Bac M2 2013, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $a=3(2+5i)-5(1+3i)$ este real.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa $Ox$ a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+10x+25$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5\left(x^2+x+1\right)={\log }_5(x+2)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $10\%$ prețul unui produs este $90$ de lei. Calculați prețul produsului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $h$ de ecuație $y=x-1$ și punctul $A(2,2)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin $A$ și este paralelă cu $h$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=5$, $AC=6$ și $BC=7$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ x& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Arătați că $A(2)+A(6)=2A(4)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det (A(x))=0$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră $x_1$, $x_2$ și $x_3$ rădăcinile complexe ale polinomului $f=X^3+X^2+mX+m$, unde $m$ este un număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f$ este divizibil cu $X+1$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=11$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ știind că $|x_1|=|x_2|=|x_3|$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\ge \ln x+1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x(x+1)(x-1)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\frac{f(x)}{x(x-1)}dx=\frac{7}{2}$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a funcției $f$ știind că $F(1)=-1$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^e\frac{f(x)\ln x}{x^2-1}dx=\frac{e^2}{4}-2\ln 2+1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 1 și la subpunctele b) și c) ale cerinței 8 baremul are trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se înmulțește fiecare paranteză: $$3(2+5i)=6+15i\text{(2 p)}$$ $$5(1+3i)=5+15i\text{(2 p)}$$ Scăzând, părțile imaginare se reduc: $$a=6+15i-5-15i=1\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade doar primul termen al parantezei, $6+15i-5+15i=1+30i$, uitând că minusul din fața lui $5(1+3i)$ se aplică și lui $15i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Punctul de pe axa $Ox$ are ordonata $0$: $$f(x)=0⟹(x+5{)}^2=0\text{(2 p)}.$$ Deci $x=-5$ și $y=0$: punctul de intersecție este $(-5,0)$ (3 p).

(Discriminantul este $\Delta =100-100=0$: graficul este tangent la axa $Ox$, deci există un singur punct de intersecție. Unde se greșește de obicei: se scrie $x=5$, cu semnul greșit, sau se dă punctul de intersecție cu axa $Oy$, $(0,25)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_5$ este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2+x+1=x+2\text{(3 p)}.$$ De aici $x^2=1$, adică $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$, care verifică ecuația (2 p).

(Verificarea: pentru $x=-1$, argumentele sunt $1$ și $1$; pentru $x=1$, sunt $3$ și $3$ — toate pozitive. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=1$, crezând că o soluție negativă nu poate conveni la o ecuație cu logaritmi; condiția privește argumentele, nu pe $x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Se notează cu $x$ prețul înainte de ieftinire; ieftinirea înseamnă scăderea a $10\%$ din $x$: $$x-\frac{10}{100}\cdot x=90\text{(3 p)}.$$ $$\frac{9}{10}x=90⟹\mathbf{x}=100\text{ de lei}\text{(2 p)}.$$

(Control: $10\%$ din $100$ este $10$, iar $100-10=90$. Unde se greșește de obicei: se calculează $10\%$ din $90$ și se adună, $90+9=99$ — procentul se aplică prețului inițial, nu celui final.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Dreptele paralele au aceeași pantă: $$d\parallel h⟹m_d=m_h=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta prin $A(2,2)$ cu panta $1$: $$d:y-2=1\cdot (x-2),\text{ deci }\mathbf{d}:\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(2,2)$ verifică $y=x$, iar $A$ nu este pe $h$, pentru că $2\ne 2-1$; deci $d$ și $h$ sunt paralele, nu confundate. Unde se greșește de obicei: se ia panta $-1$, ca la perpendiculare.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Cu teorema cosinusului, unghiul $A$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$: $$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade pătratul altei laturi, de exemplu $\frac{25+49-36}{2\cdot 5\cdot 7}$, care este $\cos B$; la numărător se scade mereu pătratul laturii opuse unghiului.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Doar elementul din linia a doua, coloana întâi depinde de $x$: $$A(2)+A(6)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 6& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 8& 2& 2\\ 2& -2& 2\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=2\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 4& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=2A(4)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ doar elementul care conține parametrul, și $2A(4)$ se scrie greșit cu $1$ în loc de $2$ pe celelalte poziții.)

b) (5 p) Cu regula lui Sarrus: $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ x& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=3-x\text{(3 p)}.$$ $$3-x=0⟹\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: produsele de pe diagonala principală și paralelele ei dau $1+1+0=2$, iar cele de pe diagonala secundară și paralelele ei dau $0-1+x=x-1$; $2-(x-1)=3-x$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1)\cdot 1\cdot 1$ cu plus și iese $1-x$.)

