Bac M2 2013, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $x=2(1+i)-2i$ este real.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(5)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+1}=x+1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+2\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=2\vec{i}+\vec{j}$. Calculați lungimea vectorului $\overrightarrow{AC}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\sin x+\cos \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Calculați $E\left(\frac{\pi }{3}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Arătați că $A^2-6A=I_2$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $B=A-6I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\ast y=\sqrt{x^2+y^2+4}$.

a) (5 puncte) Calculați $2\ast 2$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x=\sqrt{12}$.

c) (5 puncte) Arătați că numărul $\underset{1\text{ de }8\text{ ori}}{\underbrace{1\ast 1\ast \cdots \ast 1}}$ este întreg.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $f(x)+f^{\prime \prime }(x)=2\left(f^{\prime }(x)+e^x\right)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(x+1)f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx+{\int }_0^1{x}^{3}f(x)dx=\frac{1}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $h:[0,1]\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul are, la cerința 4 și la problema 9, subpunctul c), câte trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desface paranteza: $$2(1+i)=2+2i\text{(3 p)}.$$ Atunci $x=2+2i-2i$, partea imaginară se reduce și rămâne $$x=2\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză, $2(1+i)=2+i$, și rămâne $x=2-i$, care nu este real. Un număr complex $a+bi$ este real exact când $b=0$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, un produs de valori.

Unul dintre factori este zero: $$f(2)=2-2=0\text{(3 p)}.$$ Un produs cu un factor nul este nul, deci $$f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(5)=0\text{(2 p)}.$$

(Control: factorii sunt $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)\cdot f(5)=-3$ sau se înmulțesc doar valorile nenule, $(-1)\cdot 1\cdot 2\cdot 3=-6$, uitând că $f(2)=0$ face parte din produs.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat ambii membri: $$x^2+1=x^2+2x+1\text{(2 p)}.$$ Termenii $x^2$ și $1$ se reduc, rămâne $2x=0$. Rezultă $\mathbf{x}=0$, care verifică ecuația: $\sqrt{0+1}=1=0+1$ (3 p).

(De ce e nevoie de verificare: ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă; o soluție a ecuației finale este soluție a ecuației inițiale doar dacă membrul drept, $x+1$, este nenegativ. Aici $x+1=1\ge 0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+1{)}^2=x^2+1$, uitând termenul $2x$, și ecuația pare adevărată pentru orice $x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Produsul cifrelor este $5$ doar dacă cifrele sunt $1$ și $5$, în orice ordine. Numerele de două cifre având produsul cifrelor egal cu $5$ sunt $15$ și $51$, deci sunt $2$ cazuri favorabile (2 p).

Numărul numerelor naturale de două cifre este $99-10+1=90$, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită numărul $51$ și iese $\frac{1}{90}$; sau se numără $99$ ori $100$ de cazuri posibile, adăugând numerele de o cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

După regula triunghiului, $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=4\vec{i}+3\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Lungimea unui vector $x\vec{i}+y\vec{j}$ este $\sqrt{x^2+y^2}$, deci $$AC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scad vectorii, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\vec{j}$, și iese lungimea $1$; sau se adună coordonatele, $4+3=7$, în loc de radicalul sumei pătratelor.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se înlocuiește $x=\frac{\pi }{3}$; atunci $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$: $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{6}\text{(2 p)}.$$ Cu valorile din unghiurile remarcabile, $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\sqrt{3}\approx 1,732$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $\cos \frac{\pi }{3}$ în loc de $\cos \frac{\pi }{6}$, uitând împărțirea la $2$ a argumentului, și iese $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$; sau se confundă $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cu $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Determinantul de ordinul al doilea este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=1\cdot 5-2\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=5-6=-1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele, $5+6=11$, sau se scade în ordine inversă, $6-5=1$.)

