X-5\text{(3 p)},$$ $$R=0\text{(1 p)}.$$

(Control: $(X-3)\left(X^2+4X-5\right)=X^3+4X^2-5X-3X^2-12X+15=X^3+X^2-17X+15$; iar restul este $f(3)=27+9-51+15=0$. Unde se greșește de obicei: în schema lui Horner se înmulțește cu $-3$ în loc de $3$ — la împărțirea la $X-3$ se lucrează cu $3$.)

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $$f⋮(X-1)⟺f(1)=0\text{(2 p)}.$$ $$f(1)=1+m-3-17+2m+7=3m-12\text{(1 p)},$$ $$3m-12=0⟹\mathbf{m}=4\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=4$, $f=X^3+X^2-17X+15$, iar $f(1)=1+1-17+15=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)$ — rădăcina lui $X-1$ este $1$.)

c) (5 p) Cum $27^x={\left(3^x\right)}^3$ și $9^x={\left(3^x\right)}^2$, se notează $3^x=y$; ecuația devine chiar polinomul de la a), în $y$: $$\text{Cu notația }{3}^x=y>0⟹y^3+y^2-17y+15=0⟹(y-1)(y-3)(y+5)=0\text{(2 p)}.$$ Se ia fiecare factor pe rând: $$y=-5<0\text{(1 p)},$$ deci soluția $y=-5$ nu convine, pentru că $3^x>0$; $$y=1⟹\mathbf{x}=0\text{(1 p)},$$ $$y=3⟹\mathbf{x}=1\text{(1 p)}.$$

(De unde vine descompunerea: de la a), $y^3+y^2-17y+15=(y-3)\left(y^2+4y-5\right)$, iar $y^2+4y-5=(y-1)(y+5)$. Control: pentru $x=1$, $27+9-51+15=0$; pentru $x=0$, $1+1-17+15=0$. Unde se greșește de obicei: se păstrează $y=-5$ și se scrie $x={\log }_3(-5)$, care nu există.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție definită pe ramuri: continuitate, limită, tangentă.

a) (5 p) Se calculează cele două limite laterale în $0$ și valoarea funcției: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=-4,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-4,f(0)=-4\text{(3 p)},$$ pentru că $\frac{-4}{0^2+1}=-4$ (în $0$ se folosește prima ramură, $x\le 0$), iar $0-4=-4$. Limitele laterale sunt egale cu valoarea funcției, deci $$f\text{ este continua˘ ıˆn punctul }{x}_0=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: la dreapta se scrie $\underset{x\searrow 0}{\lim }(x-4)=4$, pierzând semnul, și se conchide greșit că $f$ nu este continuă în $0$; corect, $0-4=-4$. Greșeli de redactare de evitat: calculul unei singure limite laterale; continuitatea afirmată din faptul că „ambele ramuri sunt continue" — asta arată continuitatea pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, nu în punctul de legătură.)

b) (5 p) Lângă $x=4$ avem $x>0$, deci $f(x)=x-4$; iar $16-x^2=(4-x)(4+x)$: $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{16-x^2}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x-4}{(4-x)(4+x)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{-1}{4+x}\text{(3 p)},$$ pentru că $\frac{x-4}{4-x}=-1$. Rezultă $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{16-x^2}=-\frac{1}{8}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: pentru $x=4,001$, $\frac{0,001}{16-16,008001}=\frac{0,001}{-0,008001}\approx -0,125$. Unde se greșește de obicei: se simplifică $\frac{x-4}{4-x}$ cu $1$ în loc de $-1$ și iese $\frac{1}{8}$; sau se folosește ramura $\frac{-4}{x^2+1}$, deși $4>0$.)

c) (5 p) Punctul $A(-1,-2)$ este pe grafic: $f(-1)=\frac{-4}{2}=-2$. Ecuația tangentei este $$y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x+1)\text{(2 p)}.$$ Pe ramura din stânga se derivează: $$\text{Pentru }x\le 0,f(x)=\frac{-4}{x^2+1}⟹f^{\prime }(x)=\frac{8x}{{\left(x^2+1\right)}^2},\text{ oricare ar fi }x<0\text{(2 p)}.$$ Atunci $f^{\prime }(-1)=\frac{-8}{4}=-2$, iar tangenta este $y+2=-2(x+1)$: $$\mathbf{y}=-2x-4\text{(1 p)}.$$

(Derivata: ${\left(\frac{-4}{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{-4\cdot (-1)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{8x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. Control: tangenta trece prin $A$, pentru că $-2\cdot (-1)-4=-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f^{\prime }(x)=-\frac{8x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, pierzând un semn, și iese panta $2$ și tangenta $y=2x$.)

Exercițiul 10. (15 p) — o familie de funcții: primitive, arie, integrală cu $e^x$.

a) (5 p) Pentru $m=0$, $f_0(x)=3\cdot 0\cdot x^2+6\cdot 0\cdot x+9=9$, deci $$\text{Mulțimea primitivelor este }\int 9dx=\text{(2 p)}$$ $$=9x+\mathbf{C}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $9$ — derivata lui $9$ este $0$, nu $9$; sau se uită constanta $C$: cerința este MULȚIMEA primitivelor, adică toate funcțiile $F(x)=9x+c$, $c\in \mathbb{R}$.)

b) (5 p) Pentru $m=1$, $f_1(x)=3x^2+6x+9$, cu discriminantul $36-108<0$, deci $f_1(x)>0$ pentru orice $x$, iar modulul se poate scoate: $$\mathcal{S}={\int }_0^1\left|3x^2+6x+9\right|dx={\int }_0^1\left(3x^2+6x+9\right)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\left(x^3+3x^2+9x\right){|}_0^1=\text{(2 p)}$$ $$=13\text{(1 p)}.$$

