Bac M2 2012, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2012 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_4=7$ și $a_9=22$. Calculați $a_{14}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5-x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{3-x}=\frac{1}{4}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de $3$ cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $M=\{0,1,2,3\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Într-un reper cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele simetricului punctului $A$ față de punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$, știind că $AB=6$, $AC=5$ și $m(\sphericalangle BAC)=60^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ x-y+z=1\\ x+y+az=2\end{array}$, unde $a\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Calculați determinantul matricei asociate sistemului.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea asociată sistemului este inversabilă.

c) (5 puncte) Pentru $a=0$, rezolvați sistemul de ecuații.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast 1=x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x\ast x=4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^1\ast C_n^2=14$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=-\frac{x}{x+1}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este descrescătoare pe $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{e^{2x}\cdot f^2(x)}{x}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x$.

a) (5 puncte) Determinați primitiva $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a funcției $f$, care verifică relația $F(0)=1$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx$.

c) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei $Ox$, a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-x^{2012}-x^{2011}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2012; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2012 are, la mai multe cerințe, câte trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $1+2+2$) sau un rând „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Între $a_4$ și $a_9$ sunt cinci pași de rație: $$a_9=a_4+5r⟹22=7+5r⟹r=3\text{(2 p)}.$$ Tot cinci pași despart $a_{14}$ de $a_9$: $$a_{14}=a_9+5r=22+15=37\text{(3 p)}.$$

(Control: $a_1=a_4-3r=-2$, iar $a_{14}=a_1+13r=-2+39=37$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_9=a_4+4r$, numărând termenii în loc de pași, și iese $r=\frac{15}{4}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția graficelor a două funcții de gradul întâi.

Fie $A$ punctul de intersecție; în el cele două funcții au aceeași valoare: $$A\text{ este punctul de intersecție a graficelor funcțiilor }f\text{ și }g;f(x)=g(x)⟹x-3=5-x\text{(1 p)}.$$ $$x-3=5-x⟹2x=8⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{A}}=4\text{(2 p)},$$ $${\mathbf{y}}_{\mathbf{A}}=1\text{(2 p)},$$ pentru că $y_A=f(4)=4-3=1$. Punctul este $A(4,1)$.

(Control: $g(4)=5-4=1$, aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea la $x=4$ — cerința este coordonatele punctului, deci și ordonata.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se scrie ca putere a lui $2$: $\frac{1}{4}=2^{-2}$. $$2^{3-x}=2^{-2}\text{(2 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$3-x=-2⟹\mathbf{x}=5\text{(3 p)}.$$

(Control: $2^{3-5}=2^{-2}=\frac{1}{4}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{4}=2^2$, uitând exponentul negativ, și iese $x=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, numere de trei cifre distincte.

Se numără întâi toate tripletele ordonate de cifre distincte din $M$: $$\text{Numa˘rul tripletelor }(a,b,c),\text{ cu }a,b,c\text{ distincte din }M,\text{ este }{A}_4^3\text{(2 p)}.$$ Dintre ele, cele care încep cu $0$ nu sunt numere de trei cifre: $$\text{Numa˘rul tripletelor }(0,b,c),\text{ cu }b,c\text{ distincte nenule din }M,\text{ este }{A}_3^2\text{(2 p)}.$$ $$A_4^3-A_3^2=24-6=18\text{ numere}\text{(1 p)}.$$

(Control, pe alt drum: prima cifră se alege în $3$ moduri (fără $0$), a doua în $3$ (oricare rămasă, inclusiv $0$), a treia în $2$: $3\cdot 3\cdot 2=18$. Unde se greșește de obicei: se dă răspunsul $A_4^3=24$, numărând și „numerele" $012$, $023$ …; sau se folosesc combinări, $C_4^3=4$, ca și cum ordinea cifrelor n-ar conta.)

