Bac M2 2013, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=2$ și $a_2=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $x^2-2x-m>0$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-1)={\log }_{2}12$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculați $\vec{a}\cdot \vec{b}$, știind că $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ și unghiul vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ are măsura $\frac{\pi }{3}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(0,1)$ și $C(3,1)$. Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru $n$ număr natural se consideră matricea $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2n+1& n& 1\\ 2n^2+1& n^2& 1\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Calculați suma elementelor matricei $A$.

b) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care matricea $A$ are determinantul diferit de zero.

c) (5 puncte) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$ și $A_n(2n+1,n)$, $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Determinați valorile numărului natural $n$, $n\ge 2$ pentru care aria triunghiului $O{A}_n{A}_{n^2}$ este egală cu $n^2-3$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\circ y=x+ay+1$, unde $a\in \mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Pentru $a=1$ calculați $2011\circ 2012$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care legea de compoziție „$\circ$" este asociativă.

c) (5 puncte) Pentru $a=-1$ rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x\circ 2^x=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{2}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră funcția $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=(x+n)e^x$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{f}_1(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f_{2011}$ este o primitivă a funcției $f_{2012}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^1{f}_n(x)dx\ge \frac{9n+5}{6}$, pentru orice număr natural nenul $n$, folosind eventual inegalitatea $e^x\ge x+1$, adevărată pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul din 2013 are, la mai multe cerințe, trei sau patru rânduri punctate (de exemplu $2+2+1$ sau $1+1+2+1$), cu ultimul rând adesea „Finalizare"; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența a doi termeni consecutivi: $$a_2-a_1=r⟹r=1-2=-1\text{(2 p)}.$$ Al treilea termen este $$a_3=a_2+r=1+(-1)=0\text{(2 p)}.$$ Finalizare: produsul primilor trei termeni este $a_1\cdot a_2\cdot a_3=2\cdot 1\cdot 0=0$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia rația $r=a_1-a_2=1$ — invers —, iar al treilea termen iese $2$ și produsul $4$; sau se tratează șirul ca progresie geometrică, cu rația $\frac{1}{2}$. Control: $2$, $1$, $0$ are diferența constantă $-1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, semn constant.

Coeficientul lui $x^2$ este $1>0$, deci trinomul este strict pozitiv pentru orice $x$ real exact când nu are rădăcini reale: $$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-m)=4+4m<0\text{(3 p)}.$$ De aici $4m<-4$, adică $$\mathbf{m}\in (-\infty ,-1)\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=-1$ trinomul este $(x-1{)}^2$, care se anulează în $x=1$ — valoarea $-1$ nu convine, de aceea intervalul este deschis. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta =4-4m$, pierzând semnul lui $-m$, și iese $m>1$; sau se pune $\Delta >0$, confundând „pozitiv pentru orice $x$" cu „are două rădăcini".)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului, iar funcția logaritmică este injectivă: $$x(x-1)=12⟹x^2-x-12=0⟹x=-3\text{ sau }x=4\text{(3 p)}.$$ Condițiile de existență sunt $x>0$ și $x-1>0$, adică $x>1$. Deci $\mathbf{x}=4$ convine, iar $x=-3$ nu convine (2 p).

(Verificare: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}3={\log }_{2}12$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=-3$ — pentru el nici ${\log }_{2}x$, nici ${\log }_2(x-1)$ nu există; sau se scrie ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-1)={\log }_2(2x-1)$, adunând argumentele în loc să fie înmulțite.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Probabilitatea este $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Numerele $\overline{abc}$ pentru care $a\cdot b\cdot c=3$ au cifrele $1$, $1$ și $3$ (numărul $3$ este prim, deci nu se poate scrie altfel ca produs de trei cifre): $113$, $131$ și $311$. Numărul lor este egal cu $3$, deci sunt $3$ cazuri favorabile (2 p).

Numerele naturale de trei cifre sunt $100,101,\dots ,999$; numărul lor este $900$, deci sunt $900$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{3}{900}=\frac{1}{300}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $999$ sau $1000$ de cazuri posibile, adăugând numerele de una sau două cifre; sau se uită una dintre așezări și se numără doar $113$ și $311$. Cifra $0$ nu poate apărea: produsul ar fi $0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — produs scalar.

Produsul scalar se calculează din module și din cosinusul unghiului: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\sphericalangle (\vec{a},\vec{b}))=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se folosește $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ în loc de cosinus, și iese $3\sqrt{3}$; sau se ia $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, confundând valorile.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie analitică, ortocentru.