c) (5 p) Din subpunctul b), pentru $x=2$: $$\det (A(2))=1\text{(2 p)},$$ deci $A(2)$ este inversabilă. Cu matricea adjunctă (transpusa matricei complemenților algebrici), împărțită la $\det (A(2))=1$: $$(A(2){)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ -3& 2& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Control: $A(2)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ -3& 2& -1\end{array}\right)=I_3$ — de exemplu, prima linie a lui $A(2)$, $(1,1,0)$, înmulțită cu prima coloană, $(2,-1,-3)$, dă $2-1+0=1$. Unde se greșește de obicei: se uită transpunerea și complemenții algebrici se așază pe liniile lor, nu pe coloane.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se calculează valoarea în $-1$: $$f(-1)=-1+1-m+m=0\text{(2 p)}.$$ Rezultă că $X+1$ divide polinomul $f$, pentru orice număr real $m$ (3 p).

(Teorema lui Bézout: $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$; aici $X+1=X-(-1)$. De fapt, $f=X^2(X+1)+m(X+1)=(X+1)\left(X^2+m\right)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)=2+2m$, pentru că se confundă $X+1$ cu $X-1$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète: $$x_1+x_2+x_3=-1,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m\text{(2 p)}.$$ $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-1{)}^2-2m=1-2m\text{(2 p)}.$$ $$1-2m=11⟹\mathbf{m}=-5\text{(1 p)}.$$

(Control: pentru $m=-5$, $f=(X+1)\left(X^2-5\right)$, cu rădăcinile $-1$, $\sqrt{5}$, $-\sqrt{5}$, iar $1+5+5=11$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1+2m$, cu semnul greșit, și iese $m=5$; sau se uită ridicarea la pătrat a sumei, $-1-2m=11$, și iese $m=-6$. Semnul sumei, $x_1+x_2+x_3=-1$, nu schimbă aici rezultatul, pentru că suma intră la pătrat — dar trebuie scris corect.)

c) (5 p) Din subpunctul a), una dintre rădăcini este $-1$; notăm $x_1=-1$ (celelalte rădăcini se renumerotează). Atunci $|x_1|=1$, deci $$x_1=-1⟹|x_2|=|x_3|=1\text{(2 p)}.$$ După relațiile lui Viète, $$x_1{x}_2{x}_3=-m\text{(1 p)}.$$ Trecând la module, $|m|=|x_1|\cdot |x_2|\cdot |x_3|=1$, deci $$|m|=1⟹\mathbf{m}=-1\text{ sau }\mathbf{m}=1;\text{ ambele valori verifica˘ cerința}\text{(2 p)}.$$

(Verificarea: pentru $m=-1$, $f=(X+1)\left(X^2-1\right)$, cu rădăcinile $-1$, $-1$, $1$ — toate de modul $1$; pentru $m=1$, $f=(X+1)\left(X^2+1\right)$, cu rădăcinile $-1$, $i$, $-i$ — tot de modul $1$. Condiția $|m|=1$ este doar necesară; de aceea verificarea face parte din rândul punctat. Unde se greșește de obicei: se citesc barele de modul ca paranteze și se cere $x_1=x_2=x_3$ — trei rădăcini egale, imposibil aici, pentru că suma lor ar fi $-3\ne -1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }-(\ln x{)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=1-\frac{1}{\mathbf{x}},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(\ln x{)}^{\prime }=\ln x$ sau $(\ln x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x}$, și semnul iese greșit.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$: $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ $$f(1)=1,f^{\prime }(1)=0⟹\text{ecuația tangentei este }\mathbf{y}=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)=1-\ln 1=1$, $f^{\prime }(1)=1-1=0$: tangenta este orizontală. Unde se greșește de obicei: se ia $f(1)=0$, din $\ln 1=0$, și iese $y=0$.)

c) (5 p) Se studiază semnul derivatei, $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$: $$f^{\prime }(1)=0,f^{\prime }(x)<0\text{ pentru }x\in (0,1)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty )$, iar $f(1)$ este valoarea minimă: $$f(x)\ge f(1)⟹x-\ln x\ge 1⟹x\ge \ln x+1,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Egalitatea are loc doar pentru $x=1$. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea pe câteva valori ale lui $x$ — ceea ce nu demonstrează nimic — sau se scrie doar $f^{\prime }(1)=0$, fără semnul derivatei pe cele două intervale.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Pentru $x\in [2,3]$, $x(x-1)\ne 0$ și integrandul se simplifică: $${\int }_2^3\frac{f(x)}{x(x-1)}dx={\int }_2^3(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_2^3=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$ și $2+2=4$. Unde se greșește de obicei: se simplifică greșit și rămâne $x-1$ sau $x$ în integrand.)