Exercițiul 5. (5 p) — simetricul unui punct față de alt punct.

$$\text{Fie }C\text{ simetricul lui }A\text{ fața˘ de }B⟹B\text{ este mijlocul segmentului }(AC)\text{(1 p)}.$$ Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor: $$x_B=\frac{x_A+x_C}{2}⟹3=\frac{1+x_C}{2}⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=5\text{(2 p)},$$ $$y_B=\frac{y_A+y_C}{2}⟹0=\frac{2+y_C}{2}⟹{\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=-2\text{(2 p)}.$$ Simetricul este $C(5,-2)$.

(Control: mijlocul lui $(AC)$ este $\left(\frac{1+5}{2},\frac{2-2}{2}\right)=(3,0)=B$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul lui $(AB)$, $(2,1)$, în loc de simetric.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, deci se aplică teorema cosinusului: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A\text{(2 p)}.$$ Cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$: $B{C}^2=36+25-2\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=61-30=31$, deci $$\mathbf{BC}=\sqrt{31}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie semnul plus în fața produsului și iese $\sqrt{91}$; sau se folosește $\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoarea lui $\sin 60^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — sistem liniar cu parametru.

a) (5 p) Matricea asociată sistemului are pe linii coeficienții necunoscutelor: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=-a+1-2-2-1-a=-2a-4\text{(3 p)}.$$

(Termenii din regula lui Sarrus: $1\cdot (-1)\cdot a=-a$, $1\cdot 1\cdot 1=1$, $(-2)\cdot 1\cdot 1=-2$, apoi se scad $(-2)\cdot (-1)\cdot 1=2$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $1\cdot 1\cdot a=a$. Control: pentru $a=0$, determinantul este $-4$. Unde se greșește de obicei: se uită minusul din fața lui $2z$ — cu $2$ în loc de $-2$ determinantul iese $-2a+4$; sau se schimbă semnul unui termen scăzut. Scrierea matricei pe coloane în loc de linii nu este o greșeală: transpusa are același determinant.)

b) (5 p) O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $$\text{Matricea asociata˘ sistemului este inversabila˘}⟺\Delta \ne 0\text{(3 p)}.$$ $-2a-4\ne 0⟺a\ne -2$, deci $$\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie răspunsul $a=-2$ — aceasta este tocmai valoarea pentru care matricea NU este inversabilă.)

c) (5 p) Pentru $a=0$, a treia ecuație pierde necunoscuta $z$: $$\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ x-y+z=1\\ x+y=2\end{array}\text{(2 p)}$$ Din prima și a treia ecuație, $2-2z=0$, deci $z=1$; atunci $x-y=0$ și $x+y=2$: $$\mathbf{x}=1,\mathbf{y}=1,\mathbf{z}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: $1+1-2=0$, $1-1+1=1$, $1+1=2$. Sistemul are soluție unică pentru că $\Delta =-4\ne 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se aplică definiția legii cu $y=1$: $$x\ast 1=x+1-1=\text{(4 p)}$$ $$=x,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$

(Legea este comutativă, deci și $1\ast x=x$: numărul $1$ este elementul neutru. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\ast 1=x\cdot 1-1$, confundând legea cu înmulțirea.)

b) (5 p) Legea este asociativă, deci $x\ast x\ast x$ se calculează în doi pași: $$x\ast x=2x-1\text{(2 p)},$$ $$(x\ast x)\ast x=(2x-1)+x-1=3x-2\text{(2 p)},$$ iar ecuația $3x-2=4$ dă $$\mathbf{x}=2\text{(1 p)}.$$

(Control: $2\ast 2=3$, iar $3\ast 2=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\ast x\ast x=3x-1$, scăzând $1$ o singură dată — legea se aplică de două ori, deci se scade $1$ de două ori.)

c) (5 p) Se calculează combinările: $$C_n^1=n,C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\text{(2 p)}.$$ Cu definiția legii, $n+\frac{n(n-1)}{2}-1=14$; înmulțind cu $2$: $2n+n^2-n-2=28$, adică $$n^2+n-30=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $5$ și $-6$; cum $n\ge 2$ este natural, Finalizare: $$\mathbf{n}=5\text{(1 p)}.$$