Punctele $B(0,1)$ și $C(3,1)$ au aceeași ordonată, deci $BC\parallel Ox$. Înălțimea din $A$ este perpendiculară pe $BC$, deci verticală, și trece prin $A$; ortocentrul $H$ al triunghiului $ABC$ se află pe ea, deci $$x_H=x_A=1\text{(2 p)}.$$ Ortocentrul se află și pe înălțimea din $B$, deci $BH\perp AC$. Panta lui $AC$ este $m_{AC}=\frac{1-3}{3-1}=\frac{-2}{2}$, iar panta lui $BH$ este $m_{BH}=\frac{y_H-1}{1-0}$: $$BH\perp AC⟹m_{BH}\cdot m_{AC}=-1⟹\frac{y_H-1}{1}\cdot \frac{-2}{2}=-1\text{(2 p)}.$$ De aici $y_H-1=1$, adică ${\mathbf{y}}_{\mathbf{H}}=2$ (1 p); ortocentrul este $H(1,2)$.

(Control cu a treia înălțime: $\overrightarrow{CH}=(-2,1)$ și $\overrightarrow{AB}=(-1,-2)$, cu produsul scalar $2-2=0$ — deci și $CH\perp AB$. Unde se greșește de obicei: se calculează centrul de greutate, $\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$, în loc de ortocentru; sau se scrie condiția de perpendicularitate $m_{BH}\cdot m_{AC}=1$ și iese $y_H=0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru, determinant, arie.

a) (5 p) Se adună toate cele nouă elemente: $$0+0+1+(2n+1)+n+1+\left(2n^2+1\right)+n^2+1=\text{(3 p)}$$ $$=3{\mathbf{n}}^2+3n+5\text{(2 p)}.$$

(Control pentru $n=1$: matricea are elementele $0,0,1,3,1,1,3,1,1$, cu suma $11=3+3+5$. Unde se greșește de obicei: se uită cei trei de $1$ din ultima coloană, și iese $3n^2+3n+2$.)

b) (5 p) Dezvoltând după prima linie (singurul element nenul este $1$, pe poziția $(1,3)$): $$\det A=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2n+1& n\\ 2n^2+1& n^2\end{array}\right|=(2n+1)n^2-n\left(2n^2+1\right)=n^2-n\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $\det A=n(n-1)\ne 0$ exact când $n\ne 0$ și $n\ne 1$, deci $\mathbf{n}\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$ (3 p).

(Semnul complementului algebric al poziției $(1,3)$ este $(-1{)}^{1+3}=+1$. Unde se greșește de obicei: se desface $(2n+1)n^2$ ca $2n^3+n$, și rezultatul iese greșit; sau se răspunde doar „$n\ne 0$", uitând rădăcina $n=1$ a lui $n^2-n$.)

c) (5 p) Aria unui triunghi cu vârfurile date în reper este $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |,\text{ unde }\Delta =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2n+1& n& 1\\ 2n^2+1& n^2& 1\end{array}\right|\text{(1 p)}.$$ Punctul $A_{n^2}$ are coordonatele $\left(2n^2+1,n^2\right)$, deci $\Delta$ este chiar determinantul matricei $A$: $\Delta =n^2-n>0$ pentru $n\ge 2$, iar $\mathcal{S}=\frac{n^2-n}{2}$. Condiția din enunț devine $\frac{n^2-n}{2}=n^2-3$, adică $$n^2+n-6=0⟹n=2\text{ sau }n=-3\text{(3 p)}.$$ Finalizare: $n$ este natural, $n\ge 2$, deci $\mathbf{n}=2$ (1 p).

(Control: pentru $n=2$ vârfurile sunt $O(0,0)$, $A_2(5,2)$ și $A_4(9,4)$, cu $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|5\cdot 4-2\cdot 9|=1$, iar $n^2-3=1$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ din formula ariei — ecuația $n^2-n=n^2-3$ dă $n=3$, care nu verifică; sau se păstrează și $n=-3$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$ legea este $x\circ y=x+y+1$, deci $$2011\circ 2012=2011+2012+1=\text{(3 p)}$$ $$=4024\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+1$ și iese $4023$.)

b) (5 p) Se calculează cele două grupări: $$(x\circ y)\circ z=(x+ay+1)+az+1=x+ay+az+2,\text{ pentru orice }x,y,z\in \mathbb{R}\text{(2 p)};$$ $$x\circ (y\circ z)=x+a(y+az+1)+1=x+ay+a^{2}z+a+1,\text{ pentru orice }x,y,z\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$ cere coeficienți egali la $z$ și termeni liberi egali: $a=a^2$ și $2=a+1$, de unde obținem $\mathbf{a}=1$ (1 p).