b) (5 p) Se calculează întâi pătratul, linie înmulțită cu coloană: $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 12\\ 18& 31\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$A^2-6A=\left(\begin{array}{cc}7& 12\\ 18& 31\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ 18& 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul produsului: $1\cdot 1+2\cdot 3=7$, $1\cdot 2+2\cdot 5=12$, $3\cdot 1+5\cdot 3=18$, $3\cdot 2+5\cdot 5=31$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 9& 25\end{array}\right)$ — pătratul unei matrice este produsul ei cu ea însăși.)

c) (5 p) Se calculează matricea $B$ și determinantul ei: $$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)-6\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)⟹\det B=\left|\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right|=-1\text{(2 p)}.$$ Cum $\det B=-1\ne 0$, matricea $B$ este inversabilă, iar $$B^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -3& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Un drum mai scurt, prin subpunctul b): $A^2-6A=A(A-6I_2)=A\cdot B=I_2$, și la fel $B\cdot A=I_2$, deci $B^{-1}=A$ fără niciun calcul. Control: $\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se scade $6$ din toate elementele lui $A$, nu doar de pe diagonală; sau se uită împărțirea la $\det B=-1$ și iese $-A$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=2$ în formula legii: $$2\ast 2=\sqrt{2^2+2^2+4}\text{(2 p)}.$$ $$2\ast 2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită radicalul și se scrie $2\ast 2=12$; sau se tratează $\ast$ ca înmulțire, $2\ast 2=4$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$ legea dă $x\ast x=\sqrt{2x^2+4}$, iar doi radicali egali au radicanzii egali: $$\sqrt{x^2+x^2+4}=\sqrt{12}⟺2x^2+4=12\text{(2 p)}.$$ Rezultă $x^2=4$, deci $\mathbf{x}=-2$ sau $\mathbf{x}=2$ (3 p).

(Echivalența este corectă pentru că ambii radicanzi sunt pozitivi, iar funcția radical este injectivă. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar soluția pozitivă, deși $(-2)\ast (-2)=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}$ la fel.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci compunem din aproape în aproape: $x\ast y\ast z=\sqrt{\left(x^2+y^2+4\right)+z^2+4}=\sqrt{x^2+y^2+z^2+2\cdot 4}$; la fiecare nouă compunere se adaugă pătratul noului element și încă un $4$. Pentru opt elemente egale cu $1$ sunt șapte compuneri: $$\underset{1\text{ de }8\text{ ori}}{\underbrace{1\ast 1\ast \cdots \ast 1}}=\sqrt{8\cdot 1^2+4\cdot (8-1)}=\sqrt{36}\text{(3 p)}.$$ $$\underset{1\text{ de }8\text{ ori}}{\underbrace{1\ast 1\ast \cdots \ast 1}}=6\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$

(Control pas cu pas: $1\ast 1=\sqrt{6}$, $\sqrt{6}\ast 1=\sqrt{11}$, $\sqrt{11}\ast 1=\sqrt{16}$, apoi $\sqrt{21}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{31}$, $\sqrt{36}$ — radicandul crește cu $5$ la fiecare pas. Unde se greșește de obicei: se numără opt termeni de $4$ în loc de șapte, și iese $\sqrt{40}$, care nu este întreg.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și puncte de extrem.

a) (5 p) Se derivează produsul, cu $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }\left(x^2-6x+9\right)+e^x{\left(x^2-6x+9\right)}^{\prime }\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)+e^x(2x-6)=e^x\left(x^2-4x+3\right),\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=3$, iar $f(x)=e^x(x-3{)}^2$ are raportul incremental în $0$ tot aproximativ $3$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza, uitând termenul care vine din derivata lui $e^x$.)

