Bac M2 2013, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2013 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $2\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{28}$ este natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x+1}=16$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,15\}$, acesta să fie multiplu de $7$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=\vec{i}-\vec{j}$. Calculați lungimea vectorului $\overrightarrow{AC}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ știind că $\frac{3\sin x-2\cos x}{\cos x}=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x\\ x& 1& x\\ x& x& 1\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(2))$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(1)\cdot A(2)=5A(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=3$, calculați $f(1)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ știind că restul împărțirii polinomului $f$ la $X-2$ este egal cu $2$.

c) (5 puncte) Pentru $m=4$, arătați că $\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=1$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}xf(x)dx=\frac{1}{2}\ln 2$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $h:[0,1]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{1}{f(x)}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+1+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Se scoate factorul de sub radical: $28=4\cdot 7$, deci $$\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând paranteza, $$2\sqrt{7}+2-2\sqrt{7}=2,\text{ care este numa˘r natural}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{28}=4\sqrt{7}$ sau $\sqrt{28}=7\sqrt{2}$, și radicalii nu se mai reduc; sau se uită să se înmulțească și $1$ cu $2$, și iese $1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, suma valorilor.

Fiecare termen este $f(k)=2k-1$; adunând cei zece termeni, se adună separat $2k$ și $-1$: $$f(1)+f(2)+\dots +f(10)=2(1+2+\dots +10)-10=\text{(3 p)}$$ $$=2\cdot 55-10=100\text{(2 p)}.$$

(Control: suma primelor zece numere impare, $1+3+\dots +19$, este $10^2=100$. Unde se greșește de obicei: se scade doar un singur $1$ în loc de zece, și iese $109$; sau se calculează $1+2+\dots +10=50$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduce membrul drept la baza $4$: $$4^{x+1}=4^2\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$x+1=2⟹\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $4^2=16$. Unde se greșește de obicei: se scrie $16=4^4$ sau se împarte $16:4=4$ și se ajunge la $x+1=4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Multiplii lui $7$ din mulțimea $A$ sunt $7$ și $14$, deci sunt $2$ cazuri favorabile (2 p).

Numărul de elemente ale mulțimii $A$ este $15$, deci sunt $15$ cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{15}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se socotește și $0$ ca multiplu al lui $7$ — dar $0\notin A$ —, sau se ia și $21$, care depășește $15$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Cu regula triunghiului, adunând componentele după $\vec{i}$ și după $\vec{j}$: $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(2\vec{i}+\vec{j})+(\vec{i}-\vec{j})=3\vec{i}\text{(3 p)}.$$ Lungimea vectorului $3\vec{i}$ este $\sqrt{3^2+0^2}$, deci $\mathbf{AC}=3$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scad vectorii, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\vec{i}+2\vec{j}$, și iese $\sqrt{5}$; sau se adună lungimile, $\sqrt{5}+\sqrt{2}$, ca și cum $A$, $B$, $C$ ar fi coliniare.)

Exercițiul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ avem $\cos x>0$, deci putem înmulți cu $\cos x$: $3\sin x-2\cos x=\cos x$, adică $3\sin x=3\cos x$, de unde $$\sin x=\cos x\text{(3 p)}.$$ Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, egalitatea $\sin x=\cos x$ are loc doar pentru $$\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$

(Echivalent: $\mathrm{tg}x=1$. Verificare: $\frac{3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3-2=1$. Unde se greșește de obicei: se trece $\cos x$ în membrul drept fără să se observe că din $3\sin x-2\cos x=\cos x$ rezultă $3\sin x=3\cos x$, nu $3\sin x=\cos x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$\det (A(2))=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=1+8+8-4-4-4=5\text{(3 p)}.$$