(Control: pentru $a=1$ legea este $x+y+1$, care este asociativă — ambele grupări dau $x+y+z+2$. Condiția $a=a^2$ singură ar permite și $a=0$, dar pentru $a=0$ termenii liberi sunt $2$ și $1$, deci legea $x\circ y=x+1$ nu este asociativă.)

c) (5 p) Pentru $a=-1$ legea este $x\circ y=x-y+1$, deci ecuația este $4^x-2^x+1=1$. Cu notația $2^x=t$, unde $t>0$, avem $4^x=t^2$ și $$2^x=t⟹t^2-t=0\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $t(t-1)=0$, iar $t>0$, deci $t=1$, adică $2^x=1$ și $\mathbf{x}=0$ (3 p).

(Verificare: $4^0\circ 2^0=1\circ 1=1-1+1=1$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și soluția $t=0$ — dar $2^x$ nu se anulează niciodată; sau se scrie legea cu $+y$ în loc de $-y$ și ecuația $t^2+t=0$ nu mai are soluții pozitive.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, concavitate.

a) (5 p) Limita din enunț este, prin definiție, derivata funcției în punctul $2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=(x+\ln x{)}^{\prime }=1+\frac{1}{x},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Finalizare: $f^{\prime }(2)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)=2+\ln 2$ și se încearcă o înlocuire directă în fracție, care dă $\frac{0}{0}$. Control numeric: pentru $x=2,001$ raportul este aproximativ $1,4999$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$ este $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ $$f(1)=1+\ln 1=1,f^{\prime }(1)=1+1=2\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-1=2(x-1)$, adică $\mathbf{y}=2x-1$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f(1)=1+1=2$, ca și cum $\ln 1=1$; atunci tangenta iese $y=2x$. Control: dreapta $y=2x-1$ trece prin $(1,1)$, punctul de pe grafic.)

c) (5 p) Derivata a doua este $$f^{\prime \prime }(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Finalizare: derivata a doua este negativă pe tot intervalul, deci funcția $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$ (1 p).

(Unde se greșește de obicei: se derivează $\frac{1}{x}$ ca $\frac{1}{x^2}$, fără minus, și se ajunge la „convexă"; sau se confundă semnul lui $f^{\prime }$ — pozitiv, deci $f$ crescătoare — cu semnul lui $f^{\prime \prime }$, care decide concavitatea.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $e^x$.

a) (5 p) Pentru $n=1$, $f_1(x)=(x+1)e^x$. Se integrează prin părți, cu $(e^x{)}^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^1{f}_1(x)dx=(x+1)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=\text{(2 p)}$$ $$=\left((x+1)e^x-e^x\right){|}_0^1=x{e}^x{|}_0^1=\mathbf{e}\text{(3 p)}.$$

(Control: ${\left(x{e}^x\right)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=f_1(x)$. Numeric: integrala calculată pe $[0,1]$ dă $2,718282$, iar $e\approx 2,718282$. Unde se greșește de obicei: se integrează $(x+1)e^x$ ca $\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x$, ca și cum $e^x$ ar fi o constantă.)

b) (5 p) Funcția $f_{2011}$ este derivabilă și, cu regula produsului, $$f_{2011}^{\prime }(x)={\left((x+2011)e^x\right)}^{\prime }=e^x+(x+2011)e^x=(x+2012)e^x,\forall x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Deci $f_{2011}^{\prime }=f_{2012}$, adică $f_{2011}$ este o primitivă a funcției $f_{2012}$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se verifică invers, derivând $f_{2012}$; sau se derivează doar $e^x$, uitând termenul $e^x$ care vine din $(x+2011{)}^{\prime }=1$.)

c) (5 p) Din $e^x\ge x+1$ și $x+n>0$ pentru $x\in [0,1]$, înmulțind inegalitatea cu $x+n$: $$(x+n)e^x\ge (x+n)(x+1),\text{ pentru orice }x\in [0,1]\text{ și }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{(1 p)}.$$ Integrând pe $[0,1]$ (integrala păstrează inegalitatea): $${\int }_0^1(x+n)e^{x}dx\ge {\int }_0^1(x+n)(x+1)dx\text{(1 p)}.$$ Integrala din dreapta este a unui polinom, $(x+n)(x+1)=x^2+(n+1)x+n$: $${\int }_0^1(x+n)(x+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+(n+1)\frac{x^2}{2}+nx\right){|}_0^1=\frac{9n+5}{6}\text{(2 p)}.$$ Finalizare: ${\int }_0^1{f}_n(x)dx\ge \frac{9n+5}{6}$, pentru orice număr natural nenul $n$ (1 p).

