Bac M2 2013, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $\sqrt{8}-2\left(\sqrt{2}-3\right)$ este natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $(f\circ f)(0)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2+1\right)={\log }_{2}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $20\%$ prețul unui produs scade cu $200$ de lei. Calculați prețul produsului după ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=(a-1)\vec{i}+4\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}-4\vec{j}$ sunt opuși.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea medianei din $A$ în triunghiul dreptunghic $ABC$ cu ipotenuza $BC=10$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x-y+2z=a\\ 2x-y=0\\ y-z=1\end{array},$$ unde $a$ este un număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ știind că $(x,y,z)=(1,2,1)$ este soluție a sistemului.

b) (5 puncte) Calculați determinantul matricei sistemului.

c) (5 puncte) Rezolvați sistemul pentru $a=-2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-X+a$, unde $a$ este număr întreg.

a) (5 puncte) Pentru $a=-2$, calculați $f(2)$.

b) (5 puncte) Arătați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=2$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă polinomul $f$ are o rădăcină întreagă, atunci $a$ este multiplu de $6$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(0,4)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^4(x-1)f(x)dx=\ln \frac{5}{3}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_2^3\left(x^3-1\right)f(x)dx$.

c) (5 puncte) Arătați că aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=2$ și $x=3$, este egală cu $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul are, la problema 7, subpunctul c), și la problema 9, subpunctul b), câte trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Se scoate factorul de sub radical: $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Se desface paranteza, cu semnul minus în față: $$2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+6=6\in \mathbb{N}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se desface paranteza fără să se schimbe semnul lui $-3$, și iese $2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-6=-6$, care nu este natural; sau se scrie $\sqrt{8}=4\sqrt{2}$, și radicalii nu se mai reduc.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi valoarea din interior: $$f(0)=3\cdot 0+1=1\text{(2 p)}.$$ Apoi se aplică încă o dată $f$: $$(f\circ f)(0)=f(f(0))=f(1)=4\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește $f(0)\cdot f(0)=1$, confundând compunerea cu produsul; sau se calculează $f(0)+f(0)=2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, $2$, iar funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2+1=5\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x^2=4$, deci $\mathbf{x}=-2$ sau $\mathbf{x}=2$, care verifică ecuația: pentru amândouă, $x^2+1=5>0$ (2 p).

(Condiția de existență $x^2+1>0$ este adevărată pentru orice $x$ real, deci ambele soluții rămân. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=2$; sau se scrie $x^2+1={\log }_{2}5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Se notează cu $x$ prețul inițial. Reducerea este $20\%$ din prețul inițial și este egală cu $200$ de lei: $$\text{se noteaza˘ cu }x\text{ prețul inițial}\Rightarrow 20\%\cdot x=200\text{(2 p)}.$$ Din $\frac{20}{100}\cdot x=200$ rezultă $x=1000$, deci prețul după ieftinire este $1000-200=800$ de lei (3 p).

(Control: $20\%$ din $1000$ este $200$. Unde se greșește de obicei: se consideră că $200$ de lei este prețul final și se calculează $20\%$ din $200$; sau se oprește rezolvarea la prețul inițial, $1000$ de lei, deși se cere prețul după ieftinire.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori opuși.

Doi vectori sunt opuși când $\vec{u}=-\vec{v}=-2\vec{i}+4\vec{j}$; coeficienții lui $\vec{j}$ sunt deja egali ($4=4$), iar pentru $\vec{i}$: $$\vec{u}=-\vec{v}\Rightarrow a-1=-2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=-1$, $\vec{u}=-2\vec{i}+4\vec{j}$, iar $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția de egalitate, $a-1=2$, și iese $a=3$ — dar atunci coeficienții lui $\vec{j}$, $4$ și $-4$, nu mai sunt egali.)

Exercițiul 6. (5 p) — mediana în triunghiul dreptunghic.

Fie $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$. Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $$M\text{ mijlocul lui }(BC)\Rightarrow AM=\frac{BC}{2}\text{(3 p)}.$$ $$AM=\frac{10}{2}=5\text{(2 p)}.$$

(De ce: mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic, deci $MA=MB=MC$. Unde se greșește de obicei: se ia $AM=BC=10$; sau se ia $AM=\frac{BC}{3}$, confundând cu poziția centrului de greutate, și iese $\frac{10}{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — sistem de ecuații liniare cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$, $y=2$, $z=1$ în fiecare ecuație: $$1-2+2\cdot 1=a,2\cdot 1-2=0\text{și}2-1=1\text{(3 p)}.$$ A doua și a treia ecuație sunt verificate, iar prima dă $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Verificarea ultimelor două ecuații nu e o formalitate: dacă n-ar fi fost adevărate, tripletul n-ar fi putut fi soluție pentru nicio valoare a lui $a$. Unde se greșește de obicei: se pierde minusul din fața lui $y$, $1+2+2\cdot 1=a$, și iese $a=5$.)

