Bac M2 2013, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $x=3(1-i)+3i$ este real.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+3}=8$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, acesta să fie divizibil cu $4$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,3)$, $B(3,0)$ și $C(2,5)$. Calculați lungimea medianei din $B$ a triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii $AC$ a triunghiului $ABC$, știind că $BC=4$, $B=\frac{\pi }{6}$ și $C=\frac{\pi }{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $M(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1-x\\ 1-x& x\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det (M(2))$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $M(x)\cdot M(y)=M(2xy-x-y+1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ astfel încât $M(a)\cdot M(x)=M(a)$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\circ y=xy+2x+2y+2$.

a) (5 puncte) Calculați $0\circ (-2)$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x\circ x=6$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=1$ și $x=4$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea august-septembrie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4, la cerința 7, subpunctul c), și la cerința 9, subpunctele b) și c), baremul are trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desface paranteza: $$3(1-i)=3-3i\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $i$ se reduc: $$x=3-3i+3i=3\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen, $3-i+3i=3+2i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$: $$f(x)=0⟹x=1\text{ sau }x=2\text{(3 p)}.$$ Punctele de intersecție sunt $(1,0)$ și $(2,0)$, deci distanța este egală cu $1$ (2 p).

(Detaliul: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$; distanța dintre două puncte de pe aceeași axă este diferența absciselor, $2-1=1$. Unde se greșește de obicei: se adună abscisele și iese $3$, sau se calculează distanța până la originea reperului.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $8=2^3$; funcția exponențială fiind injectivă, exponenții sunt egali: $$2x+3=3\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $2^{0+3}=8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2x+3=8$, fără să se aducă membrul drept la baza $2$, și iese $x=\frac{5}{2}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele din mulțimea $A$ divizibile cu $4$ sunt $4$, $8$, $12$, $16$ și $20$, deci sunt $5$ cazuri favorabile (2 p).

Numărul de elemente ale mulțimii $A$ este $20$, deci sunt $20$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $20$, care este și el multiplu de $4$, și iese $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mediana din $B$ unește vârful $B$ cu mijlocul laturii opuse, $(AC)$: $$\text{mijlocul segmentului }(AC)\text{ este }M(0,4)\text{(2 p)}.$$ $$BM=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $M\left(\frac{-2+2}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(0,4)$, iar $\overrightarrow{BM}$ are componentele $0-3=-3$ și $4-0=4$. Unde se greșește de obicei: se ia mijlocul lui $(AB)$ sau al lui $(BC)$ — mediana din $B$ merge la mijlocul laturii care NU conține pe $B$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană.

Suma unghiurilor triunghiului este $\pi$: $$A=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$ Triunghiul este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC$; cateta $AC$ se opune unghiului $B$ de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză: $$AC=\frac{1}{2}\cdot BC=2\text{(3 p)}.$$

(Același rezultat, cu teorema sinusurilor: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, adică $AC=\frac{4\cdot \frac{1}{2}}{1}=2$. Unde se greșește de obicei: se ia cateta opusă unghiului $C$ de $60^{\circ }$, $AB=2\sqrt{3}$, în loc de $AC$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$\det (M(2))=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=4-1=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $1-x=1+2=3$ și iese $4-9=-5$, sau se scrie $-(-1)(-1)=+1$ și iese $5$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele: $$M(x)\cdot M(y)=\left(\begin{array}{cc}xy+(1-x)(1-y)& x(1-y)+(1-x)y\\ (1-x)y+x(1-y)& (1-x)(1-y)+xy\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}2xy-x-y+1& 1-(2xy-x-y+1)\\ 1-(2xy-x-y+1)& 2xy-x-y+1\end{array}\right)=M(2xy-x-y+1),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $xy+1-x-y+xy=2xy-x-y+1$, iar $x-xy+y-xy=x+y-2xy=1-(2xy-x-y+1)$. Răspunsul la „verificați dacă" este deci „da". Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element; iese matricea cu $xy$ pe diagonală și $(1-x)(1-y)$ în afara ei, care nu este de forma $M(t)$ (de exemplu, pentru $x=y=2$ iese $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 4\end{array}\right)$, pe când $M(4)$ are în afara diagonalei $-3$), și se răspunde greșit „nu".)