(Control: $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, iar $5\ast 10=5+10-1=14$. Unde se greșește de obicei: se scrie $C_n^2=n(n-1)$, uitând împărțirea la $2$ — aceea este $A_n^2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie, asimptotă oblică.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1{)}^{\prime }\cdot e^x-(x+1)\cdot {\left(e^x\right)}^{\prime }}{e^{2x}}=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}=-\frac{x}{e^x},\forall x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Finalizare — se împarte la $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$: $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=-\frac{x}{e^x}\cdot \frac{e^x}{x+1}=-\frac{x}{x+1}\text{(2 p)}.$$

(Simplificarea din primul rând: $\frac{e^x(1-x-1)}{e^{2x}}=\frac{-x}{e^x}$. Unde se greșește de obicei: se scrie numărătorul derivatei cu termenii în ordine inversă, $(x+1)e^x-e^x$, și iese $\frac{x}{e^x}$, cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)=-\frac{x}{e^x}⟹f^{\prime }(x)<0,\text{ oricare ar fi }x>0\text{(3 p)},$$ pentru că $x>0$ și $e^x>0$. Finalizare — o funcție cu derivata negativă pe un interval este descrescătoare pe acel interval, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,+\infty )$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f(1)>f(2)$ — două valori nu dovedesc monotonia pe tot intervalul.)

c) (5 p) Cum $e^{2x}\cdot f^2(x)=e^{2x}\cdot \frac{(x+1{)}^2}{e^{2x}}=(x+1{)}^2$: $$g(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}\text{(1 p)}.$$ Panta asimptotei: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{g(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x^2}=1\text{(1 p)}.$$ Ordonata la origine: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(g(x)-mx)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x}=2\text{(1 p)}.$$ $$\mathbf{y}=\mathbf{x}+2\text{ este ecuația asimptotei oblice la graficul funcției }g\text{(2 p)}.$$

(Control: $g(x)=x+2+\frac{1}{x}$, iar $\frac{1}{x}\to 0$ la $+\infty$. Unde se greșește de obicei: se citește $f^2(x)$ ca $f(f(x))$; sau se calculează $n$ ca $\lim g(x)$, care este $+\infty$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive, integrală definită, volum de rotație.

a) (5 p) O primitivă se obține ridicând fiecare exponent cu $1$ și împărțind la noul exponent: $$\int f(x)dx=\frac{x^{2013}}{2013}+\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\text{(2 p)}.$$ Condiția fixează constanta: $$F(x)=\frac{x^{2013}}{2013}+\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+c\text{ și }F(0)=1⟹c=1\text{(2 p)}.$$ $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^{2013}}{2013}+\frac{{\mathbf{x}}^{2012}}{2012}+\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+\frac{{\mathbf{x}}^2}{2}+1\text{(1 p)}.$$

(Control: $F^{\prime }(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x=f(x)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{x^{2013}}{2012}$, împărțind la vechiul exponent; sau se uită constanta și se dă o primitivă cu $F(0)=0$.)

b) (5 p) Numărătorul se factorizează: $f(x)=x^{2011}(x+1)+x(x+1)=(x+1)\left(x^{2011}+x\right)$, deci $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx={\int }_0^1\left(x^{2011}+x\right)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\left(\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{1}{2012}+\frac{1}{2}=\frac{1007}{2012}\text{(3 p)}.$$

(Aducerea la același numitor: $\frac{1}{2012}+\frac{1006}{2012}=\frac{1007}{2012}$. Alt drum: împărțirea polinomului la $x+1$ duce la același cât, $x^{2011}+x$, dar gruparea termenilor câte doi scurtează tot calculul. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^{2011}$ se scrie $\frac{x^{2012}}{2011}$ și iese $\frac{1}{2011}+\frac{1}{2}=\frac{2013}{4022}$, nu $\frac{1007}{2012}$.)

c) (5 p) Termenii cu exponenți mari se reduc: $$g(x)=x^2+x\text{(1 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2\left(x^4+2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}+2\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right){|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{481\pi }{30}\text{(1 p)}.$$