b) (5 p) Matricea sistemului are pe linii coeficienții necunoscutelor $x$, $y$, $z$ (unde lipsește o necunoscută, coeficientul este $0$): $$\text{Determinantul sistemului este }\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, $$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=1+4+0-0-0-2=3\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: produsele pe diagonale sunt $1\cdot (-1)\cdot (-1)=1$, $(-1)\cdot 0\cdot 0=0$, $2\cdot 2\cdot 1=4$; cele scăzute sunt $2\cdot (-1)\cdot 0=0$, $1\cdot 0\cdot 1=0$, $(-1)\cdot 2\cdot (-1)=2$. Unde se greșește de obicei: coeficienții ecuației $y-z=1$ se așază de la stânga, pe linia $(1,-1,0)$, în loc de $(0,1,-1)$, uitând că în ea lipsește $x$ — atunci determinantul iese $-2$.)

c) (5 p) Pentru $a=-2$, din a doua ecuație $y=2x$, iar din a treia $z=y-1=2x-1$. Înlocuind în prima: $x-2x+2(2x-1)=-2$, adică $3x-2=-2$, de unde $$x=0\text{(2 p)}.$$ $$y=2x=0\text{(2 p)}.$$ $$z=y-1=-1\text{(1 p)}.$$ Soluția sistemului este $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=(0,0,-1)$.

(Control: $0-0+2\cdot (-1)=-2$, $0-0=0$, $0-(-1)=1$. Cum determinantul este $3\ne 0$, sistemul este compatibil determinat, deci soluția este unică. Unde se greșește de obicei: din $y-z=1$ se scrie $z=y+1$ și iese $z=1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru întreg.

a) (5 p) Pentru $a=-2$ polinomul este $X^3-X-2$; se înlocuiește $X$ cu $2$: $$f=X^3-X-2\Rightarrow f(2)=2^3-2-2\text{(3 p)}.$$ $$f(2)=8-4=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $a=2$ în loc de $a=-2$ și iese $8-2+2=8$.)

b) (5 p) Polinomul nu are termen în $X^2$, iar coeficientul lui $X$ este $-1$; relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=0,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1\text{(2 p)}.$$ $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=0-2\cdot (-1)=2\text{(3 p)}.$$

(Observație: rezultatul nu depinde de $a$, pentru că $a$ intră doar în produsul rădăcinilor. Control: pentru $a=0$ rădăcinile sunt $-1$, $0$, $1$, iar $1+0+1=2$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1$, cu semnul greșit, și iese $0-2\cdot 1=-2$.)

c) (5 p) Fie $k\in \mathbb{Z}$ o rădăcină întreagă a lui $f$: $$k\in \mathbb{Z}\text{ este ra˘da˘cina˘ a lui }f\Rightarrow k^3-k+a=0\text{(2 p)}.$$ Atunci $$a=-\left(k^3-k\right)=-(k-1)\cdot k\cdot (k+1)\Rightarrow a\text{ este numa˘r ıˆntreg multiplu de }6,$$ deoarece este divizibil cu trei numere întregi consecutive (3 p).

(De ce $6$: dintre trei numere întregi consecutive unul este par și unul este multiplu de $3$, deci produsul lor este divizibil cu $2$ și cu $3$, adică cu $6$. Control: pentru $k=2$, $a=-6$; pentru $k=3$, $a=-24$. Unde se greșește de obicei: se verifică afirmația pe câteva valori ale lui $k$, fără argumentul general.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, punct de extrem și convexitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)={\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)}^{\prime }=2{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }+\frac{1}{x}\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{x^2}$, fără minus, și iese $\frac{x+2}{x^2}$; sau la aducerea la același numitor se scrie $\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2}$.)

b) (5 p) Numitorul $x^2$ este pozitiv, deci semnul și zerourile lui $f^{\prime }$ sunt ale lui $x-2$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=2\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru }x\in (0,2)\text{și}{f}^{\prime }(x)>0,\text{ pentru }x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Derivata își schimbă semnul în $x=2$, deci punctul de extrem este $\mathbf{x}=2$ (1 p).

(Pe tablou: $f$ descrește pe $(0,2]$ și crește pe $[2,+\infty )$, deci $x=2$ este punct de minim, cu $f(2)=1+\ln 2$. Unde se greșește de obicei: se declară punct de extrem fără tabelul de semn.)

c) (5 p) Se derivează $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2}$ cu regula câtului: $$f^{\prime \prime }(x)={\left(\frac{x-2}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1\cdot x^2-(x-2)\cdot 2x}{x^4}=\frac{4-x}{x^3}\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\in (0,4)$ avem $4-x>0$ și $x^3>0$: $$x\in (0,4)\Rightarrow 4-x>0\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow f\text{ este convexa˘ pe intervalul }(0,4)\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $x^2-2x^2+4x=-x^2+4x=x(4-x)$, iar $\frac{x(4-x)}{x^4}=\frac{4-x}{x^3}$. Unde se greșește de obicei: la regula câtului se inversează ordinea din numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $\frac{x-4}{x^3}$, cu semnul opus.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Numitorul se descompune, $x^2-1=(x-1)(x+1)$, iar factorul $x-1\ne 0$ pe $[2,4]$ se simplifică: $${\int }_2^4(x-1)f(x)dx={\int }_2^4\frac{1}{x+1}dx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_2^4\frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1){|}_2^4=\ln 5-\ln 3=\ln \frac{5}{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se simplifică greșit, $\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$, și iese $\ln 3$; sau se scrie diferența de logaritmi ca $\ln 2$.)