c) (5 p) Cu formula de la b): $$M(a)\cdot M(x)=M(a)⟺M(2ax-a-x+1)=M(a),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(1 p)}.$$ Două matrice $M(u)$ și $M(v)$ sunt egale exact când $u=v$ (elementul din colțul stâng sus este chiar parametrul), deci $$2ax-a-x+1=a,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Egalitatea se scrie $(2a-1)(x-1)=0$, pentru orice $x$, deci $$\mathbf{a}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Control: $M\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $M\left(\frac{1}{2}\right)\cdot M(x)$ are pe fiecare linie $\frac{1}{2}(x+(1-x))=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește un singur $x$, de exemplu $x=1$ — atunci egalitatea este adevărată pentru orice $a$ și nu se află nimic.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție: $$0\circ (-2)=0\cdot (-2)+2\cdot 0+2\cdot (-2)+2=\text{(3 p)}$$ $$=-2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $2\cdot (-2)=4$, fără semn, și iese $6$.)

b) (5 p) Se grupează termenii: $$x\circ y=xy+2x+2y+2=x(y+2)+2(y+2)-2=\text{(3 p)}$$ $$=(x+2)(y+2)-2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Control: $(x+2)(y+2)-2=xy+2x+2y+4-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+2)(y+2)+2$, fără să se observe că $4$ trebuie adus la $2$.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, $x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x$; cu forma de la b), $x\circ x=(x+2{)}^2-2$, iar $$x\circ x\circ x=((x+2{)}^2-2+2)(x+2)-2=(x+2{)}^3-2\text{(3 p)}.$$ $$(x+2{)}^3-2=6⟹(x+2{)}^3=8⟹\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Funcția $t\mapsto t^3$ este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci $x+2=2$ este singura soluție reală. Verificare: $0\circ 0=2$, iar $2\circ 0=0+4+0+2=6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\circ x\circ x=(x+2{)}^3-6$, scăzând $2$ de trei ori.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, punct de extrem, asimptotă oblică.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-\left(x^2-2x+2\right)}{(x-1{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2},\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul numărătorului: $2x^2-4x+2-x^2+2x-2=x^2-2x$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $-\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$.)

b) (5 p) Rădăcina derivatei în domeniu: $$f^{\prime }(x)=0⟹x(x-2)=0⟹x=2,\text{ deoarece }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Semnul derivatei: $$f^{\prime }(2)=0;f^{\prime }(x)<0\text{ pentru }x\in (1,2)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru }x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Punctul de extrem este $\mathbf{x}=2$ (1 p).

(Este un punct de minim, cu $f(2)=\frac{4-4+2}{1}=2$. Pe $(1,+\infty )$ numitorul $(x-1{)}^2$ și factorul $x$ sunt pozitivi, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=0$ ca punct de extrem — dar $0\notin (1,+\infty )$.)

c) (5 p) Panta asimptotei: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este $\mathbf{y}=\mathbf{x}-1$ (1 p).

(Detaliul: $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2-2x+2}{x^2-x}\to 1$, iar $f(x)-x=\frac{x^2-2x+2-x^2+x}{x-1}=\frac{-x+2}{x-1}\to -1$. De altfel, $f(x)=x-1+\frac{1}{x-1}$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=0$, simplificând doar termenii de gradul al doilea.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și arii.

a) (5 p) Pe $[1,2]$, $\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=x$: $${\int }_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx={\int }_1^{2}xdx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{x^2}{2}{|}_1^2=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $x\sqrt{x}$ fără simplificare, sau se uită să se scadă valoarea în $1$ și iese $2$.)

b) (5 p) Se derivează $F$, scriind $x^2\sqrt{x}=x^{\frac{5}{2}}$: $$F^{\prime }(x)={\left(\frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}}\right)}^{\prime }=x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $$F^{\prime }(x)=f(x),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )⟹F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$. Unde se greșește de obicei: se derivează $x^2$ și $\sqrt{x}$ separat și se înmulțesc derivatele.)