b) (5 p) Se desface produsul: $f(x)=x\left(x^2-1\right)=x^3-x$, deci primitivele lui $f$ sunt $$F(x)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ $$F(1)=-1⟹\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+c=-1⟹c=-\frac{3}{4}⟹\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{1}{4}{\mathbf{x}}^4-\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^2-\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control: $F^{\prime }(x)=x^3-x=f(x)$ și $F(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=-1$. Unde se greșește de obicei: se integrează factorii separat și se înmulțesc, sau se uită constanta și se răspunde fără condiția $F(1)=-1$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [2,e]$, $x^2-1\ne 0$ și $\frac{f(x)}{x^2-1}=x$: $${\int }_2^e\frac{f(x)\ln x}{x^2-1}dx={\int }_2^{e}x\ln xdx=\text{(2 p)}$$ Prin părți, cu ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$=\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right){|}_2^e-\frac{1}{2}{\int }_2^{e}xdx=\frac{{\mathbf{e}}^2}{4}-2\ln 2+1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right){|}_2^e=\frac{e^2}{2}-2\ln 2$, iar $\frac{1}{2}{\int }_2^{e}xdx=\frac{x^2}{4}{|}_2^e=\frac{e^2}{4}-1$; diferența este $\frac{e^2}{4}-2\ln 2+1\approx 1,46097$. Capetele sunt în ordinea firească: $e\approx 2,718>2$. Unde se greșește de obicei: se aleg rolurile invers la integrarea prin părți, derivând $x$ și integrând $\ln x$, și integrala nu se mai simplifică.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2013 a examenului de bacalaureat național — Varianta 9. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea cu un număr real și scăderea, partea imaginară care se anulează — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$, cu un pătrat perfect — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: egalitatea argumentelor și verificarea condițiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Procente: prețul înainte de o ieftinire — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: dreapta paralelă cu o dreaptă dată, prin panta comună — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: suma a două matrice, un determinant cu parametru, inversa unei matrice de ordinul al treilea — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: divizibilitatea cu $X+1$, relațiile lui Viète, rădăcini complexe cu module egale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei, o inegalitate obținută din punctul de minim — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: simplificarea integrandului, primitiva cu o condiție, integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie din 2013. Subiectul I are șase cerințe de câte un pas: un număr complex în care $15i$ se reduce, un trinom care este pătratul lui $x+5$, o ecuație logaritmică cu două soluții care convin, o ieftinire cu $10\%$, o paralelă prin pantă și teorema cosinusului. La Subiectul al II-lea, parametrul $x$ stă într-un singur loc al matricei $A(x)$, așa că determinantul iese de gradul întâi, $3-x$, iar inversa lui $A(2)$ se calculează cu determinantul egal cu $1$. Polinomul $X^3+X^2+mX+m$ se descompune ca $(X+1)\left(X^2+m\right)$, iar subpunctul c) cere ca toate rădăcinile — posibil complexe — să aibă același modul. La Subiectul al III-lea, funcția $x-\ln x$ are minimul $1$ în $x=1$, de unde inegalitatea clasică $x\ge \ln x+1$; la integrale, $f(x)=x(x+1)(x-1)$ se simplifică de fiecare dată înainte de integrare, iar ultimul subpunct este o integrare prin părți pentru $x\ln x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{5}$, $\frac{7}{2}$, o matrice cu elemente întregi și $\frac{e^2}{4}-2\ln 2+1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile scrise fără verificarea condițiilor de existență a logaritmilor; la cerința 8, subpunctul c), concluzia fără verificarea că ambele valori ale lui $m$ îndeplinesc cerința; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără semnul derivatei pe cele două intervale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: un număr $a+bi$ este real exact când $b=0$. Funcția de gradul al doilea: $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, pentru $u>0$, $v>0$. Procente: după o ieftinire cu $p\%$, prețul devine $x-\frac{p}{100}x$. Drepte paralele: au aceeași pantă; dreapta prin $(x_0,y_0)$ cu panta $m$ este $y-y_0=m(x-x_0)$. Teorema cosinusului: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$. Polinoame: $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)$; modulul unui produs este produsul modulelor.
• Derivate: ecuația tangentei în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f^{\prime }<0$ la stânga lui $x_0$ și $f^{\prime }>0$ la dreapta, $f(x_0)$ este valoarea minimă.
• Integrale: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+X^2+mX+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=x-\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x(x+1)(x-1)$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este, la cerința $7$, parametrul real al matricei $A(x)$, nu o variabilă de funcție; la cerința $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului, iar $|x_1|$ este modulul unui număr complex. Litera $A$ denumește la cerința $5$ un punct, la cerința $6$ un vârf al triunghiului, iar la cerința $7$ o matrice.
• La cerința $10$, $F$ este primitiva lui $f$ cerută la subpunctul b), cu condiția $F(1)=-1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".