b) (5 p) Se simplifică factorul $x-1$, folosind $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$: $${\int }_2^3\left(x^3-1\right)\frac{1}{x^2-1}dx={\int }_2^3\frac{x^2+x+1}{x+1}dx\text{(2 p)}.$$ Cum $x^2+x+1=x(x+1)+1$, fracția este $x+\frac{1}{x+1}$: $${\int }_2^3\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln (x+1)\right){|}_2^3=\frac{5}{2}+\ln \frac{4}{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: $\frac{9-4}{2}=\frac{5}{2}$ și $\ln 4-\ln 3=\ln \frac{4}{3}$. Control numeric: $\frac{5}{2}+\ln \frac{4}{3}\approx 2,7877$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^3-1=(x-1)\left(x^2+1\right)$, uitând termenul $x$; sau se simplifică $\frac{x^3-1}{x^2-1}=x-1$.)

c) (5 p) Pe $[2,3]$ funcția este pozitivă, deci modulul dispare: $$\mathcal{S}={\int }_2^3|f(x)|dx={\int }_2^3\frac{1}{x^2-1}dx\text{(2 p)}.$$ Cu primitiva $\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}$, care se obține din descompunerea $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$: $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right){|}_2^3=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{2}{4}-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: $\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{3}=\ln \frac{3}{2}$. Control numeric: $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\approx 0,2027$, iar integrala calculată numeric pe $[2,3]$ dă tot $0,2027$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $\ln \left(x^2-1\right)$, ca și cum numărătorul ar fi derivata numitorului; sau se inversează fracția, $\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$, și iese un rezultat negativ, imposibil pentru o arie. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: scoaterea factorilor de sub radical și reducerea termenilor asemenea — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea lui $f\circ f$ într-un punct — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Procente: prețul după o ieftinire dată în lei — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția ca doi vectori să fie opuși — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: mediana corespunzătoare ipotenuzei — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Sisteme de ecuații liniare: o soluție dată, determinantul matricei sistemului, rezolvarea pentru o valoare a parametrului — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, relațiile lui Viète și rădăcinile întregi — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, punctul de extrem și convexitatea prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, împărțirea polinoamelor, primitiva lui $\frac{1}{x^2-1}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2013. Subiectul I este format din calcule directe; singurul loc cu o capcană este cerința 4, unde cei $200$ de lei sunt reducerea, nu prețul final. Subiectul al II-lea pune un sistem liniar în care subpunctele a) și c) se fac prin înlocuire, fără regula lui Cramer, și un polinom $X^3-X+a$ la care ultimul subpunct este o problemă de divizibilitate: dacă $k$ este rădăcină întreagă, atunci $a=-(k-1)k(k+1)$, un produs de trei numere întregi consecutive. Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata a doua și semnul ei, iar la problema 2 trei integrale în care numitorul $x^2-1$ se descompune: la a) se simplifică factorul $x-1$, la b) factorul $x-1$ și apoi o împărțire, iar la c) primitiva lui $\frac{1}{x^2-1}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ". Tot așa, la problema a doua a Subiectului al III-lea: la subpunctul b), împărțirea numărătorului la numitor, $\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, iar la subpunctul c), primitiva lui $\frac{1}{x^2-1}$, pe care baremul o ia direct din tabelul de primitive; formula nu mai apare în tabelul programei de clasa a XII-a intrate în vigoare, dar se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029, iar pe programa nouă ea se obține prin descompunerea $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$. Amândouă stau în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, soluția $(0,0,-1)$ a sistemului, $\ln \frac{5}{3}$, $\frac{5}{2}+\ln \frac{4}{3}$ și $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificare; punctul de extrem dat fără semnul derivatei; convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; divizibilitatea cu $6$ afirmată fără argumentul celor trei numere consecutive.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Compunere: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$, $v>0$. Procente: $p\%$ din $x$ este $\frac{p}{100}\cdot x$. Vectori: $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt opuși când $\vec{u}=-\vec{v}$, adică au coeficienții lui $\vec{i}$ și $\vec{j}$ opuși. Triunghi dreptunghic: mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
• Sisteme liniare: determinantul matricei sistemului se calculează cu regula lui Sarrus; un triplet este soluție când verifică toate cele trei ecuații.
• Polinoame: pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; $f$ este convexă pe un interval unde $f^{\prime \prime }>0$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)+\mathcal{C}$ pe $(-1,+\infty )$; pe $(1,+\infty )$, $\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+\mathcal{C}$; aria suprafeței delimitate de graficul unei funcții continue $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=3x+1$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3-X+a$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este număr real la cerințele $5$ și $7$, dar număr întreg la cerința $8$ — iar la subpunctul c) al cerinței $8$ tocmai faptul că $a$ este întreg contează.
• Litera $x$ este la cerința $7$ una dintre necunoscutele sistemului, $(x,y,z)$; la cerința $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului, iar $k$ este o rădăcină întreagă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".