c) (5 p) Pe $[1,4]$, $f(x)=x\sqrt{x}\ge 0$, deci $|f(x)|=f(x)$: $$\mathcal{S}={\int }_1^4|f(x)|dx={\int }_1^{4}x\sqrt{x}dx=\text{(2 p)}$$ Cu primitiva de la b): $$=\frac{2}{5}\cdot x^2\sqrt{x}{|}_1^4=\frac{62}{5}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{2}{5}\left(16\cdot 2-1\cdot 1\right)=\frac{2}{5}\cdot 31=\frac{62}{5}=12,4$. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se ia $\sqrt{4}=4$ și iese $\frac{2}{5}\cdot 63$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de rezervă din august 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: un număr complex care se dovedește real — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: rădăcinile și distanța dintre punctele de intersecție cu axa $Ox$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $4$ dintr-o mulțime cu $20$ de elemente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și lungimea medianei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: suma unghiurilor unui triunghi și cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant de ordinul al doilea, produsul a două matrice de aceeași formă, o egalitate valabilă pentru orice $x$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul direct, forma descompusă $(x+2)(y+2)-2$ și o ecuație cu $x\circ x\circ x$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, punctul de extrem, asimptota oblică spre $+\infty$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și arii: simplificarea integrandului, verificarea unei primitive, aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din august-septembrie 2013. Subiectul I are șase cerințe de câte un pas: un număr complex în care $-3i$ și $3i$ se reduc, rădăcinile $1$ și $2$ ale unui trinom, ecuația $2^{2x+3}=2^3$, numărarea multiplilor lui $4$, mijlocul unei laturi și un triunghi dreptunghic cu unghiurile de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$. La Subiectul al II-lea, matricele $M(x)$ se înmulțesc „ca parametrii": $M(x)\cdot M(y)=M(2xy-x-y+1)$, iar subpunctul c) cere o egalitate adevărată pentru orice $x$, ceea ce fixează $a=\frac{1}{2}$. Legea de compoziție se scrie ca $(x+2)(y+2)-2$, iar compunerea de trei ori a lui $x$ cu el însuși dă un cub, $(x+2{)}^3-2$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{x^2-2x+2}{x-1}$ are minimul în $x=2$ și asimptota oblică $y=x-1$; la integrale, $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$ are primitiva $\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}$, care servește și la arie.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$ și $\frac{62}{5}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), egalitatea $2ax-a-x+1=a$ rezolvată pentru un singur $x$ în loc să fie impusă pentru orice $x$; la cerința 9, subpunctul b), punctul de extrem dat fără semnul derivatei de o parte și de alta a lui $2$; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără modul sau fără justificarea că funcția este pozitivă.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: un număr $a+bi$ este real exact când $b=0$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Mijlocul segmentului $(AC)$: $\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$; distanța $BM=\sqrt{(x_M-x_B{)}^2+(y_M-y_B{)}^2}$. Triunghiul dreptunghic: cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale exact când sunt egale element cu element. Legi de compoziție: dacă $x\circ y=(x+2)(y+2)-2$, atunci $x\circ x\circ x=(x+2{)}^3-2$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$ și $\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+\mathcal{C}=\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+\mathcal{C}$; aria dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-3x+2$ de la cerința $2$, $f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$ de la cerința $9$ și $f(x)=x\sqrt{x}$ de la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerința $5$, un vârf (și un unghi) la cerința $6$, iar la cerința $4$ o mulțime. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este, la cerința $1$, numele unui număr complex, iar la cerința $7$ parametrul real al matricei $M(x)$. Tot la cerința $7$, litera $a$ este un număr real necunoscut, nu un element al matricei. Litera $M$ este, în baremul cerinței $5$, mijlocul segmentului $(AC)$ — rândul de barem îl redăm cu litera oficială —, iar la cerința $7$ numele matricei $M(x)$.
• La cerința $5$, $B$ și $C$ sunt puncte date prin coordonate; la cerința $6$, ele denumesc atât vârfurile, cât și măsurile unghiurilor: $B=\frac{\pi }{6}$ înseamnă că unghiul din vârful $B$ are $30^{\circ }$. Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție, nu compunerea funcțiilor. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".