(Control: $1+3+9-0=13$. În baremul oficial aria este notată $A$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $f_0$ sau $f_2$ în loc de $f_1$; sau primitiva lui $6x$ se scrie $6x^2$.)

c) (5 p) Pentru $m=2$, $f_2(x)=12x^2+12x+9$, deci $\frac{f_2(x)-9}{x}=\frac{12x^2+12x}{x}=12x+12$ pentru $x\in [1,2]$. Cum ${\left(12x{e}^x\right)}^{\prime }=12e^x+12x{e}^x=(12x+12)e^x$: $${\int }_1^2(12x+12)e^{x}dx=12x{e}^x{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=24{\mathbf{e}}^2-12e\text{(2 p)}.$$

(Același rezultat prin părți: integrala se desparte în ${\int }_1^{2}12x{e}^{x}dx+{\int }_1^{2}12e^{x}dx$, iar prin părți ${\int }_1^{2}12x{e}^{x}dx=12x{e}^x{|}_1^2-{\int }_1^{2}12e^{x}dx$, deci cele două integrale cu $12e^x$ se anulează. Control numeric: $24e^2-12e\approx 144,718$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f_2(x)=6x^2+12x+9$, uitând pătratul lui $m$ din $3m^2$; sau se integrează doar $12x{e}^x$ și se uită termenul $12e^x$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), proba scrisă la matematică, programa M2, publicat înaintea sesiunilor din 2012 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2012 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: suma primilor $n$ termeni — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: soluții reale egale, adică discriminant nul — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Funcția exponențială: intersecția graficului cu axele, printr-o ecuație exponențială — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: combinări și aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate a doi vectori dați prin coordonate — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria triunghiului cu sinusul unghiului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Determinanți în geometrie: ecuația dreptei prin două puncte, coliniaritatea a trei puncte, distanța dintre două puncte — clasele a IX-a și a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: împărțirea la $X-a$, teorema lui Bézout și o ecuație exponențială rezolvată prin polinomul ei — clasele a X-a și a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Limite, continuitate, derivate: continuitatea unei funcții definite pe ramuri, o limită cu nedeterminare $\frac{0}{0}$, ecuația tangentei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: mulțimea primitivelor, aria unei suprafețe plane, o integrală cu $e^x$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2012. Subiectul I are șase cerințe scurte, dar baremul lor e împărțit fin: cerința 3 are patru rânduri punctate, iar cerințele 2, 4, 5 și 6 au câte trei. Subiectul al II-lea nu începe cu o matrice: prima problemă este de geometrie analitică rezolvată cu determinanți — punctele $A_n(n-1,n+2)$ stau toate pe dreapta $y=x+3$, iar subpunctul c) cere punctele aflate la distanță cel mult $2$ de unul dat. A doua problemă este un polinom de gradul al treilea cu parametru, la care subpunctul c) ascunde, sub notația $3^x=y$, chiar polinomul de la a). Subiectul al III-lea cere continuitatea unei funcții definite pe ramuri, o limită și o tangentă, apoi, pentru o familie de funcții $f_m$, primitive, o arie și o integrală cu $e^x$ la care primitiva se „ghicește" ca $12x{e}^x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, o mulțime cu trei elemente și o expresie cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 5, valoarea negativă a lui $a$ păstrată în răspuns; la ecuația exponențială, soluția $y=-5$ neeliminată cu $3^x>0$; continuitatea afirmată fără cele două limite laterale și fără valoarea funcției în punct; aria scrisă fără modul și fără justificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)\cdot n}{2}$. Soluții reale egale: $\Delta =b^2-4ac=0$. Combinatorică: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Vectori coliniari: $\vec{u}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}$ și $\vec{v}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}$ sunt coliniari când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{MN\cdot NP\cdot \sin N}{2}$.
• Geometrie cu determinanți: punctele $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ sunt coliniare exact când $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$; distanța $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$.
• Continuitate și tangentă: $f$ este continuă în $x_0$ când $\underset{x\nearrow x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\searrow x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$; tangenta în $(x_0,f(x_0))$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Integrale: $\int kdx=kx+C$; aria suprafeței dintre graficul lui $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|g(x)|dx$; $(x{e}^x{)}^{\prime }=(x+1)e^x$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția exponențială de la cerința $3$, polinomul $f$ de la cerința $8$ și funcția definită pe ramuri de la cerința $9$; la cerința $10$ apare familia $f_m$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $m$ este parametrul ecuației de la cerința $2$, al polinomului de la cerința $8$ și al familiei $f_m$ de la cerința $10$; la cerința $7$, $m$, $n$, $p$ sunt indici ai punctelor $A_m$, $A_n$, $A_p$, iar $M_p$ este o mulțime de numere naturale.
• La cerința $10$, $f_0$, $f_1$, $f_2$ sunt funcțiile familiei pentru $m=0$, $m=1$ și $m=2$ — nu derivate și nici puteri ale lui $f$. Litera $C$ înseamnă combinări la cerința $4$ ($C_4^2$), câtul împărțirii la cerința $8$ și constanta de integrare la cerința $10$; litera $A$ înseamnă aranjamente la cerința $4$ ($A_4^1$), puncte la cerințele $3$ și $9$ și punctele $A_n$ la cerința $7$; litera $y$ este ordonata punctelor, dar la cerința $8$ este necunoscuta auxiliară din notația $3^x=y$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".