b) (5 p) Se derivează încă o dată, cu aceeași regulă aplicată lui $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)$: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)+e^x(2x-4)=e^x\left(x^2-2x-1\right)\text{(2 p)}.$$ Se adună $f(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$ și se compară cu membrul drept: $$f(x)+f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(2x^2-8x+8\right)=2e^x\left(x^2-4x+4\right)=2\left(f^{\prime }(x)+e^x\right),\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: $\left(x^2-6x+9\right)+\left(x^2-2x-1\right)=2x^2-8x+8$, iar $f^{\prime }(x)+e^x=e^x\left(x^2-4x+3+1\right)=e^x\left(x^2-4x+4\right)$. Răspunsul la întrebarea „verificați dacă" este deci da. Unde se greșește de obicei: se scrie $f^{\prime \prime }(x)=e^x(2x-4)$, derivând doar paranteza.)

c) (5 p) Zerourile derivatei: cum $e^x>0$, $f^{\prime }(x)=0$ exact când $x^2-4x+3=0$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{ sau }x=3\text{(2 p)}.$$ Semnul derivatei este semnul trinomului $x^2-4x+3$: pozitiv în afara rădăcinilor, negativ între ele: $$f^{\prime }(x)>0\text{ pentru }x\in (-\infty ,1),f^{\prime }(x)<0\text{ pentru }x\in (1,3),f^{\prime }(x)>0\text{ pentru }x\in (3,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Derivata își schimbă semnul în ambele zerouri, deci punctele de extrem sunt ${\mathbf{x}}_1=1$ și ${\mathbf{x}}_2=3$ (1 p).

(Pe tablou: $x=1$ este punct de maxim, cu $f(1)=4e$, iar $x=3$ este punct de minim, cu $f(3)=0$. Unde se greșește de obicei: se caută zerourile lui $f$ în loc de ale lui $f^{\prime }$ și se găsește doar $x=3$, pierzând punctul de maxim $x=1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Numitorul se simplifică, pentru că $x+1\ne 0$ pe $[0,1]$: $${\int }_0^1(x+1)f(x)dx={\int }_0^1\frac{x(x+1)}{x+1}dx={\int }_0^{1}xdx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$, fără împărțirea la $2$, și iese $1$.)

b) (5 p) Se scriu cele două integrale cu $f(x)=\frac{x}{x+1}$: $${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx+{\int }_0^1{x}^{3}f(x)dx={\int }_0^1\frac{x^3}{x+1}dx+{\int }_0^1\frac{x^4}{x+1}dx\text{(2 p)}.$$ Cele două integrale au aceleași capete, deci se adună sub același semn de integrală, iar $x^3+x^4=x^3(x+1)$: $${\int }_0^1\frac{x^3(x+1)}{x+1}dx={\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^1=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Alt drum, mai lung: fiecare integrală separat — merge, dar cere împărțirea polinoamelor; ideea problemei este să le aduni întâi. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^3$ se scrie $x^4$, fără împărțirea la $4$, și iese $1$ în loc de $\frac{1}{4}$. Control numeric: suma celor două integrale calculate numeric este $0,25$.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație este $\pi$ ori integrala pătratului funcției; pătratul se scrie ca sumă de termeni cu primitive din tabel, pornind de la $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{h}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1{\left(\frac{x}{x+1}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1\left(1-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}\right)dx\text{(3 p)}.$$ (⚠️ Divergență față de documentul oficial: în baremul tipărit, prima integrală din acest rând apare cu capetele $1$ și $2$, „$V=\pi {\int }_1^2{h}^2(x)dx$" (baremul notează volumul cu $V$) — o greșeală de tipar. Că este vorba de o eroare se vede din enunț: funcția $h$ este definită pe $[0,1]$, deci o integrală a lui $h^2$ pe $[1,2]$ nici nu are sens; de altfel, chiar egalitatea următoare din barem scrie ${\int }_0^1$, iar rezultatul final este calculat pe $[0,1]$. Enunțul oficial este corect și l-am lăsat neschimbat; în rândul de barem de mai sus am scris capetele corecte, $0$ și $1$, iar punctajul rândului rămâne cel oficial.)