(Detaliul calculului: $\frac{1}{3}+\frac{n+1}{2}+n=\frac{2+3n+3+6n}{6}=\frac{9n+5}{6}$. Control pentru $n=1$: ${\int }_0^1{f}_1(x)dx=e\approx 2,718$, iar $\frac{14}{6}\approx 2,333$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește inegalitatea cu $x+n$ fără să se spună că acest factor este pozitiv — o înmulțire cu un număr negativ ar schimba sensul inegalității.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2013 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2"). Modelul pentru 2013 este primul document în care programa apare sub numele M_șt-nat; în anii 2010–2012 subiectul se numea doar „Matematică" și era comun cu filiera tehnologică.

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din primii doi termeni și al treilea termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: semnul constant al trinomului, condiția $\Delta <0$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: suma logaritmilor în aceeași bază și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de trei cifre cu produsul cifrelor dat — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: produsul scalar din module și unghi — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ortocentrul unui triunghi, prin înălțimi și condiția de perpendicularitate a pantelor — clasa a X-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: suma elementelor, un determinant de ordinul al treilea cu parametru și aria unui triunghi dată printr-un determinant — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, asociativitatea cu parametru, o ecuație exponențială scrisă cu legea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata într-un punct ca limită, ecuația tangentei, concavitatea prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: integrarea prin părți, primitiva ca funcție a cărei derivată este dată, monotonia integralei — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2013. Subiectul I este format din cerințe de un singur pas de raționament, cu două locuri de atenție: numărarea cazurilor la cerința 4 (produsul cifrelor $3$ se obține doar din cifrele $1$, $1$, $3$, deci trei numere) și ortocentrul de la cerința 6, unde latura $BC$ paralelă cu $Ox$ face ca una dintre înălțimi să fie verticală. La Subiectul al II-lea, același determinant apare de două ori: o dată ca determinant al matricei $A$ și o dată în formula ariei triunghiului $O{A}_n{A}_{n^2}$ — cine observă legătura rezolvă subpunctul c) aproape fără calcul. Legea de compoziție cere asociativitatea „cu parametru", adică identificarea coeficienților. Subiectul al III-lea se încheie cu o inegalitate între integrale, obținută din inegalitatea $e^x\ge x+1$, înmulțită cu un factor pozitiv și integrată.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, un interval, $\frac{1}{300}$, un punct, o dreaptă și numărul $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași; baremul din 2013 are la mai multe cerințe trei sau patru rânduri punctate, iar ultimul este adesea „Finalizare".
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția $x=-3$ păstrată, deși logaritmii nu există pentru ea; la cerința 2, condiția $\Delta \le 0$ în loc de $\Delta <0$ (inegalitatea din enunț este strictă); la cerința 7, subpunctul c), soluția $n=-3$ păstrată, deși $n$ este natural, $n\ge 2$; la cerința 8, subpunctul c), valoarea $t=0$ păstrată, deși $2^x>0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $r=a_2-a_1$, $a_n=a_1+(n-1)r$. Trinomul: $x^2+bx+c>0$ pentru orice $x$ real exact când $\Delta <0$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, pentru $u>0$, $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Vectori: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\sphericalangle (\vec{a},\vec{b}))$. Drepte: două drepte cu pantele $m_1$ și $m_2$ sunt perpendiculare exact când $m_1\cdot m_2=-1$.
• Aria unui triunghi în reper: pentru vârfurile $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$, unde $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$.
• Legi de compoziție: legea „$\circ$" este asociativă dacă $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ pentru orice $x$, $y$, $z$; o egalitate de polinoame în $y$ și $z$ înseamnă egalitatea coeficienților.
• Derivate: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime \prime }<0$ pe un interval, $f$ este concavă pe acel interval.
• Integrale: prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; dacă $g\ge h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx\ge {\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ denumește termenii progresiei $(a_n{)}_{n\ge 1}$ la cerința $1$, un vector, $\vec{a}$, la cerința $5$, și parametrul real al legii de compoziție la cerința $8$.
• Litera $A$ este un punct la cerința $6$ și matricea de la cerința $7$; punctele $A_n$ de la cerința $7$, subpunctul c), sunt altceva decât matricea. Baremul oficial notează aria triunghiului tot cu $A$ („$A=\frac{1}{2}|\Delta |$"); la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$, ca să nu se confunde cu matricea.
• Litera $n$ este număr natural la cerința $7$ și număr natural nenul la cerința $10$; la cerința $10$, $f_n$ înseamnă funcția cu indicele $n$ — de exemplu $f_1(x)=(x+1)e^x$ —, nu o putere a lui $f$. Tot așa, litera $f$ denumește la cerința $9$ funcția $x+\ln x$, altă funcție decât familia $f_n$ de la cerința $10$. Semnul „$\circ$" de la cerința $8$ este legea de compoziție din enunț, nu compunerea funcțiilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".