(Cu regula lui Sarrus: produsele de pe diagonala principală și paralelele ei dau $1+8+8=17$, iar cele de pe diagonala secundară și paralelele ei dau $4+4+4=12$. Unde se greșește de obicei: se adună toate cele șase produse, și iese $29$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele: $$A(1)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)=\text{(2 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 5\\ 5& 5& 5\\ 5& 5& 5\end{array}\right)=5A(1)\text{(3 p)}.$$

(Fiecare linie a lui $A(1)$ este formată numai din $1$, deci fiecare element al produsului este suma unei coloane a lui $A(2)$: $1+2+2=5$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element și iese $A(2)$.)

c) (5 p) Cu regula lui Sarrus, $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{ccc}1& x& x\\ x& 1& x\\ x& x& 1\end{array}\right|=2x^3-3x^2+1\text{(2 p)}.$$ Polinomul se descompune ($x=1$ este rădăcină): $$\det (A(x))=0⟺(2x+1)(x-1{)}^2=0⟺\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $1+x^3+x^3-x^2-x^2-x^2=2x^3-3x^2+1$. Control: pentru $x=2$ formula dă $16-12+1=5$, ca la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se găsește rădăcina $x=1$ și se oprește acolo, fără a descompune $2x^3-3x^2+1=(x-1)\left(2x^2-x-1\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=3$: $$f=X^3-2X^2-2X+3\text{(2 p)}.$$ $$f(1)=1-2-2+3=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m$ cu $1$ și $X$ cu $3$ — confundând rolurile —, sau se uită semnul minus din fața lui $2X$.)

b) (5 p) După teorema restului, restul împărțirii lui $f$ la $X-2$ este $f(2)$: $$f(2)=2⟹8-8-4+m=2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{m}=6\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=6$, $X^3-2X^2-2X+6=(X-2)\left(X^2-2\right)+2$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-2)$ în loc de $f(2)$ — rădăcina lui $X-2$ este $2$ — sau se pune condiția $f(2)=0$, ca la divizibilitate.)

c) (5 p) Pentru $m=4$, relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=2,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-2,x_1{x}_2{x}_3=-4\text{(3 p)}.$$ Cum $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}$, $$\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=2\cdot \frac{-2}{-4}=1\text{(2 p)}.$$

(Rădăcinile nu sunt nule, pentru că produsul lor este $-4\ne 0$. Control: pentru $m=4$, $f=(X-2)\left(X^2-2\right)$, cu rădăcinile $2$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$; suma lor este $2$, iar suma inverselor este $\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=4$, cu semnul greșit, și iese $-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, convexitate.

a) (5 p) Se derivează produsul: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }\cdot \ln x+x\cdot (\ln x{)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln \mathbf{x}+1,x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează factorii separat și se înmulțesc, $1\cdot \frac{1}{x}$, și iese $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Se simplifică cu $x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\text{(2 p)}$$ Limita este de tip $\frac{\infty }{\infty }$, deci se aplică regula lui l'Hôpital: $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se aplică l'Hôpital direct pe $\frac{x\ln x}{x^2}$ fără simplificare — merge, dar trebuie aplicat de două ori; sau se scrie „$\frac{\infty }{\infty }=1$". Control numeric: pentru $x=10^6$, $\frac{\ln x}{x}\approx 0,0000138$.)

c) (5 p) Derivata a doua este $$f^{\prime \prime }(x)=(\ln x+1{)}^{\prime }=\frac{1}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )⟹f\text{ este convexa˘ pe intervalul }(0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$ — care schimbă semnul în $x=\frac{1}{e}$ — și se trage o concluzie despre monotonie, nu despre convexitate.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volume.

a) (5 p) Numărătorul $x$ este jumătate din derivata numitorului: $${\int }_0^{1}xf(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{x^2+1}dx=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și iese $\ln 2$; sau se integrează $\frac{x}{x^2+1}$ ca $x\mathrm{arctg}x$. Control numeric: integrala pe $[0,1]$ dă $0,346574$, iar $\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,346574$.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, cu $x^{\prime }=1$: $${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx=xf(x){|}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1}{2}-\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{\pi }{4}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $xf(x){|}_0^1=1\cdot \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$, iar $\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}$. Rezultatul este negativ, $\approx -0,285398$, ceea ce e firesc: $f$ este descrescătoare pe $[0,1]$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$. Unde se greșește de obicei: se calculează întâi $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$ și se integrează direct — drum mai lung.)