Cu formula Leibniz–Newton, $$\mathcal{V}=\pi \left(x-2\ln (x+1)-\frac{1}{x+1}\right){|}_0^1=\pi \left(1-2\ln 2-\frac{1}{2}+1\right)=\pi \left(\frac{3}{2}-2\ln 2\right)\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{3}{2}-2\ln 2\approx 0,1137$, deci volumul este aproximativ $0,357$; integrala lui ${\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2$ calculată numeric pe $[0,1]$ dă tot $0,1137$. Unde se greșește de obicei: se integrează $h$ în loc de $h^2$; sau se scrie primitiva lui $\frac{1}{(x+1{)}^2}$ cu plus, $\frac{1}{x+1}$, și iese $\pi \left(\frac{1}{2}-2\ln 2\right)$, un număr negativ — imposibil pentru un volum. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, se notează $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea cu un număr real și partea imaginară — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un produs de valori în care un factor este zero — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre cu produsul cifrelor dat — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: suma a doi vectori (regula triunghiului) și lungimea unui vector scris cu $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile lui $\sin$ și $\cos$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, pătratul unei matrice, inversa — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calcul direct, o ecuație și compunerea repetată a aceluiași element — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, derivata a doua, semnul derivatei și punctele de extrem — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și volumul: simplificarea integrandului, formula Leibniz–Newton, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie 2013. Subiectul I este format din șase calcule scurte, fiecare cu o singură idee: la cerința 1 partea imaginară se reduce, la cerința 2 un singur factor nul anulează tot produsul, iar la cerința 3 ridicarea la pătrat cere verificarea soluției. Subiectul al II-lea leagă subpunctele între ele: egalitatea $A^2-6A=I_2$ de la b) arată, de fapt, că inversa matricei $B=A-6I_2$ este chiar $A$; legea de compoziție are un radical, iar compunerea de opt ori a lui $1$ se calculează dintr-o formulă generală. Subiectul al III-lea cere la problema 1 lanțul derivată → derivata a doua → tabelul de semn, iar la problema 2 trei integrale în care numitorul $x+1$ se simplifică sau se desparte; la volum, integrandul ${\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2$ se scrie ca sumă de trei termeni cu primitive din tabel.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, $\sqrt{3}$, $\sqrt{12}$, o matrice cu elemente întregi și $\pi \left(\frac{3}{2}-2\ln 2\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la 10 punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației iraționale scrisă fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; punctele de extrem date fără tabelul de semn al derivatei; volumul calculat cu $h$ în loc de $h^2$ sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $z=a+bi$ este real exact când $b=0$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v$ implică $u=v^2$, cu verificarea $v\ge 0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Vectori: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, iar $\left|x\vec{i}+y\vec{j}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu $\det M=ps-qr\ne 0$, inversa este $M^{-1}=\frac{1}{\det M}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; dacă $M\cdot N=I_2$, atunci $M^{-1}=N$.
• Lege de compoziție asociativă: compunerea mai multor elemente se face din aproape în aproape; aici $x\ast y\ast z=\sqrt{x^2+y^2+z^2+2\cdot 4}$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; punctele de extrem sunt zerourile derivatei în care derivata își schimbă semnul.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)+\mathcal{C}$ și $\int \frac{1}{(x+1{)}^2}dx=-\frac{1}{x+1}+\mathcal{C}$ pe $(-1,+\infty )$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $h:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{h}^2(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x-2$ la cerința $2$, $f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{x}{x+1}$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este la cerința $1$ un număr complex dat, $x=2(1+i)-2i$, nu o necunoscută; în restul probei este variabila obișnuită.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este o lege de compoziție, nu înmulțirea numerelor: $2\ast 2=\sqrt{12}$, nu $4$. Acolada de sub $1\ast 1\ast \cdots \ast 1$ spune că numărul $1$ apare de opt ori.
• Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința $5$ (împreună cu punctul $C$) și matrice la problema $7$: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=A-6I_2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".