(Calculul: în $2$, $\frac{32}{5}+8+\frac{8}{3}=\frac{256}{15}=\frac{512}{30}$; în $1$, $\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{31}{30}$; diferența este $\frac{481}{30}$. Control numeric: $\mathcal{V}\approx 50,37$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul din formula volumului și se integrează $x^2+x$; sau se desface $(x^2+x{)}^2$ ca $x^4+x^2$, fără termenul dublu $2x^3$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), proba scrisă la Matematică, programa M2, în sesiunea specială 2012 a examenului de bacalaureat — Varianta 7. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științele naturii, și — în 2012 — și filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Documentul oficial nu tipărește numele programei; în 2010–2012 ea se numea M2, iar de la modelul pentru 2013 se numește M_șt-nat și nu mai este comună cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2012:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni, apoi un termen mai îndepărtat — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: punctul de intersecție a două grafice — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere de trei cifre distincte, cu aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: simetricul unui punct față de alt punct, prin mijlocul segmentului — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare: determinantul matricei sistemului, inversabilitatea, rezolvarea sistemului — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: elementul neutru, o ecuație cu legea, legea aplicată unor combinări — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, monotonia, asimptota oblică — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: primitiva cu o condiție, o integrală simplificată prin factorizare, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2012. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, cu bareme pe două sau trei rânduri; cea mai lungă este cerința 4, unde numerele de trei cifre distincte se numără scăzând din toate aranjamentele pe cele care încep cu $0$. Subiectul al II-lea pune un sistem liniar cu parametru, cu determinantul $-2a-4$, și o lege de compoziție $x\ast y=x+y-1$, cu elementul neutru $1$ — iar subpunctul c) o aplică pe două combinări, $C_n^1$ și $C_n^2$. Subiectul al III-lea cere derivata unui cât, monotonia și o asimptotă oblică pentru o funcție construită din $f$; la integrale, polinomul cu exponenți mari, $x^{2012}+x^{2011}+x^2+x$, se integrează direct sau se simplifică prin factorizare, iar la final rămâne un volum de rotație pentru $x^2+x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții, $\sqrt{31}$ și un volum de forma $\frac{481\pi }{30}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul obținut.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numerele care încep cu $0$ numărate printre cele de trei cifre; la cerința 8 c), soluția negativă a ecuației de gradul al doilea păstrată, deși $n\ge 2$; monotonia afirmată fără semnul derivatei; asimptota oblică scrisă fără cele două limite, $m$ și $n$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $a_n=a_k+(n-k)r$. Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Simetricul lui $A$ față de $B$: punctul $C$ pentru care $B$ este mijlocul segmentului $(AC)$. Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$.
• Sisteme: matricea sistemului este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Legi de compoziție: un număr $u$ este element neutru când $x\ast u=u\ast x=x$, pentru orice $x$ (aici $u=1$; litera $e$ rămâne numărul lui Euler, din $e^x$).
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{g(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(g(x)-mx)$.
• Integrale: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x-3$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$ de la cerința $9$ și funcția polinomială de la cerința $10$; tot așa, $g$ este funcția $5-x$ la cerința $2$, o funcție construită din $f$ la cerința $9$ și alta la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $9$, subpunctul c), $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $f(f(x))$; la fel $g^2(x)$ la cerința $10$.
• La cerința $8$, $C_n^1$ și $C_n^2$ sunt combinări (numere naturale), iar $\ast$ este legea de compoziție; $C_n^1\ast C_n^2$ înseamnă legea aplicată celor două numere.
• Literele $A$, $B$, $C$ sunt puncte la cerințele $2$ și $5$ (punctul de intersecție $A$ din barem; punctele $A$, $B$ și simetricul $C$) și vârfurile triunghiului la cerința $6$; $A_n^k$ (cerința $4$) și $C_n^k$ (cerința $8$) sunt aranjamente și combinări, iar $C$ este și constanta de integrare la cerința $10$. Literele $m$ și $n$ sunt, la cerința $9$, subpunctul c), panta și ordonata la origine a asimptotei; $n$ este și numărul natural de la cerința $8$, iar $m(\sphericalangle BAC)$ de la cerința $6$ este măsura unghiului.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".