c) (5 p) Funcția $h(x)=x^2+1$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{h}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1\left(x^4+2x^2+1\right)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\pi \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\frac{28\pi }{15}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1=\frac{3+10+15}{15}=\frac{28}{15}$. Control numeric: $\frac{28\pi }{15}\approx 5,864306$. Unde se greșește de obicei: se integrează $h$ în loc de $h^2$, și iese $\frac{4\pi }{3}$; sau se desface ${\left(x^2+1\right)}^2=x^4+1$, fără termenul dublu. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: scoaterea factorilor de sub radical, $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: suma valorilor $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$, cu suma lui Gauss — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $7$ dintr-o mulțime cu $15$ elemente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula triunghiului și lungimea unui vector dat prin $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o ecuație cu sinus și cosinus pe un interval — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unei matrice de ordinul al treilea, un produs de matrice, o ecuație cu determinant — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, restul împărțirii la $X-a$ și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, o limită de tip $\frac{\infty }{\infty }$, convexitatea prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: o primitivă de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, integrarea prin părți, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2013. Subiectul I este format din șase cerințe directe, fiecare cu o singură idee: scoaterea factorului de sub radical, suma primelor zece numere naturale nenule, aducerea la aceeași bază, numărarea multiplilor lui $7$, regula triunghiului pentru vectori și o ecuație care se reduce la $\sin x=\cos x$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are pe diagonală $1$ și în rest $x$; determinantul ei se descompune ca $(2x+1)(x-1{)}^2$, iar produsul de la subpunctul b) se face „pe linii", fiecare linie a lui $A(1)$ adunând coloanele lui $A(2)$. Polinomul de gradul al treilea cere teorema restului și relațiile lui Viète, cu suma inverselor rădăcinilor scrisă ca $\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}$. La Subiectul al III-lea, funcția $x\ln x$ este studiată cu derivate, iar la integrale funcția $\frac{1}{x^2+1}$ aduce în scenă primitiva $\mathrm{arctg}x$ și, la subpunctul c), funcția $h=\frac{1}{f}$, adică $h(x)=x^2+1$ (inversul valorii lui $f$, nu funcția inversă), al cărei grafic se rotește în jurul axei $Ox$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{2}{15}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{1}{2}\ln 2$, $\frac{1}{2}-\frac{\pi }{4}$ și $\frac{28\pi }{15}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 6, împărțirea la $\cos x$ fără să se observe că $\cos x\ne 0$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$; la cerința 9, subpunctul b), regula lui l'Hôpital aplicată fără să se spună că limita este de tip $\frac{\infty }{\infty }$; la cerința 10, subpunctul c), volumul scris fără factorul $\pi$ sau cu $h$ în loc de $h^2$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$, pentru $a\ge 0$, $b\ge 0$. Suma lui Gauss: $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Vectori: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$; lungimea vectorului $p\vec{i}+q\vec{j}$ este $\sqrt{p^2+q^2}$. Trigonometrie: pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x=\cos x$ exact pentru $x=\frac{\pi }{4}$.
• Polinoame: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$, iar $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{\infty }{\infty }$; dacă $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval, $f$ este convexă pe acel interval.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $h:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{h}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-1$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3-2X^2-2X+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=x\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este, la cerința $7$, parametrul real al matricei $A(x)$, nu o variabilă de funcție; la cerința $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului.
• La cerința $10$, subpunctul c), $h^2(x)$ înseamnă $(h(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $h(h(x))$. Baremul oficial notează volumul cu $V$; la noi, după convenția casei, volumul se notează $\mathcal{V}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".